1.5 Формулы численного интегрирования

- 30 <== Возврат к содержанию раздела
1.5 Формулы численного интегрирования
Определение: Численное интегрирование – это приближенное вычисление определенных интегралов вида
b
I   f ( x) dx.
(1.22)
a
Этот способ вычисления интегралов применяется, когда первообразную
функции f (x) определить сложно или невозможно (например, f (x) задана
таблицей значений).
Постановка задачи: Вычислить интеграл (1.22) с заданной степенью
точности по значениям подынтегральной функции f (x) в некоторых точках
y
отрезка [a;b] оси х.
Определение:
Упомянутые
y = f (x)
точки отрезка [a;b] называют узлами,
а проходящие через них перпендиI
куляры к оси х - ординатами.
Общая схема численного интегрирования. Если значения a и b
b
a
конечны, а функция f (x) непрерывна
. . . xn-1 x n x на отрезке [a;b] , то интеграл I есть
x0
x1
x2
площадь плоской фигуры, ограниРисунок 1.8 Схема численного интегрирования ченной кривой y=f (x), осью х и ординатами x=a, x=b. Приближенное вычисление интеграла сводится к разбиению отрезка [a;b] на множество более мелких отрезков, приближенному
определению площади каждой получившейся криволинейной трапеции и их
суммированию (рисунок 1.8).
Определение: В литературе численное определение интеграла вида
(1.22) называют квадратурой, а формулы численного интегрирования – квадратурными.
Имеется две разновидности квадратурных формул. Первая предусматривает разбиение отрезка [a;b] на равные микроотрезки [xi-1;xi], i=1,2,...,n
(x0=a, xn=b) длиной h=(b-a)/n . Наиболее популярные формулы этой разновидности – формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Формулы второй разновидности основаны на определении положения точек хi, i=1,2,...,n-1
внутри отрезка [a;b], позволяющего достичь максимальной точности вычисления интеграла при заданном числе точек. Из этой разновидности чаще всего применяется формула Гаусса.
. . . . . .
b
n xi
a
i 1xi 1
При использовании формул первой группы I   f ( x) dx    f ( x) dx .
xi
Приближенные значения интегралов I i   f ( x) dx , i=1,2,...,n определяются
xi 1
- 31 путем замены подынтегральной функции f (x) элементарной функцией внутри всех отрезков [xi-1;xi].
Формула прямоугольников (рисунок 1.9). На каждом отрезке [xi-1;xi],
i=1,2,...,n площадь под кривой y=f (x)
принимается приближенно равной
площади прямоугольника с основанием
 x x 
h и высотой f  i 1 i  ,
т.е.
2


 x  xi 
I i  h  f  i 1
 , i=1,2,...,n, а
2


n x
x 
I  h   f  i 1 i  .
(1.23)
2
i 1 

Формула трапеций (рисунок
1.10). На отрезках [xi-1;xi], i=1,2,...,n
площадь под кривой y=f (x) заменяется
площадью трапеции с основанием h и
высотами f (xi-1) и f (xi). Следовательh
но I i   f ( xi1 )  f ( xi ) , i=1,2…,n, т.е.
2
h n
(1.24)
I    f ( xi1 )  f ( xi ) .
Рисунок 1.10 Формула трапеций
2 i1
Формула Симпсона (рисунок 1.11). На отрезке [xi-1;xi], i=1,2,...,n кривая
y=f (x) заменяется квадратичной параболой, график которой проходит через
 x  x   x  x 
точки x i 1 , f ( x i 1 ),  i 1 i , f  i 1 i , x i , f ( x i ). По формуле Лагран2
2
 


жа уравнение этой параболы можно представить в виде
( x  zi )( x  xi )
P2 ( x) 
 f ( xi1 ) 
( xi1  zi )( xi1  xi )
( x  xi1 )( x  xi )

 f ( zi ) 
( zi  xi1 )( zi  xi )
( x  xi1 )( x  zi )

 f ( xi ) ,
( xi  xi1 )( xi  zi )
Рисунок 1.11 Формула Симпсона
где zi=(xi-1+xi)/2. Учитывая, что xi–xi-1=h, а
zi–xi-1=xi–zi=h/2, запишем
f ( xi1 ) xi
f ( zi ) x i
I i  2

(
x

z
)(
x

x
)
dx

4

  ( x  xi1 )( x  xi ) dx 

i
i
h 2 xi1
h 2 xi 1
Рисунок 1.9 Формула прямоугольников
 2
f ( xi ) xi
  ( x  xi1 )( x  zi ) dx , i=1,2,...,n.
h 2 xi 1
- 32 -
h
Взяв все три интеграла по частям, получим I i   f ( xi1 )  4 f ( zi )  f ( xi ) ,
6
i=1,2,...,n, следовательно

h n
 x x 
(1.25)
I     f ( xi 1 )  4 f  i 1 i   f ( xi ) .
6 i 1
2



Формулу Симпсона называют иногда формулой парабол.
Заменяя f (x) на отрезках [xi-1;xi], i=1,2,...,n полиномами 3-го, 4-го и т.д.
порядков можно получить более сложные квадратурные формулы, носящие
общее название: формулы Ньютона-Котеса.
4


Пример. Определить значение интеграла  x3  3 x 2  2 dx при n=3.
1
Точное значение
4
4
1
1
4
x 4 4  x 3  2  x 1  255 4  63  6  6.75 ;
формула прямоугольников I  f (1.5)  f (2.5)  f (3.5)  11 8  9 8  65 8  5.625 ;
1
0222218
9 ;
формула трапеций I   f (1) f (2) f (2) f (3) f (3) f (4)
2
2
формула Симпсона
1
I    f (1)  4  f (1.5)  f (2)  f (2 )  4  f (2.5)  f (3)  f (3)  4  f (3.5)  f (4) 
6
0  44 8  2  2  36 8  2  2  260 8  18

 6.75 .
6
Формула Симпсона дает абсолютно точный результат при интегрировании не только квадратичных, но и кубических полиномов для любого числа n. Эта формула соединяет в себе достоинства простоты и высокой точности. Для более простых формул прямоугольников и трапеций характерна
гораздо меньшая точность.
Ошибки вычисления интеграла (1.22) при фиксированном числе микроотрезков и можно вычислить по формулам :
Op
b  a 3  f II (c), О   (b  a) 3  f II (c), О   (b  a) 5  f IV (c),
24 n 2
t
12 n 2
s
180 n 4
a c b
(1.26)
Из этих формул видно, что при одинаковом числе n формула прямоугольников вдвое точнее формулы трапеций, а формула Симпсона точнее обеих на
порядок. Применять формулы (1.26) в вычислительной практике неудобно
из-за необходимости вычисления производных функции f (x).
Основой алгоритма вычисления интегралов вида (1.22) по формулам
(1.23)-(1.25) является прием последовательного удвоения числа микроотрезков n и сравнения получаемых значений интеграла. Согласно формулам
(1.26), удвоение числа n приводит к уменьшению Оp и Оt в 4 раза , а Оs - в 16
раз. Начальное число n обычно равно 10-20. Процесс удвоения n и пересчета
значения
интеграла
заканчивают
при
выполнении
неравенства:
I ( n)  I ( 2n)    K F , где  - заданная точность (обычно 10-410-5), KF - коэф-
- 33 фициент, зависящий от используемой формулы (Kp=Kt=3, Ks=16). Увеличивать точность не имеет смысла, т.к. с ростом n и уменьшением ошибки ограничения увеличивается ошибка округления (при n >700 для формул прямоугольников и трапеций, n >100 для формулы Симпсона общая ошибка начинает увеличиваться).
Квадратурная формула Гаусса.
Основной принцип квадратурных
формул второй разновидности виден
из рисунка 1.12: необходимо так разместить точки х0 и х1 внутри отрезка
[a;b], чтобы площади "треугольников"
в сумме были равны площади "сегмента". При использовании формулы
Гаусса исходный отрезок [a;b] сводится к отрезку [-1;1] заменой переРисунок 1.12 Иллюстрация к формуле Гаусса
менной х на 0.5∙(b – a)∙t + 0.5∙(b + a).
b
1
ba  ba
ba 
Тогда I   f ( x)dx   (t )dt , где (t ) 
f
t 
.
2
2
2 

a
1
Такая замена возможна, если a и b конечны, а функция f (x) непрерывна на [a;b]. Формула Гаусса при n точках xi, i=0,1,..,n-1 внутри отрезка [a;b]:
n1
I  [ Ai  (ti )] ,
(1.27)
n0
где ti и Ai для различных n приводятся в справочниках. Например, при n=2
t0  1 3 , t1 1 3, A0=A1=1; при n=3: t0=t20.775, t1=0, A0=A20.555, A10.889.
2


Пример. Вычислить значение  1 x 4 dx по формуле Гаусса для n=2:
(t ) 

0

20
 1  1  t 4  1  1  t 4 ; I  1  (1  1
2
2
3 )4  1  (1  1
3 )4  8.2216 ,
2
Точное значение: x 0  x 5 5  2  32 5  8.4 .
0
Алгоритм вычисления интеграла (1.22) по формуле Гаусса предусматривает не удвоение числа микроотрезков, а увеличение числа ординат на 1 и
сравнение полученных значений интеграла. Преимущество формулы Гаусса
– высокая точность при сравнительно малом числе ординат. Недостатки: неудобна при расчетах вручную; необходимо держать в памяти ЭВМ значения
ti, Ai для различных n.

Вычисление несобственных интегралов. Интеграл I   f ( x) dx , где
a
f (x) - непрерывна на [a; ), может быть вычислен по формулам (1.23)-(1.25),
если он является сходящимся. Общая схема вычисления:
b
a) выбирается большое число b и вычисляется  f ( x) dx с точностью
a
- 34 /2 (используется последовательное удвоение числа микроотрезков n);
b
б) значение b удваивается и вновь вычисляется  f ( x) dx ;
a
в) если I b  I 2b   2, то вновь выполняется п. б) ; иначе I 2b - значение
искомого интеграла с точностью .
<== Возврат к содержанию раздела