Дисциплина «Дискретная математика»

Дисциплина «Дискретная математика»
Автор программы: д.ф.-м.н, профессор Малых Алла Ефимовна.
Требования
к
студентам:
дополнительных
знаний,
курс
«Дискретная
выходящих
математика»
за
рамки
не
требует
программы
общеобразовательной средней школы.
Аннотация:В
смысле
она
широком
включает
в
себя
как
уже
сложившиеся
дисциплины
(теория
чисел, алгебра, математическая логика, комбинаторный анализ и др.), так
и
ряд разделов, которые стали развиваться, начиная со второй половины XX
столетия в связи с научно-техническим прогрессом благодаря внедрению
ЭВМ. В узком смысле дискретная математика ограничивается только
новыми разделами (теория функциональных систем, теория сетей, комбинаторика, теория
кодирования, целочисленное программирование, теория игр, конфликтных ситуаций,
компьютерная дискретная математика и др.) Дискретная математика является сегодня не
только фундаментом математического математической кибернетики, но и важным звеном
образования. При изучении курса у студентов должно сложиться представление о ней
как богатой и содержательной части естественнонаучного знания. Учебный план
представляет данный курс в виде четырех относительно самостоятельных разделов,
составляющих основу дискретной математики: элементы теории множеств и отношения,
основы математической логики, элементы комбинаторики, введение в теорию графов.
Предпочтение чтение курса отдается комбинаторике и теории графов, обладающим
внутренней целостностью математических дисциплин. Умение математически описывать
дискретные конструкции, строить математические и прикладные дискретные модели и
успешно применять их является важной составной частью современного специалиста.
Учебная задача курса: материал является базовым для учебных дисциплин,
и математическая связанных с другими курсами: «Теория вероятностей
статистика», «Экономико-математические методы», «Теория игр» и др.
Содержание программы
Раздел 1. Множества и отношения
Основные понятия. Способы задания отношения между множествами. Операции.
Законы операций. Применение к решению задач. Отображения их видов. Отношения.
Виды. Функции.
Раздел 2. Основы математической логики
Высказывания. Их виды. Операции над высказываниями. Свойства. Предикаты их виды.
Операции над предикатами. Теоретико-множественный смысл предикатов. Кванторы.
Применение языка математической логики.
Раздел 3. Элементы комбинаторики Предмет комбинаторики. Сведения из истории.
Классические задачи.
Правила суммы и произведения. Упорядоченные и
неупорядоченныемножества. Соединения без повторения и с повторениями элементов.
Свойства. Треугольник Паскаля. Биномиальная теорема. Следствия. Полиномиальная теорема.
Следствия. Приложения к решению задач. Методы комбинаторного анализа: полной
математической индукции, рекуррентных соотношений; включения и исключения; ветвей и
границ; траекторий; производящих функций. Их применения. Конструкции блочно-схемного
типа, применение. Понятие об аддитивной и мультипликативной теорией разбиения
натуральных
чисел.
Применение.
Сведение
о
комбинаторных
кодах.
Приложения
комбинаторики.
Раздел 4. Элементы теории графов
История формирования теории графов (в топологии, физике, алгебре).
Графы
определения, виды. Основные понятия. Изоморфизм, полные графы. Степень вершин.
Число вершин нечетной степени в конечном графе. Различные представления графов.
Пути в графе. Циклы. Связность. Подграфы. Графы-деревья. Висячие (концевые)
вершины и ребра дерева. Основное дерево, алгоритм его построения. Кратчайшие пути
в графе. Плоские графы. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы. Орграфы. Сетевые
графики. Сети Петри. Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы в графе. Алгоритм
построения. Нахождение кратчайших путей. Применение элементов теории графов:
оценка структурных компонент графа; максимальный поток в транспортной сети.
Задача о потоке минимальной стоимости, минимальной стоимости и спросе и
предложении; о многопродуктовых потоках и др.