2.2. Приближенное вычисление интегралов. Формулы

2.02
2.2. Приближенное вычисление интегралов. Формулы
прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка
погрешности. Способы вычисления кратных интегралов.
b
Приближенное вычисление интегралов вида I   f ( x)dx .
a
Большая часть методов приближенного вычисления
интегралов основана на дроблении отрезка [a,b] точками
a=x0<x1<…<xN=b.
N
В этом случае полагаем I   Ai f i , где fi=f(xi) Последняя
i 0
формула называется квадратурной, xi называются узлами
квадратурной формулы, а Ai – ее весами.
Вообще говоря, функцию f(x) мы можем интерполировать на
отрезке xi=[xi-1,xi], тогда формулы для вычисления приближенного значения интеграла
будут называться интерполяционно-квадратурными.
Формула прямоугольников.
Будем интерполировать функцию f(x) на отрезке xi, полиномами нулевой степени, т.е.
константами.
f ( x)  f ( xi 1 / 2 )  f i 1 / 2
xi
I i   f ( x)dx  f i 1 / 2 xi
xi 1
N
N
I   fi 1 / 2 xi  x fi 1 / 2
если все
отрезки
равны
i 1
i 1
Последняя формула называется формулой прямоугольника (центральной, так как берем fi1/2). Если будем брать значение функции не в центре xi, а в xi, то формула будет
правосторонней, а если xi-1 – левосторонней.
Формула трапеций.
Теперь f(x) на xi будем интерполировать полиномом первой степени.
f ( x) 
Ii 
f i  f i 1
( x  xi 1 )  f i 1
xi  xi 1
1
( f i 1  f i )xi
2
тогда
N
N
если x 

1
I   ( f i1  f i )xi 
f

2
f i  f N  - формула трапеций.
 0


x

const
i
2 
i 1 2
i 1

Формула Симпсона.
В этом случае интерполировать f(x) будем уже не по 2-м а по 3-м точкам, т.е. полиномами
второй степени.
f ( x)  f i 1 / 2 
f i  f i 1
f  2 f i 1 / 2  f i
( x  xi 1 / 2 )  i 1
( x  xi 1 / 2 ) 2
2
xi
x / 2
Найдем Ii.
1
2.02
xi

Ii 
f i  f i1 i
f  2 f i1 / 2  f i
( x  xi1 / 2 )dx  i1

xi xi 1
x 2 / 2
x
f i1 / 2 dx 
xi 1
f i1  2 f i1 / 2  f i
x 2 / 2
 f i1 / 2 x 
N
I   Ii 
i 1
x / 2
 y dy 
2
0
xi
 (x  x
i 1
) 2 dx 
xi 1
f i1 / 2 x  f i1  2 f i1 / 2  f i
1
x  ( f i1  4 f i1 / 2  f i )x
6
6
N 1
N

x 
 f 0  2  f i  4  f i 1 / 2  f N  - формула Симпсона.
6 
i 1
i 1

Оценки априорных погрешностей:
1) Центральный прямоугольник: | I  I1 |
M 2 (b  a) 2
x M 2  max | f " ( x) |
24
[ a,b]
M 2 (b  a) 2
x M 2  max | f " ( x) |
12
[ a,b]
M 4 (b  a) 4
| I  I 3 |
x M 4  max | f "" ( x) |
2880
[ a,b]
2) Трапеция | I  I 2 |
3) Симпсон
1,2 и 3 хорошо обусловлены в смысле абсолютной погрешности.
Найдем апостериорную оценку
| I  I x1 | cx1k , где x1k – шаг разбиения.
I  I x1  cx1k
(1)
I  I x2  cx2k
(2)
вычтем (1) из (2)
I x1  I x2  c(x2k  x1k )  c 
I x1  I x2
x2k  x1k
подставив выражение для с в (1) получим
I  I x1 
I x1  I x2
x  x1k
2
k
x1k 
I x1  I x2
k
 x 
 1  1
 x 
 2
, мы получили оценку Ричардсона.
Способы вычисления кратных интегралов.
Допустим, хотим вычислить интеграл по площадке на рисунке.
x2
y2 ( x )
x1
y1 ( x )
I   f ( x, y )d   dx  f ( x, y )dy

для вычисления подобного интеграла будем иметь
формулы прямоугольников.
N
I   f ( xi , yi ) i
i 1
аналог
.
Для приближенного вычисления определенных интегралов применяется метод МонтеКарло.
b
b
a
a
I   f ( x)dx  
b
b
f ( x)
p( x)dx   ( x) p( x)dx , где  p( x)dx  1 .
p ( x)
a
a
I – мат. ожидание случайной величины x с плотностью вероятности p(x).
2
2.02
Генерируем
случайные величины с плотностью вероятности p(x).
i 1
N
I    ( xi )
~ 1 N
Оценка метода
1
1
~
 N  I  I ~ 1
N
b
 2
1    [( x)  I ]2 dx
a

3