3 Движение заряженной частицы в поле неплоской

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ»
Московский институт электроники и математики
Департамент прикладной математики
Габышев Дмитрий Николаевич
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
В ПОЛЕ КВАЗИМОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ И КВАЗИПЛОСКОЙ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
Выпускная квалификационная работа – МАГИСТЕРСКАЯ ДИССЕРТАЦИЯ
по направлению 01.04.02 Прикладная математика и информатика
студента группы МА-22 (образовательная программа «Математические методы
естествознания и компьютерные технологии»)
Рецензент
д.ф.-м.н., проф.
___________________
Н.Г. Гусейн-заде
Научный руководитель
к.ф.-м.н., проф.
____________________
Ю.Е. Лозовик
Москва 2015
Содержание
Введение .............................................................................................................................. 3
1 Краткий обзор литературных источников ............................................................... 7
2 Движение заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны .... 12
2.1 Релятивистское движение частицы в плоской электромагнитной волне ........... 12
2.1.1 Решение уравнения движения с использованием векторного потенциала .. 12
2.1.2 Решение уравнения движения без использования векторного потенциала . 16
2.1.3 Решение через канонические уравнения .......................................................... 17
2.2 Движение заряженной частицы в плоской немонохроматической
электромагнитной волне ................................................................................................ 19
2.2.1 Ряды...................................................................................................................... 21
2.2.2 Спадающие функции .......................................................................................... 23
2.3 Движение заряженной частицы в плоской квазимонохроматической
электромагнитной волне ................................................................................................ 25
2.3.1 Адиабатическое приближение .......................................................................... 25
2.3.2 Продольный сдвиг заряженной частицы в поле плоского электромагнитного
импульса ....................................................................................................................... 28
2.3.3 Лазерные импульсы с огибающей, имеющей компактный носитель ........... 35
2.3.4 Поперечный сдвиг частицы в поле плоского электромагнитного импульса 49
3 Движение заряженной частицы в поле неплоской электромагнитной волны 58
3.1 Движение частицы в неплоской волне ................................................................... 58
3.1.1 О неплоских электромагнитных волнах .......................................................... 58
3.1.2 Движение заряженной частицы в сферической волне ................................... 63
3.2 Движение заряженной частицы в квазиплоской электромагнитной волне ....... 68
3.2.1 О различных способах представления неплоской волны............................... 68
3.2.2 Движение частицы в квазиплоской электромагнитной волне ....................... 73
4 Анализ результатов...................................................................................................... 77
Заключение ....................................................................................................................... 82
Список литературы......................................................................................................... 83
2
Введение
Актуальность темы
Задача о движении заряженной частицы в поле монохроматической плоской
электромагнитной волны была поставлена и решена сравнительно давно. Так в
квантовой формулировке она была решена Волковым [1–2] в сер. 1930-х гг., а затем
немного позднее в классической формулировке — Френкелем [3] и Ландау и
Лифшицем [4] (к концу 1940-х). Уже в наше время к различным аспектам и
модификациям этой задачи обращались В.А. Буц и А.В. Буц, Б.М. Болотовский,
А.В. Серов,
М.В. Федоров,
В.С. Летохов,
С.П. Гореславский,
В.П. Макаров,
А.А. Рухадзе, В.П. Тараканов, С.Н. Андреев, Ю.И. Еремеичева и др. [5–10]. Кроме
как в строго монохроматической электромагнитной волне [9–13] движение
заряженной частицы аналитически точно вычисляется в поле волнового пакета с
резкими передней и задней границами [14–15]. Следовательно, некоторый интерес
представляет и поиск иных, ранее не изученных, аналитически вычислимых случаев
импульсов с плоским волновым фронтом.
Задача о движении заряженных частиц во внешних полях может быть поразному
обобщена,
конкретизирована
или
модифицирована.
О
движении
заряженных частиц в стационарных электрическом и магнитном полях см.,
например, [16, с. 179–183]–[17]. О движении заряженных частиц в плазме
применительно к электронным и ионным пучкам в дрейфовом пространстве с
ионизированным газом см., например, [18]. Однако для изучения движения
заряженных частиц в поле лазерного импульса большой практический интерес
представляет обобщение классической задачи на тот случай, когда амплитуда
электромагнитной волны меняется во времени [5–7] и пространстве [19–22].
Цель выпускной квалификационной работы: расчёт движения заряженной
частицы в поле электромагнитной волны, в том числе с использованием
адиабатического приближения.
3
Задачи:
1. Формулировка физико-математической модели движения заряженной
частицы в поле электромагнитной волны.
2. Применение адиабатического приближения для описания движения
заряженной частицы в поле квазимонохроматической и квазиплоской
электромагнитной волны.
3. Вычисление и оценка некоторых величин, характеризующих движение
заряженной частицы в поле электромагнитного импульса.
Научная новизна
Среди результатов, претендующих на научную новизну, можно перечислить
следующие: рассчитано движение релятивистской заряженной частицы в поле
плоского электромагнитного импульса без использования векторного потенциала;
найден ряд новых интегрируемых форм импульсов для уравнения движения
заряженной частицы в плоской немонохроматической электромагнитной волне;
найдено дифференциальное уравнение, описывающее функциональную часть
осцилляторных интегралов, возникающих в выражениях для координат частицы в
плоской волне; получено выражение для величины сдвига первоначально
покоившейся
заряженной
частицы
в
направлении
распространения
воздействующего на неё плоского электромагнитного импульса с гауссовым
профилем; это выражение верифицировано с помощью компьютерного PICмоделирования; составлена обобщенная схема расчета движения первоначально
покоившейся заряженной частицы в поле плоского электромагнитного импульса,
математически заданного функцией с компактным носителем; обнаружена
возможность невозвращения первоначально покоившейся частицы на начальную
позицию
в
поперечном
направлении
после
прохождения
импульсов
с
симметричными и несимметричными фронтами; предложены экспериментальные
схемы для демонстрации продольного и поперечного смещения заряженных частиц
в поле лазерного импульса; получены выражения, приближенно описывающие
движение
заряженной
частицы
в
ближней
4
и
дальней
зоне
сферической
электромагнитной волны. Научная новизна результатов данной работы тесно
связана с личным вкладом автора.
Личный вклад автора
Автором осуществлялось самостоятельное планирование работы, разделение
задач на подзадачи, в большинстве случаев — выбор средств решения, выполнение
необходимых аналитических расчетов, анализ и интерпретация результатов,
частичный поиск литературных источников, определение структуры диссертации.
При непосредственном участии автора стала возможна публикация [23] в
международном журнале «Laser Physics».
Практическая значимость результатов
Результаты работы лежат в области взаимодействия электромагнитного
излучения с веществом, поэтому представляют интерес для лазерной физики и
физики плазмы, а также могут иметь практический выход на расчёт, разработку и
конструирование электронно- и ионно-оптических приборов, основанных на
взаимодействии заряженных частиц с электромагнитными волнами.
Апробация работы.
Различные
элементы
и
результаты
магистерской
диссертации
были
представлены на конференциях:
1. 57-ая научная конференция МФТИ: Всероссийская научная конференция с
международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и
прикладных наук в области физики» и Всероссийская молодежная научная
конференция
с
международным
участием
«Актуальные
проблемы
фундаментальных и прикладных наук в современном информационном
обществе», МФТИ, г. Долгопрудный, 24–29 ноября 2014.
2. XLII Международная (Звенигородская) конференция по физике плазмы и
управляемому
термоядерному
синтезу,
Российская
академия
наук,
г. Звенигород, 9–13 февраля 2015 г.
3. Научно-техническая
конференция
студентов,
аспирантов
и
молодых
специалистов НИУ ВШЭ им. Е.В. Арменского, МИЭМ НИУ ВШЭ, г. Москва,
3–13 февраля 2015 г.
5
4. IV Международная молодежная научная школа-конференция «Современные
проблемы физики и технологий», НИЯУ МИФИ, г. Москва, 17-22 марта 2015.
5. 13-е международное совещание по физике сложных систем заряженных
частиц и их взаимодействию с электромагнитным излучением, Российская
академия наук, Федеральное агентство научных организаций, г. Москва, 8-10
апреля 2015.
6. 3-я конференция молодых ученых ИОФ РАН, ИОФ РАН, г. Москва, 28 апреля
2015.
Публикации
Помимо тезисов конференций, результаты работы опубликованы в статье [24]
сборника трудов конференции МФТИ и в уже упомянутой статье [23] в
международном журнале «Laser Physics», входящем в реферативную базу «Web of
Science».
Структура магистерской диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы
представлен на 87 страницах с 11 рисунками, 4 таблицами и более чем 150
нумерованными формулами. В списке литературы содержится 63 наименования.
Благодарности
Д.ф.-м.н. Андрееву С.Н. за предложение темы исследования и руководство
практикой от Института общей физики им. А.М. Прохорова РАН.
6
1 Краткий обзор литературных источников
Всего в списке литературы настоящей магистерской диссертации указаны 63
источника, среди которых научные статьи, учебные пособия, справочники и т.п..
Наиболее важными источниками для написания текста диссертации были
труды научного коллектива теоретического отдела ИОФ РАН, в первую очередь,
[5–7, 13, 19–22, 52].
Из
них
источники
[6–7]
являются
диссертациями,
соответственно, на соискание доктора и кандидата физико-математических наук.
Работа [6] посвящена, в основном, моделированию неупругих процессов при
взаимодействии интенсивного лазерного излучения с веществом. При построении
моделей в [6] учитываются такие особенности, как генерация тормозного излучения
ускоренными электронами и многократная ионизация атомов вещества. Работа же
[7] в целом сосредоточена на компьютерном моделировании коллективного
движения заряженных частиц в релятивистской лазерной плазме и исследовании
нелинейных
процессов,
проходящих
при
воздействии
на
вещество
сверхинтенсивных фемтосекундных лазерных импульсов.
В препринте [5] был собран ряд новых результатов, которые послужили
основой для написания статьи [23]. В этих работах рассматривается движение
заряженной частицы в плоской электромагнитной волне в релятивистском случае:
было получено приближенное решение уравнений движения заряженной частицы в
плоском электромагнитном импульсе, содержащем много периодов волны несущей
частоты; выведены выражения для координат, скорости, импульса и энергии
частицы и средней действующей на неё силы; было проведено тщательное
сравнение аналитического решения с результатами PIC-моделирования.
Вообще PIC-моделирование, выполненное работах [5–7, 23, 24] было бы
невозможно без использования программного пакета «КАРАТ», основанного на
методе PiC (Particle-in-Cell) и предназначенного для численного моделирования
нестационарных электродинамических задач, имеющих сложную геометрию и
включающих динамику, в общем случае, релятивистских частиц. Источник [37]
представляет собой одно из первых руководств для пользователя программой
7
«КАРАТ», а [38] — это докторская диссертация, выполненная по результатам
многочисленных испытаний и 20-летнего опыта развития программы.
В статье [13] проведён подробный анализ задачи о движении заряженной
частицы в поле плоской монохроматической электромагнитной волны большой
интенсивности и было показано, что движение заряженной частицы представляет
собой наложение дрейфа с постоянной скоростью и осцилляционного движения с
частотой, отличающейся от частоты волны. Кроме [13], движение заряженной
частицы в поле плоской монохроматической волны рассматривается в целой группе
работ [9–12]. В [9–10] решается уравнение движения частицы. Особенность работы
[10] состоит в том, что в качестве метода решения в ней предлагается разложение по
малому параметру. Кроме того, в этой работе рассматриваются пространственно
неоднородные волны. В [11] из уравнения движения с помощью красивых
математических приемов выводятся скорость и ускорение частицы, показано, что
они являются периодическими функциями от текущей фазы волны. Зависимость
кинетической энергии частицы от интенсивности волны изучается в [12–13].
В серии работ [19–22] рассматривается движение заряженной частицы в поле
(квазиплоской) волны, амплитуда которой считается медленно меняющейся
функцией от времени (по сравнению с периодом волны несущей частоты) и
координат (по сравнению с длиной волны), находятся усреднённые характеристики
движения частицы — её импульс и действующая на неё сила. Собственно
квазиплоские волны как объект исследования рассматриваются в статье [52]. Работа
[24] явилась первой работой автора диссертации в соавторстве с упомянутым
коллективом, её результаты подробно излагаются в п.2.3.2.1.
При решении задач магистерской диссертации незаменимыми были широко
известные фундаментальные учебные пособия и сборники по физике [3–4, 16, 25].
При возникновении вопросов математического характера приходилось обращаться к
специализированным учебным пособиям [31, 35–36], а для поиска аналитически
берущихся интегралов — к справочникам [32–33].
Нередко при написании диссертации по некоторым вопросам возникала
потребность обращения к специализированным монографиям. Так оператор Лапласа
8
в наиболее общем виде в не ортогональной системе координат упоминается в [53],
уравнение Гельмгольца в достаточно экзотических сфероидальных координатах
приводится в [54]. В учебном курсе [55] показана удобная форма преобразования
уравнений Максвелла в компактную форму с помощью векторов РиманаЗильберштейна. На работу [56] было удобно сослаться при записи уравнения
Гельмгольца в цилиндрической системе координат. В монографии [58] удалось
найти развернутую запись системы уравнений Максвелла в ортогональных
координатах для монохроматических полей в отсутствие источников, которая в
более общем и комплексном виде (в то же время более компактном) приведена в
учебном пособии [57]. На все эти работы [53–58] приходится ссылаться в обзорном
параграфе 3.1.1 настоящей диссертации. В настоящей работе также упоминаются
два авторских математических приёма, описанных в [34, 47].
В работах [1–2, 8] используется квантовый подход к описанию заряженных
частиц. Первые две работы повествуют о движении заряженной частицы в поле
монохроматической
электромагнитной
волны,
однако
эти
работы
были
опубликованы уже 80 лет назад, постепенно став библиографической редкостью.
Основной же целью гораздо более современной работы [8] было исследование
соотношения между пондермоторными силами и вынужденным комптоновским
рассеянием. В ней было показано, что электрон, взаимодействующий с когерентным
излучением, испытывает воздействие как пондермоторных сил, так и сил,
возникающих от вынужденного комптоновского рассеяния.
Публикации [26–27] также вышли достаточно давно, поэтому их трудно найти
в оригинале. В них говорится о том, что свободный электрон в неограниченном
вакуумном пространстве без наличия статической компоненты электрического или
магнитного поля не может забрать энергию у лазерного импульса — этот факт
составляет суть теоремы Лоусона–Вудварда. О невозможности поглощения фотона
света свободным электроном говорится и в энциклопедической статье [44]. В то же
время есть работы, например, [39–40], согласно которым при некоторых условиях
частица после импульса меняет свою скорость.
9
Работы [14–15] упоминаются в диссертации в связи с рассмотрением
лазерного импульса с резкими передним и задним фронтами. В [14] обсуждаются
различные аспекты ускорения электронов лазерными импульсами различной
формы, а помимо прочих и импульсом с резкими фронтами. В [15] рассказывается
об ускорении электронов посредством нелинейной природы пондермоторных сил.
Статьи [17–18] упоминаются для иллюстрации той мысли, что задача о
движении заряженной частицы во внешних полях может быть по-разному обобщена
или модифицирована. Так в [17] при рассмотрении движения частицы в
стационарных электрическом и магнитном полях было получено аналитическое
решение параксиального уравнения для криволинейных пучков заряженных частиц,
а в статье [18] рассматривается динамика заряженных частиц в плазме на примере
электронных
и
ионных
пучков
в
дрейфовом
пространстве,
наполненном
ионизированным газом, который образует плазменную среду.
Работы [28–30] посвящены особому виду циклотронного резонанса —
авторезонансу, при котором эффективность взаимодействия заряженных частиц с
электромагнитным полем не меняется при изменении энергии частиц. В [28–29] это
движение частиц предсказано, а в [30] изучено для поля большой интенсивности.
Подход, развитый в настоящей работе, относится к отдельным заряженным
частицам без учёта их взаимодействия между собой. Разреженные пучки, для
которых такое приближение приближённо выполняется, в западной литературе
получили наименование single-electron pulses и описываются, например, в [41]. С
повышением плотности пучков надо постепенно учитывать электродинамическое
взаимодействие между частицами в них, и приходится применять тонкие
вычислительные методы, такие как описанные в [42–43].
Вопрос о крутизне фронтов электромагнитной волны, затронутый в п.2.3.3.4
имеет в некотором смысле электротехнический характер, поэтому логичным было
обращение
к
[45–46].
Учебное
пособие
[45]
даёт
представление
о
преобразовательной технике и в связи с этим говорит о о переходных процессах,
характеризующихся крутизной фронта. В статье [46] описан классический
электротехнический способ определения крутизны фронта импульса. В этом же
10
п.2.3.3.4 при разговоре о возможных формах импульса упоминается импульс в
форме супергауссиана. Что такое супергауссиан и субгауссиан, написано в [48–49].
Упоминание сверхкоротких лазерных импульсов в п.2.3.4.1.1 требует
дополнительных разъяснений, что это такое, поэтому читатель отсылается к статьям
[50–51], в которых чуть более подробно говорится о том, чем характеризуются
электромагнитные импульсы, получившие в англоязычной литературе эпитеты,
соответственно, half-cycle и few-cycle.
Разговор о движении заряженных частиц в неплоских электромагнитных
волнах в п.3.1.2 обращён к одному из простейших возможных случаев — движению
в сферической волне. Оказывается, свойства этой волны существенно разнятся в
зависимости от расстояния от её центра, и поэтому в ней выделяют ближнюю,
промежуточную и дальнюю зону, определению которых посвящена работа [59].
В [60–61] продвигается эффективная идея использования безразмерных
координат при описании неоднородной электромагнитной волны. В [60] лазерное
излучение описывается в параксиальном приближении. Как в [60], так и в [61]
рассматриваются гауссовы пучки. Численное моделирование движения заряженных
частиц в поле гауссовых пучков проводилось в диссертации [63].
Краткая публикация [62] стала уже классической работой, имеющей
множество цитирований. В ней выводится выражение для силы, получившей
название Гапонова–Миллера в честь авторов.
Таким образом, в 63 использованных источниках литературы охвачен
обширный материал из областей фундаментальной теоретической физики, лазерной
физики,
электротехники
и
математического
анализа.
Все
эти
источники
характеризуются более чем 80-летним разбросом по времени публикации.
Поскольку 63% этих источников было опубликовано за последние 20 лет, а 48% —
за последние 10 лет (три четверти от тех, что изданы за 20 последних лет), то
представляется верным вывод, что диссертация, с одной стороны, оперирует
адекватным объемом нового материала и соответствует уровню, предъявляемому
современной наукой, а с другой стороны, опирается на достаточный объем
проверенных временем работ и базируется на надёжных первоисточниках.
11
2 Движение заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны
2.1 Релятивистское движение частицы в плоской электромагнитной волне
2.1.1 Решение уравнения движения с использованием векторного потенциала
В отсутствие свободных зарядов скалярный потенциал электромагнитного
поля равен нулю [25, с. 445], поэтому векторный потенциал
 
Ar , t 
поля
удовлетворяет так называемой кулоновской калибровке:
 
div A(r , t )  0 ,
(2.1)
Через векторный потенциал выражается напряженность электрического и
магнитного полей:
 
 

1 Ar , t   
E r , t   
, H r , t   rot Ar, t  .
(2.2)
c t



Напряженности электрического E и магнитного H поля и векторный потенциал A
все вместе удовлетворяют волновому уравнению вида [25, с. 447]

 1  2u
 u  2 2  0,
c t

 

где на месте u могут стоять компоненты E , H и A .
2
(2.3)
Амплитуда плоской волны зависит только от одной пространственной
координаты и времени. В качестве такой координаты выберем z и введем для
удобства переменную:
def
 t

z  
, Ar , t   A  .
c
(2.4)
Из (2.1) получаем
Az
 0,
z
т.е. продольная компонента не меняется вдоль направления распространения волны.
Кроме того, из (2.4) следует соотношение
Az
1 dAz
,

z
с d
поэтому Az  const . Мы вправе выбирать любой постоянный уровень Az , при этом
поля (2.2) не изменяются. Выберем

Az r , t   0 .
12
(2.5)
Далее, учитывая (2.5), по (2.2) находим (см. [4, §47]):
1
1
E x  H y   A x , E y   H x   A y , Ez  H z  0 ,
c
c
(2.6)
где, в согласии с (2.4),


 A dA
.
A

t d
(2.7)
Релятивистское уравнение движения частицы с массой m и электрическим
зарядом q выражается из второго закона Ньютона [4, §17]

dp
  1  
 q E  V  H  ,
dt
c


(2.8)
где импульс частицы равен [4, §9]

mV

p
.
(2.9)
 m2c 4  c 2 p 2
(2.10)
1V 2 c2
Полная энергия частицы

mc 2
1V
2
c
2
меняется со временем по формуле [4, §17]
 
d
 q E V
dt
(2.11)
Из (2.9)–(2.10) получаем соотношение [4, §9]:

 V
p 2 .
c
(2.12)
С учетом (2.6) и (2.7) из (2.8) и (2.11) получаем
q V
  1  z
dt
c
c
dp j
 dA j  

 d
 j  x, y  ,

dp z 1 d
q  dA

 2V
.
dt
c dt
d
c
(2.13)
(2.14)
Интегрируя (2.14), получаем:
  c  p z  ,
(2.15)
где  — положительная константа.
Если подразумевать координату z как взятую в момент времени t для
переменной τ (2.4), то после дифференцирования (2.4) имеем:
13
V t 
d
 1 z .
dt
c
(2.16)
Поэтому, воспользовавшись (2.16), из (2.13) легко получаем (см. [4, §47]):
pj   j 
q
Aj
c
 j  x, y  ,
(2.17)
где  x и  у — константы интегрирования (компоненты обобщенного импульса в
формализме гамильтоновых уравнений). Компоненту импульса p z   отыскиваем из
(2.10) с использованием равенств (2.15) и (2.17):
2
1 
q    q   2 
2
2
2
mc      2   A    A  ,
pz 
2 
c
c

(2.18)
def
где  2   x2   y2 . Из (2.12) и (2.15) выражаем скорость частицы:

 dr
cp
V 

dt   p z
.
(2.19)
Из (2.19) компоненту скорости V z можно выразить через компоненту
импульса p z , поэтому (2.16) представимо в форме
d


,
dt   p z
(2.20)
учтя которую вместе с выражением (2.19), получаем


dr cp

.
d 
(2.21)
Интегрируя последнее выражение с учетом (2.17) и (2.18), получаем
выражения для координат заряженной частицы [4, §47]:
x   x0 
y    y 0 
c

c


Ax  d  ,

Ay  d  ,
 x    0  
 0
 y    0  
q
q
 0
(2.22)
c  m2c 2   2 
q   
q2   2
z    z 0  
 1   0   2    A d  
 A  d  ,
2
2
 0
2c 2  0

где x 0 , y 0 , z 0 задают положение частицы в начальный момент t  0 , т.е.  0   z 0 c .
Далее из (2.17), (2.12) и (2.10) получаем
14
j 
mVi 0
q
Ai  0  
c
1  V02 c 2
 j  x, y  .
(2.23)

Формально константа  z не определена, однако писать скалярное произведение   A
в (2.22) является допустимым, т.к. при этом  z умножается на равную нулю
компоненту Az . Из (2.15), (2.12) и (2.10) выражаем:
  mc
1  Vz 0 c
1  V02 c 2
.
(2.24)
Таким образом, константы  x ,  y и  учитывают начальные условия — скорость
частицы и величину векторного потенциала в точке, где пребывала частица.
Постоянная  является интегралом движения, согласно теореме Лоусона–Вудварда
[26–27]. Она сохраняет величину и в присутствии магнитного поля в направлении
распространения электромагнитной волны, поскольку при такой конфигурации
магнитного поля энергия и компонента импульса p z не изменяются — это играет
главную роль в проявлении эффекта авторезонансного движения заряженной
частицы в поле плоской монохроматической волны, что было теоретически
предсказано в [28–29] и изучено численно, например, в [30].
В силу своей общности формулы (2.22) можно попробовать осторожно
применить не только для переменного электромагнитного поля, но и для
постоянного электрического поля. Пусть оно направлено вдоль оси x и равно E x ,0,0
. Из (2.2) его векторный потенциал можно восстановить в виде:
Ax  cE x t , Ay  0 , Az  0 .
Тогда для изначально покоящейся частицы, возникшей в таком поле, из (2.23)
 x   y  0 . С учетом связи (2.4), т.к. координата z не меняется в процессе движения,
вдоль x получаем обыкновенное равноускоренное движение:
x
qE x t 2
, y  0 , z  0.
m 2
Подробнее о движении частицы в постоянном электрическом поле см. [4, §20].
15
2.1.2 Решение уравнения движения без использования векторного потенциала
В тех задачах, где задана форма электрического поля
электромагнитной
волны,
чтобы
восстанавливать векторный
описать
потенциал

A,
движение
а это
частицы
создает

E
плоской
приходится
дополнительную
вычислительную трудность. Однако, как будет далее видно, мы располагаем
достаточными средствами, чтобы описать поведение частицы, не задействовав
векторный потенциал.
Уравнение движения (2.8) с учетом
Ez  H z  0
в покомпонентном
представлении:
dp x
1


 q E x  V z H y  ,
dt
c


1


 q E y  V z H x  ,
dt
c


dp y
dp z q
 Vx H y  V y H x  .
dt
c
(2.13*)
(2.14*)
С учетом равенства по модулю сопряженных компонент электрического и
магнитного полей в соответствии с (2.6) E x  H y , E y   H x , выражения (2.13*)
упрощается:
 V 
 qE j 1  z 
dt
c 

dp j
 j  x, y  .
(2.13**)
Из (2.14*) посредством (2.11) можно получить (2.15). Далее из (2.13**) с
учетом (2.16) находим:

p j  q  E j  d 
 j  x, y  .
0
Третью компоненту импульса отыщем аналогично (2.18)
(2.17*)
из (2.10),
воспользовавшись (2.15) и (2.17*):
1
pz 
2
2
2

 
 
  
 2 2
2
2
m c    q   E x  d      E y  d     .
  0
 0
  


Выражение (2.15) с учетом (2.18*) имеет вид:
16
(2.18*)
2
2

 
 
  
с  2 2
2
2

m c    q   E x  d      E y  d     .
2 
  0
 0
  


(2.15*)
Из (2.12) и (2.15) получаем (2.19). Из (2.19) и (2.16) получаем (2.20). С учетом
(2.20) запишем (2.19) в виде (2.21). Из (2.21) ищем координаты частицы:
x  x0 

cq    
E x  d  d  ,



 0 0

y  y0 

cq    
d  d  ,

E

y



  0   0

(2.22*)
2
2
   
 

c  m2c 2
cq 2    
z  z 0   2  1   0   2    E x  d      E y  d    d  .
2 
2  0   0

 0
 

Решение (2.22*) выгодно отличается от (2.22) тем, что теперь не нужно знать

ни векторный потенциал A (и заботиться о его свойствах — непрерывности и
равенству значений на концах в случае локализованного по времени импульса), ни
константы интегрирования (2.23). Собственное изящное решение уравнения
движения частицы (однако лишь в монохроматической плоской волне) предложено
в [11]: найдены выражения для компонент скорости и ускорения заряженной
частицы, но особый интерес автор проявляет к вычислению томсоновского
рассеяния, угловым и спектральным распределениям рассеянного излучения,
интенсивность которого в нашем расчете мы предполагаем малой.
2.1.3 Решение через канонические уравнения
Задачу о движении заряженной частицы в поле плоского электромагнитного
импульса можно решить третьим способом — с помощью уравнений Гамильтона.
Для этого запишем гамильтониан частицы в поле векторного потенциала

A  Ax , Ay ,0 :
  
cPx  qAx  2  cPy  qAy  2  c 2 Pz2  m 2 c 4 ,
(2.25)
где Px , Py , Pz — компоненты обобщенного импульса. Канонические уравнения:
cPx  qAx  qAx    cPy  qAy  qAy  



Px  
 0 , Py  

,
 0 , Pz  
x
z
c
y
17
(2.26)
x 
 c 2 Pz
 c cPy  qAy 
 ccPx  qAx 


, y 
, z 
,

Py

Pz

Px

где точкой обозначена производная по времени t , а штрихом — производная по
соответствующей переменной в скобках. Уравнение для изменения энергии
частицы:
 1 Ax   1 Ay
  y  
 с t   c t
  x 
cP  qAx  qAx    cPy  qAy  qAy  

   x
.


(2.27)
Из (2.26) и (2.27) получаем три интеграла движения:
Px  const , Py  const ,   cPz  const .
(2.28)
С учетом (2.4), (2.16) и (2.26), скорость изменения фазы  :
 
d
z   cPz
 1 
, dt   d .
  cPz
dt
c

(2.29)
Уравнение (2.27) легко преобразуется к виду:
d
1

d
  cPz

dAy   q 2 dAy2  
dAx   q 2 dAx2  

 cPy q

cPx q
.
d
2 d
d
2 d 

(2.30)
В силу наличия интегралов (2.28), решение уравнения (2.30):
     0 
1
 0  cPz 0

q2 2
q2 2 







cP
qA


A


cP
qA


Ay   ,
x
x
x
y
y

2
2


(2.31)
где  0 есть энергия частицы до прихода импульса. С помощью третьего интеграла в
(2.28) отыскиваем обобщенный импульс частицы:
cPz  cPz 0 
1
 0  cPz 0

q2 2
q2 2 







cP
qA


A


cP
qA


Ay  
x
x
x
y
y

2
2


(2.32)
Теперь из (2.26) легко найти скорости частицы. Интегрируя их, получаем:
x  x0 
y  y0 

c 2 Px 0
   0   q  Ax  d  ,
 0  cPz 0
 0  cPz 0  0
c 2 Py 0
 0  cPz 0
   0  

q
Ay  d  ,
 0  cPz 0 0


c 2 Pz 0
c
q2 2
q2 2 
   0  
z  z0 
 cP qA    Ax    cPy 0 qAy    Ay  d  .
 0  cPz 0
2
2
 0  cPz 0 2 0  x0 x

18
(2.22**)
Для координаты z
мы воспользовались тем, что из определения (2.4) и
соотношения (2.29) можно получить простое выражение:
c 2 Pz  
dz

.
d  0  cPz 0
(2.33)
Приводя подобные члены и сокращая множители, из (2.22**) можно получить
z  z 0  zt 0 t  t 0  

 

c
q2  2 




cq
P

A


A  d  .
0
 0  0  cPz 0  0 
2

(2.34)
Выразив разность z  z 0 из (2.34), перепишем первые два выражения из
(2.22**):
c 2 Px 0 t  t 0   zt 0  
x  x0 
1 

 0  cPz 0 
c 

 

  cP 
q2  2




cq
P

A


A    q 0 Ax   0 2 z 0 d  ,
0
2 
2
c Px 0 
 0  0  cPz 0   0 

cPx 0
(2.35)
c 2 Py 0 t  t 0   zt 0  
y  y0 
1 

 0  cPz 0 
c 

 

 0  cPz 0 
q2  2










cq
P

A


A


q

A


 d  .
0
0 y

2
c 2 Py 0 
 0  0  cPz 0 2  0 

cPy 0
Впрочем, t и z все еще присутствуют в равенствах (2.34)–(2.35) в неявном виде,
поэтому они остаются уравнениями. В заключение отметим, что из сопоставления


(2.22) и (2.22**) видно, что   P0 ,    0 c  Pz 0 .
2.2 Движение заряженной частицы в плоской немонохроматической
электромагнитной волне
Выберем векторный потенциал (2.4) в виде:
Ax  
c

bx  sin  ,
Ay  
c

b y   cos  ,
где bx   и b y   — огибающие векторного потенциала,
    
(2.36)
— фаза волны, 
— частота волны,  — постоянная. Координаты частицы в поле такой волны
следуют из формул (2.22) [5, с. 11]:
x  x0 
c

 x    0  
qc

 0
19
bx  sin  d  ,
(2.37)
y  y0 
c

 y    0  
qc

 0
b y   cos  d  ,

z  z 0  c  g  d  ,
(2.37)
0
где функция g   определяется выражениями
g    h  
q
 2
 b
x
2


 q  2
2
 bx  b y cos 2 ,
x sin    y b y cos    
 2 
2 2
2
2
  q 2 2
1  m c   x   y
2
h  
 1  
 bx  b y .
2


2

  2 
(2.38)
Ради полноты изложения, исходя из (2.15) и (2.17)–(2.19), стоит также тогда
записать импульс, энергию и скорость частицы:
px   x 
Vx 
q

bx  sin  , p y   y 
q

b y   cos  , p z    g   ,   c 1  g   ,
g  
c
q
c
q




  x  bx  sin   , V y 
  y  b y   cos   , Vz  c
 1  g   

 1  g   

1  g  


(2.39)
(2.40)
Между тем, получается, что формулы (2.37), определяющие координаты
заряженной частицы в поле плоской квазимонохроматической электромагнитной
волны, зависят от интегралов




0
0
0
0
 bx  sin  d  ,
 b y   cos  d  ,
2
2
 bi  cos 2 d  ,  bi  d  , ( i  x, y )
(2.41)
которые можно переписать в более общем виде [5, с. 16]:
def 
def 
0
0
I nc        cos n d  , I ns       sin n d  ,
(2.42)
где n — натуральное число (об n  0 будет упомянуто позднее), а под    могут
пониматься
bik   , i  x, y , k  1,2 .
Предложенное в [5] семейство интегралов (2.42)
шире, чем (2.41), но удобнее для вычислений. Предварительно сконструируем также
величину

~ def
I ncs  I nc  iI ns      exp in d 
— интегралы такого вида получили
0
наименование осцилляторных [31, с. 45].
В литературе можно найти два хорошо известных интегрируемых случая:
строго монохроматическая электромагнитная волна [9–13] и монохроматический
20
волновой пакет с резкими фронтами [14–15] (см. п.2.3.3.3). Понятно, что
интегрируемость выражений (2.42) не может ограничиваться только этими двумя
случаями, поэтому нам представляется справедливым восполнить пробел в
литературе собственным более или менее кратким исследованием.
Так как принципиально невозможно единым способом искать первообразные
для любых произвольных, даже весьма простых, функций [32, с. 358]–[33, с. 394], то
оправданным оказывается полуэмпирический метод, а именно перебор конкретных
вариантов, дополняемый определенными соображениями, сужающими область
поиска.
Под    в дальнейшем будем полагать вещественнозначную функцию
действительного переменного  , почти всюду дифференцируемую и почти всюду
непрерывную вместе со своими производными, такую что   cos n и   sin n
интегрируемы по Риману на  0 , . Кроме того, естественно потребовать условие
ограниченности колебания функции    на участке ее интегрирования  0 , , а из
физических соображений оправдано и наложение условия ограниченности вариации
функции    на  0 , .
2.2.1 Ряды
В задаче поиска интегрируемых случаев, прежде всего, следует отталкиваться
от представления    рядом, т.к. при этом еще сохраняется общность задачи. Во
всех случаях разложения    по ортогональным функциям величины I nc , I ns и I ncs
~
довольно хорошо аналитически выводимы, если, очевидно, аналитически выразима
первообразная подынтегрального выражения преобразования Фурье от элементов
ортогонального базиса. Поэтому интегрируемы в квадратурах наиболее часто
используемые на практике представления    рядом:

 v  0 
v 0
v!
1. Ряд Маклорена     
 v , I ncs выражается через неполную «верхнюю»



гамма-функцию,   v e in d  v  1,in   exp i n  m  1 n v  const ;

21
2


2. Аппроксимирующий полином      av v , аналогично предыдущему случаю.
v 0
Вместе с тем, I nc и I ns берутся и путем интегрирования по частям [33, с. 134,
137];

 v   0 
v 0
v!
3. Ряд Тейлора     
   v , степени    v раскрываются по биному
Ньютона (  — точка разложения), и интегрирование сводится к двум
предыдущим случаям;
4. Ряд
Лорана




1

     av    v   av    v   av    v ,
v  
v 0
степени
v  
   v
раскрываются по биному Ньютона, правильная часть ряда интегрируется
аналогично предыдущему случаю, при рекурсивном же интегрировании по
~
главной части [33, с. 134, 137, 147] в I nc , I ns и I ncs неизбежно возникают
интегральные синус, косинус и экспонента;
5. Ряд
Дирихле

     av exp  v  ,
v 1
 a exp    
~
v
I ncs  exp in    v
,
in  v 
v 1

0  v   ,
0
причем, отметим, в пределе v  in , если потребовать дополнительно, что при
d
~
малых v имеет место av  0 , получаем I ncs  exp in  
d
6. Тригонометрический ряд Фурье    

;
0
a0 
~
  av cos v  bv sin v  , вычисление I ncs
2 v 1
выполняется в элементарных функциях по формулам из [33, с. 147].
Существенным в представлении    рядом является способ суммирования
этого ряда. Пусть для лучшей сходимости некоторого функционального ряда
    i1 ui  
используется обобщенная сумма        через среднее по
Колмогорову [34]
    lim  1   si  k  ,
k 
def
k
 i 1

где sk — k -ая частичная сумма ряда     i1 ui   , а функция  удовлетворяет ряду
условий:
22
1). si  D  , i  0 ;
2).  — однозначна, непрерывна и монотонна на сегменте inf si ; sup si  i  0
(осуществляет биекцию);
3).  1 : D 1   E  , E  1   D  (следствие из условия 2);
4). ik1 si  / k  D 1 , k  0 ;
5). ik1 si  / k  E  , k  0 (следствие из условий 3–4).
Все предыдущие указания об интегрируемости конструкций типа   exp in
остаются справедливыми лишь для линейной функции  s   as1  b ( a , b  R , a  0 ),
в частности при суммировании по Фейеру ( a  1 , b  0 ) [35, с. 273–276], а в общем
случае при нелинейной  s  аналитическое интегрирование   exp in становится
невозможным. В этом случае, казалось бы, более пригодными оказываются
формулы (2.44)–(2.45) из п.2.3.1, однако при этом взятие k -ой производной в них по
правилу дифференцирования сложной функции ( 1 — внешняя, а ее аргумент
i1 si 
k
k — внутренняя) чрезвычайно затруднено.
2.2.2 Спадающие функции
Обратимся теперь к возможности задания    не рядом, а явным уравнением
     . Очевидно, простой перебор вариантов из несчетного множества всех
допустимых задачей функций оказывается невозможным. К счастью, из всех таких
   можно выделить класс, имеющий особое теоретическое значение. Внимательно
посмотрев на формулы (2.37), заметим, что если заряженная частица первоначально
покоится и электромагнитное поле отсутствует, то постоянные  x и  y равны нулю,
а потому формулы (2.37) значительно упрощаются, и видно, что передвижение
частицы будет конечным в пространстве, если воздействующий на нее лазерный
импульс достаточно локализован во времени, а именно подчиняется условию

 bx    b y  d   
2
2
0
23
(2.43)
для любого, бесконечного в пределе,  (что можно записать как ограниченность
величин
 и
I nc bi2
  ( i  x, y ) из (2.42) для исключенной ранее возможности
I ns bi2
n  0 ),
 0 — момент до прихода импульса.
В связи с этим, одной из первых упомянем функцию     1  2 l  12m  ( l —
1
ширина импульса на полувысоте, m — натуральное число) дающую, вообще говоря,
~
не выразимые аналитически величины I nc , I ns и I ncs , однако их подынтегральные
функции хорошо разложимы в ряд, т.к. e i 1   2m    i k k!    2m  (то же самое
2 m 1
k 0
можно сказать, когда    — верзьера Аньези). В пределе m   график   
превращается в прямоугольный шириной l и высотой 1. Этот предельный случай
соответствует лазерному импульсу с резким передним и задним фронтами и
является точно аналитически интегрируемым. Данный вариант теоретически
исследован в работах [5, с. 8–10] и [14]. Примечательно, что замена    :    l при
m   дает прямоугольное распределение, которое при l  0 стремится к дельта-
функции Дирака с сингулярностью в точке   l 2 .
Несколько

схожую
картину
дают
супергауссово
распределение

    21 exp  12   2m (   0 — дисперсия) и «шапочка»     exp  1 1   2m  (   1 ),
    0 (   1), превращающиеся в прямоугольное при m   и тогда также
соответствующие лазерному импульсу с резким передним и задним фронтом [5, с. 8–
10], [14]. Однако, кроме того, случай супергауссового распределения при m  1
отвечает нормальному распределению и точно интегрируем [5, с. 24–25].
Параболическое распределение     6   a  a 3 ( 0    a ),     0 (   0 ,   a )
~
формально дает хорошие аналитические выражения для I nc , I ns и I ncs по (2.42),
однако первая производная от    в (2.44)–(2.45) (см. п.2.3.1) терпит разрыв. Такого
скачка первой производной лишена гладкая функция     sin s 2 p ( 0     s )
    0 (   0 ,    s ), которая дает вполне вычислимые по (2.42) I nc , I ns и I ncs при
~
натуральных p [33, с. 140], но скачок терпит уже вторая производная этой функции.
24
Поскольку рассматриваются функции, спадающие на бесконечности, в
частности по степенному закону    ~ 1  m , то полезными могут оказаться
приближенные формулы интегрирования из [33, с. 134, 137, 147], выражаемые через
интегральные синус, косинус и экспоненту.
В конце стоит упомянуть о возможности задания огибающей    различными
распределениями из теории вероятностей безотносительно к вопросу о наличии
скачков ее производных. Можно показать, что интегрируемыми будут варианты,
когда    задается плотностью экспоненциального распределения, распределения
Лапласа и Парето, с большим трудом интегрируемыми, когда    задается
плотностью гамма-распределения, распределения Рэлея и Колмогорова (выражается
через неполную гамма-функцию). Как и следовало ожидать, многие    не дают
аналитического случая. Таковы    , заданные плотностью распределения Вейбулла,
Вигнера, Стьюдента, Коши и логнормального распределения. Неаналитичны
варианты огибающих типа солитонов     1 cosh  c  j ( j  1,2 , причем j  2 дает
плотность логистического распределения).
Заметим, наконец, что если явно заданная огибающая    составлена из
произведения двух или более огибающих, дающих по отдельности интегрируемые
случаи, то она сама, вероятнее всего, уже не даст аналитически интегрируемого
случая. Это не относится к произведению огибающих, заданных разложениями в
ряд по одному и тому же ортогональному базису, т.к. произведение двух и более
таких рядов является разложением в ряд по тому же ортогональному базису.
На основании полученных результатов может быть существенно упрощен
выбор на практике того или иного представления огибающей, вписывающейся в
погрешность измерений, для реального электромагнитного импульса.
2.3 Движение заряженной частицы в плоской квазимонохроматической
электромагнитной волне
2.3.1 Адиабатическое приближение

Как уже было указано, для A  в виде (2.36) выражения для координат
заряженной частицы имеют форму (2.37). И как уже было указано, интегралы (2.42),
25
входящие в (2.37), берутся аналитически лишь для сравнительно узкого класса
функций. В общем же случае вычисление (2.42) аналитически невозможно.
Интегрированием (2.42) по частям можно получить систему [5, с. 16]

1 
 d 

  sin n    0 sin n 0   I ns 
 I nc   
n 
 d 


 I     1    cos n     cos n   I  d 


0
0
nc 
 ns
n 
 d 

или более компактно


1 
~
~  d 
in
in
I ncs   
   e    0 e 0  I ncs   .
in 
 d 
Продолжая итерационное исчисление до бесконечности, получаем:


   k   
 k    
k 
k 


I nc    
sin  n   , I ns     
cos n    .
k 1
k 1
2 
2 
k  0 n 
k 0 n 


0
0

(2.44)
Можно легко представить I ncs   в виде функционального ряда Дирихле
~

   k   
k 
~

I ncs    i 
exp i n   .
k 1
2 
k 0 n 

0
(2.45)
При условии хорошей сходимости этого ряда, его можно представить в виде

разности I ncs     iRncs    , где функция
~
~
0
def
~
Rncs   
 k   
k 

exp i n  

k 1
2
k  0 n 


удовлетворяет простому дифференциальному уравнению
~
dRncs


 n      exp i n   .
d
2

(2.46)
Таким образом, после некоторых преобразований мы вновь вернулись к проблеме
интегрирования некоторой огибающей функции    , помноженной на мнимую
экспоненту, так что вопрос из п.2.2 о поиске аналитически выразимых,
интегрируемых случаев актуален и здесь. Заметим, однако, что выражения (2.44)–
(2.45) хотя и выражают искомые интегралы сравнительно просто посредством
производных
 k    ,
но при этом возникает вопрос об алгоритмической
26
~
вычислимости I nc , I ns и I ncs [36, с. 8–9] в области сходимости рядов (2.44)–(2.45).
Особенности вычислительной техники в подобных случаях всегда понуждают
ограничить количество слагаемых.
Если функции bx   и b y   достаточно медленные, т.е. если выполняется
def

T
b
~
1
 b
 1 ,
(2.47)
где T — период волны с несущей частотой  ,  b — изменение аргумента функций
bx   и b y   , за которое они меняются заметно; то в (2.44) оказывается возможным
пренебречь слагаемыми высших порядков и оставить только первые:
I nc 
1
  sin n    0 sin n 0 , I ns   1   cos n    0 cos n 0  .
n
n
(2.48)
С помощью (2.48) получаем из (2.37):
x  x0 
y  y0 

z  z 0  c  h d  
0
c

c

qc
 2
 x    0  
 y    0  
 b
x
x0
bx  cos   bx 0 cos  0 ,
qc
 2
qc
 2
b  sin   b
y
y0

sin  0 ,

cos  0  bx   cos     y b y 0 sin  0  b y  sin   
2




(2.49)

c  q 
2
2
2
2


 bx 0  b y 0 sin 2 0  bx    b y   sin 2 ,
2  2 
где bi 0  bi  0  ( i  x, y ). Посмотрев на выражения (2.49), в них можно выделить
плавно меняющиеся компоненты, и компоненты, осциллирующие с частотой ω:
~
X t   x0  c
x ~
   0   qc2 bx0 cos  0  Dx ~  ,


Y t   y 0  c
y ~
   0   qc2 b y 0 sin  0  D y ~  ,


Z t   z 0  c  h d  
0
qc
 2

x
b x 0 cos  0   y b y 0 sin  0  
2

(2.50)

c  q  2
2

 b x 0  b y 0 sin 2 0  D z ~  ;
2  2 
x
 t   Dz   qc2 bx ~ cos   Dx ~  ,


y
qc
 t     t   Dz  
b ~ sin   D y ~  ,
2 y


 t   
27
(2.51)
 t   
2
1  qc
~  cos    b ~  sin   c  q  b 2 ~   b 2 ~  sin 2   D ~  ,


b



x x
y y
x
y
z
1  h~    2
2  2 





def
1
1
где введено обозначение ~t   t  Z t  , поэтому   ~   t  и имеют место
c
c
приближения
bx    bx ~  , b y    b y ~  ,

~
0
0
 h d    h d   c h  t 
1
~
(2.52)
в допущении, что мал параметр
~ ~
  T  b  1 .
~
Величина T
равна периоду колебательного движения заряженной частицы в
плоской монохроматической волне, и этот период, вообще говоря, не совпадает с
периодом волны T [5, с. 11]. Функции Dx ~  , D y ~  и Dz ~  равны [5, с. 19]:
Dx  
cq 2  y bx b y  V~z
1 
3
c
2  
cq 2  x bx b y

 , Dy  
3

2 

~
 Vz
1 

c


 , Dz  0 ,


где V z  dZ t  dt . Впервые разделение на плавные (2.50) и быстрые (2.51) функции
~
времени было выполнено в [5, с. 18] по аналогии с работой [13, (14)], а затем
опубликовано в работе [23]. Также в [5, с. 18] было получено выражение для
периода колебаний частицы в плоской квазимонохроматической волне:
~
T 
T
~ .
1  Vz с
(2.53)
Вопросы динамики заряженной частицы в поле плоской электромагнитной
волны, включая вычисление среднего импульса, средней скорости частицы и
средней силы, действующей на неё, а также случаи плоской и круговой поляризаций
волны рассмотрены в работах [5, с. 16–23] и [23].
2.3.2 Продольный сдвиг заряженной частицы в поле плоского
электромагнитного импульса
2.3.2.1 Численное моделирование продольного сдвига заряженной частицы в поле
плоского электромагнитного импульса
Рассмотрим покоящуюся ( V0  0 ) заряженную частицу с массой m и зарядом
q,
расположенную в начале координат ( x0  y0  z 0  0 ). В момент t  0 на эту
28
частицу в нулевой фазе (   0 ) падает плоский электромагнитный импульс линейной
поляризации, распространяющийся вдоль координатной оси z , с x-компонентой
электрического поля:
E x  E0 e

 t1 2
t 22
(2.54)
cos(   ) ,
где E0 — максимальная амплитуда электрического поля, t 2 — временной параметр,
близкий по смыслу к дисперсии нормального распределения и связанный с шириной
импульса на половине максимума интенсивности FWHM (full width at half maximum)
формулой
FWHM  t 2 2 ln 2  1,665t 2 , t1
— длительность переднего фронта импульса.
Чем дольше t1 , тем больше моделируемый импульс похож на гауссов. В численных
расчетах длительность переднего фронта импульса принималась равной t1  3t 2 .
Векторный
потенциал
компоненты
электрического
поля
(2.54)
восстанавливается в очень сложном комплексном виде
Ax  cE0
поэтому

2
 t2e
t 22 2
4


 t 2  2i  t1  
 sin t1     i cost1   erf  2
  const


э
.
с
.




2
t
2




непосредственное
применение
интегральной
формулы
(2.22)
для
вычисления координаты z крайне затруднительно (т.к. интеграл берется от
скалярного квадрата векторного потенциала).
Однако, благодаря использованию адиабатического приближения, описанного
в п.2.3.1, плавная координата частицы Z в поле импульса (2.54) достаточно просто
описывается (хотя и в неявном виде) трансцендентным уравнением:
Z t  
q 2 E02
8m 2 c 2

 2  Z t 

t 
 
 t 2  erf   2 1   erf 
 t1   .
t 
2
t2 
c
 


 t2 

(2.55)
В пределе, когда импульс миновал частицу, t   (или t  Z c ), формула
(2.55) упрощается и выходит на стационарное значение, при t1  3t 2 равное:
Z  
q 2 bx20
8m 2 c 2

2

 
 t 2 1  Erf 3 2 
q 2 bx20
4m 2 c 2

2
 t2 .
(2.56)
Так как амплитуда E0 и интенсивность I 0 импульса связаны между собой, то сдвиг
частицы (2.56) переписывается в виде:
29
Z   

q2
LI 0 t 2 ,
2 4m 2 c 2
(2.57)
где L — размерный коэффициент, зависящий от выбора системы единиц и равный


L  10 6  8  10 2 3,34 2  3  10 7 В2/Вт  7,51 В2/Вт.
Очевидно, параметр t 2 носит характер величины  b , поэтому чем больше
ширина гауссова импульса FWHM , тем лучше выполняется условие адиабатичности
(2.47) при той же частоте  , т.е. тем более импульс походит на монохроматический.
Следовательно, формулы (2.56) и (2.57) выполняются тем точнее, чем больше
параметр t 2 , и при бо́льших t 2 они должны давать результат, лучше согласующийся
с полученным при численном моделировании.
В силу линейности формулы (2.57) по I 0 и t 2 , её можно заменить более
простой формулой

I t
Z   Z  0 2 ,
I 0 t2
(2.58)
которая не содержит отсылки к системам физических единиц, если заранее известно



смещение Z  частицы при некоторой интенсивности I 0 и параметре t 2 , причём
надо заметить, что при разных t 2 адиабатический параметр (2.47) будет разным, и,

следовательно, при t 2  t 2 формула (2.58) даст результат, завышенный, по сравнению


с таковым из (2.57), а при t 2  t 2 — наоборот, заниженный (т.к. когда t 2 и t 2
различны, различен и соответствующий им адиабатический параметр (2.47)).
Кроме того, что смещение Z  линейно зависит от интенсивности I 0 и
величины параметра t 2 , обращает на себя внимание возможность варьировать Z 
по
квадратичной
гиперболе
перестройкой
частоты

в
соответствии
с
формулой (2.57) (см. рис. 2.2.б). Так, теоретически Z  можно увеличить,
уменьшив частоту  в n раз, но при этом, однако, адиабатический параметр Λ
возрастет и неравенство (2.47) ослабится. Соответственно, расчет по формуле (2.57)
должен стать менее точным. Если же, наоборот, требуется уменьшить смещение
Z  повышением частоты  , то тогда при этом параметр  уменьшается и условие
30
(2.47) автоматически усиливается, т.е. расчет по формуле (2.57) должен становиться
более точным.
Рис. 2.1. PIC-частица в прямоугольной расчетной области программы «КАРАТ».
Для того чтобы проверить теоретические выводы (2.56)–(2.57), полученные в
квазимонохроматическом приближении, с точными результатами, мы прибегли к
PIC-моделированию в программном пакете «КАРАТ» [37]–[38], который был
разработан В.П. Таракановым ещё в конце 80-х годов и поддерживается им до сих
пор уже более 20 лет. PIC-частица находится в прямоугольной области (см. рис. 2.1),
электромагнитная волна распространяется слева направо. В результате серии PICмоделирований в логарифмических осях были построены графики зависимости
сдвига от интенсивности и частоты (рис. 2.2). Расчет каждой модели занимал
примерно по 16 часов. Интенсивности
I 0  1018  1019
Вт/см2 соответствуют уже
релятивистскому режиму ускорения электрона.
При PIC-моделировании на рис. 2.2.а параметр  был постоянным и равнялся
  0,11 ,
а на рис. 1б менялся с   0,34 до   0,023 . Из хорошего наложения
результатов
PIC-моделирования
на
теоретические
кривые
(максимальная
относительная погрешность аналитического расчета составляла порядка 7%, в
большинстве же случаев около 2%) можно сделать вывод о том, что формулы (2.56)
31
и (2.57) хорошо описывают сдвиг заряженной частицы в поле плоского
электромагнитного
импульса
даже
при
сравнительно
большой
величине
адиабатического параметра (   0,34 ).
Рис. 2.2. Зависимость Z  электрона от (а) интенсивности и (б) частоты
(  0  3  1014 Гц,, t 2  25 фс) лазерного импульса (сплошная линия – расчет
по формуле (2.57), точки — данные PIC-моделирования).
2.3.2.2 Продольный сдвиг частицы с ненулевой начальной скоростью
Определим теперь, какова остаточная скорость заряженной частицы после
прохождения импульса, если ее начальная скорость произвольна
Vx0 ,V y0 ,Vz 0  . После
прохождения импульса в пределе t   амплитуды волны обнуляются
поэтому векторный потенциал (2.36) также становится равен нулю:
bx  b y  0 ,
Ax  Ay  0 .
Из (2.38) получаем:
2
 2 2

  0 , h  1  m c 2   1 , g  h .
2


(2.59)
Выражения для компонент скорости следуют из (2.40) и (2.59) при t   :
Vx 
 c
ch
x c
, Vy  y
, Vz 
.
1 h
 1 h
 1 h
(2.60)
Преобразования выражений (2.60) с использованием (2.23), (2.24) и (2.38) ведут к
достаточно тривиальному результату:
Vx  Vx 0 , V y  V y 0 , Vz  Vz 0 .
(2.61)
Из (2.61) очевидно, что единственный случай, когда частица покоится после
прохождения импульса, реализуется тогда и только тогда, когда начальная скорость
— нулевая. Последний результат (2.61) показывает, что в конце концов частица не
32
получает дополнительную энергию от импульса и остается со своей начальной
энергией. На это следует обратить внимание, т.к., согласно [39–40], при некоторых
условиях частица после импульса может двигаться в направлении, обратном к
направлению распространения импульса.
Поскольку реализация покоящегося электрона проблематична, то формула
(2.61) открывает дорогу экспериментам с движущимися электронами. В качестве
возможной экспериментальной реализации можно предложить следующую (рис.
2.3). Электронный пучок движется вдоль оси Ox из точки z  0 в точку x 0 на экране,
который перпендикулярен к оси
Ox .
Лазерный импульс распространяется
перпендикулярно к направлению движения электронов (т.е. параллельно экрану). До
прихода лазерного импульса электроны образуют пятно на экране в точке x
0
, z  0 .
Но те электроны, которые подверглись воздействию лазерного импульса,
смещаются на расстояние
Z  
вдоль направления распространения импульса, и
пятно, формируемое ими, должно оказаться в точке x
0
, Z   .
Данное смещение
может быть наблюдаемым. Например, формула (2.57) даёт сдвиг порядка Z   1мм
при I 0  1019 Вт/см2, t 2  1.5 пс и   1 мкм.
Поскольку сдвиг происходит без искривления траектории, параллельным
переносом, то это явление может иметь практический выход, например, на
электронную оптику или на те разделы техники, где требуется электроны куда-либо
перенаправлять, причем именно параллельным переносом.
x0 , Z  
x0 , z  0
z 0
Рис. 2.3. Возможная схема эксперимента для наблюдения сдвига электронов.
33
Одиночное воздействие лазерного луча производит довольно малый эффект
на сдвиг пучка. Для осуществления множественного воздействия лазера на пучок,
можно предложить следующую схему. Электронный пучок распространяется вдоль
зеркальной трубы (коэффициент отражения стенок равен R) квадратного сечения.
Лазерный луч направляется в трубу почти под прямым углом  к пучку.
Оптический путь луча (с помощью подбора ширины трубы, угла вхождения в трубу
и
скорости
электронов)
отъюстирован
так,
что
после
каждых
четырёх
последовательных отражений от стенок трубы (по аналогии с уголковым
отражателям) луч вновь попадает на те же самые электроны, на которые
воздействовал этапом ранее. В итоге, одни и те же электроны пучка могут испытать
множественное воздействие одного и того же лазерного луча, пока вся его энергия
не поглотится стенками трубы. Тогда теоретическое максимальное смещение
электронов вдоль направления распространения луча должно равняться уже

Z   cos  1  R 4
 , что даже при
R  0,98
и cos  1 даёт умножение эффекта более чем
в 10 раз по сравнению с одиночным воздействием на электронный пучок.
Здесь же хочется добавить, что рассмотрение поведения одной частицы в поле
внешней плоской электромагнитной волны аналогично поведению электронов
электронного пучка малой концентрации (single-electron pulse [41]) в поле такой же
волны. Условием применимости нашей теории для пучков заряженных частиц будет
значительное превышение кинетической энергии частиц над энергией их
электростатического взаимодействия, что в простейшей форме, из рассмотрения
двух ближайших частиц, в СИ можно записать как
  1mc 2 
q2
,
40 2r
1
c2
r   180 m 2  1 ,
q
а для электронов
2r   1
mc
 1 ,

34
(2.62)
где  0 — постоянная Фарадея,  — релятивистский гамма-фактор,  — постоянная
тонкой
структуры,
r
—
среднее расстояние
между
частицами, обратно
пропорциональное кубическому корню из концентрации. При этом для простоты мы
предполагаем, что все заряды движутся сонаправленно вдоль одной прямой так, что
создаваемое каждым движущимся зарядом магнитное поле не влияет на другие
заряды. Релятивистский гамма-фактор выразим с помощью формулы [11, (24)] с
учетом наших обозначений:
  0 
2
2
 x 0 a1 sin   sin  0    y 0 a 2 cos  0  cos  
a12 sin   sin  0   a 22 cos  0  cos  

,
2 0 1   z 0 
1   z0
где  i 0  Vi 0 c ( i  x, y, z ), a1 
qb y  
mc
, a2 
qbx  
, очевидно   a12  a 22 . Либо можно
mc
воспользоваться нашими формулами (2.15) и (2.18).
Если сильное неравенство (2.62) не выполняется, то необходимо учитывать
взаимодействие зарядов друг с другом. Когда концентрация зарядов ещё
сравнительно невелика, можно рассматривать движение электронов пучка как
движение многих тел с прибавлением закона Кулона [42]. Для случаев, когда
концентрация зарядов велика (many-electron pulse), разработано приближение
самосогласованного электромагнитного поля [43].
2.3.3 Лазерные импульсы с огибающей, имеющей компактный носитель
2.3.3.1 Решение в общем виде
Рассмотрим
простейшую
модель
движения
изначально
покоящейся
заряженной частицы в поле плоского монохроматического электромагнитного
импульса, когда огибающая векторного потенциала импульса имеет компактный
односвязный носитель:
diam supp      .
Вообще носителем некоторой функции называется замыкание области, на которой
эта функция отлична от нуля. Односвязность предполагает, что есть только одна
такая замкнутая область. Представим векторный потенциал, удовлетворяющий
этому условию, в виде:
35
Ay  Az  0 , Ax  A  ,
 0
0,
с
~
A   E0 sin     , 0      E0 0, ~ sin  ,0.


0,
  0

(2.63)
с
Время отсчитывается от прихода переднего фронта в точку, где находилась
частица. Из (2.6) и (2.63) поле импульса равно:
Ex  H y  
0,

E0

~ 2     2~ 2   sin    ,0 , E y   H x  0 , Ez  H z  0
  arcsin
~ 
~ 2     2~ 2  
.
(2.64)
(2.65)
Начальную пространственную координату покоившейся частицы выберем
равной нулю. Тогда из (2.24), (2.23) и (2.63) получаем:
2
 qE0 
 .
 mc 
def
  mc ,  x  0 ,  y  0 ,   
(2.66)
Импульс и энергию частицы получаем из (2.17), (2.18), (2.15), (2.63), (2.66):
px  mc 


q
0,~ sin  ,0, p y  0 , pz  mc  0, ~ sin  2 ,0 ,
2
q


  mc 2  1, 1 
 ~
  sin  2 , 1 .
(2.68)

2
(2.67)
Из (2.67) видно, что x-компонента импульса может принимать как положительные,
так и отрицательные значения, а z-компонента исключительно неотрицательна, что
должно в дальнейшем приводить к смещению частицы вдоль оси z.
Из (2.12) и (2.68) компоненты скорости частицы описываются не столь
тривиальными формулами:
q
V x  c 
q


0,
 1




~ sin  2 ,0 .
~ sin 


,0 , V y  0 , Vz  c 0,

 ~
2  1   ~ sin  2 
  sin  2 
2


2
(2.69)

Можно подсчитать, что энергия частицы (2.68) имеет локальные максимумы в
тех точках, где выполняется условие
    k , k  Z .
36
(2.70)
Легко показать, что скорость (2.69) будет иметь локальные максимумы в тех же
самых точках. Вдали от фронтов импульса (т.е. вблизи «середины» импульса)
производная от огибающей мала ~    ~  , поэтому угол (2.65) примерно равен
 2 , а энергия (2.68) имеет локальные максимумы вблизи точек   k  1 2  .
Координаты частицы находим, подставив (2.64) и (2.66) в (2.22):
x  c 


q ~




0
,


sin


d

,
~  sin  d  , y  0 ,
 

q 0
0


(2.71)


2
2
z  c  0,  ~ sin   d ,  ~ sin   d  .
2 0
0


Обратим внимание на то, что координата x частицы (2.71) не всегда после
прохождения импульса возвращается на прежнее нулевое значение. А именно, это
не происходит, когда положительная и отрицательная площади под графиком
подынтегрального выражения в формуле для x не уравновешивают друг друга.
Например,
такое
может
быть,
когда
фронты
импульса
ассиметричны.
Следовательно, при некоторых условиях данный эффект можно было бы
использовать для обнаружения асимметричности фронтов импульса. Более
подробно об этом эффекте будет сказано в п.2.3.4.. Подынтегральная функция в
выражении для координаты z неотрицательна, поэтому координата z частицы с
течением времени  не уменьшается. Аналитические случаи интегрируемости
конструкций, находящихся под интегралами выражений (2.71), были рассмотрены
нами в п.2.2.
В нерелятивистском пределе, когда параметр   1 , считаем, что    ,
тогда из (2.67), (2.69) и (2.71) имеет место пренебрежимо малое смещение частицы
вдоль направления распространения электромагнитного импульса. Частица лишь
совершает колебания вдоль электрической компоненты волны (параллельной оси x).
Обобщение
выражений
(2.64)–(2.71),
полученных
для
линейно
поляризованного импульса (2.63), на случай эллиптически поляризованной
электромагнитной волны — тривиально.
37
2.3.3.2 Импульс формы квадрата синуса
Рассмотрим случай, когда векторный потенциал плоского электромагнитного
импульса задан профилем квадрата синуса ( s   ):
Ay  Az  0 , Ax  A  ,
 0
0,
с
 2
A   E 0 sin   sin s , 0     s  E 0 0, sin 2 s sin  ,0 .


0,
  s


с
а).

(2.72)
б).
Рис. 2.4. Эскиз графика x-компоненты векторного потенциала (2.72)
с пунктирной огибающей: а).  ~ s б).   s .
Из (2.6) и (2.72) получаем электрическое поле:


E x  H y   E0 0,


 4s 2
1  2



 4
4s 2

 sin s  2 sin 2 s  sin    ,0 , E y   H x  0 ,




(2.73)
Ez  H z  0
1
 

2


4
s
1

 2
  arcsin 1  2  2  1   .

  sin s   


(2.74)
Если начальную координату частицы положить равной нулю, то получим (2.66).
Импульс и энергию частицы рассчитываем по (2.67)–(2.68):
p x  mc 

q
0, sin 2 s sin  ,0 , p y  0 , p z  mc 0, sin 4 s sin 2  ,0,
2
q




  mc 2  1, 1 


sin 4 s sin 2  , 1 .
2

Из (2.69) компоненты скорости частицы описываются формулами:
38
(2.75)
(2.76)
q
V x  c 
q




sin 2 s sin 
 
sin 4 s sin 2 



,0 , V y  0 , V z  c 0,
,0
0,
 4
2
 1   sin 4 s sin 2  
1

sin s sin 2  



2
2



(2.77)
.
Согласно (2.70), локальные максимумы энергии и компонент скорости
частицы располагаются в точках   k     , k  Z . Из (2.74) видно, что вдали от
переднего и заднего фронтов импульса    2 , однако вблизи краев импульса, у его
нулевых значений, угол (2.74) стремится к величине   0 .
Координаты частицы, согласно (2.71):

  

2s 2  cos
 1 
2

q  cos    2s  cos    2s  cos 
2s
s

,
x  c   0,



,

2
2
2
2
q
4  2 s 
4  2s 
2
   4s
   4s




y  0, z  c

  3
0, 
2  16



sin 2s sin 4s 3 sin 2 sin 2   s  sin 2   s 





8s
64s
32
16  s 
16  s 
(2.78)
sin 2   2s  sin 2   2s  3
3s 4
2 

,

sin
.
2
2
2
2
64  2s 
64  2s  16s 8   s   4s
s 



Из (2.78) следует, что конечный сдвиг первоначально покоившейся частицы
под действием импульса, векторный потенциал которого имеет профиль (2.72),
равен:
z   s
  3 3s 4
2 
3
  c .
 c 
 5 sin
2  16s 8
s 
8s
(2.79)
Поскольку ширина импульса (2.72) на его полувысоте равна FWHM   2s  , то
можно заключить, что по сравнению с гауссовым импульсом, рассмотренным в
п.2.3.2.1, импульс (2.72) при той же самой FWHM даёт сдвиг частицы в 6
2 ln 2

 3,99
раза больше.
Если и только если в импульсе укладывается целое число периодов волны
несущей частоты  s  n , то функции (2.78) принимают простейший вид:
x  c 
q  cos  1  2 n cos  1  2 n  cos 
2
2cos n  1



,
 0,
,
2
q
4 1  2 n
4 1  2 n 
2
 n  4  n2  4 

39



(2.80)
y  0,
zc
  3
0, 
2  16
sin 2 n sin 4 n 3 sin 2 sin 2 1  1 n  sin 2 1  1 n





8 n
64  n
32
16 1  1 n 
16 1  1 n 
(2.80)

sin 2 1  2 n  sin 2 1  2 n  3n
3 sin 2n


,

,
2
2
64 1  2 n 
64 1  2 n  16 8 n  1 n  4 



а когда n  1, то (2.80) редуцируется до выражений
x  c 
zc
q  cos  
2
2 2cos n  1 

 1  2 ,
 cos
 0,
, y  0,
q
2 
n
n 2
 n

cos 2
  3
0, 
2  16
(2.81)
n  4sin 2 n 3 sin 2 3n 

,
.
32  n
32
16 
В заключение отметим, что, согласно (2.78), (2.80), (2.81), координата x после
прохождения импульса возвращается к нулевому значению тогда и только тогда,
когда в импульсе укладывается четное количество периодов волны несущей
частоты. Во всех иных случаях координата x не возвращается к первоначальному
значению.
2.3.3.3 Лазерный импульс с резкими фронтами
Г. Хора и W. Scheid [14] теоретически рассмотрели движение заряженной
частицы в плоско-поперечном импульсе прямоугольного профиля, т.е. импульсе с
резкими передним и задним фронтами. Затем этот случай экспериментально
исследовался
в
работе
[15].
Воспроизведем
результаты
[14].
Для
этого
электрическое поле возьмем в том же виде, что и в [14], [5]:
E x  H y  E ( ) ,
E y  H x  0 , E ( )  E0 sin   ( )   (  l c),
(2.82)
где     0 , при   0 , и     1 , при   0 , — функция Хэвисайда, амплитуда поля
положительна E0  0 , длина импульса ненулевая l  0 .
Интегрируя (2.82) из определении (2.6), получаем векторный потенциал:
Ax  A( ) ,
Ay  Az  0 ,
 0
0,
 def
def


 c
A( )  E0 cos   1, 0    l c  E0 0, cos   1, coskl   1, k  .
 

c
  l c 
coskl  1,
c
40
(2.83)
В точку, где первоначально покоится частица, пометим начало координат.
Тогда по п.2.1, минуя промежуточные вычисления, последовательно находим
компоненты импульса
p x ( )  2mc 


q
0, sin 2  2, sin 2 kl 2 , p y  0 ,
q

(2.84)

p z ( )  2mc 0, sin  2, sin kl 2 ,
4
4
компоненты скорости
Vx  2c 
sin 2  2
sin 2 kl 2 
q
0
,
,

,
q  1  2 sin 4  2 1  2 sin 4 kl 2
Vy  0 ,
(2.85)

sin 4 (k l / 2) 
sin 4 ( / 2)
Vz  2c  0,
,
,
4
4
 1  2 sin ( / 2) 1  2 sin (k l / 2) 
энергию частицы
  mc 2 1,1  2 sin 4  2,1  2 sin 4 k l 2,
(2.86)
наконец, координаты частицы:
x( ) 
q
q


  0,
sin 
1

 c , sin kl  l coskl  c 1  coskl , y ( )  0 ,
k
k

 3

2 cos 2 k l   1 
sin  sin 2 c
2
 
z ( )    0, c 

, 1  cosk l   l  cosk l  
k
8k
2
4


 4
(2.87)
1
1

  sin k l   sin 2k l  .
k
8

Выражения (2.84)–(2.87) можно легко получить и не прибегая к векторному
потенциалу (2.83), как на то указывалось в п.2.1.2. Формулы (2.85)–(2.86) совпадают
с результатами работы [14]. Казалось бы, длину l и частоту  импульса можно
варьировать
так,
что
энергия
(2.86)
достигнет
максимума
при
k l / 2  2n  1 2 , n  0,1,2... , т.е. если в импульсе укладывается полуцелое количество
периодов волны. Однако, из определения (2.2) известно, что электрическое поле
пропорционально производной от векторного потенциала, поэтому резкий скачок
этой производной приводит к разрыву графика напряженности (см. рис. 2.5.а) — это
физически невозможно.
41
а).
б).
в).
Рис. 2.5. Эскизы электрической напряженности (слева) и векторного
потенциала (справа) x-компоненты импульса с резкими фронтами:
а). в общем случае при дробном числе полупериодов волны в импульсе, б). при
полуцелом числе периодов в импульсе, в). при целом числе периодов (по горизонтали
подразумевается переменная  ).
В виду этого обстоятельства в топологическом плане случаи целого и
полуцелого числа периодов волны в импульсе разобщены, т.к. физически запрещено
непрерывно изменять длину импульса так чтобы один случай переходил бы в
другой. Поскольку со снижением частоты  величина  быстро возрастает (а с ней
и остаточная энергия электрона (2.86)), то наибольшего ускорения электронов
следовало бы ожидать в области радиоволн, но, насколько мы можем судить,
проявления данного эффекта в радиотехнике не зафиксировано. Наличие остаточной
энергии электрона после импульса свидетельствовало бы о поглощении им фотонов
импульса, однако известно, что свободный электрон не способен поглотить фотон в
отсутствие третьего тела, т.к. при этом не выполнялись бы законы сохранения
энергии и импульса [44]. К тому же забор энергии из электромагнитной волны
свободной частицей в вакууме противоречил бы теореме Лоусона–Вудварда [26–27].
Таким образом, прямоугольный импульс (с резкими фронтами) может иметь только
такую длительность, что в нем укладывается лишь целое число периодов волны
42
несущей частоты. Как следствие, векторный потенциал в области вне импульса
должен принимать равные значения A   A , в частности A   A  0 .
В свете последнего уточнения, что физически возможно только выполнение
условия kl  2n , формулы (2.82)–(2.87) перепишутся в следующем виде: поля
E x  H y  E ( ) ,
Ey  H x  0 ,
E ( )  E0 sin(  ) ( )   (  2n /  ) ,
векторный потенциал
Ay  Az  0 , A( ) 
Ax  A( ) ,
c

E 0 0, cos   1,0,
компоненты импульса частицы
p x ( )  2mc 




q
0, sin 2  2,0 , p y  0 , p z ( )  2mc 0, sin 4  2,0 ,
q
компоненты скорости частицы
Vx  2c 



q
sin 2 ( / 2)
sin 4 ( / 2)
,
,
V

0
0
,
,
0
V

2
c

0
,
,0 ,

 y

z
4
4
q  1  2 sin ( / 2) 
 1  2 sin ( / 2) 
энергия частицы
  mc 2 1,1  2 sin 4  2,1,
координаты частицы
x( ) 
q
q


  0,
sin  sin 2 3l 
sin 
 3


, .
 c , l  , y ( )  0 , z ( )    0, c 
k
8k
4
k
 4

(2.88)
Из последних формул видно, что частица сместилась от первоначального положения
на величину 5l 4 , причем смещение вдоль направления распространения импульса
оказалось даже меньше, чем в поперечном направлении.
Таким образом наш результат говорит о том, что частица после прохождения
импульса не получает от него энергию, а поэтому покоится. Однако в итоге она
сдвигается на расстояние 5l 4 под углом arctan 4 3 к направлению распространения
импульса. Отметим, что есть работы [39–40], согласно которым при некоторых
условиях частица после импульса может двигаться в направлении, обратном к
направлению распространения импульса, о чем мы упоминали в п.2.3.2.2.
43
2.3.3.4 К вопросу о крутизне фронтов электромагнитной волны
При обсуждении результатов работы [5], воспроизводящих результаты работы
[14], о движении заряженной частицы в поле лазерного импульса с резкими
фронтами (импульса с прямоугольной огибающей, который описан в п.2.3.3.3)
рецензент отметил, что данный режим, когда «поле возникает и исчезает почти
скачком за времена, меньшие, чем период поля», насколько ему известно,
«экспериментально не реализуем, и поэтому его анализ не имеет большого смысла».
Действительно, из физических соображений добиться идеального скачка импульса
невозможно, т.к. это означало бы разрыв векторного потенциала. С другой стороны,
имеется и аппаратное ограничение, т.к. высокая крутизна фронтов импульсов может
приводить к снижению срока службы оборудования [45].
2.3.3.4.1. Характеристика крутизны фронтов
Обычно
в качестве величины, характеризующей
крутизну импульса,
выбирают тангенс угла наклона отрезка, проведенного между отметками в 10% и
90% от пиковой величины импульса [46]. Эта величина интегральная, существенно
усредненная
и
применяется
для
сравнительно
медленно,
адиабатически
изменяющихся импульсов. В принципе, крутизна может вычисляться так и по
импульсам, имеющим быстро осциллирующую с частотой  составляющую —
плоским немонохроматическим электромагнитным импульсам, если брать в
рассмотрение крутизну их огибающих    . Но по замечаниям рецензента можно
сконструировать иную величину K , характеризующую крутизну — относительное
изменение огибающей волны (2.36) (см. п.2.2) за один период:
K
max   ,    2   ,
min   ,    2  
min   ,    2    0 ,
(2.89)
либо, с помощью относительной разности значений огибающей    ,
K  1
   2      
, min   ,   2    0 .
min   ,    2  
(2.90)
Строго говоря, формулы (1)–(2) могут быть применены только для таких значений
аргумента  , для которых    и    2   не обращаются в нуль. В простейшем
случае, когда функция    имеет компактный (а именно, нас интересует
44
ограниченность) односвязный носитель supp    и не обращается в нуль на
внутренних
точках
Int supp    ,
что
физически
отвечает
однократному
электромагнитному импульсу, то следует каким-либо образом «выколоть» границы
носителя, и рассматривать выражения (2.89)–(2.90) только во внутренних точках.
Насколько нужно отойти внутрь области определения функции импульса?
Достаточно рассматривать такую область определения, которой соответствует
область значений импульса с величинами не менее 10% от максимальной. Тогда
удастся в определённом смысле избежать обращения в нуль знаменателей в (2.89)–
(2.90).
Упоминание не обращения в нуль функции    на внутренних точках носителя
Int supp    существенно, т.к. без него легко сконструировать такие контрпримеры,
что при формально односвязном носителе огибающая    , в действительности, даст
уже более одного электромагнитного импульса. Такова, например, огибающая
напряженности электрического поля     sin 2 s ( 0    2 s ),     0 (   0 ,   2 s ),
обращающаяся в нуль во внутренней точке    s — внешне это проявится
двумодальным импульсом с перетяжкой в указанной точке, что уже проще
рассматривать как два последовательных, вплотную друг к другу бегущих импульса.
Минимальное и максимальное среди двух действительных неотрицательных
чисел a и b можно находить с помощью известных формул
max a, b  lim x a, b s , min a, b  lim x a, b s ,
s 
s 
записываемых для степенного среднего


x a, b s  s a s  b s 2 ,
где s , x  ,
которое является сужением квазиарифметического среднего по Колмогорову.
Здесь параметр s действителен. Идея усреднения с комплексным параметром s
изложена в [47]. Определения (2.89)–(2.90) эквивалентны и введены для любого  ,
при котором неотрицательная огибающая    не убывает или не возрастает на
участке
 ,  2  (т.е. в интервале  ,  2   не содержится локального
минимума или максимума, наличие которого означало бы, что колебание функции
45
   больше разности значений на концах участка). Чтобы не учитывать
монотонность огибающей на всех сегментах  ,  2  , достаточно в числителе
определения (2.90) вместо разности писать модуль непрерывности   2   , равный
по определению
 f    sup  f x1   f x2  : x1 , x2  D f   x1  x2   ,
где D f  — область определения функции f x  . Величина  f   представляет собой
точную верхнюю грань колебания функции f x  по всех возможным подотрезкам
длины, не превосходящей  .
Если величина 2  мала в сравнении с длительностью импульса, то в
разности числителя (2.90) можно перейти к производной. Соответственно, на
участке возрастания и убывания импульса крутизна фронтов (2.90) вычисляется так:
K  1
   2
,
   
2     2    
1 

K  1
    
    
(2.91)
 2   


 1 .
    

Отметим, что на границах импульсов со слишком крутыми фронтами
нарушается условие квазимонохроматичности, независимо от длины центральной
части импульса, потому что на них время  b значительного изменения амплитуды
волны мало. Впрочем, это не исключает возможность использования полученных
ранее точных формул (2.36)–(2.40) из п.2.2.
Отношение
     
легко
считается
для
импульсов
многих
форм
(обобщенной верзьеры     A1  2   12m  , супергауссиана     A exp  12   2m  2
1
[48–49], так называемой «шапочки», равной     A exp  1 1  2   12 m  при 0    
и     0 при   0,   , m — целое число, для степени синуса, равной     sin 2m s
при 0     s и     0 при   0,   s и др.).
2.3.3.4.2. Критическая крутизна фронта
Если, в соответствии с вышеуказанным замечанием рецензента, предположить
существование некоторой критической крутизны K кр , быть может, из аппаратных
46
ограничений, то в различных физических приложениях следует наложить
ограничение на параметры импульсов, характеризующие эту самую крутизну (2.91),
в частности, на максимальное значение параметра m в вышеуказанных примерах,
которое будет зависеть как от частоты  , так и от долготы  импульса. Тогда эти
максимальные значения параметров можно вычислить численно.
С учетом (2.89)–(2.91) и гипотезы о существовании K кр , можно записать
неравенства, которым должны подчиняться фронты импульса:
   2      
1
 1
max   ,   2  
K кр
, max   ,  2    0 ,
(2.92.0)
либо альтернативно
   2      
 K кр  1 , min   ,    2    0 ,
min   ,    2  
(2.93.0)
или, гораздо проще,
max   ,    2  
 K кр , min   ,    2    0 ,
min   ,    2  
(2.94.0)
min   ,   2  
1

max   ,   2   K кр
(2.95.0)
, max   ,   2    0 .
С учетом малости 2  , если амплитуда волны не убывает на участке  ,  2 
(     0 ), имеем
2   
1
 1
,    2    0 ,
   2  
K кр
2   
  
 K кр  1 ,     0 ,
(2.92.1)
(2.93.1)
если не возрастает на  ,  2      0 , то
2   
  
 1
1
,     0 ,
K кр
2   
 К кр  1 ,    2    0 ,
   2  
(2.92.2)
(2.93.2)
Также можно упростить (2.94.0)–(2.95.0). Если амплитуда волны не убывает на
 ,  2      0 , то
47
1
1
2   
  
2   
  

 K кр ,     0 ,
1
K кр
(2.94.1)
,    2    0 ,
(2.95.1)
если не возрастает на  ,  2      0 , то
1
2   
1
  
 K кр ,    2    0 ,
2   
  

(2.94.2)
1
,     0 .
K кр
(2.95.2)
Откуда видно, что неравенство (2.94.1) эквивалентно неравенству (2.93.1), (2.95.2)
равносильно (2.92.2). Критерий (2.92.0) дуален к критерию (2.93.0), а критерий
(2.94.0) дуален к критерию (2.95.0) так, что выполнение одного критерия дуальной
пары автоматически ведет к выполнимости второго критерия. Следует, однако,
проявлять внимательность при использовании неравенств (2.95.1) и (2.94.2), т.к.
преобразования, благодаря которым они получены, справедливы, если и только если
2       1 — когда же данное сильное условие не выполняется, применение
критериев (2.95.1) и (2.94.2) некорректно.
Подвергнем проверке на критерий (2.93.2) некоторые формы импульса, взяв
K кр  e .
Поскольку супергауссиан и «шапочка» вдали от моды убывают гораздо
быстрее своей производной, то будем рассматривать только тот диапазон,
в
котором амплитуда импульса сосредоточена в пределах от 10% до 90% своего
макс. значения, аналогично [46], дабы не говорить о переходном режиме и краевых
особенностях.
Таблица №2.1. Максимальное значение m обобщенной верзьеры.
l, фс
25
50
75
100
ω, ∙1014 Гц
3
3
3
3
m
1
1
2
3
ω, ∙1014 Гц
6
6
6
6
48
m
1
3
4
5
ω, ∙1014 Гц
9
9
9
9
m
2
4
6
7
Таблица №2.2. Максимальное значение m для супергауссиана.
σ, фс ω, ∙1014 Гц m ω, ∙1014 Гц m ω, ∙1014 Гц m
30
3
1
6
1
9
2
50
3
1
6
2
9
3
70
3
1
6
3
9
4
90
3
2
6
3
9
5
Таблица №2.3. Максимальное значение m для «шапочки».
l, фс ω, ∙1014 Гц m ω, ∙1014 Гц m ω, ∙1014 Гц m
200
3
1
6
2
9
3
300
3
1
6
3
9
5
400
3
2
6
5
9
7
500
3
3
6
6
9
9
Таблица №2.4. Максимальное значение m для синуса в степени 2m.
1/s, фс ω, ∙1014 Гц m ω, ∙1014 Гц m
ω, ∙1014 Гц m
80
3
3
6
17
9
41
90
3
4
6
22
9
52
100
3
5
6
28
9
64
110
3
7
6
34
9
78
Из таблиц №2.1–2.4 видно, что с ростом частоты и длины импульса, как и следовало
ожидать, увеличивается допустимое значение m. В заключение отметим, что
величина ln K , как кажется, задает логарифмический декремент колебаний в двух
соседних максимумах импульса (амплитудах), однако крутизна в форме (2.91), в
отличие от декремента, задана не на отдельных точках — вершинах максимумов, —
а на непрерывном множестве аргументов  . Выбор же того или иного выражения
крутизны фронта диктуется исключительно вычислительными удобствами.
2.3.4 Поперечный сдвиг частицы в поле плоского электромагнитного импульса
2.3.4.1 Сдвиг при импульсе с симметричными фронтами
Рассмотрим первоначально покоящуюся заряженную частицу с массой m и
зарядом
q.
Плоско-поляризованный
плоский
электромагнитный
импульс,
распространяющийся вдоль оси z, имеет векторный потенциал, сводящийся к
знакопеременному (в силу произвольности выбора начального уровня)
 
0,
с

Ay  Az  0 , Ax  A  , A   E0 cos       ,       E0 0,    cos   ,0


0,
   

с
49
и принимающий равные значения на концах компакта A   A  (в частности
   ,    ). В полной аналогии с (2.71) получаем
x  c 
zc


q 






0
,


cos




d

,
  cos    d  , y  0 ,
 

q 






2








  cos    2 d  .
0
,


cos
s




d

,
 

2 


Очевидно, после прохождения электромагнитного импульса координата z частицы
отлична от нуля z  0 , т.к. в её выражении подынтегральная функция принимает
только неотрицательные значения. Координата y на протяжении всего процесса не
изменяется и равна нулю y  0 . Сказать что-либо определенное о координате x мы не
можем, равна она нулю или нет после прохождения импульса. Более того,
рассматривая интеграл для неё, можно обнаружить, что она не возвращается к
первоначальному нулевому значению во многих случаях.
Это обстоятельство, на первый взгляд, контринтуитивно. Однако чтобы, в
конечном
счете,
координата
x
заряженной
частицы
не
возвращалась
к
первоначальному нулевому значению, достаточно чтобы положительная площадь
под
графиком
векторного
потенциала
(расположенная
над
осью
τ)
не
уравновешивалась отрицательной площадью (расположенной под осью τ).
2.3.4.1.1 Импульс с гауссовой огибающей
Обратим внимание на хорошо известный импульс с гауссовой огибающей:
    e

  p 2

2
, Ax   
с


E0 e
  p 2
2
cos    ,
параметр v связан с длительностью импульса на полувысоте FWHM формулой
FWHM    2 ln 2 . Интегрирование его векторного потенциала от   до   даёт
выражение, зависящее от длительности, частоты и начальной фазы импульса
x  c 
q
 I  , ,  , p  ,
q
где введено обозначение
I  , ,  , p     e
 2 2

4

   cosp   , p     .
50
(2.96)
В функции I хорошо усматривается гауссово распределение по частоте и
распределение Рэлея по параметру v (см. рис. 2.6). Средствами математического
анализа
легко

показать,
что
I
принимает
своё
максимальное
значение

I max  2 e 2  1,52  при   2  и нулевой фазе   0 . Много это или мало?
Например, это даёт поперечный сдвиг порядка x  1,52  10 6 м при   1 (близко к
1018 Вт см 2 ) и   3  10 14 с 1 , что составляет порядка одной длины волны импульса
или 10 4 Å.
1
1
I  ,  
2
1  2  3
3
I  , 
2
1   2   3 

2
3
(а)
(б)
Рис. 2.6. Значение интеграла I в зависимости от а). параметра v и частоты,
б). параметра v и фазы импульса.
Значение параметра v, при котором I достигает максимума, отвечает так
называемым half-cycle импульсам (импульсам, в которых укладывается порядка
полупериода волны [50], см. рис. 2.7.а).
Для так называемых few-cycle импульсов (импульсов с малым числом
периодов, укладывающихся в FWHM [51], иногда говорят «предельно коротких
лазерных импульсов», рис. 2.7.б) величина I принимает значения, меньшие чем для
half-cycle импульсов. Наконец, для many-cycle импульсов (с большим числом
периодов в FWHM, рис. 2.7.в) эффект нескомпенсированности положительной и
отрицательной площадей становится практически незаметным.
Очевидно, максимальная нескомпенсированная площадь под векторным
потенциалом, сводящимся к знакопеременному, отвечает 2  , что составляет
верхнюю границу интеграла I для импульсов любой формы огибающей.
51
1
E x     A x
c
Ax  
Ax  
1
E x     A x
c
Ax  
1
E x     A x
c
0


4


2
(а)
(б)
(в)
Рис. 2.7. Эскизы векторного потенциала и соответствующей напряженности
электрического поля гауссового импульса во времени τ в зависимости от фазы Φ:
а). half-cycle pulse, б). few-cycle pulse, в). many-cycle pulse.
2.3.4.1.2 Импульс с огибающей типа квадрата синуса
Другим аналитически вычислимым случаем является импульс с огибающей
типа квадрата синуса:

0,
 0



    sin  s 2 , 0    ,
s




0,
s
Ax   
с



E0 0, sin 2 s  cos   ,0 .
Такая функция векторного потенциала имеет компактную область определения, в
отличие от неограниченного в пространстве гауссиана, постепенно спадающего к
нулю на бесконечности. Конечное поперечное смещение частицы в поле импульса:
x  c 
I s,  ,   
Анализируя
2s 2
  2  4s 2


выражение для
q
 I s, ,   ,
q


 

 1  cos
cos   .
 sin   sin
s 
s


I, можно показать, что
максимальных значений, если  s  2k  1,    2n  1 2
52
оно
достигает
( n, k  Z ). Глобальный же
максимум будет при n  k  0 , и он равен I max  4 3   1,33  , что соответствует halfcycle импульсу (рис. 2.8.а), спадание же этой максимальной величины с ростом k
(соответственно, и длительности импульса FWHM   2s    2k  1 2  ) происходит
по закону I  4  4k 2  4k  3 ~ 1 k 2 , что гораздо медленнее, чем (2.96), убывающее с
длительностью по закону ~ 
4
e .
2
1
E x     A x
c
Ax  
Ax  
1
E x     A x
c
Ax  
1
E x     A x
c
 0



4

2
(а)
(б)
(в)
Рис. 2.8. Эскизы векторного потенциала и соответствующей напряженности
электрического поля импульса типа sin2 во времени τ в зависимости от фазы Φ:
а). half-cycle pulse, б). few-cycle pulse, в). many-cycle pulse.
Как и ранее из рис. 2.7, из рис. 2.8 можно наблюдать, как эффект
нескомпенсированности положительной и отрицательной площадей становится
незаметным на высоких частотах. Отметим, что как в п.2.3.4.1.1, так и в п.2.3.4.1.2
положительная
и
отрицательная
площадь
под
графиком
напряженности
электрического поля уравновешивают друг друга, так что суммарная площадь под
графиком остаётся равной нулю (первообразная напряженности пропорциональна
векторному потенциалу, принимающему на бесконечностях одинаковые значения).
2.3.4.2 Влияние асимметрии фронтов на величину поперечного сдвига частицы
Максимальная нескомпенсированная площадь под графиком импульса,
имеющего симметричные передний и задний фронты, определялась лишь одним
полупериодом волны. Однако, как будет видно далее, можно добиться увеличения
53
нескомпенированной
площади
во
много
раз,
используя
импульсы
с
асимметричными фронтами.
2.3.4.2.1 Импульс с усеченной гауссовой огибающей
Обратимся вновь к импульсу с гауссовой огибающей (на левом рис. 2.9 —
синяя кривая), но пусть теперь от неё отсечён некоторый хвост (красная кривая на
рис. 2.9), так что импульс становится существенно асимметричным. Поскольку
напряженность электрического поля пропорциональна первой производной от
векторного потенциала, то ради физического смысла, вообще говоря, требуется
обеспечить гладкость отсечения хвоста, что показано на увеличенном фрагменте
рис. 2.9.
1
E x     A x
c
Ax  
Рис. 2.9. Эскиз, иллюстрирующий векторный потенциал (синяя линия) с гауссовой
огибающей без хвоста (красная линия) на левом рисунке и соответствующую
напряжённость электрического поля на правом рисунке. На увеличенном
фрагменте показан плавный уход потенциала в нуль.
Отсекаемый хвост определяет величину поперечного смещения заряженной
частицы. Пусть для простоты сдвиг моды огибающей относительно начала
координат равен нулю p  0 . Отсекается передний фронт до точки  0 , так что
интегрирование векторного потенциала от этой точки до   даёт выражение
x  c 
q
 I  ,  ,  ,0,
q
где функция I равна
I  ,  ,  ,0 

2
 2 2
νe

4
1  2 Re erf x   erf x cos    ,
54
xi
1  Re erf x 
Im erf x 
  0
 arcsin
.
 ,   arccos
2 
1  2 Re erf x   erf x
1  2 Re erf x   erf x
Наличие корня в выражении для I приводит к эффекту много большему, чем в
случае симметричных фронтов (2.96). Если зафиксировать   0 , то локальные
максимумы I  , ,0,0станут наблюдаться в точках  0    2k  1 2  ( k  Z ), а
наибольший — в точке  0    2  ( k  0 — де-факто отсекается почти половина
импульса), что можно наблюдать численно (рис. 2.10.а).

e
2
2
 

I
,  ,0,0 
 2

I  ,  ,0,0 
I  0 , ,0,0
cos 
 , 0
(а)
(б)
Рис. 2.10. а). Оригинальный векторный потенциал (красная линия) и функция I в
зависимости от точки  0 (зеленая линия), б). Отношение максимального значения I
при асимметричных фронтах гауссового импульса к максимальному значению I при
симметричных фронтах.
Отношение максимального значения I при k  0 к максимальному значению I
при симметричных фронтах (рис. 2.10.б) растёт с частотой гораздо быстрее
экспоненты, примерно подчиняясь зависимости ~ e
2
4
   . Однако при этом по
абсолютной величине I при несимметричных фронтах, конечно же, убывает с
частотой, причем по закону ~ 1  .
2.3.4.2.2 Экспоненциально убывающий импульс
В качестве примера сильно асимметричного импульса с точно вычислимыми
параметрами рассмотрим импульс с экспоненциально убывающей огибающей:
 0
0,
      
,
e  cos   ,   0
 0
0,
Ax    E0    
.

e  cos   ,   0
с
После прохождения такого импульса величина поперечного смещения частицы
равна:
55
x  c 

I  ,   
 2 2  1
cos    sin   
q
 I  ,  ,
q

 2 2  1
cos    ,
Легко подсчитать, что I ,  максимально при  
I  ,   
равно
I  ,   
 cos   1
 cos   1
2
2
,
либо
при

cos   1
 sin 
  arccos
1
 2 2  1
.
cos   1
(если sin   0 ) и
 sin 
(если
sin   0 )
и
равно
— в обоих случаях величина эффекта пропорциональна
эффективной длительности импульса FWHM   ln 2 .
2.3.4.3 Возможная схема демонстрационного эксперимента
Выбор покоящейся частицы в п.2.3.4.1–2.3.4.2 был сделан для наглядности.
Можно показать формально (это уже было проделано в п.2.3.2.2), что после
прохождения лазерного импульса все компоненты скорости частицы возвращаются
к первоначальным значениям, а это дает повод предложить какую-нибудь
экспериментальную демонстрацию указанного эффекта (см. рис. 2.11). Описание
эксперимента полностью совпадает с предложенным в п.2.3.2.2 (рис. 2.3) с той лишь
разницей, что теперь угол θ между электронным пучком и направлением
распространения лазерного импульса мал. Это приводит к тому, что смещение
электронов на экране складывается из двух величин — доли от продольного
смещения Z sin  и доли от поперечного смещения xcos . Достаточной
малостью угла θ и длительности лазерного импульса можно добиться того, что
вклад от продольного смещения будет мал в сравнении с поперечным сдвигом.
При достаточной чувствительности аппаратуры рассмотренный эффект может
быть использован, например, для детектирования несимметричности фронтов
импульсов с большим числом колебаний, чью асимметрию стандартными
средствами
заметить
оказывается
затруднительным.
Можно
попробовать
использовать данный эффект для калибровки компьютерных моделей. Например,
при использовании гауссовой формы импульса мы не можем на практике выжидать
бесконечное время, выдерживая всю длительность переднего фронта, поэтому
56
приходится
ограничивать
длину
переднего
фронта
разумными
пределами.
Проведение калибровочного расчета с одной заряженной частицей в поле такого
усеченного импульса показывало бы приемлемость такого упрощения.
Рис. 2.11. Возможная схема эксперимента, демонстрирующего поперечное
смещение электронов в поле импульса.
Следует отметить, что всё вышесказанное по п.2.3.4 относилось к импульсам с
векторным потенциалом, сводящимся к знакопеременному. В п.2.3.3.3 был
рассмотрен импульс со знакопостоянным векторным потенциалом (2.83). Т.к. на
каждом полупериоде колебаний такого импульса не происходит компенсации
площади под графиком потенциала, то поперечное смещение частицы (2.88)
оказывается очень большим (в сравнении со случаем знакопеременного потенциала)
и даже превосходит продольный сдвиг.
В качестве краткого заключения по п.2.3.4 можно указать следующее. Было
показано, что после прохождения электромагнитных импульсов с симметричными
фронтами изначально покоящаяся частица может быть смещена в поперечном
направлении. Величина смещения быстро убывает с частотой и длительностью
импульса, поэтому максимальный эффект следует ожидать для так называемых halfcycle и few-cycle импульсов. Поперечное смещение имеет место и для импульсов с
асимметричными фронтами, при этом его величина намного больше, чем в
симметричном случае. Аналитически были рассчитаны некоторые наглядные виды
импульсов. Предложена схема эксперимента для проверки теоретических расчетов.
57
3 Движение заряженной частицы в поле неплоской электромагнитной волны
3.1 Движение частицы в неплоской волне
3.1.1 О неплоских электромагнитных волнах
Плоская
монохроматическая
электромагнитная
волна
бесконечна
в
пространстве, нигде не начинается и нигде не обрывается, амплитуда ее колебаний
не зависит от времени, следовательно, она является идеальным объектом. В природе
же все электромагнитные волны имеют некоторый источник, имеют начало, ранее
которого их не было, а значит, имеют область пространства и времени, в которой их
когда-то не было, то есть формально их амплитуда зависит как от времени, так и от
координаты. Такие волны, конечно же, не являются плоскими. Плоские
электромагнитные волны — суть нестационарные поля, которые могут быть
представлены в декартовой прямоугольной системе координат так, что будут иметь
периодичность вдоль одной из координат и обладать непрерывной трансляционной
симметрией по двум другим координатам. Поскольку, как уже замечено, случай
плоских волн идеален, то интерес представляют неплоские волны, которые также
хорошо могли бы описываться математически и возникали бы в некоторых
специальных, модельных условиях.
По
определению
напряженность
электрического
и
магнитного
поля
электромагнитной волны выражаются через векторный потенциал (2.2). В
отсутствие источников и среды скалярный потенциал волны удобно положить

равным нулю  r , t   0 ([5, с. 5], [23]), тогда на векторное поле будет наложена
 
div Ar , t   0 ,

электрического E r, t 
кулоновская калибровка
напряженность
при которой сам векторный потенциал,
и магнитного
 
H r , t 
поля все вместе

удовлетворяют волновому уравнению [52] (2.3), где на месте u могут быть



компоненты полей A , E и H .
Последующий вывод неплоской волны в вакууме возможен двумя путями: либо
из уравнения (2.3) отыскивается потенциал
напряженности

E

E
и

H

A,
а затем по нему строятся
, исходя из определений (2.2), либо из (2.3) сразу ищутся поля

и H . И в первом, и во втором случае система координат выбирается так, чтобы по
58
максимальному числу осей наличествовала симметрия, т.к. в этом случае лапласиан
в уравнении (2.3), естественно, упрощается.
Известно, что вообще решение одномерной краевой задачи для уравнения
гиперболического типа задаётся с помощью формулы Даламбера [25, с. 50–52]:
utt  a 2 u xx  0 , ux,0   x  , ut x,0   x  ,
u  x, t  
 x  at    x  at 
2

1 x  at
 s ds .
2a x at
Однако, обычно, решение требуется не в интегральном виде, поэтому приходится
прибегать к различным аналитическим маневрам. При попытке рационального
выбора системы координат лишь сравнительно небольшое их число дает простые
решения.
Лапласиан в криволинейных не ортогональных системах координат называется
оператором Лапласа–Бельтрами [53]:
u  
i ,k
1   ik
u 
g g k ,
i 
x 
g x 
где g ik — метрический тензор, g  g ik ,
g il g lk   ki .
С его помощью волновое
уравнение (2.3) для компонент записывается в форме

i,k

i
g x
1
u
 ik
g g k
x

2
 1  u

0.

2
2
 c t
(3.1)
На практике, как правило, чаще выбирают ортогональные системы координат,
поэтому
волновое
уравнение
(3.1)
решать
не
приходится.
Решения
дифференциальных уравнений в ортогональных координатах принято искать в виде
функций, получивших наименование специальных. Наиболее удобоупотребимы
сферическая, цилиндрическая, сфероидальная системы координат. Оператор
Лапласа в ортогональных координатах записывается сравнительно просто:
u 
1
h1 h2 h3
   h2 h3 u  



 x  h x   x
1 
2
 1 1
 h3 h1 u  


 h2 x 2  x3
 h1 h2 u  

  ,

h

x
3 
 3
где h1 , h2 и h3 — коэффициенты Ламэ. Очевидно, для цилиндрических и
параболических координат, а также для биполярных координат на плоскости, одна
59
из осей x1 которых совпадает с какой-нибудь осью декартовой системы, вдоль этой
совпадающей оси всегда возможна плоская волна:
ue

ct 
h1 x1
u x,0 .


Когда искомая функция допускает разделение переменных ur , t    r e it , то
волновое уравнение приводится к уравнению Гельмгольца
  k   0 , k   c
2
И, например, функции Бесселя и сферические функции Бесселя в этом случае
являются
радиальными
частями
решений
этого
уравнения
[54,
с. 11]
в
цилиндрической и сферической системах координат, а просто сферические функции
— это угловая часть решений уравнения Гельмгольца в сферической системе
координат. Уравнение Гельмгольца в сферической системе координат со своими
решениями [55, л. 5]:
1   2  
1
 
 
1
 2
r

sin


 k 2  0 ,




2
2
2
2
2
  r sin  
r r  r  r sin   
 lm  AClm Pl m cos e im wl kr , Clm 
2l  1 l  m !

, wl kr 
Z l 1 2 kr ,
4 l  m !
2kr
где Pl m x  — присоединенные полиномы Лежандра, Z l 1 2 x  — функции Бесселя
полуцелого номера, wl x  — сферические радиальные функции, а то, что в
квадратных скобках — шаровая сферическая функция, обозначаемая Ylm  ,   .
Поскольку для точечного источника волн наличествует центральная симметрия, то
вторую и третью производную следует положить равными нулю, что в общем
решении можно осуществить закреплением углов  и  на какую-либо величину,
тогда в качестве решения останется только сферическая радиальная компонента.
В цилиндрической системе координат решением уравнения Гельмгольца [56,
с. 78–79]
1     1  2  2
 2  k 2  0 ,
r
 2
2
r r  r  r 
z
60
не зависящими от z , являются стоячие волны, представимые произведением
синусоиды (косинусоиды) по углу  и линейной комбинации функций Бесселя J m и
Неймана N m :
 m  J m r   N m r sin m или  m  J m r   N m r cos m ,
где  и  — произвольные постоянные (вообще говоря, комплексные). Чтобы
решение сходилось при r  0 , обычно подразумевают, что   0 [52]. См. также по
этой теме [25, с. 523–527].
В сфероидальных координатах угловая и радиальная часть решения уравнения
Гельмгольца оказываются взаимосвязанными. Оператор Лапласа с сфероидальных
вытянутых (верхний знак) и сплюснутых (нижний знак) координатах [54, с. 20–21]:

 2
4


 2  2
2 
2 


1

1




.
 
  2  1 1   2  2 
d 2  2   2  









Множители решения уравнения Гельмгольца   R S  e im и   R S  e im
подчиняются дифференциальным уравнениям с решениями

d 2
d
m2 
 1
R     p 2  2  1  2  R  0 ,
d
d
  1






d
d
m2 
1  2
S    p 2 1   2 
S  0 ,
d
d
1  2 





S   ~ e  ic  , S   ~ e ic  , R  ~ e  ic  , R  ~ e ic 
где  — константа разделения, d — фокусное расстояние в эллиптической системе
координат, p  kd 2 . Напомним, что сфероидальные координаты  ,,  связаны с
декартовыми прямоугольными x, y, z  формулами (ось z совмещена с осью
вращения):
x


d 2
  1 1  2
2

1
2
cos  , y 


d 2
  1 1  2
2

1
2
sin  , z 
d
 ,
2
  1,  ,    1,1,   0,2  .
Отметим, что решать одно-единственное векторное волновое уравнение (2.3)
гораздо проще, чем систему уравнений Максвелла в комплексных амплитудах [57]




rot H  iE , rot E  iH ,
61
которая даже просто в ортогональных координатах для монохроматических полей в
отсутствие источников записывается в очень громоздком виде [58, с. 7]
 
rot H  l
 
  1  







E
h

E
h
         l h h   E h    E h  



  
 1 
 
E h    E h  , rot E  l 1   H  h    H h  
 l

h h  

h h  




 l
1
h h
1
h h
 
  1





H
h

H
h




 
  l h h



 



  H  h    H  h  ,



h h E    h h E    h h E   0 ,  h h H     h h H    h h H    0 ,






где векторы напряженности электрического и магнитного поля записаны в виде




  
 
 
E  l E  l E  l E , H  l H   l H  l H  , а l , l , l — орты вдоль, соответственно,
координат  ,  ,  .
Вывод неплоских волн в различных криволинейных системах координат
формально допустим не только из волнового уравнения (2.3). Запись уравнений
Максвелла все же может быть проще, чем волновое уравнение, если ввести

комплекснозначный вектор Римана–Зильберштейна F 
1
2




 0 E  i 0 H . С ним
уравнения Максвелла записываются компактно [55, л. 2]

 i F
 F 
0
c t

и включают в себя лишь частные производные первого порядка. Вектор F носит
характер комплексной амплитуды, причем
 
F  F*
— есть плотность энергии

электромагнитного поля. Весьма просто с помощью вектора F находятся волны,
например, в цилиндрической системе координат [55, л. 2].
Таким образом, вывод той или иной неплоской волны в криволинейных
системах координат связан с формой уравнения, представляющего эту волну. Так,

напряженности электрического E

и магнитного поля H
могут находиться
непосредственно из волнового уравнения (2.3) или уравнений Максвелла, либо
опосредованно через векторный потенциал, получаемый из (2.3). В обоих случаях
выбор удобной системы координат позволяет, в силу наличия симметрий по
62
определённым направлениям, резко
упростить задачу поиска
вычислимых
аналитически случаев.
3.1.2 Движение заряженной частицы в сферической волне
В п.3.1.1 была упомянута сферическая система координат. Следуя [52],
рассмотрим волновое уравнение в этой системе для поля, не зависящего от углов 
и  . Это уравнение записывается очень просто:
1   2 u  1  2 u
 0.
u

u 2 r  r  c t 2
(3.2)
1
u r , t    r , t 
r
(3.3)
Подстановка
приводит к уравнению
 2 1  2

0
r 2 c 2 t 2
эквивалентному (2.3) с общим решением в виде линейной комбинации


r
c


r
c
 r , t   a  t    b  t   ,
где a и b — действительные числа,  — соответствует волне, распространяющейся
в направлении возрастания r,  — в направлении убывания r.
 
Если под ur, t  понимать компоненты векторного потенциала Ar , t  , то
напряженности электрического и магнитного поля, согласно определению (2.2)
равны

1   r  
1    r 1 
 r
E     t   , H   2 r    t    3 r    t   .
cr  c 
cr
 c r
 c
(3.4)
Напряженность электрического поля (3.4) имеет зависимость, подобную
векторному полю (3.3). Выражение для магнитного поля упрощается в так
называемой дальней (волновой) зоне, т.е. на большом расстоянии r>>cτ от центра
сфер. В этом случае второй член в выражении для магнитного поля (3.4)
пренебрежимо мал в сравнении с первым, и магнитное поле становится по форме
записи похожим, как и электрическое поле, на векторное поле. Противоположному
случаю r<<cτ отвечает так называемая ближняя зона (зона индукции), в ней,
63
наоборот, можно пренебречь первым членом в выражении для магнитного поля [59].
Посередине располагается промежуточная зона, в которой важны оба члена в
выражении магнитного поля (3.4).
Далее попробуем рассмотреть движение заряженной частицы в сферической
электромагнитной волне. Будем действовать аналогично п.2.1.3. Переменную 
определим теперь как
r  1 j
 t ,
( j  x, y, z ).

c j c r
Здесь и далее, если r будет встречаться без вектора, то подразумевается его модуль.

Запишем гамильтониан частицы в поле векторного потенциала A  Ax , Ay , Az  :
  
cPx  qAx r , 2  cPy  qAy r , 2  cPz  qAz r , 2  m 2 c 4 ,
(3.5)
где Px , Py , Pz — компоненты обобщенного импульса. Для частных производных
имеем:
A j
x
A j
y
A j
z

   j    x 
r

  3  j     j   ,
x  r  r 
c


   j    y 
r

  3  j     j   ,
y  r  r 
c


   j    z 
r

  3  j     j   ,
z  r  r 
c

(3.6)
где штрихом обозначена производная по  . Когда частица движется в ближней зоне,
приближенно можно считать, что
A j
x
A j
y
A j
z

x
x
 j    A j r ,  2 ,
3
r
r

y
y
 j    A j r ,  2 ,
3
r
r

z
z
 j    A j r ,  2 .
3
r
r
Канонические уравнения:
64
(3.7)


 A 
   A 



1
2
Px  
  cq P    q  A   ,
x
   x 
 x 


 A 
   A 



1
2
Py  
  cq P    q  A   ,
y
   y 
 y 


 A 

1    A 
2

Pz  
  cq P    q  A   ,
z
   z 
 z 
x 
(3.8)
 ccPz  qAz 
 c cPy  qAy 
 ccPx  qAx 

, y 
, z 
,


Py

Pz

Px

(3.9)
где точкой обозначена производная по времени t . С учетом (3.7) уравнения (3.8)–
(3.9) примут вид:
 


 


 





 
 
 
x
y
z
Px   2 cq P  A  q 2 A 2 , Py   2 cq P  A  q 2 A 2 , Pz   3 cq P  A  q 2 A 2 ,
r
r
r
x 
ccPx  qAx 

, y 
ccPy  qAy 

, z 
ccPz  qAz 

.
(3.10)
(3.11)
Напрямую из (3.5), дифференцируя, получаем
  

   .

 
 
 
cq P  A  c 2 P  P  q 2 A  A
(3.12)

Если обозначим
def
 


  cq P  A  q 2 A 2 ,
то тогда из (3.10)
x
Px r 2

, y
Py r 2

, z
Pz r 2

,
(3.13)
2
2
r  
.

P 2 2
Для модуля мгновенной силы, действующей на частицу, из (3.10) получаем
выражение:
F

.
r
(3.14)
Из (3.11) и (3.13) находим
r   2r  r  2cqP  A c

2
 
65
2
P  P  P
2
2
.
(3.15)
Дифференцируя выражения (3.10) по времени, с учетом (3.12), (3.11) и (3.13),
получаем дифференциальные уравнения, описывающие импульс частицы
   P j
 
 
ccPj  qA j 
 
2
2




 Pj 

P

cq
P

A

c
P

P

q
A
 A  2  P j

j
 
 2r 2



   

2
r 

r2
либо, с учетом (3.15),
 
 
 
 

 
 
 

  ccP  qA P 2  P    cq P  A  q 2 A  A    2cq P  A   2   c 2 P  P  ,
 P
j
j
j
j
2

2
 







после аккуратного упрощения

  c с cP  qA P 2 
P
j
j
j

 
 
 
 
P j  
         
    
   
  2  cq  P  A   2  cq  P  A   2  2 q 2 A  A   2  2 c 2 P  P  .
  
 
 






(3.16)
Таким образом, уравнения (3.5), (3.13) и (3.16) полностью определяют
динамику заряженной частицы в поле сферической электромагнитной волны в
допущении (3.7), т.е. в ближней зоне. По наличию в уравнении (3.16) импульса
самого по себе, а также его первой и второй производной, можно лишь
предположить, что движение частицы будет представлять собой вынужденные
затухающие колебания. В то же время, можно подумать, что движение по оси z из-за
одинаковой формы уравнения для всех трёх координат будет подобно движению по
x и y, но в действительности это нельзя сказать утвердительно, т.к. движение по оси
z очень сильно зависит от компоненты Az векторного потенциала.
Из (3.8) без использования допущения (3.7) получаем уравнение,



 




 A   2  
 

  




A
A     A 
3 
2
2
2
  Pj   cq  P   q  A    cq P    q  A   c P  P  q 2 A  A  cq P  A  ,

j 
j   
j 
j  



 

   


которое вместе с (3.5) и (3.9) описывает поведение заряженной частицы в
сферической волне более точно, чем система уравнений (3.5), (3.13), (3.16), но более
сложно.
Теперь поговорим о движении частицы в дальней (волновой) зоне, когда
расстояние от центра r велико. Частные производные (3.6) с учетом (3.4) и
пренебрежением вторыми слагаемыми принимают вид
66
A j
x
A j
y
A j
z

x
x
 j     E j ,
2
r
cr

y
y
 j     E j ,
2
r
cr

z
z
 j     E j ,
2
r
cr
(3.17)
а канонические уравнения для импульсов (3.8), соответственно,
 



 



 



 
 
x
Px 
cq P  E  q 2 A  E ,
r
 
 
y
Py 
cq P  E  q 2 A  E ,
r
(3.18)
 
 
z
Pz 
cq P  E  q 2 A  E ,
r
Если обозначим


  cqP  E   q 2 A  E ,
 
def
 
то тогда из (3.18)
x
Px r

x
r
P 
x
, y
Py r

, z
Pz r

,
(3.19)
y
, r   , r  z  .
Py 
Pz 
Для модуля мгновенной силы, действующей на частицу, из (3.18) получаем
выражение:
F

.

(3.20)
Из (3.9) и (3.19) имеем
 
   
 
 
 
r  r
1

r  
 c 2 P  P  cq A  P .
r

(3.21)
Дифференцируя выражения (3.18) по времени, с учетом (3.9), (3.12), (3.19) и (3.21),
получаем дифференциальные уравнения, описывающие импульс частицы
 
P
j
ccPj  qA j 
 2r
   
  

    2 j 2
  P j
 
 
 
 
 P j   cq P  A  c 2 P  P  q 2 A  A  4 2  c 2 P  P  cq A  P

 
r
  r Pj


либо, с учетом (3.19),
67

 
P
j
ccPj  qA j 
j
   
 

   1
  P j  
 
 
 
 


Pj  Pj    cq P  A  c 2 P  P  q 2 A  A  2  c 2 P  P  cq A  P 2  .
 j 

 



После аккуратных преобразований
 
P
j
ccPj  qA j 
j
       
  1
  
 
 
P j   
q



Pj  Pj   c 2  2  q A  P  c P  P  2 c P  A  q A  A  .

 j 




(3.22)
Система уравнений (3.5), (3.19) и (3.22) полностью определяют динамику
заряженной частицы в поле сферической электромагнитной волны в допущении
(3.17), т.е. в дальней (волновой) зоне. В отличие от уравнений на компоненты
импульса в ближней зоне (3.16) уравнения на компоненты в дальней зоне (3.22)
содержат в себе в явном виде координату (в знаменателе), а избавление от неё в
ближней зоне и было смыслом дифференцирования выражений (3.10) по времени.
Поскольку в дальней зоне отделить импульсную зависимость от координатной не
удалось, то более оправданным является использование и более простой системы
уравнений (3.5), (3.9) и (3.18).
Сравнение выражений (3.14) и (3.20) для мгновенной силы, действующей на
частицу, показывает, казалось бы, что в ближней и дальней зоне несколько
различается характер зависимости силы от расстояния r, т.к. в знаменателе
выражения (3.14) для ближней зоны есть дополнительный множитель r. Однако если
увидеть, что  ~

, то выражения (3.14) и (3.20) становятся аналогичными.
r
3.2 Движение заряженной частицы в квазиплоской электромагнитной волне
3.2.1 О различных способах представления неплоской волны
Известно, что хорошо заданный вопрос содержит половину ответа. В этом
нередко можно убедиться в различных задачах математической физики, когда
заранее предполагается форма решения дифференциального уравнения, и лишь
затем по ней отыскивается ответ. В каждом ответе к задаче можно увидеть влияние
стартовых величин. Это относится и к задаче о движении частицы во внешних
полях. Например, в представлении поля пользуются разложением по малому
безразмерному параметру и вводят безразмерные параметры [60]–[61].
68
Попробуем ввести векторный потенциал электромагнитного поля, зависящий
от некоторых безразмерных (в пределах п.3.2.1) пространственных координат x и y
и координаты   t  z c как ряд Тейлора:


Ax, y,   An  Rn1 x, y  ,
(3.23)
n k


An x, y,    x k s y s  k ,s   ,
(3.24)
k 0 s 0
где Rn1 x, y  — остаточный член в форме Лагранжа, и частные производные от
некоторой функции f x, y, 

 k ,s
1

k





f
x
,
y
,

.
k s
s
k
!

x

y

 x0 , y0
def
(3.25)
Из (3.24) с учетом (2.2) и (2.4) электрическое и магнитное поля равны:
  k , s  x 
 Ex 

 
1 n k k s s 
 E y      x y   k , s   y  ,
c k 0 s 0
    
E 
 z
 k ,s z 
1
 s

 k , s  z   k , s   y 

c
 y

Hx 

 n k k s s  1
ks

 k , s  z  ,
 H y     x y    k , s  x 
c
x
 H  k 0 s 0
 ks

s
 z

 k , s   y   k , s  x 
y
 x

(3.26)
где  k ,s   j ( j  x, y, z ) обозначает соответствующую j-ую компоненту. Легко увидеть,
что формально


 H x   Ey   U z



 


H

E


U

,
 y  x 
z



 H   0  U U 
x 
 z 
  y
(3.27)
где остатки U i   sx k s y s 1  k ,s  i и U i   k  s x k s 1 y s  k ,s  i равны друг другу
n
k
n
k 0 s 0
k
k 0 s 0
только в первом приближении n=1. Уже при n=2:
U i  U i  0   2,1  2 2,0 i x  2 2, 2   2,1 i y .

Между прочим, можно заметить, что U  x, y,  

 
 
An x, y,  .
An x, y,  , U  x, y,  
x
y
Минимальный учет пространственной неоднородности по x и y возможен при
n=1:




A1 x, y,    0,0    x  1,0    y  1,1   ,
69
  0,0  x  x   1,0  x  y   1,1  x 
 Ex 
 

1
 E y      0,0   y  x   1, 0   y  y   1,1   y  ,
c
E 

 z
  0,0  z  x   1,0  z  y   1,1  z 
1
1

















x



y

 0,0   y 
1
,
1
1
,
0
1
,
1
z
y
y

c
с

1,1  z
Hx  
  E x  


 


1
1
  E 



.












H







x



y






 y 
1, 0
1, 0
1,1
0, 0
1, 0
z
x
x
x
z
  y 
c
c

H  
  E z    1, 0   y  1,1   x 
 z
  1, 0   y  1,1   x



Логично предположить, что при осевой симметрии (относительно z) 1,0  i  1,1  i .
Видеть, чем сложен случай неплоской электромагнитной волны, можно хотя бы по
тому, что для плоской электромагнитной волны все компоненты, обведённые сейчас
серой пунктирной рамкой, были тогда равны нулю. Из (3.26) и (3.24) следует, что
электрическое поле в пространстве отсутствует тогда, когда векторное поле
стационарно  k ,s  const по величине  , т.е. не меняется как по времени t , так и по
координате z , а отсутствие магнитного поля (вихрь векторного поля (3.24)
тождественно равен нулю) автоматически требует обнуления всех частных
производных по x и y , начиная с первых  1, 0 и 1,1 . Следовательно, нулевому полю
отвечает
вектор
констант


Ax, y,   const 0,0 .
Согласно
(3.26)
постоянному
электрическому полю, направленному вдоль оси x , должно отвечать векторное поле


с  0,0  x  const 0 ,0  t ,  0,0   y   0,0  z  0 ,  k ,s    0 ( k  1).
Векторное поле (3.24) можно переписать в матричной форме, расцепив x и y,


An x, y,   X  M  Y ,

где матрица над полем 3-компонентных векторов  равна

  0, 0
 
 1, 0
 
  2, 0
M  
 
 n  2 , 0
  n 1, 0
 
  n,0


1,1

 2,1

 3,1
 2, 2

 3, 2

 4, 2


 n 1,1

 n ,1

0


 n,2

0

0

  n,n 
 

0 


0 

   , X  x0


0 


0 
 

0 



x1 ... x n , Y  y 0
70
y1
 y0 
 1
y 
n
... y  , Y    ,
  
 yn 
 


т.е. все элементы под побочной диагональю матрицы M равны 0 . Разложение
векторного поля в ряд Тейлора не по двум переменным (3.24), а по трём должно
приводить уже не к матричной, а тензорной записи с тензором третьего ранга над

полем 3-компонентных векторов  .
Введём теперь векторное поле с явным осциллирующим множителем:
n k




An x, y,   Re e i   x k  s y s  k , s  
k 0 s 0


(3.28)
Электрическое и магнитное поля равны

  k , s  x  i k , s  x
 Ex 
 
1  i n k k  s s 
  x y   k ,s   y  i k ,s   y
 E y    Re e
c
k
0 s 0
     i  
E 

k ,s
z
 z
 k ,s z



 ,


(3.29)

 U z 
 H x   Ey 


 

 i 

 H y    E x   Re e   U z  .
U   U  
H   0 

x 
 z 

 y

Формально запись (3.28) отличается от (3.24) только умножением на экспоненту и
взятием действительной части, но в действительности эти два дополнительных
действия приводят к появлению новых слагаемых в электрическом поле,
обведённых синей пунктирной рамкой.
При n=1 из (3.28) и (2.2), с учетом (2.4), получаем




A1 x, y,   Re e i  0,0    x  1,0    y  1,1   ,


(3.30)

  0,0   x  x   1,0  x  y   1,1  x  i  0,0   x  x  1,0  x  y  1,1   x  
 Ex 

 
1  i 
 E y    Re e   0,0   y  x   1,0   y  y   1,1   y  i  0,0   y  x  1,0   y  y  1,1   y   ,
c 
     x      y      i     x      y      
E 
1, 0
1,1
0, 0
1, 0
1,1
z
z
z
z
z 
 z
 0, 0 z




1,1  z
 H x   Ey 


 

 i 
 1,0  z
 .
 H y    E x   Re e 


H   0 

 z 

 1,0   y  1,1  x 

Из (3.29) можно вычислить значения частных производных, при которых


электрическое поле равно нулю,  k ,s    const k ,s  e i . Чтобы магнитное поле также


равнялось нулю, требуется, как и ранее,  k ,s    0 ( k  1).
Если  k , s не зависят от  , то из (3.30)
71




A1 x, y,   Re e i  0,0  x  1,0  y  1,1  ,


(3.31)
и параксиальное приближение (3.31) дает выражения для частных производных:
A j
x
Для
 1,0 j cos  ,
A j
y
 1,1 j cos  ,
электромагнитной
волны
A j
z

можно

c
A j tg
( j  x, y, z ).
задавать
напрямую
(3.32)
выражения
напряжённостей электрического и магнитного поля, минуя векторный потенциал.
Будем следовать в этом работе [52]. При этом теперь будем полагать x , y и 
размерными:
 
 
 
 
Er , t   Re E0 r , t e i , H r , t   Re H 0 r , t e i .

(3.33)

Если E0 и H 0 постоянны, то (3.33) задаёт монохроматическую плоскую волну,


бегущую вдоль оси z. В немонохроматической волне E0 и H 0 меняются во времени
 
и пространстве. Пусть τb и lb — такие время и длина, на которых функции E0 r , t  и
 


H 0 r , t  существенно изменяются, но при E0 и H 0 меняются всё же медленно в
сравнении с комплексной экспонентой e i . Аналогично (2.47) можно ввести
параметры, которые удовлетворяют сильным неравенствам:
 
1
 b
 1 ,  l 
1
 1 ,
klb
(3.34)
где k   c . Поле (3.33) при выполнении (3.34) называется квазимонохроматической
квазиплоской электромагнитной волной. Когда    l , электромагнитную волну
на интервале ~  b удобно считать монохроматической квазиплоской волной. Когда
 l   , её удобно считать плоской квазимонохроматической волной в области с
поперечными размерами ~ lb к направлению распространения.
Подстановка (3.33) в уравнения Максвелла с вычислениями в первом порядке


по малым параметрам (3.34) даёт выражения для компонент E0 и H 0 :
E 0 x  E 0 x  x, y ,    H 0 y , E 0 y  E 0 y  x , y ,     H 0 x ,
E0 z 
i  E0 x E0 y


k  x
y
H 0 y

i  H
 , H 0 z   0 x 
k  x
y

72

 ,

(3.35)
где произвольные E0 x  E0 x x, y,  и
E 0 y  E 0 y  x, y ,  
меняются медленно, так что их
старшие производные высших порядков пренебрежимо малы. Учитывая (3.33):


E x r , t   H y r , t   C x cos   S x sin 
,


E y r , t    H x r , t   C y cos   S y sin 
,
S y 
C y
 C
1  S

 cos    x 
E z r , t     x 
k  x
y 
y
 x


 sin   ,


(3.36)

 C
C x 
1  S y S x 

 cos    y 
 sin   ,
H z r , t   

k  x
y 
y 

 x
где C x  Re E0 x x, y,  , S x  Im E0 x x, y,  ,
C y  Re E 0 y  x, y,  , S y  Im E 0 y x, y,  .
Видно, что между (3.33) и (3.29) существует глубокая связь, особенно если
пренебречь суммами U z и U z .
3.2.2 Движение частицы в квазиплоской электромагнитной волне
При
рассмотрении
движения
заряженной
частицы
в
квазиплоской
электромагнитной волне будем следовать работам [19]–[22].
Релятивистское уравнение движения заряженной частицы имеет форму (2.8).
Импульс частицы задается уравнением (2.9), а энергия — уравнением (2.10).
Магнитное поле электромагнитной волны не совершает непосредственной работы
над частицей, поэтому энергия частицы меняется только под действием
электрического поля (2.11). С учетом (2.2) запишем отличные от нуля компоненты
электромагнитного поля в виде:
E x  H y  E0 x cos  
A
Ax
, E y   H x   E0 y sin   y ,


 A Ay 
 A A 
 , H z  c x  y  .
E z  c x 
y 
x 
 x
 y
(3.37)
где      .
Из (3.37) находим векторный потенциал:
Ax 

1
1 E0 y
1
1 E0 x

ctg   cos  .
tg   sin  , Ay   E0 y 
 E0 x 

 t

 t


Уравнение движения (2.8) в покомпонентном виде:
73
(3.38)
dp x
 V
 q1  z
dt
c

 A Ay 

 ,
 E x  qV y  x 

y

x



 A Ay
 V 
 q1  z  E y  qVx  x 
dt
c 
x

 y
dp y
(3.39)

 ,

 A Ay 
dp z q
.
 Vx E x  V y E y   qc x 
dt
c
y 
 x
(3.40)
С учетом (2.11) уравнение (3.40) можно переписать в виде
 A Ay 
d
 ,
 qс x 
dt

x

y


(3.41)

где    p z . В параксиальном приближении (3.31) из (3.41) хорошо видно, что
c
величина  , которая для плоской волны была постоянной (2.24), теперь
осциллирует
 
qc


1, 0 x
 1,1 y cos  ,
(3.42)
т.е. для квазиплоской волны не применима теорема Лоусона–Вудварда [26–27]. В
конечном итоге это приводит к тому, что заряженная частица может ускоряться
полем квазиплоской электромагнитной волны.
Фактически система (3.39)–(3.41) с пренебрежением частными производными
по пространственным координатам (2.13*)–(2.14*) была решена в п.2.1.1. Когда
амплитуда волны является константой, распространяющаяся волна по определению
является строго монохроматической. Движение заряженной частицы в такой
монохроматической волне было изучено, например, в работах [13], [11]. Энергия и
импульс заряженной частицы тогда равны [19]–[22]:
  mc 
2

q 2 Ax2  Ay2
2m
,
p x 0  qAx , p y 0  qAy , p z 0 

q 2 Ax2  Ay2
2mc
.
(3.43)
Согласно [5, с. 13], энергия и компоненты импульса (3.43) первоначально
покоившейся заряженной частицы (  x   y  0 , h  0 ), усредненные по периоду
осцилляций частицы (2.53), равны
74
  c  p z  , p x 0  p y 0
4
2
  q2  2
 bx  b y2  .
 0 , p z 0  
2  2 
(3.44)
Средняя сила, действующая на электрон вдоль оси z, равна
mc d
fz 
1   4 d

 
b02x  b02y
q4


4 4 4
1  4
 4 32m c 

2
2

 q  2
2


,

 b0 x  b0 y .

 mc 



Наличие малых частных производных по пространственным координатам в
(3.39)–(3.40) приводит к малым поправкам к средней энергии и средним
компонентам импульса (3.44). Согласно [20] и [22] поправками к  и p z можно
пренебречь, т.к. они в общем случае отличны от нуля и при плоской волне. Поэтому,
целесообразно отыскать поправки к поперечным компонентам импульса, которые в
среднем равны нулю. Согласно [19] с учётом (3.34) эти поправки в компактной
записи равны:
q 2
p x  ip y  
2mc 2
 2


 b0 x  i b02y  .
y
 x

(3.45)
Соответствующее значение средней силы, действующей на заряженную частицу в
поперечных направлениях:
q 2 b02 j 
mc 2  
 ( j  x, y ).
fj 
ln 1 
2 j  2m 2 c 2 2 
При малых (не релятивистских) значениях μ это выражение для силы переходит
в известную силу Миллера [62]
q2  2
fj 
b0 j ( j  x, y ),
4m 2 j
а в ультрарелятивистском пределе μ>>1 зависит от градиента амплитуды поля
f j   mc 2
1 b0 j
( j  x, y ).
b0 j j
Т.к. в квазиплоской волне отличны от нуля пространственные частные
производные от векторного потенциала, то даже когда импульс прошёл сквозь
область, в которой пребывала первоначально покоившаяся частица, у частицы
сохраняется ненулевой импульс (т.е. частица приобрела энергию). Численно это
явление изучалось, например, в диссертации [63].
75
Отметим, что попытка использовать адиабатическое приближение была
проделана уже в работе [62]. В ней была рассмотрена заряженная частицы,
 
 
 
 
движущаяся в электромагнитном поле вида Er , t   E0 r e i , H r , t   H 0 r e i в
нерелятивистском приближении:



 1   
mr  q  E  r  H  .
c


(3.46)
При достаточно большой частоте ω в [62] было предложено представлять


решение уравнения (3.46) в виде суммы r0 t   r1 t  медленно меняющейся функции



r0 t  и функции r1 t  , осциллирующей с частотой ω. В допущении, что r1 t  намного
меньше расстояния L, на котором амплитуда внешнего поля существенно
изменяется

r1 t   L ,
с пренебрежением членами

r1 L
и

r1 L
(3.47)
и усреднением (3.46) по периоду
осцилляций поля получается уравнение
2

r t    ,    q  E 2 ,
0
 2 m 
(3.48)
т.е. средняя по времени сила потенциальна. Выражение (3.48), умноженное на массу
частицы и называется силой Миллера.
76
4 Анализ результатов
В разделе 2 говорится о движении заряженной частицы в поле плоской
немонохроматической
электромагнитной
квазимононохроматической.
анализируются
выражения
Решаются
для
координат
волны,
уравнения
частицы,
в
частности,
движения
частицы,
приводятся
некоторые
аналитические оценки, проводится их сравнение с результатами численного
моделирования, рассматриваются наиболее наглядные аналитические случаи.
В п.2.1 представлено решение релятивистского уравнения движения (2.8)
заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны (2.6). Это решение
было получено в трёх вариантах: непосредственно из уравнения движения с
использованием векторного потенциала (п.2.1.1) и без использования векторного
потенциала (п.2.1.2), а также через канонические уравнения (п.2.1.3). Наибольшей
ясностью обладает решение с помощью векторного потенциала, т.к. требует знания
математического аппарата на уровне 2 курса университета. Наибольшей простотой
обладает третье решение (п.2.1.3), но оно требует знания специфического аппарата
теоретической
механики.
Необходимость
же
второго
решения
(п.2.1.2)
продиктована ненаблюдаемостью векторного потенциала и, как следствие, заданием
в подобных задачах, как правило, сразу формы напряженности электрического поля.
В результате решения задачи были получены выражения для координат (2.22),
(2.22*), (2.22**), (2.34)–(2.35); импульса (2.17)–(2.18), (2.17*)–(2.18*); энергии
частицы (2.15), (2.15*), (2.31).
В п.2.2 рассказывается более подробно об аналитичности интегралов (2.42) в
выражениях для координат (2.22). Поиск аналитически интегрируемых случаев
осуществлялся на двух множествах функций, которыми может быть задана
огибающая электромагнитного импульса    : ряды по ортогональным системам
функций (п.2.2.1) и
функции, спадающие на бесконечности (п.2.2.2) так, что
смещение изначально покоящейся частицы в поле импульса с такой огибающей
оказывается финитным (2.43). В первом случае вопрос об аналитической
интегрируемости выражений (2.42) решается положительно, если аналитически
выразима первообразная подынтегрального выражения преобразования Фурье от
77
элементов
ортогонального
базиса
—
это
и
происходит
для
наиболее
употребительных в практике рядов, перечисленных в п.2.2.1 (Маклорена, Тейлора и
т.д.). Выяснилось, кроме того, что суммирование таких рядов не должно быть
слишком сложным — использование обобщенной суммы через среднее по
Колмогорову делает задачу принципиально неаналитической.
Поиск интегрируемых случаев для выражений (2.42) на множестве спадающих
функций в п.2.2.2 можно считать, в некотором плане, умозрительным. В данной
работе он осуществлялся либо на основании наличия связи с уже хорошо известным
интегрируемым случаем, когда огибающая электромагнитного импульса   
прямоугольная (п.2.3.3.3), либо отбором из плотностей вероятности наиболее
известных одномерных распределений. Найдены более и менее элементарно
интегрируемые варианты, и один из этих интегрируемых вариантов был изучен в
п.2.3.3.2.
В
п.2.3
рассмотрено
движение
заряженной
частицы
в
поле
квазимонохроматической электромагнитной волны, подчиняющейся условию (2.47).
В п.2.3.1 было показано, что интегралы (2.41), входящие в выражения (2.37) для
координат частицы, движущейся в поле плоской квазимонохроматической
электромагнитной волны, представимы в виде функциональных рядов (2.44)–(2.45).
~
Решение вопроса о вычислении комплексного конструкта I ncs неожиданно приводит
дифференциальному уравнению (2.46), которому подчиняется функциональная
часть выражения (2.45). В адиабатическом приближении интегралы (2.42)
принимают простую форму (2.48), благодаря чему соответствующие уравнения для
координат частицы (2.49) могут быть разделены на плавно меняющиеся (2.50) и
осциллирующие компоненты (2.51).
Анализ плавной компоненты продольной координаты z первоначально
покоившейся заряженной частицы в поле электромагнитного импульса с плоским
фронтом проводится в п.2.3.2. С помощью адиабатического приближения, развитого
в п.2.3.1, получена оценка на величину смещения заряженной частицы в поле
импульса, которая оказалась хорошо согласующейся с результатами численного
моделирования (рис. 2.2). В п.2.3.2.2 показано, что конечное смещение в
78
направлении распространения импульса должно иметь место и для движущихся
частиц (в том числе релятивистских), а, следовательно, выводы п.2.3.2 применимы и
для электронных пучков малых концентраций, поэтому была предложена и
возможная схема для детектирования данного эффекта (рис. 2.3).
В п.2.3.3. изучаются линейно поляризованные лазерные импульсы конечной
длительности. На основании теории п.2.1 найдены выражения для импульса (2.67),
энергии (2.68), скорости (2.69) и координат (2.71) первоначально покоившейся
заряженной частицы, движущейся в поле таких лазерных импульсов. В качестве
примера не гауссового импульса рассмотрен импульс с огибающей вида квадрата
синуса. Величина смещения частицы при нём (2.79) оказалась почти в 4 раза
больше, чем для гауссового импульса (2.56), что легко объясняется длинными
хвостами гассового распределения. Когда заряженная частица испытывает влияние
хвоста вдали от вершины распределения, амплитуда волны слишком мала, чтобы
сила Лоренца сколько-нибудь значимо проталкивала частицу вдоль по направлению
распространения импульса, поэтому частица лишь колеблется вдоль электрической
компоненты поля. Импульс же с огибающей типа квадрата синуса сравнительно
хорошо локализован, так что его воздействие на заряженную частицу носит более
интенсивный характер.
В п.2.3.3.3 рассчитывается случай импульса с резкими передним и задним
фронтами, который имеет важное иллюстративное значение. Изучение этого
предельного случая приводит к необходимости разговора о крутизне фронтов
электромагнитного импульса вообще. Предложено характеризовать крутизну
фронтов высокочастотного электромагнитного импульса с помощью величины
(2.89)–(2.90) или, в дифференциальной форме, (2.91), имеющей непосредственную
связь с декрементом колебаний, но определённую не на двух соседних максимумах,
а на двух точках, расположенных на расстоянии одного периода волны несущей
частоты. В предположении существования критической крутизны фронтов
(например, из-за аппаратных ограничений), предложены критерии физической
осуществимости тех или иных импульсов (2.92.0)–(2.95.0), которые могут быть
приведены к форме (2.92.2)–(2.95.2).
79
Внимательный
покоившейся
взгляд
частицы
на
(2.71)
выражения
в
поле
для
линейно
координат
первоначально
поляризованного
плоского
электромагнитного импульса приводит к вопросу, возвращается ли координата
частицы x к своему прежнему значению после прохождения импульса?
Оказывается, в очень многих случаях ответ отрицателен, а именно тогда, когда
положительная площадь под графиком векторного потенциала (нормированного в
бесконечности
на
нуль)
не
уравновешивается
отрицательной
площадью.
Следовательно, от величины нескомпенсированной площади зависит степень не
возвращения частицы на прежнюю координату в поперечном направлении. Степень
проявления эффекта достаточно мала (хотя и не нулевая) при импульсах с
симметричными передним и задним фронтами (п.2.3.4.1), и быстро убывает с
частотой и длительностью импульса. Когда же фронты импульса несимметричны
(п.2.3.4.2), величина не возвращения заряженной частицы на прежнюю позицию в
поперечном направлении оказывается гораздо больше, чем при импульсах с
симметричными фронтами. Для регистрации данного эффекта была предложена
возможная схема (рис. 2.11) демонстрационного эксперимента, аналогичная схеме
для регистрации продольного воздействия импульса (рис. 2.3).
В разделе 3 рассказывается о движении заряженной частицы в поле неплоских
электромагнитных волн, в частности, квазиплоских. Представлены различные
способы
математического
описания
неплоских
и
квазиплоских
волн,
рассматриваются две конкретных задачи (п.3.1.2 и п.3.2.2).
В п.3.1.1 кратко перечислены варианты систем координат, в которых
достаточно
просто
математически
возникают
электромагнитные
волны
с
неплоскими фронтами. Обычно используют ортогональные системы координат. В
одной из таких ортогональных систем — сферической — возникают сферические
волны. Движение заряженной частицы в их поле рассматривается в п.3.1.2. С
использованием приближений, соответственно, (3.6) и (3.17), были получены
системы уравнений, описывающие движение заряженной частицы в ближней ((3.5),
(3.13), (3.16)) и дальней ((3.5), (3.19), (3.22)) зоне сферической волны, связывающие
координаты, импульс и энергию частицы. Зная, как со временем меняются
80
компоненты импульса частицы (3.10) и (3.18), легко вычислить силу, действующую
на частицу (3.14) и, соответственно, (3.20).
В п.3.2.1 детализуются различные варианты математического представления
неплоской
электромагнитной
волны.
С
помощью
разложения
векторного
потенциала в ряд Тейлора (3.24) достаточно просто записываются поля
электромагнитной волны (3.26). В представлении с явно осциллирующим
множителем (3.28) напряжённости электрического и магнитного поля также
записываются достаточно просто (3.29). Когда амплитуда волны весьма слабо
меняется по пространству (т.е. волна является квазиплоской, подчиняющейся
условиям (3.34)), можно применять параксиальное приближение (3.30). Можно
задавать не векторный потенциал волны, а сразу закон для электрического и
магнитного поля (3.33), тогда в первом порядке по малым параметрам (3.34)
выражения для их компонент имеют вид (3.35).
В п.3.2.2 рассказывается о различных аспектах задачи о движении заряженной
частицы в квазиплоской электромагнитной волне. На примере параксиального
приближения (3.31) показана не применимость теоремы Лоусона–Вудварда, т.к.
величина (3.42) не является константой. Указываются величины поперечных
компонент импульса (3.45) заряженной частицы, усреднённых по периоду её
колебаний, а также величина средней силы, действующей в поперечном
направлении. В завершении п.3.2.2 выводится выражение для силы Гапонова–
Миллера.
81
Заключение
Среди основных достижений выполненной работы можно перечислить
следующие результаты:
1.
Сформулирована физико-математическая модель движения заряженной
частицы в электромагнитной волне.
2.
Найдены
выражения
для
физических
величин,
характеризующих
движение заряженной частицы в поле плоской квазимонохроматической
и квазиплоской квазимонохроматической электромагнитной волны.
3.
Показана эффективность адиабатического приближения при решении
задач о движении частицы в квазимонохроматической и квазиплоской
электромагнитной волне.
4.
Расширен круг известных случаев, для которых уравнения движения
частицы
в
поле
плоской
электромагнитной
волны
вычисляются
аналитически точно.
5.
Получены оценки для величины продольного и поперечного смещения
заряженной частицы полем плоского электромагнитного импульса.
Данные результаты, в первую очередь, представляют интерес для приложений
лазерной физики, физики плазмы и конструирования электронно- и ионнооптических приборов. Достаточно актуальными они представляются и для
современной
электродинамики, а также
взаимодействия излучения с веществом.
82
теоретической физики
в области
Список литературы
1.
Volkоv D.M. Zeitschrift für Physik. 1935. V. 94, p. 250.
2.
Волков Д.М. ЖЭТФ. 1937. Т. 7, с. 1286.
3.
Френкель Я.И. Собрание избранных трудов: в 3 т. Т. 1: Электродинамика.
(Общая теория электричества). — М.; Л.; Изд-во АН СССР, 1956.
4.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля, М. Наука,1973.
5.
Андреев С.Н., Еремеичева Ю.И., Макаров В.П., Рухадзе А.А., Тараканов В.П.
О движении заряженной частицы в плоской квазимонохроматической
электромагнитной волне // Препринты ИОФ им. А.М. Прохорова. – 2013. –
№3. – 31 с.
6.
Андреев С.Н.
Моделирование
и
оптимизация
лазерно–плазменных
источников корпускулярного и электромагнитного излучения: дис. ... д.ф.–
м.н.: 01.04.21: защищена 20.02.2014. – М., 2013. – 248 с.
7.
Еремеичева Ю.И.
Коллективное
движение
заряженных
частиц
в
релятивистской лазерной плазме: дис. ... к.ф.–м.н.: 01.04.02: защищена
11.11.2013. – М., 2013. – 98 с.
8.
Fedorov M.V., Goreslavsky S.P., Letokhov V.S., Phys. Rev. E. 1997. V. 55 (1), p.
1015-1027.
9.
Буц В.А., Буц А.В. ЖЭТФ. 1996. Т. 110, вып. 3(9), с. 818-831.
10. Болотовский Б.М., Серов А.В.. УФН. 2003. Т. 173, №6, с. 667-678.
11. Popa A., Phys. Rev. A. 2011. 84 023824.
12. Копытов Г.Ф.,
Мартынов А.А.,
Акинцев Н.С.
Фундаментальные
исследования. 2014. №9-5, с. 1013–1018.
13. Андреев С.Н., Макаров В.П., Рухадзе А.А. Квантовая электроника. 2009. 39,
№1, с.68-72.
14. Scheid W., Hora H. Laser and Particle Beams. 1989. V.7, part 2, p. 315-332.
15. Hora H., Hoelss H., Scheid W., Wang J.W., Ho Y.K., Osman F., Castillo R. Laser
and Particle Beams. 2000. V. 18, p. 135-144.
16. Бергман П.Г. Введение в теорию относительности. М.: Государственное
издательство иностранной литературы, 1947. — 381 с.
83
17. Наумов Н.Д. Журнал технической физики. 2001. Т. 71, вып. 11, с. 81–84.
18. Удовиченко С.Ю. Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №8, с. 106–109.
19. Андреев С.Н.,
квазиплоской
Макаров В.П.,
и
Рухадзе А.А.
квазимонохроматической
Движение
электрона
электромагнитной
волне
в
//
Инженерная физика. 2012. №4.
20. Андреев С.Н., Макаров В.П., Рухадзе А.А. Давление света и пондермоторные
силы в сверхсильных световых полях // Фотоника. 2010. №4, с. 18–25.
21. Андреев С.Н., Макаров В.П., Рухадзе А.А. Сила, действующая на вещество в
электромагнитном
поле
//
Физическая
электроника:
Материалы
VI
Всероссийской конференции ФЭ-2010 (23–26 сентября 2010 г.). Махачкала:
ИПЦ ДГУ, 2010. С. 8–19.
22. Андреев С.Н., Макаров В.П., Рухадзе А.А. Средние силы, действующие на
вещество в сильных лазерных полях // Вопросы атомной науки и техники.
2010. №4. С. 240–244.
23. Andreev S.N., Gabyshev D.N., Eremeicheva Yu.I, Makarov V.P., Rukhadze A.A.
and Tarakanov V.P. Motion of a charged particle in a plane electromagnetic pulse,
Laser Physics. 2015. V. 25, No. 6.
24. Андреев С.Н., Габышев Д.Н., Еремеичева Ю.И., Макаров В.П., Рухадзе А.А.,
Тараканов В.П.. Сдвиг покоящейся зараженной частицы под воздействием
плоского квазимонохроматического электромагнитного импульса // Труды
57-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции с
международным участием «Актуальные проблемы фундаментальных и
прикладных наук в области физики», Всероссийской молодежной научной
конференции
с
международным
участием
«Актуальные
проблемы
фундаментальных и прикладных наук в современном информационном
обществе». Общая и прикладная физика. — М.: МФТИ, 2014, — 115 с. С. 33–
35.
25. Тихонов А.Н., Самарский А.А.Уравнения математической физики. — М.:
Наука, 1977.
26. Lawson J.D., IEEE Trans. Nucl. Sci. 1979. NS-26, 4217.
84
27. Woodward P.M., J. Inst. Electr. Eng. 1947. 93, 1554.
28. Коломенский А.А., Лебедев А.Н. Авторезонансное движение частицы в
плоской электромагнитной волне // ДАН. 1962. Т. 145, №6, с. 1259-1261.
29. Давыдовский В.Я. О возможности резонансного ускорения заряженных
частиц электромагнитными волнами в постоянном магнитном поле // ЖЭТФ.
1962. Т. 43, вып. 3(9), с. 886-888.
30. Буц В.А., Кузьмин В.В. Успехи современной радиоэлектроники. 2005. №11,
с. 5-20.
31. Дятлов Г.В. Основы теории псевдодифференциальных операторов. Часть I.
— Новосибирск: НГУ, 2007. — 70 с.
32. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. —
М.: АСТ: Астрель, 2010. — 703, [1] c.
33. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров
и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с.
34. Габышев Д.Н.
Обобщенное
суммирование ряда
Гранди
средним по
Колмогорову // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф.: в 10 т. Т. 1. Секции 1,2 / под
общ. ред. А. А. Большакова. — Волгоград: ВГТУ, 2012; Харьков: НТУ
«ХПИ», 2012. С. 50–51.
35. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. – М.: Наука, 1967.
36. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории
алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012. — 160 с.
37. Tarakanov V.P. User's Manual for Code KARAT. VA, USA: Berkeley Research
Associates, Inc. 1992.
38. Тараканов В.П. Теоретический и численный анализ нелинейных задач
физики плазмы посредством кода КАРАТ: дис. ... д.ф.-м.н.: 01.04.08:
защищена 23.10.2011. – М., 2011. – 264 с.
39. Goreslavky S.P., Narozhny N.B. Journal of Nonlinear Optical Physics and
Materials. 1995. V. 4, №4, p. 799-815.
40. Goreslavky S.P., Laser Physics. 1996. V.6. № 1. p. 74-78.
85
41. Aidelsburger M., Kirchner F.O., Krausz F. and Baum P. Single-electron pulses for
ultrafast diffraction / PNAS, November 16, 2010, vol. 107, no. 46, p. 19714–
19719.
42. Greenfield D., Monastyrskii M. Advances in Imaging and Electron Physics:
Selected problems of computational charged particle optics. Vol. 155. Academic
Press 2009.
43. Александров А.Ф., Кузелев М.В. Радиофизика. Физика электронных пучков и
основы высокочастотной электроники. М: Изд. КДУ, 2007.
44. Фотоэффект // Энциклопедия физики и техники: физическая энциклопедия.
URL:
http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4396.html
(дата
обращения
08.05.2015).
45. Гельман М.В.,
Дудкин М.М.,
Преображенский К.А.
Преобразовательная
техника: учебное пособие. — Челябинск: Издательский центр ЮУРГУ, 2009.
С. 337.
46. Матвеев М., Кузнецов М., Дутов И. и др. Выбор параметров импульса
молнии для защиты микропроцессорной аппаратуры и ее цепей // Новости
электротехники. 2011. №4 (70), с. 2–6.
47. Габышев Д.Н. Комплексное обобщение степенного среднего // Сборник
тезисов V Всероссийской научно-практической конференции «Студенчество
в науке – инновационный потенциал будущего». – Набережные Челны, 2012.
48. Decker F.-J. Beam Distributions beyond RMS. — Stanford: SLAC-PUB, 1994.
49. Kung-Ming Chung. Shock tube calibration of a fast-response pressure transducer /
The master thesis for the Degree of master of science in aerospace engineering. —
The University of Texas at Arlington, 1989.
50. Abiague H.A.M.
Dynamics
of
quantum
systems
driven
by
half-cycle
electromagnetic pulses / Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Dr.
rer. nat. Halle/Saale, 12 Oktober 2004. P. 3–7.
51. Wallace J. Glass-based detector characterizes waveform of ultrafast few-cycle
laser pulses. (2014) URL: http://www.laserfocusworld.com/articles/2014/01/glass86
based-detector-characterizes-waveform-of-ultrafast-few-cycle-laser-pulses.html
(дата обращения 04.05.2015)
52. Макаров В.П.,
Рухадзе A.A.
Основы
современной
электродинамики
материальных сред. Часть IV. Электродинамика в отсутствие источников. //
Инженерная физика. 2013. №7. С. 38–48.
53. Вольцингер Н.Е.,
Клеванный К.А.,
Пелиновский Е.Н.
Длинноволновая
динамика прибрежной зоны. — Л.: Гидрометеоиздат, 1989, с. 126.
54. Комаров И.В.,
Пономарев Л.И.,
Славянов С.Ю.
Сфероидальные
и
кулоновские сфероидальные функции. — М.: Главная редакция физикоматематической литературы изд-ва «Наука», 1976.
55. Городецкий М.Л. Спецкурс «Оптические микрорезонаторы», МГУ, 2007.
56. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. 1988.
57. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. — М.: Высшая школа, 1980, с. 121.
58. Белокопытов В.Г. Волны в направляющих структурах. — М.: МГУ, 2010.
59. Андриенко А.А., Вихлянцев П.С., Петров В.В., Симонов М.В. Определение
границ ближней и дальней зоны при измерениях ПЭМИ // Журнал
«Конфидент». 2002. №4–5, с. 36–39.
60. Милантьев В.П., Карнилович С.П., Шаар Я.Н. Об описании лазерного
излучения
в
параксиальном
приближении
//
XLII
Международная
(Звенигородская) конференция по физике плазмы и УТС 9–13 февраля 2015
г, с. 169.
61. Кастильо А.Х., Милантьев В.П. Релятивистские пондермоторные силы в поле
мощного лазерного излучения // Журнал технической физики. 2014. Т. 84,
вып. 9, с. 1–6.
62. Гапонов А.В., Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в
высокочастотном электромагнитном поле // ЖЭТФ. 1958. Т. 34, вып. 1,
с. 242–243.
63. Трофимов
В.А.
Ускорение
электронов
электромагнитных
импульсов
в
лазерных
и
генерация
полях
коротких
релятивистской
интенсивности: дис. ... к.ф.–м.н.: 01.04.21: защищена 26.11.2012. – М., 2012.
87