вопросы и задачи к экзамену по геометрии

Начальные геометрические сведения
1. Точка, прямая, плоскость. Отрезок, луч, угол. Измерение отрезков и углов. Прямой, тупой и острый
угол
2. Смежные углы и их свойства. Вертикальные углы и их свойства
3. Перпендикулярные прямые. Теорема о двух прямых перпендикулярных третьей
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Треугольники
Треугольник, его периметр. Равные треугольники. Первый признак равенства треугольника
Перпендикуляр из точки к прямой. Теорема о перпендикуляре, проведенном из данной точки к
данной прямой
Медиана, биссектриса, высота треугольника. Сколько медиан, биссектрис и высот существует в
треугольнике? Всегда ли высоты пересекаются внутри треугольника?
Равнобедренный, равносторонний треугольник. Свойства равнобедренного треугольника
Второй признак равенства треугольников
Третий признак равенства треугольников
Окружность, ее центр, радиус, хорда, диаметр. Построение отрезка на данном луче от его начала
отрезка, равному данному
Построение от данного луча угла, равного данному
Построение биссектрисы угла
Построение прямой, проходящей через данную точку, лежащую на данной прямой и
перпендикулярную этой прямой.
Построение середины отрезка
Параллельные прямые
15. Параллельные прямые и отрезки. Секущая. Углы, образованные при пересечении двух прямых
секущей.
16. Три признака параллельности прямых
17. Аксиома. Примеры аксиом. Аксиома параллельных прямых. Два следствия из нее.
18. Три свойства параллельных прямых и следствие.
Соотношение между сторонами и углами треугольника
19. Теорема о сумме углов треугольника. Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле
треугольника
20. Остроугольный, тупоугольный, прямоугольный треугольник. Стороны прямоугольного треугольника.
Докажите, что в треугольнике либо все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или
прямой. Докажите, что сумма двух острых углом прямоугольного треугольника равна 900
21. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сформулируйте и
докажите обратное утверждение
22. Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Признак равнобедренного
треугольника
23. Неравенство треугольника
24. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине
гипотенузы. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
25. Признаки равенства прямоугольных треугольников
26. Наклонная. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной,
проведенной из этой же точки к этой прямой.
27. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Докажите, что все точки
каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
28. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними
29. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
30. Построение треугольника по трем сторонам
Начальные геометрические сведения
1. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов образуют угол 900
2. Докажите, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой
3. OE – биссектриса углов AOB и COD, OC – биссектриса угла AOE. Сравните углы AOC и BOD, BOD и
COE
4. Три прямые AB, CD и MN пересекаются в точке O, AB перпендикулярно CD, угол AOM равен 150.
Найдите угол AON и угол между биссектрисами углов BON и COM.
Треугольники
5. Треугольники ABD и CBD равны, причем точки A, D и C лежат на одной прямой. Докажите, что BD –
медиана, биссектриса и высота треугольника ABC.
6. На прямой, содержащей основание AC равнобедренного треугольника ABC, отмечены точки M и K так,
что AM=CK (см.рис.). Докажите, что треугольник MBK – равнобедренный.
7. В равнобедренном треугольнике ABC основанием AC проведена биссектриса BD. Периметр
треугольника ABC равен 18 см, а периметр треугольника ABD равен 12 см. Найдите длину BD.
8. У треугольников ABC и ABD угол CAB равен углу DCA, угол CBA равен углу DAB. Найдите BD, если
AC=7 см.
9. На рисунке изображена окружность с центром в точке O. Хорды AB и СD равны. Докажите, что углы
AOC и BOD равны.
10. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам равны.
11.В равнобедренном треугольнике ABC основание в проведена биссектрима BD. Периметр треугольника
ABC равен 18 см, а периметр треугольника ABD равен 12 см. Найдите длину BD.
12. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого
равнобедренного треугольника
13. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.
14. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен к ней.
Параллельные прямые
15. Параллельны ли прямые AB и ED?
16. При пересечении двух параллельных прямых и секущей один из образовавшихся углов равен 670.
Найдите остальные углы.
17. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то биссектрисы накрест лежащих
углов параллельны
18. Докажите, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то биссектрисы односторонних
углов перпендикулярны
Соотношение между сторонами и углами треугольника
19. Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 3600.
20. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника,
противолежащей основанию, параллельна основанию.
21. В треугольнике ABC проведена биссектриса BP, угол PBC=200, угол BAP=400. Сравните длину
биссектрисы со сторонами треугольника.
22. Две стороны треугольника равны 0,8 см и 1,8 см. Какова длина третьей стороны, если она измеряется
целым числом сантиметров?
23. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 300, равен 48 см. Найдите длину
биссектрисы другого острого угла.
24. Прямые AB и CD параллельны, AB перпендикулярно AC, BC=12 см, угол ABC=300. Найдите
расстояние между прямыми AB и CD, между точкой C и прямой AB, между точкой B и прямой CD.
25.В треугольнике ABC проведена биссектриса BP, угол PBC равен 200, угол BAP равен 400. Сравните
длину биссектрисы со сторонами треугольника.
26.В треугольнике ABC угол А равен углу C, точка M лежит на AB, точка K лежит на AC, AM=CK.
Докажите, что угол BMK равен углу BKM.
27.Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то
треугольник равнобедренный.
28.Любая хорда окружности не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда сама является
диаметром.
29.Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.
30.Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, проведенной к гипотенузе.