математика в истории музыки
реклама
Новикова Алла Олеговна, методист, педагог дополнительного образования ГБОУДО ЦВР города Москвы Математика в истории музыки Общеизвестно, что становление музыки как искусства в древности и вся ее история неразрывно связаны с математикой и физикой. Теория музыки начала формироваться в трудах древнегреческого философа, изучавшего математику и астрономию, Пифагора. Ладовый звукоряд, рассчитанный Пифагором, является математически точным. Пифагор вычислил, на какие части надо разделить струну, чтобы получить звуки нужной высоты. Обнаружив гармонические отношения, Пифагор доказал, что музыка в родстве с арифметикой и геометрией. И музыка, и математика построены на соотношении чисел. Пифагорейский музыкальный строй, определивший на столетия судьбу европейской музыки, – это «омузыкаленная» математика. Создание логарифмически равномерной двенадцатитоновой музыкальной шкалы – итог длительной совместной работы музыкантов и математиков. Эта музыкальная шкала могла появиться только после разработки теории логарифмов в XVII веке. Здесь трудились такие ученые как Кеплер, Л.Эйлер и другие математики. Успеха добился ученый и музыкант Андреас Веркмейстер, установивший равномерное отношение между тонами. И.С.Бах с помощью математики ввел равномерный темперированный музыкальный строй, который мы и сегодня можем увидеть и услышать у современных клавишных инструментов. Темперация – музыкальная система, основанная на полном равенстве всех двенадцати полутонов октавы [2, с.192]. Благодаря темперации на клавесине стало возможно играть в тональностях с любым количеством знаков. И.С.Бах доказал это своим сборником «Хорошо темперированный клавир», в котором представлены все двадцать четыре тональности; прелюдии и фуги расположены в порядке хроматической гаммы. Ф.Шопен, а позже А.Скрябин в своих сборниках прелюдий также расположили их во всех двадцати четырех тональностях, в порядке квинтового круга мажорных тональностей, с параллельным минором после каждой из них [8, с.93]. Таким образом, в основе построения названных музыкальных сочинений лежит явный математический расчет. Музыка – это искусство звуков [5, с.3]. Звук – это колебательное движение, возникающее в результате возвратно-поступательных перемещений объектов или колебаний, подобных качаниям маятника. Звук, исходящий от объектов возникает в результате движения атомов и молекул, составляющих эти объекты. Звук исходит от объектов мельчайших, таких как атомы, или гигантских, таких как планеты. Звук существует как результат колебательных движений объектов. Следовательно, звук является формой кинетической энергии. Эта энергия может быть хаотической или упорядоченной, слабой или мощной [3, с.15 – 16]. Для того, чтобы произвести звук, объект должен колебаться. Каждое законченное движение называется одним периодом. Струна или камертон вибрируют со скоростью сотен периодов в секунду. Число периодов колебаний за одну секунду называется частотой, измеряющейся в герцах (Гц). Низкие звуки имеют малую частоту, а высокие характеризуются высокой частотой. Колебания звука передаются от одного твердого предмета к другому в виде звуковых волн. Между длиной волны и частотой существует строгая математическая связь. Чем выше частота, тем короче длина волны. Количество движения вибрирующих атомов и молекул определяет громкость, или силу звука. Силу можно выразить высотой или амплитудой звуковой волны, которая измеряется в децибелах (дБ). Каждый объект имеет собственную частоту колебаний. Бокал из тонкого стекла, если по нему постучать пальцами, издает звенящую ноту с присущей ему частотой, которая определяется его размерами, формой и материалом, из которого он изготовлен. Опытный певец может повторить звук бокала с присущей тому частотой и вызвать ответные колебания – это явление называется резонансом. При резонансе источник звука испускает звуковые волны, переносящие энергию к окружающим его объектам. Если эти объекты имеют такую же собственную частоту колебаний, они также включаются в это колебательное движение. Акустический резонанс – индуцированное колебание объекта под влиянием звука соответствующей частоты [3, с.25]. После точной математической теории струны, после того как физики и математики поняли, что любой музыкальный инструмент представляет собой физико-акустический прибор – комбинацию вибраторов и резонаторов, – после этого судьба музыки неотделима от математики. Математическому анализу подлежат и звук, и тембр, и лад, и гармония. Физические свойства звука, закономерности ритма и лада предопределили связь музыки и математики, находившую выражение как в трудах теоретиков музыки, начиная с Пифагора, так и в работах выдающихся математиков и естествоиспытателей, таких как Д’Аламбер, Л.Эйлер, Гельмгольц, Биркоф и др. [4, с.108]. В современном мире налицо не только математический анализ всех составляющих музыку, но и существенное расширение материальных ее основ: электронные 2 музыкальные инструменты, чудеса звукозаписи, акустики зала, электронный дирижер, человек-хор, человек-оркестр, графический звук, импульсное формирование тембра, раздельная генерация электромагнитных колебаний частоты для последующего смешивания их в разных пропорциях, физико-математический анализ голоса – все это плоды совместного бытия музыки, математики и физики [6, с.118]. Возможность использования математических знаний для дальнейшего совершенствования музыкального искусства можно увидеть на следующем примере. «В 1747 году, когда И.С.Бах был в Берлине, ему показали новое здание оперы. Все акустические достоинства этого сооружения и все его изъяны он обнаружил с первого взгляда… он поднялся на огибающую весь зал галерею, осмотрел потолок и… сказал, что… если, стоя на галерее, повернуться к стене и тихонько сказать несколько слов, то стоящий лицом к стене в противоположном углу совершенно отчетливо услышит эти слова… Этот эффект происходил от особенностей конфигурации пристроенных к потолку арок [2, с.11]. Можно предположить, что именно подобные наблюдения побуждали И.С.Баха экспериментировать с непривычными сочетаниями различных регистров органа и находить новые звучания. Музыка и техника связаны между собой с незапамятных времен. Условиями, при которых композиторский замысел становится звучащей и комуникативно действующей музыкой, являются не только технические правила сочинения, техника фиксации звуков, техника исполнения, но и работа звукоизвлекающей машины. Уже древнейшая свирель есть техническое устройство, орган и фортепиано – сложные машины. Жизнь музыки любых эпох невозможно представить себе без технически изобретательной мысли, создававшей и совершенствовавшей инструменты. Не только музыка зависела от техники, ждала ее предложений и, получив, освоив их, укрепляла свои собственные стремления и находки. Но и наоборот: успех, практическая применимость тех или иных технических изобретений всегда зависели от того, назрела ли необходимость в них в искусстве; иначе говоря, от того, в какой степени предлагаемые техникой новые или усовершенствованные выразительные средства стали насущно необходимыми для реализации художественных замыслов. Нежные, хрупкие звуки клавесина были необходимы и вполне достаточны для исполнения пьес Д.Скарлатти, Ж.-Ф. Рамо, Ф.Куперена. Фортепианной музыке XIX – XX веков непременно понадобились молоточковый механизм и все те усовершенствования этого инструмента, которые позволили ему воцариться в огромных концертных залах. Молоточковое фортепиано уже знал и одобрил И.С.Бах, на нем охотно играл В.А.Моцарт, но клавирные пьесы этих и других композиторов XVIII века могли еще вполне 3 убедительно прозвучать на клавесине и других предшественниках современного фортепиано. Первые образцы молоточковой механики, созданные Бартоломео Кристофори, появились в 1709 году; прошло более ста лет, покуда эта механика закрепилась в практике. Она не только удовлетворила потребности нового времени, но и повлияла на эволюцию фортепианного стиля. Хроматическая труба и хроматическая валторна с вентильным устройством были сконструированы на рубеже XVII и XVIII веков. Прошло несколько десятилетий, покуда они появились в партитурах главным образом оперных композиторов (Галеви, Мейербер). Долгое время их употребляли наряду со старыми медными инструментами, ценя в последних мягкость и естественность натуральных звуков. Но усилившаяся в XIX веке хроматизация звуковой шкалы, свобода и разнообразие модуляционных планов сделали несомненным преимущество вентильного устройства, которое и одержало полную победу. Научно-техническая революция XX века открыла огромные возможности в акустической сфере. Прежде всего это новые и непрерывно совершенствуемые способы звукозаписи, техника, оборудования современных концертных залов, вмещающих тысячи слушателей, электронное оснащение музыкальных инструментов. Современные электронные синтезаторы, в огромной мере расширяют красочную палитру композитора. «Музыка – это радость души, которая вычисляет, сама того не замечая», – писал Г.Лейбниц [1, с.72]. Музыкальные звуки содержат гармонические частоты. Гармоникой называется звуковая частота, связанная особым отношением с другой частотой волны. Это отношение обычно выражается простой математической формулой. Музыкальный инструмент производит звук многих различных частот. Обычно есть фундаментальная частота – музыкальная нота, вызываемая колебанием струны вдоль всей длины, между двух фиксированных концов, в действительности это движение представляет половину полной длины волны. Положение ноты в музыкальной гамме определяется тремя основными факторами: длиной струны, ее натяжением и толщиной [3, с.23]. Звуковые волны в воздухе невидимы. Но работы двух немецких ученых представили ранее невидимый мир звука так, что теперь о нем можно говорить в понятиях видимых форм. Немецкий физик XVIII века Эрнст Хладни продемонстрировал узоры, которые создает звук с помощью скрипичного смычка, заставляя вибрировать металлические пластинки, посыпанные песком. Э.Хладни показал, что звуковая энергия формирует четкие узоры из песка. Форма узоров определяется высотой звука, хотя на нее также влияют размер и толщина колеблющихся пластин, а также размер песчинок. 4 В 1960-х годах немецкий врач, физик и музыкант Ганс Йенни проводил исследования по киматике, науке о звуковой энергии. Его фотографии показали, как звуковые волны проходят через порошки, жидкости, полутвердые тела, такие как ртуть, глицериновый желатин и многие другие вещества. Звуковая энергия создавала картины, имеющие различную геометрию, абстрактные и вихревые узоры [3, с.34]. Примером общности музыки с геометрическими пропорциями служат также математические отношения и связи между музыкальными звуками, гаммами, октавами. Благодаря развитию геометрии пропорции основных музыкальных интервалов стало возможно увидеть визуально как правильные геометрические формы, известные под названием Платоновых тел [3, с.36]. Мажорную сексту, выраженную математическим отношением 8:5, композиторы используют потому, что она делает музыкальный звук позитивным и прогрессивным. Например, В.А.Моцарт в опере «Волшебная флейта» представляет основного героя Тамино мелодиями, основанными на мажорной сексте. Это создает контраст с музыкальным интервалом квинты, характерным для Папагено, «земного человека» [3, с.36]. Отношение мажорной сексты имеет свою аналогию в визуальных понятиях. Художникам и архитекторам оно известно как «золотое сечение». Это отношение может быть представлено прямоугольником, в котором ширина так относится к длине, как длина относится к сумме ширины и длины. Человек воспринимает такое отношение как гармоническое и привлекательное. «Золотое сечение» использовалось во многих картинах, скульптурах и других художественных формах, при строительстве домов и таких сооружений, как древние египетские пирамиды. Отношение мажорной сексты появляется также в построении чисел, известном как числа Фибоначчи, названные так в честь их открывателя, итальянского математика XVIII века Леонардо Фибоначчи. Каждое число в ряду Фибоначчи является суммой двух предыдущих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… . Этот ряд имеет большое значение во многих, внешне не связанных между собой сферах, от геометрии и генетики до структур естественного роста растительных форм и раковин улиток, а также в искусстве и архитектуре. Этот ряд также используется в музыке для организации звуков в систему музыкальных гамм, которые включают известную двенадцатинотную хроматическую гамму западной музыки, с ее диезами и бемолями; пятинотную пентатоническую гамму черных клавиш пианино, характерную для народных мелодий, начиная с древних времен; и стандартную семинотную диатоническую гамму. 5 Архитектура, основанная на геометрии, имеет связь с музыкой, более тесную, чем это может показаться на первый взгляд. Музыка существует, но как скоротечное и эфемерное явление. Архитектура же существует в пространстве и часто называется «застывшей музыкой» [3, с.38]. Музыка и архитектура выражают абсолютные ценности; и то и другое есть результат проявления пропорций в числовом выражении. Великие проекты и конструкции музыкальны в том смысле, что и архитектура, и музыка связаны с общими отношениями, такими как мажорная секста или «золотое сечение», наблюдаемыми и в природе, и в творениях человека. Проектировщики классического Возрождения развивали древние традиции исследования, основанные на арифметике, геометрии, астрономии, считая музыку существенной составляющей. Наука и искусство, как известно, имеют в некотором отношении разные объекты исследования: наука изучает природу и человека как ее часть, причем выводы ее в идеале должны полностью исключать личность изучающего. Объектом искусства тоже является все мироздание, включая человека, но рассматривается все это как отражение в личности. Искусство имеет свой собственный объект исследования. Различные его виды образуют полный спектр переходов: от рационального, зачастую вполне теоретического, художественного опыта человечества средствами художественной прозы, через поэзию, живопись, пластику, архитектуру до почти исключительно эмоционального осмысливания мироздания в инструментальной музыке. Искусство, как наука, служит познанию. Смысл искусства в достижении и сохранении гармонии человека и развертывающегося перед его лицом полного тайн, бесконечно разнообразного и всегда тревожного мира. «Наука и искусство друг друга дополняют, а не взаимозаменяют. Это утверждение верно только в общем и как абстракция. В творчестве же, безразлично в музыке или математике, осуществляется сложное диалектическое единство этих противоположностей» [6, с.122]. Каждое исполнение одной и той же музыки – творческий акт, индивидуальный и невоспроизводимый дважды. Эстетическая сущность хорошей музыки превышает то, что понимается человеком в данный момент, да и человек сам изменяется и в разное время слышит разное, также как и при восприятии математического факта, который в силу своей общности тоже содержит в себе бесконечные возможности реализации. Эти возможности не могут быть сразу осмыслены человеком и по-разному реализуются в разных ситуациях разными людьми, если мышление их активно. Что же касается эстетического наслаждения, то в математике красота столь же покоряюща и властна, как и в музыке. 6 Г.Суворов отмечает: «Хорошая и достаточно сложная музыка, рассказывающая о смене чувств, различных по эмоциональному смыслу и находящихся во временной и чувственно-логической связи, своим построением, развитием сюжета, нарастанием и убыванием напряжения, единством и противоположностью сочетаемых эмоций смутно напоминает исследователю-математику его собственное эмоциональное состояние при проведении содержательного математического рассуждения, скажем, при решении нелегкой задачи» [6, с.119]. Между математикой и музыкой существуют многообразные связи. Они сложились исторически благодаря глубокой внутренней необходимости, которую можно объяснить тем, что математика – самая абстрактная из наук, а музыка – наиболее отвлеченный вид искусства. Эту связь не раз подчеркивали и математики, и музыканты. Известный пианист Генрих Нейгауз говорил: «Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства» [1, с.72]. Теория музыки начала формироваться в трудах одного из самых таинственных ученых античного мира – Пифагора. Его годы жизни известны приблизительно: около 570 – 500 г.г. до н. э. [9, с.317]. Известно, что в Древней Греции приблизительно 2500 лет назад существовала Пифагорейская музыкальная школа. Пифагор известен как математик. В Древней Греции слово «математика», иначе «математа» означало «наука». Пифагорейцы, ученики Пифагора, занимались четырьмя науками: астрономией, геометрией, арифметикой и музыкой [7, с.70]. Пифагором было организовано философское братство в греческой колонии на юге Италии, в городе Кротоне. Членам братства запрещалось разглашать учение своей школы. Поэтому теперь невозможно определить, какие открытия были сделаны самими пифагорейцами, а какие были заимствованы у восточных мудрецов. Несомненно то, что пифагорейцы математическую науку, поскольку через существенным образом продвинули математику надеялись понять законы, управляющие миром. Они утверждали, что число есть сущность всех вещей, и приписывали числам мистические свойства. Пифагорейцы положили начало процессу развития науки о числах, то есть оказались родоначальниками теоретической арифметики. Пифагорейцы первыми явно разделили числа на четные и нечетные, они же выделили понятие простого числа, им были знакомы три вида пропорций: 7 арифметическая, то есть равенство (а – в): (в – с) = а:а, геометрическая (а – в): (в – с) = а:в, гармоническая (а – в): (в – с) = а:с. Пифагорейцы доказали, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов. Понятия «плоскость», «точка» также восходят к Пифагору [1, с.73]. В эллинистическом мире неотъемлемой частью общего образования была музыка. Именно в музыке некоторые исследователи усматривают причину, породившую интерес пифагорейцев к числам, поскольку им удалось установить некоторые закономерности музыкальных созвучий. А эти закономерности прекрасно укладываются в общую теорию Пифагора об абсолютной числовой гармонии всего сущего [1, с.74]. Музыка – искусство, основанное на гармонии. Гармония – наука о созвучиях, то есть о соразмерном слиянии музыкальных звуков. Пифагор показал то, что гармония без математики не обходится. Скрипичная струна звучит потому, что смычок заставляет ее колебаться. Колеблется струна – колеблется воздух, возникают звуковые волны. Звуковые волны воздействуют на орган слуха человека, вызывая колебания барабанных перепонок, в результате чего человек слышит звук. Заслуга Пифагора в том, что он первый вычислил, на какие части надо разделить струну, чтобы получить звуки нужной высоты. И тут помогли ему арифметика и геометрия. Для изучения музыкальных закономерностей Пифагор изобрел специальный инструмент – монохорд, состоящий из резонаторного ящика, натянутой струны и подвижной подставки для деления струны на части. Резонаторный ящик усиливает звук струны. Подвижные подставки помогали быстро увеличивать или уменьшать размер струны. Шкала служила контролем длины струны. Достаточно было натянуть две струны, чтобы установить, какое соотношение их длин дает гармоничный аккорд. Пифагор доказал, что музыка в родстве с арифметикой и геометрией, обнаружив гармонические отношения [7, с.72]. Число 10 состоит из суммы первых четырех целых чисел: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Десять орехов можно разложить в виде равностороннего треугольника. При этом в первом ряду будет один орех, во втором – два, в третьем – три, в четвертом – четыре. Следовательно 10 – треугольное число. Существует гармония числовых отношений, основанная на отношениях четырех чисел: 1, 2, 3, 4. Существует также гармония звуков. Пифагор установил, что две струны дают приятное для слуха совместное звучание, когда их длины относятся как 1:2, 2:3 или 3:4. 8 Так получали октаву, квинту, кварту. Четверку чисел, лежащих в основе данной теории музыки, греки называли великим тетраксисом [1, с.74]. Пифагор разделил струну на семь октав. Октава получается при делении отрезка струны пополам. Это отношение 2:1. Музыка и математика тесно связаны. И та, и другая построены на соотношении чисел. Отношение 3:2 дает квинту, отношение 4:3 – кварту. Чтобы получить квинту надо заставить звучать 2/3 струны, а чтобы получить кварту – 3/4 струны. При этом октава больше квинты как раз на кварту. Это можно проверить, разделив отношение 2:1 на 3:2. Получится 4/3, то есть кварта. На струне, состоящей из семи октав, укладывается двенадцать квинт. Однако, двенадцать квинт чуть-чуть длиннее семи октав. Разность между ними можно подсчитать следующим образом. Сложим семь октав, семь отрезков струны: 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 = 127/128 ≈ 0,99218; сложим двенадцать отрезков, образующих квинты: 2/3(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + 1/729 + 1/2187 + 1/6561 + 1/19683 + 1/59049 + 1/177147) = 531440/531441 ≈ 0,99999. Вычтем из большей суммы меньшую: 0,99999 – 0,99218 = 0,00781. Разность совсем ничтожна. Когда Пифагор разделил струну на семь октав, у него получился остаток. Но этот остаток был так мал, что Пифагор его попросту отрезал [7, с.74]. Если представить, что струна – это лесенка, состоящая из 42 ступенек, то октава состоит из 8 ступенек этой лестницы, кварта – из четырех, квинта – из пяти… Отсюда и их названия. По-латински «окто» означает «восемь», «кварто» – четыре, «квинто» – пять. Разность между квартой и квинтой условились принимать за один музыкальный тон. Тон можно выразить числовым отношением, вычислив, во сколько раз квинта (3:2) больше кварты (4:3). Отношение 3:2, деленное на 4:3, равно 9:8. Значит, одному целому тону соответствует отношение девяти к восьми. Пифагор, кроме чисел 1, 2, 3, 4 рассматривал также отношения чисел 6, 8, 9, 12. Отношение 12:6 равно отношению 2:1, то есть октаве. Отношение 12:8 равно 3:2, квинте. И отношение 12:9 равно 4:3, то есть кварте. Число 9 – это среднее арифметическое между числами шесть и двенадцать: (12 + 6)/2 = 9. Удвоенное произведение двух чисел, деленное на их же сумму, Пифагор называл средним гармоническим двух чисел: (2×6×12)/(6 + 12) = 8. 9 Получить музыкальную пропорцию пифагорейцам помогло сочетание среднего арифметического и среднего гармонического. Взяв струны длиной 6 и 12 (1:2), они нашли их среднее арифметическое (6 + 12):2 = 9, а среднее гармоническое дало равенство (6 – в):(в – 12) = 6:12, то есть 2(6 – в) = в – 12, или 3в = 24, в = 8. Но отношение 9:12 = 3:4 дает кварту, а отношение 8:12 = 2:3 дает квинту. Таким образом, длины четырех струн, дающих консонансы, должны быть 6, 8, 9, 12. Можно заметить, что 6/8 × 6/9 = 1/2, или 3/4 × 2/3 = 1/2. От последнего равенства можно перейти к музыкальной пропорции 2: 4/3 = 3/2: 1. Здесь речь идет о делении октавы на кварту и квинту, не равные по длине. Чисел, которыми можно выразить отношения длин струн, во время Пифагора не знали. Получалось, что консонанс можно задать отношением целых чисел, а числа, ответственного за «шум», не находилось. Но поскольку шум существует, то, по мнению пифагорейцев, он как явление мирового устройства вещей должен быть математически определен. Существование несоизмеримостей, то есть того, что сейчас мы называем иррациональным числом, пифагорейцы обнаружили в экспериментах со струнами. Случай обнаружения несоизмеримостей связан с теорией Пифагора. Обычно его называют открытием несоизмеримости со стороны квадрата с его диагональю. Пифагорейцам пришлось признать, что существуют объекты более общей природы, чем числа, то есть то, что нельзя выразить числом, можно выразить длиной отрезка. Это был важнейший вывод для геометрии, поскольку все математические факты и доказательства стали формулировать на геометрическом языке. А это предопределило расцвет геометрии в эллинистическом мире. Примерно через 60 лет после смерти Пифагора, в городе Таренте, в восточной части южной Италии, родился Архит Тарентский (≈ 428 – 365 до н.э.). Архит, бывший учеником пифагорейца Филолая, развил арифметику натуральных чисел и далеко продвинул теорию несоизмеримых величин. Архит считается самым крупным теоретиком музыки античности [9, с.317]. Долгое время не было единого мнения о том, что определяет приятное для слуха звучание струн. Архит показал, что ответ на этот вопрос кроется в высоте тона. Колебание струны представляет собой процесс ударения струны по частичкам воздуха, который передается слушателю звуковыми волнами. В те годы не была известна волновая теория распространения звука. Однако, Архит верно установил, что частота колебания струны обратно пропорциональна ее длине. В основу музыкальной системы, открытой учеными пифагорейского союза, были положены два закона, носящие сегодня имена Пифагора и Архита [1, с.79]. 10 Закон I. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся, как целые числа: 1:2, 2:3, 3:4. Закон II. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, то есть f = а/l, где а – коэффициент, характеризующий физические свойства струны. Рассмотрим некоторые пропорции, устанавливающие зависимости между звуками, которые были заложены в пифагорейской музыкальной гамме. Гамма – это последовательность звуков, которые расположены от основного звука вверх или вниз [5, с.36]. Древнегреческие ученые верили в совершенные пропорции и существование музыкальной и космической гармонии. Поэтому они и связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, геометрическим, гармоническим. Эти пропорции устанавливали зависимость между длинами струн трех основных интервалов: октавы, квинты и кварты. Те же самые пропорции используются и для определения связи между частотами звуков, соответствующих указанным интервалам. Для того, чтобы проследить процесс построения пифагорейской музыкальной гаммы, введем систему координат, у которой ось абсцисс – шкала частот звуков гамы, а ось ординат – шкала соответствующих длин струн. 11 Пусть начало координат – звук «до», длина струны – 1, его частота такта равна 1. Тогда звук на октаву выше будет иметь частоту 2, а длину струны – 1/2. Возьмем квинту «до – соль». Отношение частот – 3/2 (отношение частоты верхнего звука к частоте нижнего). Кварта «до – фа» – 3/4. Если взять отношение частот «до1» к «соль», получим 2: 3/2 = 3/4, то есть данный интервал так же является квартой. Сумма квинты и кварты есть октава. Найдем частотный интервал между звуками «фа» и «соль». Для этого поделим частоту последующей ноты на частоту предыдущей, то есть 3/2 : 4:3 = 9/8. Число 9/8 выражает так называемый тон-интервал. С его помощью получают частоты звуков, отличающихся друг от друга на целый тон. Для этого надо умножить частоту данного звука на 9/8, и в результате получим частоту последующего звука, отличающегося от первого на целый тон. Но вот звуки «ми» и «фа», «си» и «до1» различаются на полутон. Полутон выражается дробью 256/243 (4/3 : 81/64 = 256/243). При переходе от «си» к «до1» имеем 243/128 × 256/243 = 2. Если представить полутон дробью x/y и считать, что два полутона составляют целый тон, то математически это выражается равенством x/y × x/y = 9/8, то есть x/y = √9/8 = 1,061. На самом же деле полутон выражается дробью 256/243 = 1,053. Очевидно расхождение между реальным числом, выражающим полутон, и его значением, вытекающем из гипотезы о том, что два полутона составляют целый тон. Эта неточность, получившая название пифагоровой коммы, не давала возможности точно настроить инструменты. В основу музыкальной гаммы пифагорейцами были положены пропорции [1, с.81]. Так, если найти среднее арифметическое частот «до» и «до1»: (1+2)/2 = 3/2, получим частоту, соответствующую квинте («до» – «соль»). А если найти среднее гармоническое тех же частот (2×1×2)/(1+2) = 4/3, то придем к кварте («до» – «фа»). В Древней Греции считалось, что с помощью гамм разных музыкальных оттенков и разного математического построения можно воздействовать на душу человека. На протяжении многих столетий музыканты настраивали инструменты так, как это делали в Древней Греции. Однако, этот настрой не мог казаться им полностью подходящим, поскольку в нем сохранялась «пифагорова комма». Маленькая разница между семью октавами и двенадцатью квинтами в пифагорейском музыкальном строе стала причиной фальшивого звучания музыки, так называемой «волчьей квинты». Среди приятных звуков иногда вдруг прорывались фальшивые, воющие. «Пифагорова комма» была следствием несовершенства не только 12 пифагорейской музыкальной гаммы, но и учения о числе. Теорию музыки оказалось возможным улучшить только после достаточного развития математики иррациональных величин [1, с.82]. Но, прежде чем в науке утвердилось новое учение о числе, прежде чем появился новый музыкальный строй, прошла целая эпоха. Музыканты давно искали способ избавиться от некрасивых созвучий. В этом помогали им многие известные математики – Л.Эйлер, Г.Лейбниц, Лаплас, Б.Паскаль и астроном Кеплер. И все-таки никто не смог решить задачу так блестяще, как это сделал в середине XVII века органист Андреас Веркмейстер. Он вышел из положения просто и остроумно: чуть-чуть укоротил квинту. И все двенадцать квинт в точности уложились в семи октавах. Еще А.Веркмейстер выровнял интервалы между тонами, так что все они расположились равномерно. Такое равномерное отношение между тонами называется темперацией. Темперация стала основой современного музыкального строя [7, с.76]. Первым темперацию принял великий немецкий музыкант И.С.Бах. В XVIII веке И.С.Бах написал замечательное сочинение под названием «Хорошо темперированный клавир». С тех пор почти все крупные композиторы стали пользоваться только этим музыкальным строем [2, с.12]. И.С.Бах принял новшество сразу, а его современник Гендель так и не признал его. Специалисты утверждают, что старый спор И.С.Баха и Генделя, сторонника и противника введения равномерного темперированного музыкального строя, не снят с повестки дня. Говорят, что квинты рояля и органа многие опытные скрипачи не любят и что они, несмотря на традицию, сознательно и бессознательно иногда переходят к натуральным или даже к «острым» интервалам, благо на грифе нет ни клавиш, ни планок. Если здесь вступил бы рояль, то возможно нарушение благозвучия – появление древних «волков». Возможно, что и физики, и математики в содружестве с музыкой готовятся к созданию нового универсального строя, и когда-нибудь заново будет написан «Хорошо темперированный клавир» [6, с.118]. В современном музыкальном строе квинта состоит из трех с половиной тонов, а всего в октаве шесть целых тонов. Если число 6 умножить на 7, то есть на число пифагорейских октав, получится 42. То же число получится, если число квинт в пифагорейской струне умножить на три с половиной. Выходит, что двенадцать квинт точно укладываются в семи октавах. Если отложить от нижнего «до» все двенадцать квинт, одну за другой, то через каждые три с половиной тона попадается другая, ранее не использованная нота: «до» – 13 «соль» – «ре» – «ля» – «ми» – «си» – «фа-диез» – «до-диез» – «соль-диез» – «ре-диез» – «ля-диез» – «фа» и, наконец, снова «до». Если все тона этих двенадцати квинт свести в одну октаву, получится двенадцать полутонов хроматической гаммы. Музыкальный строй Пифагора дошел до нас в измененном виде, но этот великий ученый древнего мира первым заставил математику служить музыке и объединил таким образом искусство и науку. Литература 1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. – М.: Школа-Пресс, 1998. – 160с. 2. Великович Э.И. Великие музыкальные имена. – СПб.: Композитор, 2000. – 192с. 3. Дьюхерст-Мэддок О. Целительный звук. / Пер с англ. В.Козлова. – М.: Крон-Пресс, 1998. – 160с. 4. Житомирский Д.В., Леонтьева О.Т., Мяло К.Г. Западный музыкальный авангард после второй мировой войны. – М.: Музыка, 1989. – 303с. 5. Максимов С.Е. Музыкальная грамота. – М.: Музыка, 1984. – 176с. 6. Музыкальное воспитание в современном мире. ИСМЕ. Материалы IX конференции Международного общества по музыкальному воспитанию. / Ред. Я.Фунтикова. – М.: Советский композитор, 1973. – 415с. 7. Пионерский музыкальный клуб. / Ред. И.Шалимова. – М.: Музыка, 1971. – 48с. 8. Способин И.В. Музыкальная форма. – М.: Музыка, 1984. – 400с. 9. Школьный философский словарь. / Ред. А.Ф.Малышевский. – М.: Просвещение, 1995. – 399с. 14
