УМКД М2.В.ДВ.3 Методы регуляр некорректных задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
Согласовано
«УТВЕРЖДАЮ»
Руководитель ОП
Заведующий кафедрой информатики, матем.атического и
компьютерного моделирования
_____________ А.Ю.Чеботарев
______________ А.Ю. Чеботарев
« 16 »
мая
2012 г.
« 16 »
мая
2012 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ (РПУД)
Методы регуляризации некорректных задач
010400.68 Прикладная математика и информатика
Форма подготовки очная
Школа естественных наук ДВФУ
Кафедра информатики, математического и компьютерного моделирования
Курс 1 семестр 2
лекции 18 (час.)
практические занятия 18 (час.)
лабораторные работы
всего часов аудиторной нагрузки 36 (час.)
самостоятельная работа 72 (час.)
контрольные работы 2
зачет
экзамен 2 семестре
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями федерального государственного образовательного
стандарта высшего профессионального образования от 20 мая 2010 г. № 545 «Об утверждении и введении в
действие ФГОС ВПО по направлению 010400 Прикладная математика и информатика (квалификация магистр)
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры информатики, математического и компьютерного
моделирования «16» мая 2012 г.
Заведующий кафедрой А.Ю. Чеботарев
Составитель доцент кафедры информатики, математического и компьютерного моделирования А.Е. Ковтанюк
Оборотная сторона титульного листа РПУД
I. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 200 г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
II. Рабочая программа пересмотрена на заседании кафедры:
Протокол от «_____» _________________ 200 г. № ______
Заведующий кафедрой _______________________ __________________
(подпись)
(И.О. Фамилия)
АННОТАЦИЯ
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью дисциплины является ознакомление студентов с принципами
решения некорректных задач, освоение студентами методик выбора параметра
регуляризации, обучение студентов использованию теории некорректных задач на
практике.
̶
Воспитание у студента умения применять полученные знания при
исследовании физических и технических задач, культуры мышления.
̶
Развитие у студента математической культуры и интуиции.
̶
Привитие студентам навыков самостоятельной работы по изучении
специальной математической и технической литературы.
̶
Воспитание у студента умения формулирования и обоснования выбора
математической модели.
̶
Ознакомление
студентов
с
физико-техническими
проблемами,
требующими математического моделирования.
̶
Формирование у студентов практических навыков решения и разработки
математических моделей.
В результате изучения курса студенты должны свободно владеть
математическим
аппаратом
построения
и
выбора
алгоритмов
решения
некорректных обратных задач.
МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОП ВПО
Дисциплина относится к вариативной части общенаучного цикла основной
образовательной программы подготовки магистров по магистерской программе
«Математическое моделирование» направления 010400 «Прикладная математика
и информатика».
Дисциплина базируется на следующих дисциплинах: «Математический
анализ», «Функциональный анализ», «Уравнения математической физики».
Знания, полученные по освоении дисциплины, необходимы при выполнении
магистерской диссертации.
РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Компетенции выпускника ОП магистратуры, формируемые в результате
освоения данной ОП ВПО.
Дисциплина
направлена
на
формирование
общекультурных
(общепрофессиональных, профессиональных) компетенций выпускника.
В результате освоения дисциплины, обучающийся должен: обладать
компетенциями:
общекультурными (ОК):
 способностью понимать философские концепции естествознания, владеть
основами методологии научного познания при изучении различных уровней
организации материи, пространства и времени (ОК-1);
 способностью
иметь
представление
о
современном
состоянии
и
проблемах прикладной математики и информатики, истории и методологии их
развития (ОК-2);
 способностью использовать углубленные теоретические, и практические
знания в области прикладной математики и информатики (ОК-3);
 способностью порождать новые идеи и демонстрировать навыки
самостоятельной
научно-исследовательской
работы
и
работы
в
научном
коллективе (ОК-5);
 способностью и готовностью к активному общению в научной,
производственной и социально-общественной сферах
деятельности (ОК-7);
профессиональными (ПК):
научная
и
научно-исследовательская
деятельность:
способностью
проводить научные исследования и получать новые научные и прикладные
результаты (ПК-1);
 способностью разрабатывать концептуальные и теоретические модели
решаемых научных проблем и задач (ПК-2);
проектная
и
производственно-технологическая
деятельность:
способностью углубленного анализа проблем, постановки и
 обоснования задач научной и проектно-технологической деятельности
 (ПК-3);
организационно-управленческая деятельность:
 способностью управлять проектами (подпроектами), планировать научноисследовательскую деятельность, анализировать риски, управлять командой
проекта (ПК-5);
 способностью организовывать процессы корпоративного обучения на
основе
технологий
электронного
корпоративных баз знаний (ПК-6);
педагогическая деятельность:
и
мобильного
обучения
и
развития
 способностью
обучающимися,
а
проводить
также
семинарские
лекционные
и
занятия
практические
спецкурсов
по
занятия
с
профилю
специализации (ПК-8);
 способностью
разрабатывать
учебно-методические
комплексы
для
электронного и мобильного обучения (ПК-9);
консорциумная:
 способностью
работать
в
международных
проектах
по
тематике
специализации (ПК-11);
Процесс изучения дисциплины «Методы решения некорректных задач»
направлен на изучение методов и алгоритмов решения некорректных задач.
В результате изучения дисциплины студент должен:
Знать:
̶
классические и неклассические подходы к решению некорректных задач;
̶
методы построения устойчивых алгоритмов решения некорректных задач.
̶
Уметь:
̶
пользоваться разработанными моделями решения некорректных задач для
формализации и решения различных технических и социально-экономических
задач;
Владеть:
̶
математическим аппаратом построения устойчивых алгоритмов решения
некорректных задач;
̶
навыками программирования на языках высокого уровня, а также работы
в математических пакетах Matlab, Mapple.
I. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ КУРСА
Раздел 1. Предварительные сведения из Функционального анализа (6
час.)
Тема 1. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства (2
часа)
Что такое метрика? Множества в метрических пространствах. Сходимость и
полнота. Компактность. Скалярное произведение в гильбертовом пространстве.
Тема 2. Линейные операторы (2 часа)
Пространство линейных непрерывных операторов. Обратный оператор.
Компактные линейные операторы. Сопряженные пространства и операторы.
Тема 3. Понятие корректности (2 часа)
Понятие корректности по Адамару и примеры. Понятие корректности по А.
Н. Тихонову и примеры условно-корректных задач. Примеры некорректных задач.
Раздел 2. Операторные уравнения первого рода (6 час.)
Тема
1.
Понятие
операторных
уравнений
первого
рода.
Предварительные сведения (3 час.)
Основные понятия и свойства. Понятие корректности операторного
уравнения первого рода. Примеры сведения дифференциальных задач к
операторному уравнению первого рода.
Тема 2. Регуляризация операторных уравнений первого рода (3 час.)
Регуляризация операторных уравнений первого рода в гильбертовом
пространстве.
Регуляризация
уравнений
с
самосопряженным
оператором.
Регуляризация по Тихонову. Регуляризация по Лаврентьеву.
Раздел
Построение
3.
регуляризированных
решений
для
задач
математической физики ( 4 час.)
Тема 1. Краевая задача для уравнения теплопроводности с обратным
временем (3 часа)
Сведение краевой задачи для уравнения теплопроводности с обратным
временем к интегральному уравнению первого рода с самосопряженным
оператором. Построение регуляризированного решения уравнения первого рода.
Тема 2. Задача Коши для уравнения Лапласа (3 часа)
Сведение задачи Коши для уравнения Лапласа к интегральному уравнению
первого рода с самосопряженным оператором. Построение регуляризированного
решения уравнения первого рода.
II.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ ЧАСТИ
КУРСА
Практические занятия (18 час.)
Занятие
1.
Простейшая
задача
классического
исчисления. (6 час.)
1. Уравнение Эйлера.
2. Задача Больца.
3. Уравнение Эйлера и условие трансверсальности.
вариационного
4. Определение производных Гато и Фреше для отображений банаховых
пространств.
Занятие 2. Условия разрешимости (6час.)
1. Линейные стационарные экстремальные задачи.
2. Задачи оптимального управления для линейных параболических
уравнений.
3. Жесткое управление.
Занятие 3. Система оптимальности (6 час.)
1. Линейные регулярные стационарные задачи.
2. Линейные регулярные эволюционные задачи.
3. Оптимизация в задаче Коши для оператора Лапласа.
III. КОНТРОЛЬ ДОСТИЖЕНИЯ ЦЕЛЕЙ КУРСА
Вопросы к экзамену
1. Линейные
операторы,
их
свойства,
примеры.
Самосопряженные
операторы.
2. Сходимость и полнота. Понятие компактного множества, примеры.
3. Понятие корректности по Адамару, примеры.
4. Понятие корректности по А. Н. Тихонову, примеры условно-корректных
задач.
5. Обратная задача томографии и ее некорректность.
6. Краевая задача для уравнения теплопроводности с обратным временем и
ее некорректность.
7. Задачи Коши для уравнения Лапласа и ее некорректность.
8. Операторные
уравнения
первого
рода.
Примеры
сведения
дифференциальных задач уравнению первого рода.
9. Регуляризация
операторного
уравнения
первого
рода.
Метод
уравнения
первого
рода.
Метод
регуляризации М. М. Лаврентьева.
10. Регуляризация
операторного
регуляризации А. Н. Тихонова.
11. Понятие класса равномерной регуляризации и его строение.
12. Регуляризующее
семейство
операторов
и
оценка
уклонения
регуляризованного решения на классе равномерной регуляризации.
13. Выбор оптимального и оптимального по порядку значения параметра
регуляризации и оценка погрешности соответствующего приближенного решения.
14. Критерий сходимости регуляризованных решений.
15. Построение регуляризованного решения для краевой задачи для
уравнения теплопроводности с обратным временем.
16. Построение регуляризованного решения для задачи Коши для уравнения
Лапласа.
IV. ТЕМАТИКА И ПЕРЕЧЕНЬ КУРСОВЫХ РАБОТ И РЕФЕРАТОВ
Темы для рефератов
1. Приложения теории некорректных задач для обработки изображений.
2. Приложения теории некорректных задач для решения задач геофизики.
3. Методы решения задач с априорной информацией.
4. Обратная задача нестационарной фильтрации жидкости к одиночной
скважине и ее некорректность.
5. Некорректность задачи компьютерной томографии.
6. Некорректность обратной задачи теории непрерывного слитка.
7. Некорректность обратной задачи гравиметрии.
8. Метод проекционной регуляризации.
9. Метод невязки регуляризации некорректных задач.
10. Метод квазирешений В. К. Иванова
11. Конечномерные аппроксимации регуляризованных решений в методе
невязки.
12. Конечномерные аппроксимации регуляризованных решений в методе А.
Н. Тихонова.
V.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Основная литература
1. http://padabum.com/d.php?id=45359 Тихонов. А. Н., Арсенин В. Я.
Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 2004. 223 с.
2. http://bookre.org/reader?file=727788 Иванов В. К., Васин В. В., Танана В.
П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 2008. 210 с.
3. Тихонов А. Н., Леонов А. С. Ягола А. Г. Нелинейные некорректные
задачи. М.: Наука, 2005. 308 с.
4. Танана В. П., Рекант М. А., Янченко С. И. Оптимизация методов
решения операторских уравнений. Свердловск: УрГУ, 2007. 200 с.
Дополнительная литература
1. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 2001.
160 с.
2. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные
задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 2000. 286 с.
Электронные образовательные ресурсы
1. http://imcs.dvgu.ru/ru/lib/pub.html А.Е. Ковтанюк, Контрольные работы по
уравнениям математической физики. umf_tests.pdf, 152 K. ИМКН ДВГУ
2. http://math-portal.ru/izdatelstvo/760-chislennye-metody-resheniyanekorrektnyh-zadach-tihonov-an.html Численные методы решения некорректных
задач - М., Наука, 2000, 232 с. Тихонов А.Н. (соавт. Гончарский А.В., Степанов
В.В., Ягола А.Г.)
3. http://lib.mexmat.ru/books/2299
Методы решения некорректных задач -
М., Наука, 2004, 222 с. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.