. - Геометрия. Основные сведения для решения стереометрических

Тема 36. Геометрия. Основные сведения для решения стереометрических
задач.
Призма - многогранник, две параллельные грани которого (основания) n угольники, а остальные n граней - параллелограммы. Очевидно, что все боковые ребра
призмы равны, и в основаниях - равные n -угольники с соответственно параллельными
сторонами.
Параллелепипед - призма, у которой основаниями являются параллелограммы.
Прямой параллелепипед - параллелепипед, у которого боковые ребра
перпендикулярны плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед - прямой параллелепипед, основаниями которого
являются прямоугольники.
Куб - прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Пирамида - многогранник, в основании которого n - угольник, а остальные n
граней - треугольники с общей вершиной.
Правильная пирамида - пирамида, основанием которой является правильный
многоугольник, а высота пирамиды проходит через центр основания.
Прямой круговой цилиндр - тело, полученное при вращении прямоугольника
вокруг одной из его сторон.
Прямой круговой конус - тело, полученное при вращении прямоугольного
треугольника вокруг одной из его катетов.
Усеченный конус - часть конуса, ограниченная его основанием и сечением,
параллельным плоскости основания.
Шар - тело, полученное вращением полукруга вокруг диаметра.
Поверхность шара называется сферой.
Шаровой сегмент - часть шара, ограниченная секущей плоскостью.
Основные формулы (стереометрия).
1. Произвольная призма ( l - боковое ребро, P - периметр основания, S - площадь
основания, H - высота, Pсеч - периметр перпендикулярного сечения, S бок - площадь бок.
поверхности, V - объем).
2. Прямая призма Sбок  P  l .
3. Прямоугольный параллелепипед ( a, b, c - измерения, d - диагональ)
S бок  P  H , V  abc , d 2  a 2  b 2  c 2 .
d  a 3.
4. Куб ( a - ребро)
V  a3 ,
5. Произвольная пирамида ( S - площадь основания, H - высота, V - объем)
1
S осн  H .
3
6. Правильная пирамида ( P - периметр основания, l - апофема, S бок - площадь
1
1
бок. поверхности) S бок  P  l , V  S  H .
3
2
7. Произвольная усеченная пирамида ( S1 и S 2 - площади оснований, h - высота,
1
V  h( S 1  S 2  S1 S 2 ).
V - объем)
3
8. Правильная усеченная пирамида ( P1 и P2 - периметры оснований, l - апофема,
1
S бок - площадь бок. поверхности) S бок  ( P1  P2 )  l.
2
9. Цилиндр S бок  2RH , V  R 2 H .
1
V  R 2 H .
S бок  2Rl ,
10. Конус ( l - образующая)
3
V 
4
V  R 3 .
3
12. Шаровой сегмент ( S - площадь сферической поверхности сегмента, h - высота
1
сегмента) S  2Rh ,
V  h 2 ( R  h).
3
13. Шаровой сектор ( R - радиус шара, h - высота сегмента, V - объем)
2
V   R 2 h.
3
Дополнительные соотношения между элементами пирамиды.
а) Если все боковые ребра пирамиды образуют с основанием равные углы или если
все боковые ребра равны, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности,
описанной около основания пирамиды (это точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
б) Если все боковые грани образуют с основанием равные углы или длины всех
апофем (высот боковых граней) равны, то вершина пирамиды проектируется в центр
окружности, вписанной в основание пирамиды (это точка пересечения биссектрис углов в
основании пирамиды), и S осн  S бок  cos  (  - величины двугранных углов при
основании).
с) Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:
 получится новый многогранник - усеченная пирамида;
 боковые
ребра
пирамиды
и
высота
разделятся
на пропорциональные
части;
 в сечении получится многоугольник, подобный основанию;
 площадь сечения и площадь основания относятся как квадраты их расстояний до
вершины пирамиды.
При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников необходимо
знать следующее:
1. Если шар описан около многогранника, то все его вершины лежат на
поверхности шара.
2. Если многогранник вписан в шар, то вокруг каждой из его граней можно описать
окружность.
3. Если шар вписан в многогранник (все грани касаются шара), то его центр
равноудален от всех граней. Этот центр лежит на пересечении плоскостей, делящих
двугранные углы многогранника пополам.
11. Шар, сфера
S  4R 2 ,