Конспект лекций по теме

Тема 1. Матрицы, операции над матрицами
Лекция 1
Аннотация: В данной теме вводится понятие матрицы, изучаются
виды матриц и операции на ними.
Ключевые слова: матрица, размерности, квадратная матрица,
единичная матрица, сумма матриц, произведение матриц, транспонирование,
обратная матрица.
Методические рекомендации по изучению темы.
 Изучить лекционный материал
 Ответить
на
контрольные
вопросы.
Ответы
оформить
отдельным файлом и отправить на проверку преподавателю.
 Выполнить практические задания. Ответы оформить отдельным
файлом и отправить на проверку преподавателю.
Источники информации:
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.
6-е изд., М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. - С. 10-19.
2. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия :
учеб. пособие для студ. вузов / П. С. Геворкян .? М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007 .?
208 с. ? ISBN 978-5-9221-0860-7 : С. 12-25.
3.Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учебное пособие / Е.
М. Карчевский, М. М. Карчевский . Казань : Казанский университет, 2011 .
269 с. : ил. ; 21 см. Библиогр.: с. 268-269 (15 назв.) . ISBN 978-5-98180-994-1
((в пер.)) , С. 2-10.
4. П.С.Александров, Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры.
СПб.:
Лань,
2009.
–
512
С.
20-31//
http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_id=493
5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной
алгебры. - М.: Физматлит, 2008. – С 32-39.
Глоссарий
Матрица — прямоугольная таблица чисел.
Верхне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы,
стоящие ниже главной диагонали, суть нули.
Вырожденная матрица — матрица, определитель которой равен нулю.
Главная диагональ матрицы — элементы матрицы, у которых номер строки
совпадает с номером столбца.
Диагональная матрица — матрица, являющаяся одновременно и нижнеи верхне-треугольной.
Единичная матрица — квадратная матрица, у которой элементы главной
диагонали равны единице, а прочие элементы суть нули.
Квадратная матрица — матрица, у которой число строк и столбцов
совпадает.
Матрица-столбец — матрица, состоящая из одного столбца.
Матрица-строка — матрица, состоящая из одной строки.
Нижне-треугольная матрица — квадратная матрица, у которой элементы,
стоящие выше главной диагонали, суть нули.
Нуль-матрица — матрица, все элементы которой суть нули.
Обратимая матрица — матрица, у которой существует обратная матрица.
Обратная матрица для некоторой матрицы — матрица, которая при
перемножении с исходной матрицей дает единичную матрицу.
Симметричная матрица — матрица, совпадающая со своей
транспонированной.
Вопросы для изучения
1) Понятие матрицы, элементов, порядков.
2) Виды матриц: квадратная, симметричная, треугольная, диагональная,
единичная, нулевая. Главная и побочная диагонали квадратной
матрицы.
3) Операции над матрицами (сложение, умножение, умножение на число,
транспонирование) и их свойства.
Матрицы.
Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m
строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто
матрицей.
Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы.
Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m.
Примеры:
— квадратная матрица порядка 2,
— прямоугольная
матрица,
—матрица-столбец,
— матрица-строка.
Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки
[ ] или две вертикальные черты
. Чаще используют круглые скобки.
Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же
строчной буквой с двумя нижними индексами (первый индекс — номер
строки, второй — номер столбца), столбцы матрицы — той же заглавной
буквой с верхним индексом (номер столбца), а сторки — заглавной буквой с
нижним индексом (номер строки). В сокращенной записи будем заключать
элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы.
Например,
,
,
,
,
,
,
,
.
Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия:
квадратная матрица,
одинаковое число строк и столбцов;
, матрица, у которой
матрица-строка, ,
, матрица, у которой одна
строка;
матрица-столбец,
, матрица, у которой один столбец;
диагональная матрица,
квадратная
матрица, у которой все внедиагональные элементы раны нулю;
единичная матрица,
диагональная
матрица, у которой все диагональные элементы — единицы нулю;
— называется символом Кронекера;
нулевая матрица,
, матрица, все
элементы которой — нули;
верхняя треугольная матрица,
, квадратная матрица, у
которой все элементы, расположенные ниже диагонали — нули;
нижняя треугольная матрица,
, квадратная матрица, у
которой все элементы, расположенные выше диагонали — нули;
ступенчатая матрица,
и др.
Ступенчатые матрицы, ступенчатые формы матрицы в дальнейшем будут
играть важную роль.
Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют
одинаковую размерность и равные соответсвенные элементы:
1.1.2. Линейные операции с матрицами
Линейными операциями называются операции сложения и умножения на
число.
Определение. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется
матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме
соответствующих элементов слагаемых:
.
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той
же размерности, каждый элемент которой равен произведению
соответствующего элемента на число:
.
Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:
1. 1·A=A,
2. 0·A= ,
3.  (  A) = (  )A,
4. A+(B+C) = (A+B)+C,
5. A+B = B+A,
6. ( + )A= A+ A,
7.  (A+B) =  A+ B.
где A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности,  — нулевая
матрица той же размерности (читается “тэта”),  и  — произвольные числа.
1.1.3. Умножение матриц
Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным
образом.
Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов
первой из них равно числу строк второй. Если
то произведением матриц A и B называется матрица
,
элементы которой вычисляются по формуле
,
;
произведение матриц A и B обозначается AB: C=AB.
Пример.
.
Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:
1. A·B  B·A,
2. (A + B) · C = A·C + B·C,
3. C·(A + B) = C·A + C·B,
4.  (A·B) = ( A) ·B,
5. (A·B) ·C = A·(B·C).
Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.
Для квадратных матриц определена единичная матрица — квадратная
матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные — нули:
Единичная матрица чаще всего обозначается буквой E или En , где n —
порядок матрицы. Непосредственным вычислением легко проверить
основное свойство единичной матрицы
AE=EA=A.
1.1.4. Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица A называется обратимой, если
существует квадратная матрица X той же размерности, удовлетворяющая
соотношениям
A·X=X·A=E.
Матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1, т.е.
A·A-1= A-1·A=E.
Пример.
1.1.5. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Обозначим:
,
,
,
A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.
Тогда:
и рассмотренная система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в
том смысле, что если числа
являются решением рассмотренной
системы, то соответсвующая матрица-столбец X является решением
матричного уравнения; и наоборот, если матрица-столбец X является
решением матричного уравнения, то ее элементы
решением рассмотренной системы.
1.1.6. Матричные уравнения
Рассмотрим матричное уравнение A·X = B.
Если m=n и матрица A обратима, то
являются
,
т.е. получили выражение для решения системы линейных алгебраических
уравнений в матричной форме.
Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем:
X·A = B, X = B·A-1,
A·X·B = C, X = A-1·C· B-1,
A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A-1·B.
1.1.7. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования
матриц
Помимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц,
операции со столбцами и строками матрицы — так называемые
элементарные преобразования матриц.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют
следующие операции:
1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;
2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля,
число;
3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом),
умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.
Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования.
Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицуA.
Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами,
называется транспонированной по отношению к матрицеA и обозначается
AT:
Для операции транспонирования справедливо:
1. ( A +  B)T =  A T +  B T,
2. (AB)T = B TA T .
Существуют матрицы, для которых операции умножения, возведения в
степень, обращения и транспонирования имеют дополнительные свойства.
Квадратная матрица A, для которой AT = A называется симметричной.
Элементы такой матрицы, расположенные симметрично относительно
главной диагонали, равны.
Квадратная матрица U, для которой U -1 = U T называется ортогональной
матрицей.