ЗАДАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ КРУГЛОГОДИЧНОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ Декабрь 5 класс 1. 2. Четно или нечетно число 1 +2 + 3 + …+ 2003 ? Летели галки, сели на палки. Сядут по одной – галка лишняя, сядут по две – палка лишняя. Сколько было галок? Сколько было палок? 3. 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней, если они будут нести такое же и одинаковое количество яиц за один и тот же промежуток времени? 4. В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы? 5. Капитан Врунгель погнался за кенгуру, в сумку которого попал мячик для гольфа. Кенгуру в минуту делает 70 прыжков, каждый прыжок – 10 м. Капитан Врунгель бежит со скоростью 10 м/с. Догонит ли он кенгуру? 6. Илья Муромец, Добрыня Никитич, Алеша Попович вступили в бой с несколькими великанами. Каждый великан получил по 3 удара богатырскими палицами, в результате чего все великаны обратились в бегство. Больше всего ударов нанес Илья Муромец – 7, меньше всего Алеша Попович – 3. Сколько всего было великанов? 7. На какое число надо разделить 87912, чтобы получилось тоже пятизначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке? 8. Моторчик пропеллера Карлсона работает на смеси томатного, тыквенного и ананасового сока. Процедура «заправки» следующая: Карлсон берет полный стакан томатного сока (200 мл) и делает из него четыре глотка, выливает в стакан полный пакет (150 мл) ананасового сока и делает три глотка, и наконец, выливает в стакан пакет (50 мл) тыквенного сока и в два глотка допивает смесь. Сколько сока Карлсон выпивал за один глоток, если все его глотки были одинаковы? 9. К данному трехзначному числу дважды приписывают точно такое же число и полученное число делят на данное. Каким будет частное? 10. Восстановите числа: 14∗∗ ∗7 ∗∗5 ∗∗ ∗∗ ∗1 0 6 класс 1. Пятеро ребят собирали ягоды, причем трое из них собирали клюкву, а двое чернику. Гриша и Даша собирали одинаковые ягоды, Гриша и Боря – разные, Аня и Боря – разные. Какие ягоды собирал Ваня? Ответ объясните. 2. На окраску куба с ребром 2 сантиметра требуется 2 грамма краски. Сколько краски потребуется для окраски куба с ребром 6 сантиметров? 3. Сумма двух двузначных чисел равна 137. Цифры обоих чисел переставили и полученные числа сложили. Какая сумма могла получиться? Приведите все возможные ответы. 4.В урне лежат 5 белых, 6 черных и 7 красных шаров. Из урны, не глядя, вынимают один шар за другим. Сколько шаров достаточно вынуть, чтобы среди них оказались шары всех цветов? Ответ обоснуйте. 5. На математической олимпиаде 7 участников получили в сумме 20 баллов. Докажите, что не менее двух участников получили одинаковое количество баллов. 7 класс 1. (2 балла) Расставьте знаки арифметических действий и скобки там, где считаете нужным, чтобы получилось верное равенство: 2 4 6= 3 3 3 2. (2 балла) Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 3. 3. (2 балла) На клетчатой бумаге изображена чашка с крышкой (см. рис. 1). На покраску крышки израсходовали 30 г краски. Сколько нужно грамм краски для покраски чашки? Не забудьте обосновать ответ. ещё Рис. 1 4. (3 балла) На почтовом ящике написано: «Выемка писем производится пять раз в день с 7 до 19 часов». И, действительно, первый раз почтальон забирает почту в 7 утра, а последний – в 7 вечера. Через какие равные интервалы времени вынимаются письма из ящика? 5. (3 балла) В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал позже него. Какое место занял Вася? 8 класс 1. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1-2-4-8-16 = 19 стало верным. 2. На свои деньги Петя мог бы купить 8 бубликов и 7 пирожков, либо 5 бубликов и 8 пирожков. Сколько он мог бы купить одних бубликов? 3. 4. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АК и ВМ. Найдите углы этого треугольника, если известно, что АК =ВМ = АВ. 5. Разложите на три множителя: х 8 +х 4+1 9 класс 1. Расставьте скобки в выражении 2:2- 3:3- 4:4-5:5 так, чтобы получилоcь число, большее 39. 2. Существуют ли такие натуральные а, в и с, что (а + в)(в + с)( с + а) =340? 3. В олимпиаде по математике принимали участие 40 учащихся. Им было предложено решить по одной задаче по алгебре, геометрии и тригонометрии. По алгебре решили задачу 20 человек, по геометрии 18, по тригонометрии - 18, по алгебре и геометрии - 7, по алгебре и тригонометрии - 8, по геометрии и тригонометрии - 9. Не решили ни одной задачи трое. Сколько учащихся решили все три задачи? Сколько учащихся решили только две задачи? 4. В вершинах куба расставили числа 1,2,3,4,5,6,7,8. На каждой грани записали сумму чисел в ее вершинах. Могут ли на гранях получиться шесть последовательных натуральных чисел? 5 . Решите уравнение : х 4 +4х3- 8х+4= 0 10 и 11 класс 1.Найдите значение выражения 2.Стороны прямоугольника АВСД равны 2 и 2 3. На меньшей стороне как на диаметре построена окружность, которая пересекает диагональ ВД в точке О. Найдите отношение отрезков ДО и ДВ. 3.Найдите сумму целых решений неравенства 1. Двое рабочих, работая одновременно, за 8 дней выполнили 60% всей работы. Если бы первый рабочи работал в два раза медленнее, а второй- в два раза быстрее, то за 12 дней было бы сделано 90% всей работы. За сколько дней выполнил бы всю работу первый рабочий? 2. В трамвае ехало 60 человек, среди которых были контролеры, кондукторы, граждане, выдававшие себя за контролеров и кондукторов, и, возможно обычные пассажиры. Общее количество лжеконтролеров и лжекондукторов в 4 раза меньще числа настоящих контролеров и кондукторов. Общее число контролеров (вместе с лжеконтролерами) в 7 раз больше числа кондукторов (в том числе лжекондукторов) Сколько в трамвае простых пассажиров?