Раздел II. Кредит и финансово-кредитные отношения кредитования капитальных вложений

МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
1
Раздел II. Кредит и финансово-кредитные отношения
Тема 2.3. Основные принципы финансирования и
кредитования капитальных вложений
Вопрос 1. Простые и сложные проценты
Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник/Под ред.
Е.С.Стояновой . – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во «Перспектива»,
2005. – 656 с
2.1. Простые ставки ссудных процентов
Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются
обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал
начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как
правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала
начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно,
простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых
других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.
Введем следующие обозначения:
i(%) – простая годовая ставка ссудного процента;
i – относительная величина годовой ставки процентов;
Iг – сумма процентных денег, выплачиваемых за год;
I – общая сумма процентных денег за весь период начисления;
P – величина первоначальной денежной суммы;
S – наращенная сумма;
кн – коэффициент наращения;
n – продолжительность периода начисления в годах;
д – продолжительность периода начисления в днях;
К – продолжительность года в днях.
Величина К является временной базой для расчета
процентов.
В зависимости от способа определения продолжительности
финансовой операции рассчитывается либо точный, либо
обыкновенный (коммерческий) процент.
Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один
день. При этом возможны два варианта:
вариант 1 используется точное число дней ссуды,
определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые
номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню
окончания займа, вычитают номер первого дня;
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
2
вариант 2. берется приблизительное число дней ссуды, когда
продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням;
этот метод используется, когда не требуется большая точность,
например, при частичном погашении займа.
Точный процент получают, когда за временную базу берут
фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней
ссуды.
Приведенным выше определениям соответствуют формулы:
i(%) 
Iг
100%
P
Iг
P
I  Iгn
i
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
S  PI
S
kн 
P

n
K
(1.5)
(1.6)
Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6),
получаем основную формулу для определения наращенной суммы1:
S  P (1  ni ),
(1.7)
или
S  P (1 

i ).
K
(1.8)
На практике часто возникает обратная задача: узнать величину
суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S.
В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей2,
приведенной) величиной суммы S.
Определение современной величины Р наращенной суммы S
называется
дисконтированием,
а
определение
величины
наращенной суммы S – компаундингом.
В применении к ставке ссудного процента может также
встретиться
название
математическое
дисконтирование,
несовместимое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут
рассматриваться в следующем разделе.
Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую
операции дисконтирования:
P
S
1  ni
(1.9)
В литературе нередко можно встретить синонимы термина «наращенная сумма»: «будущая сумма», «будущая
стоимость денег» (от англ. Future Value of Money) и т. п.
2
От англ. Present Value of Money.
1
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
3
Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее
выражения на эквивалентные и выражая одни величины через
другие), получаем еще несколько формул для определения
неизвестных величин в различных случаях:
n
SP
Pi
SP
K
Pi
SP
i
P
SP
i
P

(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
Иногда на разных интервалах начисления применяются разные
процентные ставки. Если на последовательных интервалах
начисления n1, n2, ..., nN используются ставки процентов i1, i2, ..., iN то
по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого
интервала составит:
I1  Pn1i1 ,
в конце второго интервала:
I 2  Pn2 i2
и т.д.
При N интервалах начисления наращенная сумма составит
N


S  P 1   n t i t 
t 1


(1.14)
Для множителя наращения, следовательно, имеем
N
k Н  1   n t it
(1.15)
t 1
Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным
наборам исходных данных.
Пример 1
Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой
ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение
По формуле (1.7)
S  50000(1  0,5  0,28)  57000( руб.).
Пример 2
Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря
под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной
суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
4
процентов.
Решение
1. В случае точных процентов берем д = 284.
По формуле (1.8) получаем:
S  10000000(1  284 / 366  0.30)  12327868( руб.).
2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды
имеем
S  10000000(1  284 / 360  0.30)  12366666( руб.).
3. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней
ссуды (д = 280) по формуле (1.8) получаем
S  10000000(1  280 / 360  0.30)  12333333( руб.).
Пример 3
Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка
процентов за первый год — 30%, а за каждое последующее полугодие
она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и
наращенную сумму.
Решение
По формуле (1.15):
k Н  1  0,3  0,5(0,29  0,28  0,27  0,26  0,25)  1,975.
По формуле (1.14):
S  20000000  1,975  39500000( руб.).
Пример 4
Определить период начисления, за который первоначальный
капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если
используется простая ставка процентов 28% годовых.
Решение
По формуле (1.10) получаем
n  (40000000  25000000) /( 25000000  0,28)  2,14года
Пример 5
Определить
простую
ставку
процентов,
при
которой
первоначальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000
000 руб. через год.
Решение
По формуле (1.13) определяем
i  (30000000  24000000) /( 24000000  1)  0,25  25%.
Пример 6
Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней.
Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных
денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.
Решение
По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
5
P  40000000 /(1  250 / 365  0,26)  33955857( руб.).
Из формулы (1.4) получаем
I  40000000  33955857  6044143( руб.).
………………………………………………………………………………
2.3. Сложные ставки ссудных процентов
Если после очередного интервала начисления доход (т. е.
начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а
присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого
интервала, для определения наращенной суммы применяют
формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в
настоящее время являются весьма распространенным видом
применяемых в различных финансовых операциях процентных
ставок.
Пусть
ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных
процентов;
кнс – коэффициент наращения в случае сложных процентов;
j – номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее
определение будет дано в дальнейшем).
Если за интервал начисления принимается год, то по
прошествии первого года наращенная сумма, в соответствии с
формулой (1.7), составит
S1  P(1  ic )
Еще через год это выражение применяется уже к сумме S1.
S 2  S1 (1  ic )  P(1  ic ) 2
и так далее. Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма
составит
S  p (1  ic ) n
(3.1)
Множитель наращения кн.с соответственно будет равен
k н.с  (1  ic )
(3.2)
При начислении простых процентов он составил бы по
формулам (1.5) и (1.7):
k н  (1  ni) .
Сравнивая два последних выражения для коэффициентов
наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем
больше разница в величине наращенной суммы при начислении
простых и сложных процентов.
Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков,
изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках,
по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной –
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
6
тысячи рублей. Первоначальная сумма составляет 1000 руб.,
процентная ставка – 30% годовых. Верхняя линия соответствует
наращению денежной массы в случае применения сложной
процентной
ставки.
Она
представляет
собой
пример
экспоненциального роста (чем больше n, тем круче кривая уходит
вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю
простых процентов) является прямой с очень небольшим углом
наклона.
Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой
сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует
отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем
распоряжении более или менее значительный период времени.
Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через
небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок)
количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по
простой ставке
……………………………………………………………………………………
Если срок ссуды n в годах не является целым числом,
множитель наращения определяют по выражению:
k н.с  (1  ic ) na (1  nb ic ),
где
n  na  nb ;
nа – целое число лет;
nb – оставшаяся дробная часть года.
На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться
формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но
нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления
процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при
вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в
формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим при nb = 1/2,
как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1),
ведь на всех калькуляторах есть операция извлечения квадратного
корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что
приблизительный метод дает меньший, чем в действительности,
результат.
Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы
денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться
вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий
оценить разницу в результатах при двух способах вычисления
множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).
Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
7
будет разным на различных интервалах начисления.
Пусть n1, n2, ..., nN – продолжительность интервалов начисления
в годах; i1, i2,..., iN – годовые ставки процентов, соответствующие
данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого
интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит:
S1  P(1  n1i1 ). .
В конце второго интервала:
S 2  P(1  n1i1 )(1  n2 i2 )
и т. д.
При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего
периода начисления составит
N
S N  P (1  nr ir ). (3.4)
r 1
Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает
обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же,
формула (3.4) принимает вид:
S N  P(1  ni) N (3.5)
Начисление сложных процентов может осуществляться не один,
а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная
ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется
величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале
начисления.
При т равных интервалах начисления и номинальной
процентной ставке j эта величина считается равной j/m .
Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле (3.1),
получаем выражение для определения наращенной суммы:
S mn  P(1  j / m) mn ,
(3.6)
где тn – общее число интервалов начисления за весь срок
ссуды. Если общее число интервалов начисления не является целым
числом (тn – целое число интервалов начисления, / - часть интервала
начисления), то выражение (3.6) принимает вид:
S  P(1  j / m) mn (1  lj / m). (3.7)
Для целого числа периодов начисления используется формула
сложных процентов (3.1), а для оставшейся части – формула простых
процентов (1.7).
В России в настоящее время наиболее распространенным
является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и
ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и
день).
Такие
проценты,
начисляемые
с
определенной
периодичностью, называются дискретными.
В мировой практике часто применяется также непрерывное
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
8
начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала
начисления стремится к нулю, а т – к бесконечности).
В этом случае для вычисления наращенной суммы служит
следующее выражение:
(3.8)
S  P lim (1  j / m) mn .
m
Для расчетов можно использовать известную в математике
формулу:
m
1

lim 1    e,
m
 m
где е = 2,71828...
Из этой формулы следует:
lim 1  j / m
mn
m
 e jn
Тогда для наращенной суммы получаем
S  Pe jn
(3.9)
Здесь
k н.с  e jn
(3.10)
Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью
финансового калькулятора или находя значения е]П и других
требуемых величин в специальных таблицах.
Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает
максимальную величину наращенной суммы при прочих равных
условиях (т. е. при одинаковых n, j, P).
Аналогично случаю простых процентов полученные формулы
можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в
зависимости от того, что известно, а что требуется найти.
Так, из формулы (3.1) получаем
P
S
 Sa.
(1  ic ) n
(3.11)
Напомним, что, как и в случае простых процентов, определение
современной величины суммы S называется дисконтированием.
Коэффициент дисконтирования а является величиной, обратной
коэффициенту наращения, т. е. k н.с  а  1 .
Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая
простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко
понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной
суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше
норма доходности.
Также из формулы (3.1) имеем
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
in
S
1
P
9
(3.12)
Из формулы (3.6):
 S

j  m mn  1
 P

(3.13)
Применяя операцию логарифмирования к обеим частям
формулы (3.1), получаем
n
ln S / P
. (3.14)
ln( 1  ic )
Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:
n
ln S / P
. (3.15)
m ln( 1  j / m)
Если нет специального калькулятора, значения логарифмов
также находят по таблицам.
Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать
срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной
ставки.
Правило «72»:
n
72
.
ic (%)
Правило «69» (более точное):
n
69
 0,35.
ic (%)
Здесь, однако, следует иметь в виду, что при выводе этих
правил используются математические формулы, дающие верный
результат не для любых значений входящих в них величин. Например,
выражение 1/х≤ х (х > 0) неверно при х < 1.
Данные правила дают весьма точный результат при небольших
значениях iс(%). До ic(%) = 100(%) отклонения достаточно малы и ими
можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120%,
погрешность (для правила «69») составляет 5,2% (для правила «72»
она будет больше) и растет с ростом ic. При этом срок удвоения,
полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности,
а по правилу «72» - меньше.
В качестве примера найдем срок удвоения капитала при годовых
ставках: а) 20% и б) 110% по формуле (3.14) и по правилам «69» и
«72».
a) n  ln 2 / ln 1,2  3,8 года, или
n  72 / 20  3,6 года, или
n  69 / 20  0.35  3,8 года;
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
10
б) n  ln 2 / ln 2,1  0,93 года, или
n  72 / 110  0,65 года, или
n  69 / 110  0,35  0,98 года (разница с точным значением – 18
дней).
Следующие примеры иллюстрируют использование полученных
формул.
Пример 10
Первоначальная вложенная сумма равна 200 000 руб.
Определить наращенную сумму через пять лет при использовании
простой и сложной ставок процентов в размере 28% годовых. Решить
этот пример также для случаев, когда проценты начисляются по
полугодиям, поквартально, непрерывно.
Решение
По формуле (1.7) для простых процентных ставок имеем
S  200000(1  5  0,28)  480000 (руб.).
По формуле (3.1) для сложных процентов:
S  200000(1  0,28) 5  687194,7 (руб.).
По формуле (3.6) для начисления по полугодиям:
S  200000(1  0,14)10  741444,18 (руб.).
Из той же формулы для поквартального начисления:
S  200000(1  0,07) 20  773936,66 (руб.).
По формуле (3.9) для непрерывного начисления:
S  200000e1, 4  811000 (руб.).
Пример 11
Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Определить
наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления
сложных процентов по ставке 25% годовых.
Решение
По формуле (3.3) получаем
S  50000000(1  0,25) 2 (1  0,125)  87890625 (руб.).
Для второго способа используем формулу (3.1) с нецелым
показателем степени:
S  50000000(1  0,25) 2,5  87346390 (руб.).
Отчетливо
видно
расхождение:
при
использовании
приблизительного метода упущенная выгода могла бы составить
около 550 000 руб.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
11
Пример 12
Определить современную (текущую, настоящую, приведенную)
величину суммы 100 000 000 руб., выплачиваемую через три года,
при использовании ставки сложных процентов 24% годовых.
Решение
Воспользуемся формулой (3.11):
P  100000000 /(1  0,24) 3  52449386 (руб.).
Пример 13
За какой срок первоначальный капитал в 50 000 000 руб.
увеличится до 200 000 000 руб., если:
а) на него будут начисляться сложные проценты по ставке 28%
годовых;
б) проценты будут начисляться ежеквартально?
Решение
По формулам (3.14) и (3.15) имеем:
а) n  ln( 200000000 / 50000000) / ln( 1  0,28)  5,6 года;
б) n  ln( 200000000 / 50000000) / 4 ln( 1  0,07)  5,1 года.
Пример 14
Какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы
первоначальный капитал утроился за пять лет? Решить пример также
для случая начисления процентов по полугодиям.
Решение
По формулам (3.12) и (3.13) вычисляем:
ic  5 3  0,245  24,5%
j  2(10 3  1)  0,232  23,2%.
МЕЖДУНАРОДНЫЙ БАНКОВСКИЙ ИНСТИТУТ
INTERNATIONAL BANKING INSTITUTE
12