УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ ПО ТЕМЕ "СТАРИННЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ"

1001 идея интересного занятия с детьми
УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ ПО ТЕМЕ
"СТАРИННЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ"
Павлова Ирина Вячеславовна, МКОУ "Средняя общеобразовательная
школа №3" г.Новомосковска, учитель математики, Тульская область
Предмет (направленность): математика.
Возраст детей: 5 класс.
Место проведения: класс.
Содержание
1. Введение
2. Общая характеристика проекта
3. Теоретическая часть
3.1 Мысли о математике
3.2 Леонтий Филиппович Магницкий и его "Арифметика"
3.3"Арифметика" Льва Николаевича Толстого
4. Практическая часть
4.1Задачи из "Арифметики" Л.Ф. Магницкого
4.2 Задачи из "Арифметики" Л.Н. Толстого
4.3 Задачи из "Всеобщей арифметики" И.Ньютона
4.4 Старинные задачи из различных источников
5. Заключительная часть
6. Источники материала
1. Введение
Проблема
Существует множество старинных арифметических задач ,
некоторые задачи связаны с именами писателей, ученых в различных
областях науки, часть пришла к нам из глубокой древности, не
сохранив имя составителя. Мы решили исследовать эту проблему,
чтобы узнать, какие математические задачи решались раньше.
Гипотеза
Если мы узнаем о старинных арифметических задачах:
1. расширим свой кругозор по математике;
2. получим знания о методах их решения.
Цель проекта: повысить интерес учащихся к математике
Задачи:
составить календарный план работы;
определить долю участия каждого члена проекта;
собрать информацию по теме проекта;
сделать подборку задач;
систематизировать данные различных источников;
продемонстрировать другим учащимся, что математика может
быть очень увлекательной.
.
1
1001 идея интересного занятия с детьми
Продолжительность проекта: декабрь 2012 года - январь 2013
года.
Актуальность проблематики проекта.
Актуальной является активизация познавательной деятельности
учащихся через проектную деятельность, тем самым развиваются
навыки
самостоятельного
критического
мышления,
умение
использовать полученную информацию и применять ее на практике.
Ожидаемые результаты.
Расширение кругозора учащихся.
Овладение учащимися основными ИКТ- компетентностями
Активизация процессов социализации школьников.
Личностное становление ребенка, его самореализация и
осмысление собственного места в социальном окружении.
2. Общая характеристика проекта
Тип проекта: практико-ориентированный.
Виды деятельности: творческий, информационный, прикладной.
Применяемые умения:
проектные (организационные, информационные, поисковые,
коммуникативные, презентационные, оценочные);
предметные (математические).
База выполнения: школа.
Формы обучения: групповая и индивидуальная.
Продолжительность выполнения: 2 месяца.
Средства обучения: печатные, наглядные.
Циклограмма подготовки хода проекта
Этапы
работы,
сроки
Организация
деятельности,
15 - 18.12
Вид работы
Деятельность
учителя
Деятельность
учащихся
Погружение в
проект,
проблематизаци
я:
обращение
учителя
учащимся с
просьбой о
поиске
старинных
математических
задач.
Организация
творческих
групп.
Рассказывает о
том, что такое
проект и метод
проектов.
Помогает в
постановке
проблемы:
повысить
интерес к
изучению
дробей.
Помогает в
выдвижении
задач.
Оказывает
Цель работы:
повысить
интерес к
изучению
математики.
Задача:
каждому
ученику найти
материал о
старинных
задачах.
Создание
проектных
групп.
Коллективное
2
1001 идея интересного занятия с детьми
Осуществлен
ие
деятельности,
декабрь
Планирование.
Сбор
теоретических
данных.
Источники
информации:
учебники,
энциклопедии,
электронные
справочники,
Интернет.
Накопление
рабочего
материала.
Способ
представления
конечного
результата.
Критерии
оценки
результатов
работы:
наличие
теоретического
материала;
корректность
сбора данных;
наличие
описания.
Поиск
теоретического
материала
(учебники,
энциклопедии,
электронные
справочники,
Интернет и
другие
источники
информации).
Сбор материала
об авторах:
Л.Ф. Магницкий
и его учебник;
"Арифметика"
Л.Н. Толстой и
помощь в
формировании
групп, выборе
ответственных
в каждой
группе.
Обращает
внимание на
важность
предстоящей
работы.
Оказывает
необходимую
консультативну
юи
организационну
ю помощь.
Помощь в
обработке
собранных
данных.
обсуждение.
плана
дальнейшей
работы.
Срок
выполнения
работы - 1
месяц.
Помогает в
текущей
поисковой,
аналитической
и практической
работе (по
просьбе). Дает
дополнительны
е задания,
когда у
учащихся
возникает в
этом
необходимость.
Наблюдает,
советует.
Поиск, отбор и
изучение
необходимой
информации в
предложенных
источниках.
Групповая
работа по
сбору рабочего
материала.
Анализируют
информацию;
из собранного
материала
выбирают
математическо
е содержание.
3
1001 идея интересного занятия с детьми
Представлени
е результатов
и их оценка,
январь
его
"Арифметика";
И.Ньютон
"Всеобщая
арифметика";
задачи
задачи древнего
Китая, Индии,
Греции, Египта,
Армении.
Решение и
оформление
решения задач.
Обобщение
результатов и
выводов:
анализ
полученной
информации,
формулировани
е выводов;
отчет
участников
проекта о
проделанной
работе;
оценка процесса
и результатов
работы;
оценка
конечного
результата
коллективной
деятельности.
Защита проекта
анализ
достижения
поставленной
цели;
рефлексия.
Готовят
материалы для
защиты
проекта.
Слушает,
задает
целесообразны
е вопросы в
роли рядового
участника.
Участвует в
коллективном
анализе и
оценке
результатов
проекта.
Проводит
рефлексию.
3. Теоретическая часть
4
Общий анализ
работы в
группе делают
все
ответственные
в каждой
группе.
Каждый
участник
проекта
индивидуально
защищает
свою работу по
сбору
теоретической
информации.
Оценивают
индивидуальн
ый вклад
каждого члена
группы в
реализацию
проекта, в
целом группы.
Анализ
достигнутых
результатов,
причин успехов
и неудач.
1001 идея интересного занятия с детьми
3.1. Мысли о математике
Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного
поэтом.
Карл Вейерштрасс
Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя
приложить ни одной из математических наук, и в том, что не
имеет связи с математикой.
Леонардо да Винчи
Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это
благодаря изучению математики.
Пьер Гассенди
В каждой естественной науке заключено столько истины,
сколько в ней математики.
Иммануил Кант
Математические
науки,
естественные
науки
и
гуманитарные науки могут быть названы, соответственно,
науками
сверхъестественными,
естественными
и
неестественными.
Лев Давидович Ландау
Легче
найти
квадратуру
математика.
Огастес де Морган
круга,
чем
перехитрить
Математическая истина, независимо от того, в Париже или в
Тулузе, одна и та же.
Блез Паскаль
В математике нет символов для неясных мыслей.
Анри Пуанкаре
Если бы я только имел теоремы! Тогда я бы мог бы
достаточно легко найти доказательства.
Бернхард Риман
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все
науки стремятся к математике.
Джордж Сантаяна
5
1001 идея интересного занятия с детьми
Математика
может
последовательность даже в хаосе.
Гертруда Стайн
открыть
определенную
Разве вы не математик? Нет. Тогда мне не о чем с вами
говорить. Я разговариваю лишь с теми, кто владеет методом
математического анализа.
Анатоль Франс
Математика похожа на мельницу: если вы засыплете в нее
зерна пшеницы, то получите муку, если же засыплете отруби,
отруби и получите.
Андру Филлинг Хаксли
Легкость математики основана на возможности чисто
логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, - на
невозможности иного изложения.
Хуго Штейнгаус
Математика - самая надежная форма пророчества.
В. Швебель
В каждой естественной науке заключено столько истины,
сколько в ней есть математики.
И. Кант
Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней
мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он
управляется.
И. Гете
Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного
поэтом.
Т. Вейерштрасс
Много из математики не остаётся в памяти, но когда
поймешь её, тогда легко при случае вспомнить забытое.
М.В. Остроградский
Дважды два не только четыре, но и без пяти трижды три.
Георгий Александров
Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед!
А. Нивен
6
1001 идея интересного занятия с детьми
Рядом с нулями и единица чувствует себя
Игорь Карпов
увереннее.
Математика кроме здравого рассудка ни в чём более не
нуждается.
Фома Евграфович Топорищев
На самом деле любой плюс - это два объединившихся минуса.
Владимир Борисов
Простые числа не так просты, как это кажется с первого
взгляда!
Фома Евграфович Топорищев
3.2. Леонтий Филиппович Магницкий и его "Арифметика"
Леонтий Филиппович Магницкий — первый учитель математики и
морских наук в России. С 1701 года и до конца жизни преподавал
математику в Московской школе математических и навигацких наук.
О Леонтии Магницком известно не так уж и много. Большинство
сведений о нем относится к годам, когда он уже преподавал в
Навигацкой школе. О детских годах известно лишь то, что родился он
в крестьянской семье в Осташковской монастырской слободе на
берегу озера Селигер. Отца будущего математика звали Филиппом,
прозвище его было Теляшин, фамилии же в то время крестьянам не
полагались. Мальчик еще в детстве научился самостоятельно читать,
благодаря чему временами исполнял обязанности псаломщика в
местной церкви.
Судьба юноши резко изменилась, когда из родной слободы его
отправили с возом мороженой рыбы в Иосифо-Волоколамский
7
1001 идея интересного занятия с детьми
монастырь. Видимо, в монастыре паренек проявил интерес к книгам, и
игумен, убедившись в его грамотности, оставил Леонтия чтецом. Уже
через год игумен благословил юношу на учебу в Славяно-греколатинскую академию, бывшую в тот период основным учебным
заведением в России. В академии Леонтий проучился около восьми
лет.
Любопытно, что математику, которой Магницкий затем занимался
до конца жизни, в академии не преподавали. Следовательно, её
Леонтий изучил самостоятельно, как и основы навигации и
астрономии. Закончив академию, Леонтий не стал постригаться в
священнослужители, как надеялся отправлявший его на учебу игумен,
а стал преподавать математику, а, возможно, и языки, в семьях
московских бояр.
В Москве и произошла его встреча с Петром I, который умел
находить людей, полезных для России, из каких бы слоев общества
они ни происходили. Безродный учитель, не имевший даже фамилии,
понравившийся царю глубокими знаниями, получил от монарха
своеобразный подарок. Петр I любил Магницкого за живой ум и
большие познания и в знак глубокого уважения к математическому
таланту Леонтия Филипповича и его просветительской деятельности
придумал ему фамилию "Магницкий" так как он притягивал своей
ученостью отроков к себе, как магнитом. Фамилии имели только
представители высшей знати.
Как лучшему российскому математику, Л. Ф. Магницкому было
поручено составление учебного руководства по арифметике, что он и
выполнил с большим талантом. Хотя учебник и назывался
"Арифметикой" его можно рассматривать как энциклопедию
математических знаний того времени. В нем, кроме подробного
изложения основ арифметики, даны сведения по алгебре (правила
извлечения квадратных и кубических корней, прогрессии), понятия о
вычислении тригонометрических таблиц и тригонометрических
вычислениях вообще, сведения по астрономии, геодезии и навигации.
Учебник содержит много задач и примеров, причем большинство из
них интересно и даже увлекательно по содержанию. Автор, стремясь
придать арифметике занимательный характер, пользуется стихами и
рисунками.
"Арифметика" Магницкого как учебник была в школьном
употреблении почти до середины XVIII века. По ней учился и М. В.
Ломоносов.
На могильном камне в память о Л. Ф. Магницком высечена
эпитафия. Она рассказывает потомкам про самоотверженного
труженика науки, человека большой души, верного сына своего
отечества. Вот эта надпись:
"В вечную память... добродетельно пожившему Леонтию
Филипповичу Магницкому, первому в России математики учителю, зде
погребенному, мужу..., который путь сего временного и прискорбного
8
1001 идея интересного занятия с детьми
жития начал 1669 года июня 9-го дня, наукам изучился дивным и
неудобовероятным способом, его величеству Петру первому для
остроумия в науках учинился знаем в 1700 году и от его величества,
по усмотрении нрава ко всем приятнейшего и к себе влекущего,
пожалован, именован прозванием Магницкий и учинен российскому
благородному юношеству учителем математики, в котором звании
ревностно, верно, честно, всеприлежно и беспорочно служа и пожив в
мире 70 лет, 4 месяца и 10 дней, 1739 года, октября 19-го дня, о
полуночи в 1 часу, оставя добродетельным своим житием пример
оставшим по нем, благочестно скончался...Не по должности написал
горькослезный Иван, нижайший раб, сын ему любезный".
Главное достоинство "Арифметики" Магницкого – в полноте
содержания. Это не просто арифметика, а целый курс математики с
приложением ее к мореплаванию. Правда, арифметику Магницкий
считал краеугольным камнем математического образования и
обработал ее в своей книге с аналогичными западноевропейскими
учебниками, ей современными исключительно тщательно. Он
использовал новинки в области арифметики, ввел новые
наименования; "миллион", "биллион" и т.д., сделав тем самым
крупный шаг вперед, возвел нуль в ранг числа, причислив его к
"перстам" (первым десяти числам) и тем самым на много опередил
свое время; поместил множество объяснительных примеров
("прикладов") включая примеры "неких увеселительных действий,
через
арифметику
употребляемых"
обнаружил
большой
педагогический талант при изложении действий над целыми числами
и обыкновенными дробями.
"Арифметика" Магницкого явилась ответом на это требование
времени. Она обладала для своей эпохи крупными научными и
методическими достоинствами, и ее преимущества особенно ясно
выступают при сравнении.
В предисловии к "Арифметике" Магницкий писал: "Будет сей труд
добре пользовать русский весь люд". Это желание вполне сбылось.
Его книга помогла ученикам математико-навигацкой школы дать в
1726-1734 годах материал для первой "генеральной карты всея Руси"
и первого географического атласа.
3.3.
"Арифметика"
Николаевича Толстого
Льва
Талантливые
люди
талантливы во всём. Великий
русский писатель и философ Лев
Николаевич Толстой занимался
9
1001 идея интересного занятия с детьми
педагогической деятельностью, работал по собственной методике и
придерживался в преподавании определённых принципов.
В 1859 году в своём имении в Ясной поляне Л. Толстой открыл
школу для крестьянских детей. Эта школа стала одной из первых
народных школ. Лев Николаевич преподавал историю и математику. В
1960-е годы Л.Толстой решил оставить литературу, жить в деревне и
серьёзно занялся процессом образования. Он изучал
методы
преподавания в России и за рубежом, а свои наблюдения публиковал
в педагогическом журнале "Ясная Поляна".
После первого педагогического опыта Л. Толстой понял, что
крестьянам не нужно полное школьное образование, достаточно лишь
письма и счёта. А после поездок за границу Л. Толстой увлёкся
идеями "свободного воспитания" французского просветителя ЖанаЖака Руссо. Руссо считал, что ребёнок не нуждается в опеке, а
лучшими средствами воспитания является свобода и жизнь на лоне
природы, вдалеке от цивилизации, которая негативно влияет на
развитие личности. Толстой считал, что ребёнок рождается
идеальным, а воспитание пагубно сказывается на его характере.
Необходимо предоставить ребёнку свободу для саморазвития. Л.
Толстой понял, что следует учитывать индивидуальные особенности
ребёнка, обращать внимание на его интересы и творческие
способности.
Л. Толстой издал несколько выпусков "Азбуки", которые
содержали и сведения по арифметике. А в 1874 году вышла
"Арифметика". В книге содержались методические указания для
учителя. Писатель критически относился к используемым методам
преподавания арифметики в школе и настаивал на реформировании
школы. Он был против размещения в учебниках усложненных задач и
громоздких правил. Л. Толстой с удовольствием придумывал условия
к задачам и нередко предлагал наиболее интересные своим гостям.
4. Практическая часть
Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого
Денежные расчеты
№1
Некий человек купил ладану 137 пудов. За каждый пуд заплатил
по 6 рублей и захотел узнать, сколько стоит покупка?
№2
Некто купил зерна 2359 четвертей, за четверть платил по 65 коп.
и отдал всех денег 153335 коп. Проверьте вычисления.
№3
Некто оставил в наследство жене, дочери и трем сыновьям
48000 рублей и завещал жене 1/8 всей суммы, а каждому из сыновей
вдвое больше, чем дочери. Сколько досталось каждому из
наследников?
10
1001 идея интересного занятия с детьми
Ответ: жене и дочери по 6000, сыновьям по12000 рублей.
№ 4 Сколько стоят гуси?
Некто купил 96 гусей. Половину гусей он купил, заплатив по 2
алтына и 7 полушек за каждого гуся. За каждого из остальных гусей он
заплатил по 2 алтына без полушки. Сколько стоит покупка?
Решение.
Так как алтын состоит из 12 полушек, то 2 алтына и 7 полушек
составляют 2 * 12 + 7 = 31 полушки. Следовательно, за половину
гусей уплачено 48 * 31 = 1488 полушек. За вторую половину гусей
уплачено 48 * (24 -1) = 48 * 23 = 1104 полушки, т.е. за всех гусей
уплачено 1488 + 1104 = 2592 полушек, что составляет 2592 : 4 = 648
копеек или 6 рублей 48 копеек, или 6 рублей 16 алтын.
№ 5 Сколько куплено баранов?
Один человек купил 112 баранов старых и молодых заплатил за
них 49 рублей и 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и
по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько таких
баранов было куплено?
Решение.
Поскольку в одном алтыне 3 копейки, а в одной копейке 4
полушки, то старый баран стоит 15 * 3 + 1 = 46 копеек. Так как
молодой баран стоит 10 алтын, т.е. 30 копеек, то он на 16 копеек стоит
дешевле старого барана. Если бы были куплены только молодые
бараны, то за них заплатили бы 3360 копеек. Поскольку за всех
баранов уплатил 49 рублей и 20 алтын, или 4960 копеек, то излишек в
1600 = 4960 - 3360 копеек пошел на оплату старых баранов. Тогда
старых баранов куплено 1600/16 = 100. Значит, молодых куплено 112
– 100, т.е. 12 баранов.
Ответ: 12 баранов.
№6
Некий человек покупал масло. Когда он давал деньги за 8 бочек
масла, то у него осталось 20 алтын. Когда же стал давать за 9 бочек,
то не хватило денег полтора рубля с гривною. Сколько денег было у
этого человека?
Решение.
1.1 гривна =10 копеек, 1 алтын =3 копейки.
2. 9бочек-8бочек = 1руб.60 коп.+60 коп =2руб.20 коп.
3. До покупки у него было 2,2*8+0,6=18,2 рублей
Ответ: у человека было 18 рублей и 2 гривны.
№7
Купец купил 110 фунтов табака. 50 фунтов оказались
подмоченными, и купец продал их на 2 рубля дешевле за 1 фунт, чем
заплатил сам. Остальной табак он продал на 3 рубля дороже за
1фунт, чем уплатил сам. Подсчитайте прибыль купца.
Ответ: 80 рублей.
Житейские истории
11
1001 идея интересного занятия с детьми
№ 8 Двенадцать человек
Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по
2 хлеба, женщина - по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба.
Сколько было мужчин, женщин и детей?
№ 9 На мельнице
На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки
можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на
третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за
наименьшее время на этих трех жерновах.
За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для
этого на каждый жернов надо зерна насыпать?
№10 В жаркий день
В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно
узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.
№11 Бочонок кваса
Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с
женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за
сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.
Решение.
За 140 дней человек выпьет 10 бочонков кваса, а вдвоем с женой
за 140 дней они выпьют 14 бочонков кваса. Значит, за 140 дней жена
выпьет 14 – 10 = 4 бочонка кваса, а тогда один бочонок она выпьет за
140:4 = 35 дней.
Ответ: 35 дней.
№12 Как разделить орехи?
Говорит дед внукам: "Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2
части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы
большей части, уменьшенной в 3 раза". Как разделить орехи?
Решение:
Уменьшив второе количество орехов в большей части, мы
получим их столько же, как в четырех меньших частях. Значит,
большая часть должна содержать в 3*4=12 раз больше орехов, чем
меньшая, а общее число орехов должно быть в 13 раз больше, чем в
меньшей части. Поэтому меньшая часть должна содержать 130:13=10
орехов, а большая 130 -10=120 орехов.
Ответ: 120 орехов.
Путешествия.
№13 Из Москвы в Вологду
Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении
своем совершать во всякий день по 40 верст. На следующий день
вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день
по 45 верст. На какой день второй человек догонит первого?
Решение.
За день первый человек пройдет по направлению к Вологде 40
верст и, значит, к началу следующего дня будет опережать второго
человека на 40 верст. В каждый следующий день первый человек
12
1001 идея интересного занятия с детьми
будет проходить по 40 верст, второй по 45 верст, а расстояние между
ними будет сокращаться на 5 верст. На 40 верст оно сократиться за 8
дней. Поэтому второй человек настигнет первого к исходу 8-го дня
своего путешествия.
Ответ: 8 дней.
№ 14
Собака и заяц
Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2
минуты по 500 саженей, а собака в 5 минут 1300 саженей.
Спрашивается в какое время собака догонит зайца?
Решение.
1. 500:2=250 (саженей/мин.) - скорость зайца
2. 1300:5=260 (саженей/мин.) - скорость собаки
3. 150:(260-250)=15 (мин.)
Ответ: через 15 минут собака догонит зайца.
№ 15
Лев может съесть овцу за 2 часа, волк - за 3 часа, а собака - за 6
часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
Решение.
Лев за час съест 1/2 часть овцы,
Волк за час съест 1/3 часть овцы,
Собака за час съест 1/6 часть овцы.
вместе за час они съедят: 1/2+1/3+1/6=1(овцу)
Ответ: за 1 час.
Задачи Л. Н. Толстого.
№1
а) У одного мужика 23 овцы, а у другого на 7 больше. Сколько у
них вместе овец?
б) У одного мужика 26 овец, а у другого на 5 овец меньше.
Сколько у них овец вместе?
в) У двух мужиков 50 овец, а у одного 15. На сколько овец у него
меньше против другого?
№2
а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у
другого. Сколько у каждого овец?
б) У двух мужиков 40 овец, у одного меньше против другого на 6.
Сколько у каждого?
№3 Обман
Продавец продает шапку. Стоит шапка 10 рублей. Подходит
покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 рублей.
Продавец отсылает мальчика с этими 25 рублями к соседке
разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает
шапку и сдачу в 15 рублей. Через какое-то время приходит соседка и
говорит, что 25 рублей фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что
13
1001 идея интересного занятия с детьми
делать? Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги. На сколько
обманули продавца?
Решение.
Эта задача требует логических рассуждений. Получается, что 25
рублей у продавца не было, он их вернул. А отдал покупателю 15
рублей из своего кармана и шапку, которая стоит 10 рублей.
Ответ: 25 рублей.
№4 Артель косцов
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше
другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого
артель разделилась пополам первая половина осталась на большом
лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила
малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на
другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было
в артели?
Решение.
На первом лугу косцы проработали : 1/2 дня – вся бригада и 1/2
дня – половина бригады, что составляет 3/4 рабочего дня. На втором
лугу в первый день работала 1/2 бригады в течение дня, т.е.
затрачено 1/4 рабочего дня целой бригады. Так как площадь второго
луга в 2 раза меньше первого, то, для того чтобы выкосить его, вся
бригада должна была бы работать 3/8 дня. Следовательно, на второй
день на меньшем лугу останется 3/8 – 1/4 = 1/8 часть работы всей
бригады за день. А так как эту работу выполнил один косец, значит
вся бригада состояла из 8 косцов.
Ответ: 8 косцов.
№ 5 Наследство
Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В
наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли
старшие три брата. А меньшим за то выделили деньги. Каждый из
старших заплатил по 800 рублей меньшим. Меньшие разделили эти
деньги между собой, и тогда у всех братьев денег стало поровну.
Много ли стоили дома?
Решение.
1.800*3=2400(руб.) - заплатили двум меньшим;
2.2400:2=1200(руб.) - получил каждый в наследство;
3.1200*5:3=2000 - стоил дом.
Ответ: дом стоил 2000 рублей.
№6
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей.
Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее
стоило 5 рублей за аршин, а черное 3 рублей за аршин
Ответ: 63 и 75.
№7
Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст,
а другой человек идет из другого города ему на встречу и проходит в
14
1001 идея интересного занятия с детьми
день по 30 верст. Расстояние между городами 700 верст. Через
сколько дней путники встретятся?
Решение.
1.За один день путники сближаются на 30+40=70 верст.
2.700:70=10 дней
Ответ: через 10 дней.
Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.
№1
Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у
него было на восемь динаров больше, то он мог бы дать каждому по
три, но он раздал лишь по два, и у него еще остается три. Сколько
бедных?
Ответ: 11.
№2
Два почтальона А и В находятся друг от друга на расстоянии 59
мил. Утром они отправляются друг другу навстречу. А приходит в 2ч 7
миль. В в 3 ч 8 миль, но В выходит, часом позднее, чем А. Сколько
миль пройдет А до встречи с В?
Ответ: 35 миль.
№3
Трое рабочих могут выполнить некоторую работу, при этом А
может выполнить её один раз в три недели, В - три раза за 8 недель,
С - 5 раз за 12 недель. За какое время они смогут выполнить эту
работу все вместе?(в неделе 6 рабочих дней по 12 часов)
Решение.
Рабочий А выполнит работу за 3*6*12=216(ч)
Рабочий В выполнит работу за 8*6*12:3=192(ч)
Рабочий С выполнит работу за 12*6*12:5=864/5(ч)
За 1 час А выполнит 1/216 часть работы, В выполнит 1/192 часть
работы, С выполнит 5/864 часть работы. Вместе за 1 час они
выполнят 1/216+1/192+5/864=27/1728=1/64 часть работы.
Тогда всю работу они выполнят за 1:1/64=64(ч)
Ответ: за 64 часа.
Старинные задачи разных народов
№ 1 Из папируса Ахмеса (Египет, около 2000 лет до н.э.).
Рукопись представляет собой узкую (33см) и длинную (5,25м)
полосу папируса, содержащую 84 задачи. Данный папирус был
обнаружен в 1858г.Одна его часть теперь хранится в Британском
музее в Лондоне, а другая в Нью-Йорке. Этот папирус служил своего
рода учебником.
Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
- Сколько приводишь ты из своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
15
1001 идея интересного занятия с детьми
- Я привожу две трети от трети скота. Сочти, сколько быков в
стаде?
№ 2 Из книги "Тысяча и одна ночь".
Одна женщина отправилась в сад собирать яблоки. Чтобы выйти
из сада, ей нужно было пройти через четыре двери, у каждой из
которых стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала
половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина
отдала ему половину оставшихся. Так же она поступила и с третьим
стражником, а когда она поделилась яблоками с четвёртым
стражником, у неё осталось 10 яблок. Сколько яблок она собрала в
саду?
№3 Индия (Брахмагупта, около 600 года).
Слон, слониха и слонёнок пришли напиться к озеру, чтобы
напиться воды. Слон может выпить озеро за 3ч, слониха - за 5ч, а
слонёнок - за 6ч. За сколько времени они все вместе выпьют озеро?
№4 Из акимского папируса (VI в.).
Некто взял из сокровищницы 1/13. Из того, что осталось, другой
взял 1/17. Оставил же в сокровищнице 192. Мы хотим узнать, сколько
было в сокровищнице первоначально?
№5 Из книги "Косс" Адама Ризе (XVI в.).
Адам Ризе родился в Германии в 1492г
Составил учебник по арифметике и издал его на латинском и
немецком языках. Свои задачи превращал в шутливую форму
№6
У некоторого человека были для продажи вина двух сортов.
Первое ценою 10 гривен за ведро, второе же - по 6 гривен. Захотелось
ему сделать из тех двух вин, взяв по части, третье вино, чтобы ему
цена была по 7 гривен. Какие части надлежит из тех двух вин взять к
наполнению ведра третьего вина ценою в 7 гривен?
№ 7 Древнекитайская задача
Основным трудом у древних китайцев была «Математика в
девяти книгах». Она предназначалась для землемеров, чиновников,
торговцев. В ней было 246 задачи.
В клетке сидят фазаны и кролики. У них вместе 35 голов и 94
ноги. Сколько фазанов и кроликов в клетке?
Ответ:12, 23
№ 8 Ананий из Ширака (Армения,VII в.).
В городе Афинах был водоем, в который проведенытри трубы.
Одна из труб может наполнить водоем за один час, другая, более
тонкая, за –два часа, третья, еще более тонкая ,-за три часа. Итак,
узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят водоем.
Ананий дал такой ответ: ¼,1/6, 1/12, 1/22
Ответ: 6/11.
№ 9 Задача Бхаскары (Индия, XII в).
Из множества чистых цветков лотоса были принесены в жертву:
Шиве -третья доля этого множества, Вишну – пятая и Солнцу –
16
1001 идея интересного занятия с детьми
шестая; четвертую долю получил Бхвани, а остальные шесть цветков
получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
№10 Индия (III-IV в.в.).
Из четырех жертвователей второй дал вдвое больше первого,
третий – втрое больше второго, четвертый –вчетверо больше
третьего, все вместе дали 132. Сколько дал первый?
Ответ: 4.
№ 11 Задача Герона Александрийского (I в.).
Бассейн емкостью 12 кубических единиц получает воду через
две трубы, из которых одна дает в каждый час кубическую единицу, а
другая в каждый час - четыре кубических единицы. В какое время
наполнится бассейн при совместном действии обеих труб?
№12 Индийская задача.
Роскошно липа расцветала
Под ней червяк завелся малый.
Да вверх пополз во всю он мочь Четыре локтя делал в ночь.
Но днем сослепу поз обратно
Он на два локтя аккуратно
Трудился наш червяк отважный,
И вот итог работы важной,
Награда девяти ночей:
Он на верхушке липы сей.
- Теперь, мой друг, поведай ты,
Какой та липа высоты?
Решение.
(4-2)*8+4=20
Ответ: высота липы 20 локтей.
№ 13 (Китай, II век).
Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а
дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь
дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней
они встретятся?
Решение.
1/7+1/9=16/63
1:16/63=63/16
Ответ: через 3 и 15/16 дня они встретятся
№ 14 Из "Арифметики" А.П.Киселева.
8 аршин сукна стоит 30 рублей. Сколько стоит 15 аршин этого
сукна?
№ 15 Задача Эйлера.
Леонард Эйлер (4 апреля 1707г.- 18 сентября 1783г.) - является
основателем русской научной математической школы. Полное
собрание его сочинений насчитывает более 70 томов, а списки его
трудов – более 850 названий.
Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми
17
1001 идея интересного занятия с детьми
сыновьями, некто составил завещание. «Старший из моих сыновей
должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий –
2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000
рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д.» Определите
число сыновей и размер завещанного сбережения.
Решение.
Так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть
каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части
предыдущего остатка, а, значит, весь новый остаток был на 8000
рублей меньше предыдущего. Так как по условию все деньги были
поделены полностью, то, когда младший сын получил по завещанию,
кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого
остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из
него предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000
рублей, а остальные 7000 рублей получил младший сын, который,
таким образом, был седьмым сыном: сыновей было семь, а
завещанная сумма 49000 рублей.
Ответ: 49000 рублей.
№ 16 Задача из сборника "Вопросы и ответы" армянского
учёного Анания Ширакаци.
Один купец прошёл через 3 города, и взыскивали с него в
первом городе пошлины половину и треть имущества, и во втором
городе половину и треть оставшегося имущества, и в третьем городе
половину и треть оставшегося имущества. И когда он прибыл домой,
у него осталось 11 денежков. Узнай, сколько всего денежков было
вначале у купца.
Ответ: 2376 денежек.
№ 17 Древнеримская задача.
Один господин завещал капитал в 14 000 рублей своей жене при
условии, что если у неё родится мальчик, то сын должен получить
вдвое больше матери, а если родится дочь, то мать должна получить
вдвое больше дочери. Родились близнецы: сын и дочь. Как было
исполнено завещание?
Решение.
Из наследства должна быть выделена одна часть матери, две
такие же части сыну, а половина такой же части дочери. Все
наследство должно быть разделено на части. Одна часть составляет
рублей. Следовательно, мать должна получить 4000 рублей, сын
8000 рублей, дочь 2000 рублей.
Ответ: 4000, 8000, 2000 рублей.
№ 18 Задача Древнего Востока.
Некий математик насчитал на выгоне 70 коров. “Какую долю от
всего стада составляют эти коровы?” - спросил математик у пастуха.
“Я выгнал пастись две трети от трети всего стада”, - отвечал пастух.
Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?
Ответ: во всем стаде было 312 голов скота.
18
1001 идея интересного занятия с детьми
№ 19 Задача Древнего Востока.
Араб, чувствуя близкую кончину, призвал трех сыновей своих и
сказал им: “Когда я умру, разделите между собой мое стадо
верблюдов. Пусть каждый из вас возьмет 1/2 всего стада, средний —
1/4, а младший — 1/5”. Когда араб умер, сыновья хотели разделить
стадо, как завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в
отцовском стаде оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо
проходил мулла, слывший за умного человека. Узнав в чем дело, он
предложил сыновьям занять у соседа одного верблюда, когда этот
верблюд был приведен, его присоединили к отцовскому стаду, затем
мулла приказал старшему взять половину стада, т. е. 10 верблюдов,
среднему - 1/4 часть ,т. е. 5 верблюдов, а младшему 1/5 часть ,т. е. 4
верблюда.
“Сколько верблюдов вы разобрали?” - спросил мула. Братья
сосчитали и ответили: “19”. “Но оставшегося верблюда верните
соседу”, - сказал мулла. Все ли участники дележа рассуждали
правильно, и не заблуждался ли кто-нибудь из них?
Решение.
Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании
сыновьям 1/2,1/4 и 1/5 всего стада, он упустил из виду, что эти доли
всего стада не составляют в сумме единицу, т. е. Всего стада.
Не хватает 1/20. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду
одного верблюда, т. е. недостающую часть стада.
№ 20 Древнегреческая задача о статуе Минервы (богини
мудрости, покровительнице , наук, искусств и ремесел).
Я изваяние из злата, поэты то злато в дар принесли.
Хоризий принес половину сей жертвы.
Фестия часть восьмую дала, десятую — Солон.
Часть двадцатая — жертва певца Фемисона.
А девять — все завершивших талантов —
Обет, Аристоником данный.
Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?
Ответ: 40.
5. Заключительная часть
Наша работа над проектом закончилась.
В ходе работы нам было очень интересно, мы узнали много
исторических фактов, расширили свои знания не только в области
математики, но и истории, литературы. Мы пришли ко мнению, что
для большей нашей заинтересованности предметом необходимо
выполнять разного рода мини-проекты на протяжении всего года.
Думаем, что мы не отказались бы от решения необычных
занимательных задач (вроде тех, которые были здесь рассмотрены),
а, наоборот, с большой охотой потратили бы время на поиск их
решения.
19
1001 идея интересного занятия с детьми
Подводя итоги работы над проектом, каждый из нас давал
оценку своей работы. А так как все были очень старательны и
активны, то у нас не было даже мысли поставить кому-либо «3», да и
«4» нам кажется маловато.
В общем, все сработали на крепкую «5»! (по сбору информации)
Но при решении задач, конечно, нам не было так легко. Нам
помогала наша учительница Ирина Вячеславовна.
Мы расширили свой кругозор по учебным предметам:
математике, истории, литературе.
Узнали, что такие известные нам писатели как Л.Н. Толстой,
составляли еще и задачи.
И.Ньютон - физик, астроном, математик - тоже составлял
задачи по арифметике.
Л.Ф.Магницкий в году создал первый учебник по математике
"Арифметика".
Познакомились со старинными задачами разных стран мира:
древнекитайскими, древнеримскими задачами, задачами Греции,
Армении, Египта, Индии.
Получили знания о методах решения арифметических задач.
Исходя из всех выводов нами было решено:
продолжить работу в данном направлении;
пополнять копилку старинных задач;
собирать интересный материал об авторах.
Методические рекомендации.
Собранные задачи можно применять на уроках математики для
развития логики мышления, умения рассуждать, а также в
метапредметных связях с историей. Данные задачи целесообразно
использовать на занятиях математического кружка, можно включать в
задания математических олимпиад.
6. Источники материала
1.
3.
4.
5.
6.
7.
Волович М.Б. Математика: Учебник для 5 класса
общеобразовательных учреждений. – М.: Вентана – Граф;
Мозаика-Синтез, 2006.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
Москва 1986.
Кордемский Б.А. Математическая смекалка.. Москва, 1956.
Никольский С.М. Математика 5,6 классы. М: Просвещение, 2005.
Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные
занимательные задачи. – М.,1994.
Перельман Я.И. Живая математика. –М.: Издательство "Наука",
1970
Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959, с. 40—43.
20
1001 идея интересного занятия с детьми
Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. – М.:
Издательство "Наука", 1968.
9. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика,
1985.
10. Энциклопедия для детей. Математика. Т.11. – М., 1998.
11. Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО
"Издательство АСТ" , 2003.
12. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: ООО
"Издательство АСТ",2003.
8.
ЛИТЕРАТУРА И ССЫЛКИ
Волович М.Б. Математика: Учебник для 5 класса
общеобразовательных учреждений. – М.: Вентана – Граф;
Мозаика-Синтез, 2006.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
Москва 1986.
3. Кордемский Б.А. Математическая смекалка.. Москва, 1956.
4. Никольский С.М. Математика 5,6 классы. М: Просвещение, 2005.
5.
Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные
занимательные задачи. – М.,1994.
6.
Перельман Я.И. Живая математика. –М.: Издательство "Наука",
1970
7. Пойа Д. Как решать задачу. М., 1959, с. 40—43.
8. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. – М.:
Издательство "Наука", 1968.
9. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика,
1985.
10. Энциклопедия для детей. Математика. Т.11. – М., 1998.
11. Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. – М.: ООО
"Издательство АСТ" , 2003.
12. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. – М.: ООО
"Издательство АСТ",2003.
1.
21