2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Промежуток вида [a; b] называется отрезком. Точки а и b называются
концами этого отрезка.
Теорема. Непрерывная на отрезке функция достигает своего
наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке либо в критических
точках, либо на его концах.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке
[a; b] необходимо:
1. найти значения функции в тех точках интервала [a; b], в которых ее
производная обращается в нуль, т.е. решить уравнение f '(x)=0;
2. найти значения функции на концах отрезка, т.е. найти f(a) и f(b);
3. из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 4,5𝑥 2 − 9 на отрезке [ - 4; - 2].
Решение. Найдем производную функции 𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥 3 + 4,5𝑥 2 − 9)′ =
= 3𝑥 2 + 9𝑥 = 3x(x+3). 3x(x+3)=0, отсюда х1=0, х2= - 3. Точка х1=0 не
принадлежит отрезку [ - 4; - 2].
Найдем значения функции в точках – 4, - 3 и – 2. 𝑓(−4) = (−4)3 + 4,5 ∙
(−4)2 − 9 = - 1; 𝑓(−3) = (−3)3 + 4,5 ∙ (−3)2 − 9 = 4,5; 𝑓(−2) = (−2)3 + 4,5 ∙
(−2)2 − 9 = 1.
Наибольшее значение функция на отрезке [ - 4; - 2] принимает при х= - 3,
наименьшее – при х= - 4. Для функции f(х) это можно записать так:
𝑓наиб (𝑥) = 𝑓(−3) = 4,5; 𝑓наим (𝑥) = 𝑓(−4) = −1.
Ответ: 𝑓наиб (𝑥) = 𝑓(−3) = 4,5; 𝑓наим (𝑥) = 𝑓(−4) = −1
Пример 2. Среди всех прямоугольных треугольников с гипотенузой 8 и
катетом х найти треугольники с наибольшей и наименьшей площадями, если
х[2; 4].
Решение. По теореме Пифагора длина второго катета √64 − 𝑥 2 . Площадь
1
прямоугольного треугольника можно найти по формуле S= 𝑥√64 − 𝑥 2 .
2
1
1
S= √𝑥 2 (64 − 𝑥 2 ) = √64𝑥 2 − 𝑥 4 . Функция S принимает наибольшее и
2
2
наименьшее значения в тех же точках, что и функция f(x)= 64𝑥 2 − 𝑥 4 .
𝑓 ′ (𝑥) = (64𝑥 2 − 𝑥 4 )′ = 128𝑥 − 4𝑥 3 = 4𝑥(32 − 𝑥 2 ).
4𝑥(32 − 𝑥 2 )=0, отсюда х1=0, х2=−4√2, х3=4√2. Промежутку [2; 4] эти
числа не принадлежат, а значит, наименьшее и наибольшее значение функции S
может быть только на концах отрезка.
Очевидно, что S(4)>S(2). Поэтому треугольник с наименьшей площадью
получается при х=2 (Sнаим=2√15), с наибольшей – при х=4 (Sнаиб=8√3).
Ответ: Sнаим=2√15, Sнаиб=8√3
Пример 3. Первый член арифметической прогрессии равен 1. При каком
значении разности арифметической прогрессии величина а1а2+а2а3 принимает
наименьшее значение?
Решение. n-й член арифметической прогрессии вычисляется по формуле
an=a1+d(n – 1), где а1 – первый член, d – разность прогрессии. В таком случае
а2=а1+d; a3=a1+d и так как а1=1, то а2=1+d, a3=1+2d. Тогда
а1а2+а2а3=1+d+(1+d)(1+2d)=2d2+4d+2.
Найдем производную у '=4d+4 и приравняем ее к нулю: 4d+4=0, d= - 1.
Ответ: - 1
Упражнения
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
1) 𝑓(𝑥) = 18𝑥 2 + 8𝑥 3 − 3𝑥 4 , [1; 3]
3
1
1
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 −4 , [ ; 1]
2
𝑥3
− 𝑥 2 + 1, [−1; 1]
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 , [ ; 81]
4) 𝑓(𝑥) =
5) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 , [−2; 1]
6) 𝑓(𝑥) = + 𝑥 2 , [ ; 1]
7) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3, [−1; 1]
8) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 + 9𝑥, [0; 2]
9) 𝑓(𝑥) = 1 − 4𝑥, [−3; 2]
10) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 2 , [−1; 0]
16
3
2
1
𝑥
2
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
1) 𝑓(𝑥) =
3) 𝑓(𝑥) =
−4𝑥 2 +16𝑥−4
5𝑥 2
7𝑥
, [0,375; 0,75]
9) 𝑓(𝑥) =
3
3
𝑥
, [−2; 0,5]
4) 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥 2 +
1
1
𝑥
2
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +
𝑥 2 +1
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + , [−2; ]
7) 𝑓(𝑥) =
𝑥
2) 𝑓(𝑥) = + , [1; 4]
−2𝑥 2 +18𝑥−3
5𝑥 2
4𝑥
𝑥 2 +1
1
2
, [ ; ]
3
3
, [−5; 0,2]
8) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥2
1
𝑥2
81
𝑥
, [1; 4]
, [1; 2]
+ 𝑥 2 , [1; 2]
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
1
𝑥+2
, [−5; −2,5]
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
1) 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 + cos 2𝑥, [0; 2𝜋]
2) 𝑓(𝑥) =
3) 𝑓(𝑥) = − cos 2 𝑥 − 𝑥, [0; 𝜋]
4) 𝑓(𝑥) = 2 cos 𝑥 − cos 2𝑥, [0; 𝜋]
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 ln 5 , [1; 5]
7) 𝑓(𝑥) = 2 sin 𝑥 + sin 2𝑥, [0;
9) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 sin 𝑥 , [0;
5𝜋
6
6) 𝑓(𝑥) =
3𝜋
2
]
8) 𝑓(𝑥) =
10) 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 − 𝑥, [−𝜋; 𝜋]
]
4. Материальная точка движется прямолинейно. В какой момент времени
скорость движения точки будет наибольшей и каково значение скорости, если:
1) 𝑠(𝑡) = −0,2𝑡 4 + 2𝑡 3 + 1, 𝑡 ∈ [3; 5]
2
2) 𝑠(𝑡) = 2𝑡 4 − 20𝑡 3 − 10, 𝑡 ∈ [3; 5]
2
3) 𝑠(𝑡) = 12𝑡 2 − 𝑡 3 , 𝑡 ∈ [4; 10]
4) 𝑠(𝑡) = − 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 70𝑡, 𝑡 ∈ [8; 14]
3
3
5) 𝑠(𝑡) = − 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 70𝑡, 𝑡 ∈ [9; 13]
6) 𝑠(𝑡) = −0,2𝑡 4 + 2𝑡 3 + 1, 𝑡 ∈ [5; 7]
7) 𝑠(𝑡) = −0,2𝑡 4 + 2𝑡 3 + 1, 𝑡 ∈ [7; 9]
8) 𝑠(𝑡) = − 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 70𝑡, 𝑡 ∈ [5; 9]
2
3
2
9) 𝑠(𝑡) = − 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 70𝑡, 𝑡 ∈ [1; 5]
3
2
3
10) 𝑠(𝑡) = −0,2𝑡 4 + 2𝑡 3 + 1, 𝑡 ∈ [6; 10]
5. Среди всех прямоугольников с заданным периметром P и длиной стороны х,
найдите прямоугольники с наибольшей и наименьшей площадями, если:
1) Р=20 м, х[2; 8]
2)
3)
4)
5) Р=36 м, х[5; 12]
6)
7)
8)
9)
10)
6. Сравните наибольшее значение функции на промежутке Р1 и наименьшее ее
значение на промежутке Р2:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 9𝑥, 𝑃1 = [−4; 0], 𝑃2 = [3; 4]
1 1
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 4, 𝑃1 = [− ; ] , 𝑃2 = [2; 3]
2 2
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
7. Найдите:
1) Сумму наибольшего и наименьшего значений функции 𝑦 = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 +
5, которые она принимает на отрезке [ - 3; 0]
2) Произведение наибольшего и наименьшего значений функции 𝑦 = 𝑥 −
3
3 √𝑥, которые она принимает на отрезке [ - 8; 0]
5
3) Сумму наибольшего и наименьшего значений функции 𝑦 = √𝑥 − 0,2𝑥,
которые она принимает на отрезке [ - 32; 0]
4)
5)
6) Число целых точек, лежащих в области значений функции 𝑦 = 2𝑥 3 −
3𝑥 2 − 36𝑥 + 5, которые она принимает при х[ - 3; 0]
7) Середину отрезка, который является множеством значений функции 𝑦 =
−
𝑥3
3
+ 2,5𝑥 2 + 6𝑥, которые она принимает при х[ - 2; 1]
8) Число целых чисел из интервала убывания функции 𝑦 =
(𝑥+2)3
𝑥2
9)
10)
8. Найдите наибольшее значение функции…
1)
2) 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)|𝑥 + 2| − 2𝑥 2
3) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| + 2𝑥 − 3𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2|𝑥 − 2|
5)
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥|𝑥 + 1| + 3𝑥 2 + 2
7)
8)
9)
10)
9. Найдите наименьшее значение функции…
1) 𝑓(𝑥) = log 2 3 27𝑥 + log 2 3 3𝑥
2) 𝑓(𝑥) = −log 2 2 4𝑥 − log 2 2 8𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + log 3 ( 3𝑥+1 − 1 + 3−𝑥+1 )
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Наибольшее и наименьшее значение функции
1. Найдите производную
функции
2. Найдите наибольшее и
наименьшее
значение
функции на отрезке
3. Найдите наибольшее и
наименьшее
значение
функции на отрезке
Вариант 1
Вариант 2
𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 14
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥
𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 ,
[−2; 1]
𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 + 9𝑥,
[0; 2]
4. Найдите наибольшее и
наименьшее
значение
функции
на
отрезке
[- 1; 1]
𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 4𝑥
5. Найдите наибольшее и
наименьшее
значение
функции
f(x)=3x+𝑥
5
[−3; 2]
𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥 2 ,
[−1; 0]
𝑓(𝑥) = 4𝑥 2 − 3𝑥 + 14
f(x)=2x -
на отрезке [1; 5]
6. Материальная точка
движется прямолинейно.
В какой момент времени
скорость движения точки
будет
наибольшей
и
каково значение скорости,
если
2
𝑠(𝑡) = − 𝑡 3 + 2𝑡 2 + 70𝑡
3
𝑡 ∈ [9; 13]
7.
Среди
всех
прямоугольников
с
периметром P и cтороной
х, найдите прямоугольник
с наибольшей площадью,
если
Р=20 м, х[2; 8]
8. Сравните наибольшее
значение функции на
промежутке
Р1
и
наименьшее ее значение
на промежутке Р2
𝑓(𝑥) = 1 − 4𝑥,
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 − 9𝑥,
3
𝑥
на отрезке [0; 3]
𝑠(𝑡) = −0,2𝑡 4 + 2𝑡 3 + 1
𝑡 ∈ [5; 7]
Р=36 м, х[5; 12]
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 4,
𝑃1 = [−4; 0], 𝑃2 = [3; 4]
1 1
𝑃1 = [− ; ] , 𝑃2 = [2; 3]
2 2
9.
Найдите
сумму
наибольшего
и
наименьшего
значений
функции
𝑦 = 2𝑥 3 + 6𝑥 2 , которые она
принимает на отрезке [ - 3; 0]
𝑦 = 𝑥 − 3𝑥2 , которые она
принимает на отрезке [ - 8; 0]
10. Найдите число целых
чисел
из интервала убывания
функции 𝑦 = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 36𝑥 +
5, которые она принимает при
х[ - 3; 0]
функции 𝑦 =
(𝑥+2)3
𝑥2