Область значений и ядро линейного преобразования

Область значений и ядро линейного преобразования.
Определение 1. Пусть  линейное преобразование линейного пространства L над
полем P. Множество {  (x) |x  L} называют областью значения линейного
преобразования  и обозначают  L или  (L).
Теорема 1. Область значений линейного преобразования  линейного пространства
L является подпространством линейного пространства L.
Теорема 2. Пусть e1,…,en – базис линейного пространства Ln и  – линейное
преобразование Ln. Тогда базис  Ln совпадает с базисом системы векторов {  e1,…,  en}.
Следствие. dim  Ln равна рангу системы векторов  e1,…,  en.
 a11  a1n 


Пусть А =      a  a 
nn 
 n1
 e1 …  en
- матрица линейного преобразования  линейного пространства Ln в базисе e. Тогда
известны координатные столбцы векторов  e1,…,  en в базисе е. Пусть ранг матрицы А
равен r и Mr – её базисный минор. Для удобства будем считать, что он расположен в
левом верхнем углу матрицы А. Тогда векторы  e1,…,  en составляют базис системы
векторов {  e1,…,  en}. В силу следствия теоремы 2,  e1,…,  en – это базис области
значений  Ln и dim  Ln = r = r(A).
Определение 2. Число r называют рангом линейного преобразования  .
Пример 1. Матрица A линейного преобразования  линейного пространства А3 в базисе
е1, е2, е3 имеет вид:
1 1 1


А=  2 2 2  . Найти базис и размерность  А3.
1 0 1


Решение. Найдём ранг матрицы А
1 1 1


1 1
А =  2 2 2
М2 =
=  1  0 r(A)  2
1 0
1 0 1


M3 = 0, отсюда r(A) = 2. Базисные столбцы – это первый и второй столбцы А. Значит,
базис  А3 составляют векторы  e1=e1+2e2+e3,  e2=e1+2e2 и поэтому  A3 =<e1 +2e2+e3,
e1+2e2>. dim  А3 =2.
Определение 3. Пусть  – линейное преобразование линейного пространства L над
полем Р. Множество векторов {x | x  Ln,  (x) = 0} называют ядром линейного
преобразования  и обозначают Ker . Другими словами, Ker – это множество всех
векторов из L, которые при преобразовании  переходят в нуль.
Очевидно, что Ker  0 , т.к.  0 = 0 и 0  Ker .
Теорема 2. Ядро Ker линейного преобразования  линейного пространства L
является подпространством пространства L.
Теорема 2. Множество векторов Ker линейного преобразования  линейного
 a11  a1n 


пространства Ln с базисом (е1,…,еn) = e и матрицей А
=    
е
a  a 
nn 
 n1
1
преобразования  в базисе е совпадает с множеством решений однородной системы
уравнений
a11 x1    a1n xn  0

(1)

a x    a x  0
nn n
 n1 1
Следствие. Если r(A)=n, то система имеет одно решение – только нулевое; поэтому
Ker =0. Если r(A)=r<n, то система имеет бесконечно много решений. Её ФСР состоит из
(n – r) решений. Они и составляют базис Ker . Размерность ядра равна (n – r), т.е.
dim Ker =n – r.
Определение. Число (n – r) = dim Ker называют дефектом линейного
преобразования  n-мерного линейного пространства L.
Теорема 3. Сумма размерности области значений линейного преобразования 
n-мерного линейного пространства Ln и размерности его ядра равна размерности Ln, то
есть
dim  L + dim Ker = n.
Пример 2. В линейном пространстве А3
1

преобразования  имеет вид: А =  2
е 
1
преобразования  .
Решение. Находим ранг матрицы А. М2 =
в базисе е1, е2, е3 матрица А линейного
2 1

4 2  . Найти базис и размерность ядра
3 0 
1 2
1 3
= 3 – 2  0 , r2, M3 = 0, r (A) = 2. Значит
 x1 
 
r < n (2 < 3). Составляем систему уравнений АX = 0, где Х =  x 2 
x 
 3
 x1  2 x2  x3  0

2 x1  4 x2  2 x3  0 (2)
 x  3x  0
2
 1
Она имеет бесконечно много решений и её ФСР состоит из n−r=3–2=1, одного решения.
Поэтому dim Ker = 1. Решаем систему (2).
 x1  2 x2  x3  0

 x1  3x2  0
Основные неизвестные – х1, х2, свободные – х3.
x x x
1
2
–
3
3
1
1
 x3  1
 x3  1
 x3  1



 x1  2 x2  1   3x2  2 x2  1   x2  1
 x  3x  0
 x  3x
 x  3
2
2
 1
 1
 1
Значит ФСР системы (2) является (–3, 1,1). Базис Ker состоит из одного вектора,
например, a=–3e1+e2+e3 и Ker =<3e1 +e2–5e3 >.
2
3