Документ 424448

Линейная алгебра
3 2 1
2 2 1
1.
а) Вычислите определитель:
4 0 0
б) Найти алгебраические дополнения для элементов a21 и a33
5 2 x
0 3 1  1 .
2.
Решите уравнение
7 x 3
 2 3 4 
 0 7 5
3. Даны матрицы A  
и B

.
5

1
7

8
3
2




T
Получите матрицы C  2 A  3B и D  A  B . Найдите det  AB  E 
Даны матрицы Anm и Bk p . Предлагается пять вариантов четверок
чисел (n, m, k, p). При каком из них произведение матриц A  B смысл.?
1) (1, 2, 3, 4); 2) (2, 3, 5, 2); 3) (6, 3, 3, 4); 4) (3, 2, 4, 4); 5) (2, 3, 4, 3).
  2 1 2 
5. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =  3 6 2  .


 3 4 2 


6.
. Найдите матрицу Х из уравнения
1  3 1 0 
 2 1 0 
0 2
 1 4 1  X   1 2
0    2 1 1



 

 3 0 2
3


1 2   0 1 1



Проверьте решение подстановкой.
7. Решите систему а) методом Крамера; б) матричным методом; в) методом
 2 x1  x2  x3  0

Гаусса.
3x2  4 x3  6  0 .
x x
1
 1 3
8.
При каком значении  система уравнений
 x1  4 x2  3x3  22

 2 x1  3x2  5 x3  12 совместна.
 3x  x  8 x  
 1 2
3
4.
9.
а)При каком значении  система линейных однородных уравнений
 3x1  4 x2  x3  0

 x1  3x2  5 x3  0 имеет бесконечно много решений ?
 x  x  4 x  0
 1 2
3
б) При   4 найдите такое решение системы, для которого x3  13 .
Векторная алгебра
1. Даны пары векторов:
1) a (3,  1, 1), b(2, 1, 0) ;
2) a ( 1, 2,  2), b(8, 2,  2) ;
3) a (4,  1,  2), b(1,  1, 1) ;
4) a (3, 1), b( 4, 12) ;
5) a (1,  2, 3), b( 2, 4,  6) ;
3 
 2
 6
6) a 
, 
,
, b
13 
 13
 52
4 
;
52 
7) a ( 5, 4), b(15,  12) .
Укажите среди этих пар векторов те, которые удовлетворяют следующим
условиям:
1.1) a и b коллинеарны;
1.2) скалярное произведение a и b равно 5;
1.3) косинус угла между a и b равен 1
7
;
1.4) a и b ортогональны;
1.5) a и b образуют ортогональный базис в R 2 ;
1.6) a и b образуют базис в R 2 ;
1.7) длина вектора a равна 11 , а длина вектора b равна
5;
1.8) a и b образуют ортонормированный базис в R 2 ;
1.9) векторное произведение a и b является вектором с координатами
( 3,  6,  3)
1.10) Площадь параллелепипеда, построенного на векторах a и b ,равна
3 6 .
2. Даны тройки векторов:
1) a (1, 0, 0), b (0, 1, 0) c (0, 0, 1) ; и
2) a (2, 0, 0), b (0,  3, 0) c (0, 0, 1) ;
2
1
3 
 1


 5
3) a 
,
, 0  b  0,
,
, 0,
 c
5
5
10
10
26





4) a (1,  1, 3), b ( 2, 2, 1) c (3,  2, 5) ;
1 
;
26 
5) a (1, 1, 2), b (3, 4, 1) c (1, 6,  3) ;
6) a (1, 2, 0), b (0, 1, 3) c (5, 0,  1) .
Укажите среди этих троек векторов те, которые удовлетворяют следующим
условиям:
2.1) a , b , c - компланарны;
2.2) смешанное произведение a , b , c равно -7;
2.3) a , b , c образуют правую тройку векторов;
2.4) a , b , c образуют базис в R3 ;
2.5) a , b , c образуют ортогональный базис в R3 ;
2.6) a , b , c образуют ортонормированный базис в R3 ;
2.7) объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c ,равен 7.
3. Чему равно скалярное произведение векторов a и b если:
1) a и b коллинеарные и одинаково направленные;
2) a и b противоположно направленные;
;
3) a и b ортогональные
4) a и b равные?
4. При каком значении k векторы являются коллинеарными?
Ортогональными?:
a  2k , 2k  2,  2  и b  3,  4, 1
Аналитическая геометрия.
1. Среди приведенных ниже уравнений прямой на плоскости выберите те,
которые являются:
1) каноническим уравнением прямой;
2) общим уравнением прямой;
3) уравнением прямой, проходящей через точку A (1,  2) ;
4) уравнением прямой, проходящей через точку A (1,  2) , параллельно
вектору e (0, 3) ;
5) уравнением прямой, проходящей через точку A (1,  2) , перпендикулярно
вектору n (2, 3) ;
6) уравнением прямой с угловым коэффициентом k  3 ;
2
7) параллельными прямыми;
8) перпендикулярными прямыми;
9) совпадающими прямыми.
Уравнения прямых:
1.1) x  1  0 ;
x 1 y  2
1.2)
;

2
3
1.3) 2 x  3 y  4  0 ;
x 1 y  2

1.4)
;
2
3
3
1.5) y  2  ( x  1) ;
2
x 1 y  2

1.6)
.
0
3
2. Стороны  ABC лежат на прямых
AB : 2 x  5 y  11  0, BC : 5x  3 y  1  0, AC : 3x  2 y  7  0 . Постройте
этот треугольник в декартовой системе координат и найдите:
2.1) координаты вершин А, В, С;
2.2) координаты середины стороны ВС;
2.3) среди точек Р (2; 1) , М (2; 4) , К (0,5; 1,5) выберите точку, лежащую
выше прямой АВ;
2.4) уравнение медианы, проведенной из вершины А;
2.5) уравнение высоты, проведенной из вершины В;
2.6) расстояние от т. В до т. А;
2.7) расстояние от т. А до прямой ВС.
3. Среди следующих плоскостей
П1 : x  y  z  0 ;
П2 : 3x  2 y  z  1  0 ;
П3 : x  3z  11  0 ;
П 4 : 2 y  3z  0 ;
П5 : 6 x  4 y  2 z  3  0 .
выберите:
3.1) плоскость, проходящую через т. А (-1, 0, 2);
3.2) плоскость, проходящую через т. О (0, 0, 0);
3.3) плоскость, параллельную оси Оу;
3.4) плоскость, проходящую через ось Ох;
3.5) плоскость, отсекающую на осях координат Ох, Оу, Оz отрезки, равные
соответственно a  1 2 , b   3 4 , c  3 2 ;
3.6) плоскость, имеющую нормальный вектор n (3,  2, 1) ;
3.7) пару параллельных плоскостей;
3.8) пару перпендикулярных плоскостей.
3.9) расстояние между плоскостями П 2 и П 5 .
4. Даны четыре точки А1(3, 1, 4), А2(-1, 6, 1), А3(1, 1, 6), А4(0, 4, -1).
4.1)Составить уравнения:
а) плоскости А1 А2 А3;
б) прямой А1 А2;
в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2 А3;
г) прямой А3N, параллельной прямой А1 А2;
д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1 А2.
4.2) Проверить, что точки А1 ,А2 ,А3 ,А4 могут служить вершинами пирамиды.
4.3)Вычислить:
а) синус угла между прямой А1 А4 и плоскостью А1 А2 А3.
б) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1 А2 А3.
в) косинус угла между прямыми А1 А2 и А3 А4.
г) объем пирамиды А1А2А3А4 .
д) длину высоты, опущенной из вершины А4 , на основание А1 А2 А3.
5. Найдите соответствие между заданными уравнениями и видами кривых
второго порядка:
1) 3х2 – 4у2 = 12 ;
а) уравнение эллипса;
2
2
2) х + у + 10х – 4у – 20 = 0;
б) уравнение параболы;
3) 5х2 + 4у2 = 20;
в) уравнение окружности;
2
4) х = 8у;
г) уравнение гиперболы.
6.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом
равным 2.
7. Дано уравнение окружности x 2  y 2  2 x  0 . Найти ее центр и радиус.
Среди данных точек выбрать ту, которая лежит на этой окружности: М1 (0,0),
М2 (1, 2), М3 ( - 1, 3); М4 (0, 2).
8. Из четырех уравнений выбрать уравнение эллипса.
x2 y2
x
y

 1 , 3) y 2  1  x , 4) x 2  y 2  9
1)
  1 , 2)
9
4
25 16
9. Из четырех уравнений выбрать уравнение гиперболы.
x
y
1)
  1 , 2) x 2  y 2  9 , 3) x 2  y 2  9 , 4) x 2  2 y 2  1
25 16
10.Написать уравнение эллипса, зная, что центр эллипса в начале координат,
малая полуось b  3 , расстояние между фокусами (расположенными на оси
абсцисс) F1 F2= 8.
x2 2 y2

 1 . Написать уравнение асимптот.
11. Дано уравнение гиперболы
18
9
12. На параболе y 2  6 x найти точку с абсциссой, равной 6.
13. Дана парабола y 2  6 x . Найти координаты фокуса F.
14. Построить область, ограниченную линиями:
y  3  x , 4 x  y  2  0, x   9  y 2 , у  0
15. Построить поверхности и определить их вид (название).
а) 4х2 - у2 - 16z2 + 16 = 0;б) х2 + 4z = 0: в) 3х2 + у2 + 9z2 - 9 = 0;г) х2 + 2у2 - 2z = 0.
д) z = 8 - х2 - 4у2; е) у2 + 4z2 = 5х2; ж) х2 - у = -9z2.
Предел и непрерывность функции одной переменной
1. Найдите область определения функции
а) y  ln( x  1)  ln  2  x  ;
б) y  9  x2
1
в) y  2
x 1
2. Найдите пределы
n2  n  1
а) lim 2
;
n 2n  3n  5
в) lim
x 0
x3  1  ln 1  3 x 
;
tg 5 x
б) lim
n 
n3  n 2  n  8
4 n5  7 n 2  9
2 x 1  sin 3 x
г) lim
;
5x
x 0
;
x
 2x  1 
д) lim 
е) lim (1  2sinx)
 ;
x   2 x  1 
x 0
3. Задан график функции y  f  x 
ctgx
2
;
y
3
1
0
4
х
Найдите lim f  x   lim f  x  .
x 0
x 4 0
4. Изобразить примерный график функции f  x  в окрестности точки x0  2 ,
 lim f ( x)  
 x 20
если выполняются условия 
lim f ( x)  0
 x 
2 0
p( x)
, если lim p( x)   и lim f ( x)  0 ?
x a f ( x)
x a
x a

 ax 2 , x  2
6. При каких значениях a функция f ( x)  
непрерывна на всей
6

x
,
x

2


оси Ox ?
7. Исследуйте функцию на непрерывность:
 x2  1
, x 1
1

а) f ( x)   x  1
;
б) f ( x)  arctg .
x
 2 , x 1

5. Чему равен lim
Производная функции одной переменной
1. Найдите производную
dy
функции
dx
а) y  e2 x  1  3x  sin(ln3) ; б) y 


ln 1  3x 
x2
 ctg 2

16
;
в) y  ln 3x  e x ;
г) y  sin3 (ln5x)  x2  3x ;
д) y  xcos 2x ;
е) y   ln x  ;
ж) x2  sin y  y cos x ;
з) x3 y 2  tgx  ctgy ;
x
и) x  1  t 2 , y  arcsint , t   0;1 .
2. Найдите уравнение касательной к графику функции y  55 x 2  2 x  2 в
точке с абсциссой x0  1 .
2
3. Найдите уравнение касательной к кривой y  x  3x  2 в точке M (2;0) .
4. Материальная точка движется по прямой по закону S  t 3  t 2  1( S −в
метрах, t − в секундах, to=0 − начало движения). Найдите ускорение  ì 2  в
 ñ 
момент времени t  1c .
5. Тело, брошенное вверх, движется по закону h  2  14t  4,9t 2 (h – в метрах, t
– в секундах, начало движения to=0). Найти скорость(м/с) тела в конце второй
секунды.
6. Для функции y  f (x) (см. её график)
y
x0 x0  x
0
x
выбрать верное утверждение и пояснить: 1) dy  y ; 2) dy  y ; 3) dy  y ; 4)
dy - не существует; 5) y - не существует.
7. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя
ln  8  x   ln8
3x  3 1  2 x
а) lim
;
б) lim
.
x 0
x 0
e x  1
x2  x
Приложения производной.
1. Найдите промежутки монотонности функции y 
2x 1
x2
.
3
2. Найдите точки локального экстремума функции y  x3  x 2  1 .
2
3. Найдите наименьшее (m) и наибольшее (М) значения функции y  xe6x на
отрезке  1;0 .
2x
4. Найдите интервалы выпуклости вогнутости графика функции y 
.
x3
5. Найдите точки перегиба кривой y  x  e x .
2 x2
6. Найдите асимптоты графика функции f ( x) 
.
x 3
7. Нарисуйте примерный график функции y  f ( x) на интервале (a; b) , если
на этом интервале f ( x)  0, f ( x)  0, f ( x)  0 .
8. График функции y  f (x) на отрезке [a; b] имеет вид:
y
a
0
b х
Тогда на этом отрезке меняет знак
1) f ( x) è f ( x); 2) f ( x) è f ( x); 3) f ( x) è f ( x); 4) ò î ëüêî f ( x); 5) ò î ëüêî f ( x) .
9. Для функции y  f ( x) (см. её график)
y
0
x1
x2
x
выбрать верное утверждение и пояснить: 1) f ( x1)  f  x2  ;
2) f ( x1)  f   x2  ; 3) f ( x1)  f   x2   0 ; 4) f ( x1)  f   x2  ;
5) f  x2   f  x1 
10. Выбрать и пояснить условия, соответствующие графику функции:
y
0
x0
х
1) f ( x0   )  0, f ( x0   )  0, f ( x0   )  0
2) f ( x0   )  0, f ( x0   )  0, f ( x0   )  0
3) f ( x0   )  0, f ( x0   )  0
4) f ( x0   )  0, f ( x0   )  0, f ( x0   )  0
5) f ( x0   )  0, f ( x0   )  0, f ( x0   )  0
11. На рисунке изображен график производной дважды дифференцируемой
функции y  f x  в интервале a , b.
Тогда количество точек перегиба графика функции y  f x  в интервале
 a, b  равно…
Функции нескольких переменных
1. Изобразите область определения функции: а) z  x  y ; б) z  ln( x  y  5) .
2. z  x3 y  5xy 2  2 x  4 x cos y  5 . Найти zxx , zxy .
3. Найдите сумму
M (0;1) .
u u
частных производных функции u  ye xy в точке

x y


4. Найдите дифференциал функции z  ln x 2  y 2 .
5. Найдите производные z x и z y сложной функции z  u v , u  y sin x ,
v  x  y3.
6. Найдите производную


dz
сложной функции z  sin t 2  x 2  4y 2 , если
dt
y  et , x  1 / t .
7. Найдите частную производную
z
в точке А(–1; 1) для функции z  x, y  ,
x
заданной неявно уравнением y 3  ln( xz )  x 2 y  0 .
8. Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности z  ln( 2 x 2  y 3 )
в точке M 1,1,0 .
2
2
3x 2
9. Составьте уравнение нормали к поверхности z  ln xy  
 ex  y в
y
точке A x 0 ; y 0 ; z 0  , если x 0  1, y 0  1.
10. Вычислите приближенное значение функции z  f ( x, y) в точке А(0,92;
1,08), если z  x 2  3xy  y 2 .
11. Найдите градиент функции u  x ln z  yz  2 x 2 y 2 в точке M 2; 0;1 .
12. Найдите производную функции z  x 3  3x 2 y  3xy 2 в точке А(3;1) по

направлению вектора а  4;3.
13. Найдите точку экстремума функции z  1  6 x  x 2  xy  y 2 .
14. Найдите значение функции z  xy  3x 2  2 y 2 в точке максимума.
15. Найдите наибольшее значение функции z  2  x 2  y 2 в области

D  x, y  R 2 : x 2  y 2  25 .
Комплексные числа
i 1
в алгебраической форме.
2  3i
2. Найдите Re z1  z2 , если z1  4  6i , z2  5  2i .
1. Представьте число z 
 
3. Найдите Im  z1  z2  , если z1  2  i , z2  3  2i .
4. Изобразите множество точек комплексной плоскости, заданных условиями
а) 1  Re z  1; б) z  3 .
5. Область, изображенную на рисунке, задайте системой неравенств.
y
0
1
3
x
-2i
3  4i
.
5i
6. Найдите
i
3
4
i

7. Даны два комплексных числа: z1  e , z2  3e 4 . Изобразите вектор,
соответствующий произведению z1  z 2 .
8. Найдите тригонометрическую и показательную формы комплексного
числа z  1  i .
9. Найдите z 50 , если z  1  i .
10. Найдите
arg 1  i 8
10
 1 i 
11. Вычислить: 
 .
1 i 3 
12. Найдите все значения w  4  8  8 3 i .
13. Решить уравнение: 4 z 3 
3 i
 0.
2
Неопределенный интеграл, методы интегрирования.
1. Найдите неопределённые интегралы:
44  x  12 x3
x4  2 x  x
а)
б)
dx ;
dx ;
x
x


arcsin x
e x dx
dx ;
г)
 2  e2x ;
д)  arcsin 2 xdx ;
е)
ln x
 x dx ;
в)

1 x
2
xdx
з)
 x2  8x  20
л)
3 x3  1
dx ;
x2  1

;
и)
м)
1  2x
 x2  7 x  2

ж)  (1  5x) cos3xdx ;
dx ;
x3  11x  9
dx
x2  x
2. Разложить дробь на простейшие:
к) 
н)
2  x dx
5  4x  x 2
x2  1
  x  12   x  2 dx .
2x  5
3x  1
;
б)
.
2
( x  3)( x  5)
x ( x  4)
F ( x)
4 x5
3. Найдите lim 4 , если F (x) - первообразная функции 2
x  x
x 4
а)
2
Определенный и несобственный интегралы, их приложения.
1. Вычислите интегралы:
1
а)  2 xe dx ;
x
0
4
б)
x
xx
dx ;
2
1
1 1 x
 1  x dx
0
3
1
x
в) 
dx ;
x

2
0
г)
2. Найдите среднее значение функции f ( x)  x3 на отрезке [1; 2] .
3. Вычислить несобственный интеграл I 


0
arctg x
dx или доказать его
x2  1
расходимость.
4. Вычислите несобственный интеграл или установите его расходимость:
3

dx
.
9 x
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х3, у=2-х и х=0.
6. Вычислите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной
линиями y  1  x 2 , y  0 , вокруг оси Ox .
0
2
7. Найти длину дуги кривой

x  2cos t  1
при x  0, y  0 .
y  2sin t
8. Найти длину дуги первого витка кривой     1 .
2
Кратные и криволинейные интегралы, их приложения.
1. Перейдите в двойном интеграле
 f ( x, y)dxdy
к повторному и расставьте
D
пределы интегрирования. Область D изображена на рисунке
2
x
0
0
2. Вычислите интеграл  dx  1  x dy .
3. Найдите значение двойного интеграла
 xdxdy , где область D ограничена
D
линиями y  x 2 , y  x .
4. Измените порядок интегрирования
0
3
3
3
3
x
0
x
 dx  f  x, y  dy   dx f  x, y  dy .
5. Перейдите к полярной системе координат в интеграле

9  x 2  y 2 dxdy
D
и расставьте пределы интегрирования, если D – область, ограниченная
линиями: x 2  y 2  4, y  0, x  0 ( x  0, y  0) .
6. Найдите значение двойного интеграла

9  x 2  y 2 dxdy , где D:
D
x  y  9.
7. Найти массу пластины, занимающей область D , ограниченную линиями:
x  y  1, x  y  3,5 x  y  0,10 x  y  0 , и имеющей данную поверхностную
2
2
плотность    x  y  .
8. Найдите ординату центра тяжести однородной пластины, ограниченной
линиями y  2x  x 2 ; y  0 .
9. Используя геометрический смысл двойного интеграла
 (2 x  y  2)dxdy , где область D ограничена линиями х=0, у=0, у=2+2х,
3
D
укажите его значение.
10. Вычислите криволинейный интеграл I рода
3xdl
а)  2
, где Г – отрезок прямой от точки А (1; 0) до точки В (1; 1);
Г y  4x
б)
x
x 2  y 2 dl , где  − верхняя половина окружности


x  2cos t ,
y  2sin t.
11. Найдите массу дуги АВ кривой y  ln x , если в каждой ее точке линейная
плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки (коэффициент
пропорциональности k=3). А(1; 0); В(3; ln3).
12. Вычислите криволинейный интеграл II рода  3x  5 y  1dx  xydy , где
Ã
Г – отрезок прямой от точки А(-1; 0) до точки В(0; 1).
13. Вычислите, используя формулу Остроградского – Грина,
y
1
В
0
А
1 x
J   5x  2y  3dx  4x  2y  5dy , где L – треугольник ОАВ
L
14. Вычислите криволинейный интеграл II рода с помощью Грина
 (x
2
 xy )dx  (2 x  y ) 2 dy,
Г
где Г – контур треугольника с вершинами А(0;3), В(-1; 3), С(0; 0) (обход Г в
положительном направлении).
15. Найдите работу силы F  xi  1  y 2  j на пути Г, где Г – отрезок прямой
от точки О (0; 0) до точки B(1; 2).
Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков.
1. Определить тип и решить дифференциальные уравнения:

y
 0;
 arctgx
г) e y dx   xe y  2 y  dy  0 ;
а) yx  y  x 2 ;
в) y   
б) 1  x 2 y  
x y
;
x
д) y  y 
x 2x
e ;
y
2
y  y 
ж) y     ;
x  x
и) y  5 y  6 y  2 x  3 ;
1
л) y  3 y  2 y  x
.
e 1
е) y  sin 3x ;
з) yy   y   y 2 y ;
2
к) y  y  sin x ;
2. Найдите решение задачи Коши
а) y  
2x  y
, y 1  1 ;
2x
б) y   ytgx  0 , y  0   1
в) y 
xy
 x y, y
x 1
г) y  4 y  3 y  e5 x , y  0   3 , y  0  9
2
 5   89 .
.
3. Решить систему уравнений:
 dx
 dt  y
x  y  3x  y
а)
;
б) 
.
x  y
dy
  x  2 sht
 dt
4. Записать общее решение ЛОДУ 5-го порядка, если известны корни k1  k5
его характеристического уравнения: k1  k2  2, k3,4  2  i, k5  3 .

Ряды
1. Исследовать ряды на сходимость:

а)
 3n
n 1

г)


n 1


n

д)
;
n2  4
ln  n  1
n 1

n
 n 
б)
 ;

3
n

1


n 1
;
n
n 1

ж)

n
 2n  ! ;
 5n  1
в)
n 1

n 2
3
и)
;
  n  1 tg 2 3n ;
n 1


;

n 1

е)
( 1 )n
з)
;
n

3
n 1
n 1

n 1
( 1 ) n1
n3
n
;
( 1 ) n n
к)
.
n

3
n 1

2. Найдите область сходимости ряда:

а)

n 1
( x  1 )n
2
n

б)
;
n! x n
 n2  3
n 1

;
( x  4 )n
в)
; г)
n
n 1



n 1
( x  2)n
n
3
.
3. Разложить в степенной ряд функцию f ( x )  ln x по степеням x-1 в
окрестности точки x0=1 и указать область сходимости полученного ряда.
4. Вычислить определенный интеграл с точностью  , обосновав результаты
вычислений:
1
I
2

0
sin x
dx,   0,0001 .
x
5. Найти первые три, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд
частного решения задачи Коши для дифференциального уравнения:
y  e x  y 2 , y (0)  0 .
6. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2 :
2, если x  ( ,0);
f ( x)  
2, если x  (0,  ).
7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2 :
f(x)
 x
 по синусам в интервале ( 0 , ) .
4 2
Теория вероятностей, случайные события.
1. Проводится последовательное подбрасывание монеты, после каждого из
них подсчитывается относительная частота события «выпал герб». Какие из
приведенных ниже числовых последовательностей могут соответствовать
указанному опыту:
1 2 3 4
1 3 3
1 1 2
1 2 3 4
а) 1, , , , ...; б) 1, ,1, , ,...; в) 0,0, , , ,... ; г) ,1, , , ...?
2 3 4 5
2 4 5
3 2 5
2 3 4 5
2. Относительная частота пар обуви для взрослых, которые продали в
магазине за день, равна 0,6. В этот день продали 24 пары детской обуви.
Сколько всего пар обуви продали в этот день?
3. Четыре человека обменялись: а) рукопожатиями; б) фотографиями.
Сколько было сделано рукопожатий? Сколько понадобилось фотографий?
4. Сколькими способами коллектив из пяти человек может выбрать из своего
состава: а) руководителя и казначея; б) делегацию из двух человек для
возложения цветов?
5. Из полного набора костей домино (28 штук) наугад выбирают одну.
Найдите вероятность того, что: а) выбранная кость является шестеркой; б)
сумма очков на кости равна 5.
6. В ящике в три раза больше красных шаров, чем черных(шары одинаковы
во всем, кроме цвета). Наугад вынимают один шар. Какова вероятность того,
что он: а) красный; б) черный?
7. В ящике пять пронумерованных шаров: три белых и два черных. Наудачу
вынимают три шара. а) постройте ПЭИ этого опыта. б) укажите два события,
связанные с этим опытом. Опишите их элементами ПЭИ. в) введите
элементарные вероятности. г) найдите вероятность того, что извлечены два
белых и один черный шар.
8. Случайное событие А образуют все элементарные исходы ПЭИ, кроме
одного. Вероятность этого элементарного исхода равна 0,15. Чему равна
вероятность события А?
9. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Любой
из них с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со
второго. Найдите вероятность того, что все пятеро выйдут: а) на третьем
этаже; б) на одном этаже; в) на разных этажах.
10. Из ящика, содержащего 20 пригодных и пять бракованных изделий,
наугад вынимают три изделия. Чему равна вероятность того, что: а) все
изделия пригодны; б) пригодны лишь два изделия; в) пригодно лишь одно
изделие; г) все изделия бракованы?
11. Два действительных числа Х и У выбираются наудачу так, что сумма
квадратов меньше 100. Найти вероятность того, что сумма квадратов этих
чисел окажется больше 64?
12. В течение часа 0  t  1 ( t – время в часах) на остановку прибывает
только один автобус. Какова вероятность того, что пассажиру, пришедшему
на эту остановку в момент времени t=0, придется ожидать автобус не более
10 минут?
13. Баскетболист сделал три броска мяча в корзину. Событие Ai означает
попадание в корзину при і-м броске (і = 1, 2, 3). а) что означают события:
B  A1  A2 ; C  A1  A2  A3 ; D  A1  A2  A3 ; E  A1  A2  A3 ?
б) выразить через события A1 , A2 и A3 следующие события: F —«спортсмен
попал в корзину лишь при первом броске»; G — «имело место три
попадания»; Н — «попадание произошло только при одном из бросков».
14. Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что: а) сумма
выпавших очков равна 4 или 11; б) наступит хотя бы одно из двух событий:
«на первом кубике выпало не менее 3 очков», «на втором кубике — не менее
2 очков».
15. В урне десять красных и шесть синих шаров. Наудачу вынимают два
шара. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?
16. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70% всех
кинескопов предназначены для цветных телевизоров. Из общего количества
кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляют на
экспорт. Найти вероятность того, что наугад взятый для контроля кинескоп
предназначен для цветного телевизора и будет отправлен на экспорт.
17. Пусть каждый элементарный исход события В входит также и в событие
А. Чему равна: а) Р(A | B); б) Р(B | A)?
18. Чему равна: а) Р(A | U); б) P(U | А); в) P(V | А) для произвольного
события A?
19. В ящике десять деталей, среди которых семь окрашенных. Сборщик
наудачу достает две детали. Найдите вероятность того, что вторая деталь
окрашена, если первая: а) окрашена; б) не окрашена. Найдите вероятность
того, что обе детали: а) окрашены; б) не окрашены.
20. Симметричную монету подбрасывают трижды. Показать, что события А
— «при первом подбрасывании выпал герб» и В —«при последних двух
подбрасываниях выпала цифра» независимы.
21. Верны ли следующие утверждения: а) если события А и В независимы, то
они и несовместны; б) если события А и В несовместны, то они и
независимы: в) если события А и В независимы, то они совместны?
22. На мебельной фабрике на отдельных участках производятся спинки,
сиденья и ножки стульев. Дефектными оказываются 1% спинок, 2% сидений
и 0,5% ножек. Произведенные детали случайно комбинируются на участке,
где собирают стулья. Какой процент стульев: а) не будет испорчен; б) имеет
дефектные спинки и сиденья?
23. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для
второго — 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделали по одному
выстрелу. Какова вероятность того, что а) в мишень попадает только первый
стрелок; б) оба стрелка попадут в мишень; в) ни один из стрелков не
попадет в мишень; г) только один стрелок попадет в мишень; д) хотя бы
один из стрелков попадет в мишень?
24. Система состоит из четырех узлов (см. рис.). Вероятности безотказной
работы узлов равны соответственно р1, р2, р3, р4. Вычислите вероятность
безотказной работы всей системы, считая отказы узлов независимыми
3
1
2
4
событиями.
25. О событиях В1, В2, В3, В4 известно, что Р(В1) = 0,1, Р(В2) = 0,25, Р(В3) =
0,15, Р(В4) = 0,4. Могут ли они образовывать полную группу событий?
26. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике два белых и
один черный шар, во втором — один белый и четыре черных шара. Наудачу
выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что
вынутый шар окажется белым?
27. Вероятность получения патента равна 0,6. Если патент будет получен,
условная вероятность получения дохода от него составит 0,9. Однако, если
патент не будет получен, условная вероятность получения дохода составит
только 0,3. Найдите вероятность получения дохода.
28. Имеются две урны: в I урне содержится 5 белых и 15 черных шаров, во II
урне – 12 белых и 8 черных. Найти вероятность того, что вынутый из II урны
шар белый, если из I урны во вторую переложили два шара.
29. Из 16 игроков футбольной команды 5 успешно пробивают пенальти с
вероятностью 0,8; 7 с вероятностью 0,7; 4 с вероятностью 0,6. Наудачу
выбранный игрок забил гол с пенальти. Найти вероятность того, что игрок
принадлежал ко второй группе.
30. Расход электроэнергии на протяжении суток не превышает
2
установленной нормы с вероятностью p = . Найти вероятность того, что:
3
а) в ближайшие шесть суток расход энергии не будет превышать нормы в
течение каких-либо четырех суток;
б) в ближайшие шесть суток расход энергии не будет превышать нормы
менее четырех суток.
31. Фирма выпустила 1000 изделий. Вероятность того, что на гарантийный
ремонт вернется определенное изделие, равна 0,0013. Какова вероятность
того, что в определенный день на гарантийный ремонт:
а) не поступит ни одного изделия; б) поступит одно изделие; в) поступит два
изделия; г) поступит три изделия; д) поступит не более двух изделий?
32. Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти
вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.
33. Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний
равна 0,2. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие произойдёт
не менее 20 и не более 30 раз.
7.8. Контрольные задания к модулю № 8 (тема 16)
Случайные величины, их законы распределения,
числовые характеристики.
1.
А)
В)
С)
D)
Е)
G)
Укажите дискретные и непрерывные случайные величины
Число очков, выпавшее при подбрасывании игральной кости
Дальность полета артиллерийского снаряда
Количество произведенных выстрелов до первого попадания
Расход электроэнергии на предприятии за месяц
Рост студента
Оценка, полученная студентом на экзамене по теории вероятностей.
2. Дан закон распределения случайной величины X:
x
-1
0
1
2
p
0,3a
a
0,1a2
2
0,4
а) Найдите P  X  0  ; P  X  0  , б) составьте закон распределения для
Х2; (X – 0,5)2, в) постройте функцию распределения Cв X. Найдите
числовые характеристики Cв X.
3. В урне 1 белый и 9 черных шаров. Из урны достают два шара. Случайная
величина Х – количество черных шаров, которые достали из урны. Записать
ряд распределения случайной величины. Построить ее функцию
распределения. Найти числовые характеристики СВ.
4. Выигрыши, выпадающие на один билет в двух лотереях, имеют
соответственно законы распределения:
X
0
10
50
100
Y 0
10
50
100
Р
0,9 0,06 0,03 0,01
P
0,85
0,12 0,02
0,01
а) Какой из лотерей вы бы отдали предпочтение?
б) Найдите средний выигрыш для обладателя 10 билетов в первой лотерее.
в) Какой средний выигрыш будет иметь человек, приобретший два билета
первой лотереи и три билета второй?
5. Найдите D(2X + 3), если закон распределения случайной величины X
имеет вид
1
2
3
X
0,3
0,2
0,5
.
P
6. Случайные величины X и Y независимы и имеют законы распределения:
X
-1
0
1
Y -2
-1 0
1
Р
0,4 0,1 0,5
P
0,3
0,1 0,4
0,2
Найдите: а)D(3X + 2Y); б) D(3X – 2Y); в) M(XY); г) закон распределения CВ
XY.
7. Какие из следующих случайных величин имеют биномиальное
распределение: а) число извлеченных последовательно (без возвращения)
нестандартных деталей из партии в 100 деталей, среди которых 10
нестандартных; б) число попаданий в мишень при трех независимых
выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле одна и та же;
в) число очков, выпавших при бросании одного игрального _кубика; г) число
гербов, выпавших при четырехкратном подбрасывании монеты?
8. Найдите среднее квадратическое отклонение случайной величины X ,
имеющей биноминальное распределение с параметрами n  10 , p  0,8 .
9. Задана случайная непрерывная величина Х своей плотностью
распределения вероятностей f(x)


A
cos
2
x
,
npu
x



4
f ( x)  
Требуется:

0 ,
npu
x  .


4
.
1) определить коэффициент А;
2) найти функцию распределения F(x);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала
 
 ,2 .
6 
10. Задана случайная непрерывная величина Х своей функцией
распределения F(x)
при
x  0,
0,

Требуется:
F ( x )   Ax 3 ,
при
0  x  3, .
1,
при
x  3.

1) определить коэффициент А;
2) найти плотность распределения вероятностей f(x);
3) схематично построить графики функций f(x) и F(x);
4) вычислить математическое ожидание и дисперсию Х;
5) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала
1,2  .
11. Найти функцию распределения случайной величины Х, плотность
1
вероятности которой определена формулой f x  
(    x   ).
 (1  x 2 )
Чему равно математическое ожидание этой случайной величины?
12. График плотности распределения вероятности случайной
величины Х имеет вид
a
0
a
x
Найти: значение a ; функцию распределения этой случайной величины,
ее математическое ожидание и дисперсию.
13. Непрерывная случайная величина распределена по показательному
x  0,
0,
закону f x     2 x
Найти математическое ожидание и дисперсию
, x  0.
2 e
случайной величины X , а также вероятность того, что в результате опыта
значения случайной величины X попадут в интервал 0,1; 0,7  .
14. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке  3; 2.
Найти функцию распределения этой случайной величины, ее
математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что в
результате опыта значения случайной величины X попадут в интервал
 2; 3 .
15. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими
параметрами а (математическое ожидание) и  (среднее квадратическое
отклонение). Требуется:
а) написать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (; );
в) найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от а не более,
чем на ;
г) применяя правило “трех сигм” найти значения случайной величины Х.
а = 7,
 = 2,  = 6,  = 10,
 = 3.
16. Случайная величина Х имеет нормальное распределение со средним
10. Сравните: а) Р(Х > 10) и Р(Х < 10); б) Р(Х > 10) и Р(Х < 9); в) Р(Х > 11) и
Р(Х < 10); г) Р(Х > 2) и Р(Х  2).
17. По стандарту требуется, чтобы диаметр клапана находился в пределах
от 2,53 до 2,57 см. Оборудование, на котором производятся клапаны,
налажено так, что средний диаметр клапана равен 2,56 см, а среднее
квадратичное отклонение составляет 0,01 см. Предполагая, что диаметр
клапана имеет нормальное распределение, найдите, какой процент
произведенных в течение длительного времени клапанов будет
соответствовать стандарту.
Элементы математической статистики
1. Найти объем выборки 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6. Определить моду и медиану
вариационного ряда.
2. Математическое ожидание оценки 𝜃̃𝑛 параметра 𝜃 равно оцениваемому
параметру. Оценка 𝜃̃𝑛 называется
1)
Смещенной
2)
Состоятельной
3)
Несмещенной
4)
Эффективной
3. Оценка 𝜃̃𝑛 параметра 𝜃 сходится по вероятности к оцениваемому
параметру. Оценка 𝜃̃𝑛 называется
1)
Смещенной
2)
Состоятельной
3)
Несмещенной
4)
Эффективной
4. Оценка 𝜃̃𝑛 параметра 𝜃 имеет наименьшую дисперсию из всех
несмещенных оценок параметра 𝜃, вычисленных по выборкам одного объема
n. Оценка 𝜃̃𝑛 называется
1)
Смещенной
2)
Состоятельной
3)
Несмещенной
4)
Эффективной
5. Произведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой
случайной величины (в мм): 2, 3, 8, 8. Найти несмещенную оценку
математического ожидания .
6. Выборочная дисперсия вариационного ряда равна 3,5. Объем выборки
равен 50. Найти исправленную выборочную дисперсию .
7. Точечная оценка математического ожидания нормального распределения
равна 11. Найти его интервальная оценка может иметь вид…
1)
(10,5;11,5) 2)
(11; 11,5)
3) (10,5; 10,9) 4)
(10,5; 11)
8. Дан вариационный ряд
варианта 1 3 6
частота 10 8 12
Найти значение эмпирической функции распределения 𝐹 ∗ (𝑥) в точке 𝑥 = 5.
9. Дан интервальный вариационный ряд
варианта 1-3
7-9
3-5
5-7
частота 2
1
3
4
Найти выборочную среднюю, исправленную выборочную дисперсию.
Построить гистограмму относительных частот, график эмпирической
функции распределения.
10. На заводе N болванок. Результаты выборочной проверки 500 болванок
приведены в следующей таблице:
Масса
29- 30- 31- 32- 33- Итого
Болванок
30 31 32 33 34
(кГ)
Количество
38 202 198 56 6
500
(штук)
Выборка собственно случайная бесповторная. Найти с точностью до 10-4
доверительный интервал для оценки средней массы болванок при уровне
доверительной вероятности  = 0,95.
11. Любое предположение о виде или параметре неизвестного закона
распределения называется
1)
Статистическим критерием 2)
Нулевой гипотезой
3)
Статистической гипотезой
4)
Альтернативной гипотезой
12. Правило, по которому нулевая гипотеза отвергается или принимается
называется
1)
Статистическим критерием 2)
Нулевой гипотезой
3)
Статистической гипотезой
4)
Альтернативной гипотезой
13. Если основная гипотеза имеет вид H 0 : a  20 , то конкурирующей
гипотезой может быть гипотеза …
H1 : a  30
H1 : a  20 3)
H1 : a  20 4)
H1 : a  20
1)
2)
14. По данным выборки
1) построить статистический ряд распределения;
2) изобразить гистограмму;
3) вычислить выборочное среднее;
4) вычислить выборочную дисперсию.
2.0 4.8 5.2 3.8 3.5 3.2 3.2 3.9 4.9 2.8 3.7 1.8 3.4 2.3 3.2 4.5 0.5
3.3 2.8 2.5 1.4 3.2 3.5 2.2 2.3 3.5 3.5 4.1 4.4 2.3 1.9 2.2 3.8 3.4
2.2 3.1 2.1 2.1 3.2 2.5 2.1 2.9 2.8 3.1 4.3 2.8 4.0 2.3 2.7 2.4 2.4
2.3 2.4 2.9 2.2 3.6 2.1 3.2 2.3 2.9 2.0 4.7 3.5 2.8 3.0 -0.2 3.6 3.1
3.3 1.4 2.6 2.6 1.8 4.3 1.8 0.7 4.6 3.0 1.9 3.7 3.2 2.6 2.6 4.2 2.9
2.3 5.4 3.3 3.1 2.8 2.7 2.7 1.8 2.8 4.6 2.7 1.4 3.9 3.7 2.5
15. Используя метод наименьших квадратов, найти параметры
зависимости y = f(ax + b) :
а) в предположении, что эта зависимость линейна;
б) в предположении, что зависимость нелинейна, выбрав по форме данных
ее наиболее вероятный вид. В ответе требуется указать:
1) коэффициенты a и b для линейной зависимости;
2) форму нелинейной зависимости;
3) коэффициенты a и b для нелинейной зависимости;
4) величины средних квадратических отклонений для линейного и
нелинейного случая.
X
2.0 3.0
4.0 5.0 6.0
7.0 8.0
9.0 10.0 11.0
Y 16.9 19.5 24.5 31.0 35.2 41.3 48.2 57.0 64.6 72.3
16. По данным выборки, удовлетворяющей нормальному закону
распределения, вычислить:
1) выборочное среднее;
2) исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение;
3) доверительный интервал для математического ожидания при доверительной вероятности γ;
4) доверительный интервал для среднего квадратического отклонения для
того же значения γ.
γ = 0.95
18.3 15.5 24.5 24.7 18.0 13.3 15.4 10.1 23.1 19.3 5.7 11.6 14.3 -4.5 20.3 32.3
17. По данным выборки, удовлетворяющей нормальному закону
распределения со средним квадратическим отклонением s , вычислить
1) выборочное среднее;
2) доверительный интервал для математического ожидания при
доверительной вероятности γ.
s = 9, γ = 0.99
38.3 26.1 10.5 26.9 25.4 12.1 12.3 15.1 14.0 21.6 23.5 13.0 21.4 24.1 26.6
25.8 12.7 15.2 32.9 22.1 25.7 13.6 27.8 22.8 10.1 27.8 23.8 19.8 24.7 29.2
24.4 5.6 19.4 30.1 15.3 8.4 14.2 22.8 30.8 36.2 22.0 20.5 14.1 18.6 14.7
24.1 26.9 26.2 8.8 22.5 26.3 37.0 37.3 25.1 17.4 37.1 29.6 27.9 30.1 6.2
20.8 27.0 19.2 20.9 28.0 22.2 12.7 15.5 19.6 24.5 24.2 35.4 34.7 25.1 14.1
19.6 40.8 18.4 30.1 26.1 43.0 40.3 27.4 20.1 29.2 25.0 31.5 34.7 5.1 24.6
8.1 33.7 32.2 10.3 29.0 12.6 26.0 28.4 11.1 33.4