Вступительная олимпиада ( сдавать задачи можно в любом

Вступительная олимпиада ( сдавать задачи можно в любом порядке).
1. Моторчик пропеллера Карлсона работает на смеси томатного, тыквенного и ананасового сока. Процедура "заправки" соком
следующая: Карлсон берет полный стакан томатного сока (200 мл) и делает из него четыре глотка, выливает в стакан полный
пакет (150 мл) ананасового сока и делает три глотка и, наконец, выливает в стакан пакет (55 мл) тыквенного сока и в два глотка
допивает смесь. Сколько сока Карлсон выпивал за один глоток, если все его глотки были одинаковы?
2. В первенстве по футболу участвует 8 команд. Каждая команда играет с каждой один матч. Команда Меркурий набрала 19
очков, а команда Уран 18. Каков результат матча Меркурий - Уран (ничья, победил Уран, победил Меркурий)? Известно, что за
победу присуждается 3 очка, за ничью 1 очко, а за поражение 0 очков?
3. На девяти карточках написаны числа 1, 2, 3, …, 8, 9. Миша раскладывает эти карточки на три стопки по три карточки. Саша
из карточек каждой стопки составляет трехзначное число. Он хочет, чтобы одно их них делилось на 3, другое на 4, а третье на 5.
Какое наибольшее число делимостей может “испортить” Миша?
4. На кольцевой трассе длиной 300 км находятся четыре автомобиля (движение по трассе возможно только в одном
направлении). В трех из них бензина хватит на 50 км пути, в четвертом на 150 км. Известно, что для любых трех автомобилей на
трассе есть точка, до которой все три могут доехать без дозаправок. Докажите, что есть на трассе точка, до которой без
дозаправок могут доехать все четыре автомобиля.
5. В ряд выписаны натуральные числа 1, 2, 3, …, 2013. За одну операцию можно поменять местами любые два соседних числа,
если их сумма меньше 1000. Укажите наибольшее число, которое в результате таких операций может оказаться на первом
месте. (Укажите, это число и покажите, как с помощью таких операций оно может попасть на первое место, а также объясните,
почему никакое большее число не может попасть на первое место.)
6. На рисунке справа помещены три фотографии одного и того же игрального кубика предназначенного для игры в “ОДТ”.
Сколько различных кубиков можно сделать по этим фотографиям?
7. Бочку можно наполнить, если в нее налить 6 маленьких, 3 средних и 1 большое ведро воды, или 2 маленьких,
1 среднее и 3 больших ведра воды. А сколько только больших ведер потребуется для наполнения бочки?
8. Кузнечик прыгает на плоскости, при этом каждый его новый прыжок по длине отличается от предыдущих
прыжков, и после каждого прыжка он обязательно поворачивается на 90 градусов в любую из сторон. Может ли он
вернуться в начальную точку своего расположения на плоскости: а) за шесть прыжков? б) за семь прыжков? (
сдаются только оба пункта сразу)
9. На празднике конфет можно было обменять любые три фантика на карамельку в фантике, и любые пять
фантиков на шоколадную конфету в фантике. Миша принес на этот праздник 50 фантиков. Сможет ли он съесть 5
шоколадных конфет и 15 карамелек?
10. Из пункта А в пункт Б выехал велосипедист. Одновременно из пункта Б в пункт А на встречу велосипедисту
вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что
велосипедист вернулся в пункт А на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше
скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из А в Б?
11. Вася утверждает, что может выписать 4 простых чисел таких, что разность любых двух из них (из
большего вычитают меньшее) тоже простое число. Прав ли Вася?
Натуральное число, большее единицы, называется простым, если среди его натуральных делителей нет чисел,
отличных от него самого или единицы.
12. В клетчатом квадрате 55 в клетках одной из главных диагоналей стоят единички, а в остальных клетках –
нули. В любой из строк или столбцов этого квадрата можно поменять все единички на нули и наоборот. Можно ли
за несколько таких операций получить квадрат, во всех клетках которого стоят одни нули?