Урок 98 Тип урока Тема: «Случайные события и их вероятность» Основные цели:

Урок 98
Тип урока: ОНЗ
Тема: «Случайные события и их вероятность»
Основные цели:
Метапредметные:
1) Тренировать умение фиксировать свое затруднение, выявлять его причину; ставить
цель своей деятельности; планировать работу для ее реализации, работать в группах.
2) Повторить понятие «реализация плана».
3) Уточнить представление учеников о таком методе познания, как эксперимент.
Предметные:
1) Познакомить с новым разделом математики – теорией вероятностей. Сформировать
представление о равновозможных событиях, о совместных и несовместных событиях.
2) Познакомить учащихся с классическим определением вероятности события. Построить
алгоритм нахождения вероятности случайного события и сформировать умение его
применять.
3) Познакомить учащихся со статистической вероятностью события и сформировать
умение ее находить.
4) Закрепить умение решать дробно-рациональные уравнения.
Вариант проведения урока
Оборудование
1) Демонстрационный материал:
Д-98.1 Определение частоты случайного события (из прошлого урока).
Д-98.2 Классическое определение вероятности.
Д-98.3 Правило решения «вероятностных» задач (классическое определение).
Д-98.4 Определение статистической вероятности.
Д-98.5 Алгоритм выбора способа расчета вероятности случайного события.
Д-98.6 Карточка для анализа деятельности на уроке.
2) Раздаточный материал.
Р-98.1 Подробный образец выполнения домашнего задания.
Р-98.2 Эталон для самопроверки самостоятельной работы.
Ход урока
1. Мотивация к учебной деятельности
На доске выписаны разделы математики, которые учащиеся изучали к моменту данного
урока: арифметика, алгебра, теория функций, планиметрия, комбинаторика, статистика.
Висит эталон с определением частоты (Д-98.1).
− Добрый день. Сегодняшний урок мы начнем с того, что подведем некоторые итоги
вашей деятельности на уроках математики. Вы познакомились со многими разделами
математики, я выписала их на доске. Много, не правда ли?
− Прочитайте в учебнике высказывание французского математика, физика, астронома
Пьера-Симона Лапласа о еще одном разделе математики, о каком разделе идет речь?
(Теории вероятностей.)
− Знакомы ли вы с ним? (Нет.)
− Пьер-Симон Лаплас является одним из создателей теории вероятностей. Что
представляет собой эта теория по его мнению?
− Как вы видите, чтобы понять и использовать эту теорию достаточно обладать здравым
смыслом и уметь проводить простые арифметические вычисления, с которыми вы
справлялись еще в начальной школе.
1
− Давайте попробуем разобраться действительно ли это так? В конце урока мы вернемся к
этому высказыванию, и вы сможете высказать свое отношение к мнению Лапласа о
теории вероятностей. Давайте приступим.
− Желаю вам интересной и плодотворной работы.
2. Самостоятельная деятельность по известной норме и организация учебного
затруднения
− С каким новым статистическим показателем вы познакомились на прошлом уроке? (с
частотой случайного события.)
− Верно, на прошлом уроке вы познакомились с понятием частоты случайного события и
рассчитывали этот показатель дома. Давайте проверим, как вам удалось справиться с
расчетами.
− Выполняя самопроверку, выпишите на планшетку номера заданий, которые вы
выполняли, используя понятие частоты.
Каждой группе выдается образец выполнения домашнего задания (Р-98.1):
№ 397 (в, г)
M 115 23
M 146
73




в) W ( A) 
; г) W ( A) 
.
N 770 154
N 770 385
№ 411 (б)
1 способ:
M = N ∙ W (A)
1900 ∙ 0,09 = 171 (чел.) – всего
1900 – 171 = 1729 (чел.)
2 способ:
Пусть х человек ответили: «Дмитрий Харатьян», тогда по определению частоты:
x
0,09 
х – ?, 1900 – х – ?
1900
x
0,09 
 х = 1900 ∙ 0,09  х = 171
1900
1900 – 171 = 1729
Ответ: 171 человек; 1729 человек.
№ 410.
В ходе проведения экспериментов подтверждается свойство устойчивости частоты.
№ 412
А – 0, 080; Н – 0, 056; П – 0,029.
Полученные частоты не совпадают с приведенными статистическими данными,
потому что проведено меньше 1000 «испытаний», а статистические данные частот
подтверждаются при достаточно большом количестве испытаний.
№ 413
а) 2 x 2  5 x  3  0
D = 25 – 4 ∙ 2 ∙ 3 = 1
х1,2 = 1; 1,5.
Ответ: [1; 1,5].
б) 81  x 2  0  (х – 9) (х + 9) ≤ 0
Ответ: [–9; 9].
в)  x 2  6 x  9  0  х2 – 6х +9 ≤ 0  (х – 3)2 ≤ 0  х – 3 = 0  х = 3
Ответ: 3.
г) 4 x 2  2 x  1  0
D = 4 – 4 ∙ 4 ∙ 1 = –12, D < 0, ветви параболы направлены вверх, следовательно,
х  .
2
№ 422 (а – г).
а)
х 2  5х ;
х2 + 5х  0  х(х + 5)  0
х1,2 = 0; –5 .
х  ( – ∞; –5]  [0; +∞)
Ответ: ( – ∞; –5]  [0; +∞).
б) х 2  27 ;
х2 – 27  0  (х – 3 3 ) (х + 3 3 )  0
х1,2 =  3 3
х  ( – ∞; – 3 3 ]  [ 3 3 ; +∞)
Ответ: ( – ∞; – 3 3 ]  [ 3 3 ; +∞).
в) х 2  13х  42 ;
х2 + 13х + 42  0
х1,2 = –6; –7.
х  (–∞; –7]  [–6; +∞)
Ответ: (–∞; –7]  [–6; +∞).
г) х 2  х  9 ;
х2 + х + 9  0
х2 + х + 9 = 0, D < 0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, х2 + х + 9  0
верно при любом х.
Ответ: (–∞; +∞).
Учащиеся работают в группах. Все учащиеся выполняют самопроверку домашнего
задания, участники группы согласовывают результаты работы, записывают на планшетке
или форматке номера заданий, выполненные с использованием понятия частоты, и
показывают результат учителю. После чего результаты самопроверки домашнего задания
обсуждаются и фиксируется верный вариант ответа (№ 397 (в, г), № 411 (б), № 410; 412).
− Как найти частоту случайного события?
− Придумайте пример случайного события. Кто озвучит свой вариант?
− Какие еще события выделяют в классификации событий?
Далее учитель предлагает учащимся выполнить задание № 419 из учебника и выписать
на планшетках номера невозможных, достоверных или случайных событий
(невозможные: 3, 4; достоверные: 2, 5; случайные: 1; 6).
После проверки и исправления ошибок учитель предлагает учащимся выполнить
№ 420.
− Прочитали задание? Согласуйтесь в группах и дайте ответ на первый вопрос от группы.
Одна из групп озвучивает полученный в результате обсуждения ответ, остальные при
необходимости уточняют, дополняют.
− Какие события могут произойти одновременно? (1) «сейчас утро» – «сейчас идет снег»;
2) «сейчас утро» – «сейчас месяц июль»)
− Какие события представлены в оставшейся паре? (События, которые не могут
произойти одновременно.)
− Теперь познакомьтесь с названием таких событий с помощью учебника. Кто зачитает
нужную часть текста учебника?
3
Далее учитель предлагает учащимся самостоятельно выполнить в группах задание
№ 421.
− Кто озвучит пару совместных событий? («Восьмиклассник Коля получил за итоговый
тест по алгебре 10 баллов»; «Восьмиклассница Оля получила за итоговый тест по алгебре
10 баллов».)
− Поднимите руку те, кто согласен с этим ответом?
− Кто озвучит пару несовместных событий? («Восьмиклассник Коля получил за итоговый
тест по алгебре 10 баллов»; («Восьмиклассник Коля получил за итоговый тест по алгебре
1 балл».)
− Поднимите руку те, кто согласен с этим ответом?
Далее учитель предлагает учащимся устно выполнить задание № 422. После
обсуждения каждого вопроса каждая группа должна выписать на планшетках
согласованный в группе ответ. Учитель может попросить одного из участника группы
обосновать его.
Возможный вариант решения:
1) Да.
Выяснить, что событие достоверное (выпало менее 7 очков) и невозможное (выпало
более семи очков) можно рассуждая чисто теоретически, исходя из наличия точек на
гранях кубика.
2) «Выпадет менее 7 очков». «Выпадет менее 7 очков».
3) Нет.
− Теперь познакомьтесь с названием таких событий с помощью учебника. Кто зачитает
нужную часть текста учебника?
Далее учитель предлагает учащимся устно выполнить задание № 423 (1).
Учащиеся могут предложить разные ответы на данный вопрос. Верным будет следующий:
точный прогноз о частоте исхода «на кубике выпало четное количество очков» сделать
нельзя. Можно дать только предположить с какой частотой произойдет это событие. При
необходимости можно предложить учащимся сделать по их мнению точный прогноз и
проверить их на практике: проделать опыт с 10 испытаниями. Можно привести примеры
игорного бизнеса: «рулетки», скачек, ставок на бирже и т.д.: если бы точные прогнозы
можно было бы дать – такого бизнеса бы не существовало.
− Возникает вопрос: возможно ли хоть как-то судить о частоте случайных событий без
проведения испытаний? Подобное суждение очень пригодилось бы на практике, ведь нам
часто бывают нужны различные прогнозы – погоды, шансов на победу того или иного
участника соревнований и т. д.
− Потребность прогнозировать случайные события возникла давно и привела к
«рождению» нового раздела математики – теории вероятностей. В данном пункте мы
познакомимся с основными понятиями этой теории и задачами, которые она позволяет
решать.
− Что вы повторили и нового узнали?
Далее учитель предлагает учащимся выполнить задание на пробное действие № 423 (2),
для того , чтобы учащиеся смогли четко определить причину затруднения это задание
можно переформулировать в следующей форме (Слайд 3 презентации):
− Вам предлагается проанализировать задание: «С помощью какой числовой
характеристики можно оценить, какой из двух прогнозов об исходе броска игральной
кости более правдоподобен: «Выпадет максимальное число очков» или «Выпадет чётное
число очков»?
Сформулируйте в группах возможные затруднения.
− Какие затруднения возникли бы при выполнении задания (на работу полминуты)?
Возможные затруднения: не смогли бы оценить, какой из двух прогнозов об исходе
броска более правдоподобен. Не смогли бы обосновать свою оценку согласованным в
классе эталоном.
4
3. Выявление места и причины затруднения
− Посовещайтесь в группах в течение 1 минуты и ответьте на вопросы:
1) какое задание должны были бы выполнить;
2) какими известными эталонами пробовали бы пользоваться и почему бы они не
подошли;
3) в каком месте и почему возникло бы затруднение.
Одна из групп озвучивает результат обсуждения, остальные при необходимости
уточняют, дополняют.
− Сформулируйте причину ваших затруднений.
Возможный вариант ответа: не знаем, какая числовая характеристика используется в
математике для подобных оценок?
4. Построение проекта выхода из затруднения
− Посовещайтесь в группах в течение 30 секунд:
1) сформулируйте цель дальнейшей деятельности;
2) сформулируйте тему урока;
Одна из групп озвучивает результат обсуждения, остальные при необходимости
уточняют, дополняют.
Возможный вариант ответа:
Цель: ввести числовую характеристику, которая помогала бы оценивать точность
прогнозов о частоте случайного события.
− Верно, какое бы название вы предложили для такой характеристики. (Скорее всего,
учащиеся предложат термин вероятности или близкие по значению слова, после чего
учитель знакомит их с принятым названием или подтверждает их гипотезу.)
− Какими средствами вы будете пользоваться для открытия? (Задачей из пробного
задания, понятием частоты случайного события, которое повторили.)
− Чем отличается новая задача от уже известной вам задачи нахождения частоты? Частоту
находили после проведения испытания, а здесь задача ставится о том как судить о частоте
еще до проведения испытания.
− Составьте план своих действий. (Еще раз прочитаем задание, вызвавшее затруднение.
Подумаем, можно ли применить аналогию с частотой и что нужно изменить в формуле
нахождения частоты для нахождения вероятности. Попробуем решить задачу, предложив
свои вариант расчета характеристики, которая показывает, степень вероятности каждого
прогноза в задаче. Если получится выявить, какой прогноз более правдоподобный, то
составим определение и сверим свою гипотезу с уже существующей характеристикой –
вероятностью.)
В менее подготовленных классах учитель может выстроить этот план в подводящем
диалоге или предложить его в готовом виде.
− План действий составлен, достаточно ли этого для достижения поставленной цели?
(Нет, составленный план нужно реализовать, то есть выполнить все задуманные
действия.)
− Как вы будете реализовывать план? (Работая в группах.)
В менее подготовленных классах можно дать учащимся в помощь уже вычисленные
значения вероятности для каждого события (вероятность события «Выпадет
1
максимальное число очков» составляет ; а вероятность события «Выпадет четное число
6
1
очков» составляет ).
2
5. Реализация построенного проекта
Работа по реализации плана организуется в группах. По результатам работы одна из
групп отчитывается, остальные при необходимости уточняют, дополняют.
5
При этом учащиеся могут следующие пояснения.
Чтобы судить о частоте нужного события, мы находили отношение числа подходящих
исходов события к общему числу рассмотренных исходов. До проведения испытания мы
можем чисто теоретически выявить число всех возможных исходов броска (их шесть по
числу граней) и все они равновозможны, среди них найти те, которые удовлетворяют
прогнозу. После чего можно найти их отношение для каждого прогноза (по аналогии с
частотой).
1) Максимально возможное число очков получается только в одном случае – когда
1
выпадет 6. Часть, которая приходится на данный исход, составляет 1 : 6 = .
6
2) Событие «выпадет четное число очков» произойдет в трех случаях: когда выпадет либо
2, либо 4, либо 6 очков. Следовательно, на часть, соответствующую четному числу очков,
приходится 3 из 6 исходов. Значит, достоверность этого прогноза выразить частным
3 : 6 = 0,5.
3) Мы можем сравнить полученные дроби и на этом основании ответить на вопрос задачи.
1
Так как < 0,5, то выпадение максимального числа очков менее вероятно, чем
6
выпадение четного числа очков.
После этого учащиеся могут озвучить, например, следующее определение:
Вероятностью случайного события называют отношение числа нужных (подходящих) для
этого события исходов к числу всех возможных исходов испытания.
− Что теперь нужно сделать? (Нужно сопоставить наше определение с образцом из
учебника.)
Учащиеся работают с текстом учебника или с текстом слайда 4 презентации. Один из
учащихся читает вслух определение. На доске вывешивается эталон (Д – 98.1).
Классическое определение вероятности
Вероятностью p случайного события А называют отношение числа
благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n (для испытаний с
равновозможными попарно несовместными исходами).
m
p ( A) 
n
− Какие задания вы теперь можете выполнять?
− Что теперь необходимо сделать?
6. Первичное закрепление во внешней речи
Для первичного закрепления целесообразно выполнить № 424 в фронтальном диалоге,
с оформлением на доске.
При этом учитель задает вопросы классу, фактически следуя правилу (Д-98.3):
− Сформулируйте, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче?
− Объясните, какие исходы у него могут быть? Являются ли исходы испытания
несовместными и равновероятными?
− Чему равно число всех возможных исходов испытания ? Какой буквой обозначается это
число?
− Сформулируйте событие А, вероятность наступления которого необходимо найти в
задаче.
− Чему равно число исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому
событию? Какой буквой обозначается это число?
6
− Как вычислить вероятность рассматриваемого события?
Решение задания:
№ 424.
В задаче рассматривается испытание: «из множества карточек с номерами от 1 до 12
«вслепую» вытаскивается карточка с первым номером».
Представим, что все участники концерта до раздачи номеров были выписаны в список.
Тогда равновероятными и несовместными являются следующие его исходы: первый
номер достался первому по списку, первый номер достался второму по списку, …,
…двенадцатому по списку участнику. Поэтому количество всех возможных исходов есть
n = 12. Благоприятными для события А = «первый номер достался ученику из 8 класса»
m 4 1


являются m = 4 исхода. Поэтому искомая вероятность равна p(A) =
n 12 3
На доске запись может иметь вид:
n = 12;
А = «первый номер достался ученику из 8 класса»
m=4
m 4 1

 .
p(A) =
n 12 3
1
Ответ:
3
После чего в ходе фронтального анализа решения задачи пошагово фиксируется
правило решения вероятностных задач (Д-98.3). Можно воспользоваться анимацией
слайда 5.
Чтобы вычислить вероятность случайного события нужно:
1. установить, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче;
2. понять, что исходы испытания несовместны и равновероятны;
3. подсчитать число всех возможных исходов испытания – n;
4. сформулировать событие А, вероятность наступления которого необходимо найти;
5. подсчитать число исходов испытания, благоприятствующих рассматриваемому
событию – m;
m
6. вычислить вероятность рассматриваемого события: p( A)  .
n
Это правило применяется пошагово при выполнении № 425 (1а). При этом учащиеся
пользуются слайдом 5.
Решение задания:
№ 425 (1).
В задаче рассматривается испытание: «из 20 билетов «вслепую» выбирается один
экзаменационный билет».
Тогда равновероятными и несовместными являются следующие его исходы: «выбран
билет №1», «выбран билет №2»… «выбран билет №20» , значит, n = 20 исходов.
Благоприятными для события А = «выбран билет по оптике» являются m = 8 исходов.
m 8

 0,4 .
Поэтому искомая вероятность равна p(A) =
n 20
На доске запись может иметь вид:
а) n = 20;
А = «выбран билет по оптике»
m=8
7
m 8

 0,4 .
n 20
Ответ: 0,2.
Задание № 425 (1б). выполняется в парах. После выполнения задания проводится
самопроверка по образцу, записанному на доске, или с помощью презентации (Слайд 6):
p(A) =
№ 425 (1)
б) n = 20;
В = «выбран билет не по оптике»
m = 20 – 8 = 12
m 12

 0,6 .
p(В) =
n 20
Ответ: 0,6.
После самопроверки проводится рефлексия: выясняется, есть ли ошибки, если есть, то
проговаривается, как надо было выполнить задание, ошибки учащиеся исправляют.
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону
− Что дальше необходимо сделать?
− С какой целью вы будете выполнять самостоятельную работу?
Для самостоятельной работы учащимся предлагается № 426 (2)– слайд 7.
Учащиеся выполняют самостоятельную работу и проводят самопроверку по эталону
для самопроверки (Р-98.2) или по слайду 8 презентации:
№ 425 (2)
Чтобы вычислить вероятность случайного события
а) n = 12 + 10 = 22;
нужно:
А = «к клиенту приедет
иномарка»
1. установить, в чем состоит испытание, рассматриваемое в
m = 12
задаче;
m 12 6
2. понять, что исходы испытания несовместны и

 .
p(A) =
равновероятны;
n 22 11
3. подсчитать число всех возможных исходов испытания – n;
б) n = 22;
4. сформулировать событие А, вероятность наступления
В = «к клиенту приедет
которого необходимо найти;
отечественная машина»
5.
подсчитать
число
исходов
испытания,
m = 10
благоприятствующих
рассматриваемому
событию
– m;
m 10 5


p(В) =
.
6. вычислить вероятность рассматриваемого события:
n 22 11
m
p ( A)  .
n
6
5
Ответ: а)
; б) .
11
11
− Проанализируйте в группах результаты выполнения самостоятельной работы:
 назовите, в каких местах и почему возникли затруднения;
 смогли ли исправить ошибки?
Организаторы озвучивают результаты анализа работ.
После чего обсуждаются дополнительные вопросы к заданию №425 и формулируется
свойство: «Пусть испытание имеет n исходов. Если m исходов, благоприятствуют
событию А, а все остальные исходы – событию B, то p(A) + p(B) = 1.
В более подготовленном классе можно доказать сформулированную гипотезу (№426).
8. Включение в систему знаний и повторение.
На этапе включения в систему знаний, исходя из возможностей учащихся,
рекомендуется решить от трех до семи пунктов задачи из № 432 по усмотрению учителя.
Решение задания:
8
№ 432
а) р(А) = 0; б) р(А) = 1; в) р(А) = 0 (так как сумма четного и нечетного числа не может
равняться двум и 0 + 1  2); г) р(А) = 0,2 (так как среди пяти возможных вариантов
сумм: 2+3; 4+5; 6+7; 8+9; 0+1 один вариант является благоприятным событию А);
д) р(А) = 0 (так как среди возможных вариантов: 2∙3; 4∙5; 6∙7; 8∙9; 0∙1 нет ни одного,
благоприятного событию А; е) р(А) = 0,4 (так как среди возможных вариантов: 2∙3; 4∙5;
6∙7; 8∙9; 0∙1 два варианта являются благоприятным событию А); в) р(А) = 0 (так как
среди возможных вариантов: 2∙3; 4∙5; 6∙7; 8∙9; 0∙1 ни один не благоприятен событию А).
После решения задач с помощью чтения текста учебника с.114 – 115 вводится понятие
статистической вероятности (Д – 98.4).
Определение статистической вероятности
Статистической вероятностью случайного события A называется число, около
которого принимает значения частота этого события при достаточно большом
числе испытаний.
Также с учащимися обсуждается и фиксируется алгоритм выбора способа расчета
вероятности (Д – 98.5).
:
да
Исходы испытания
равновозможны?
Для расчета используем классическое
нет
Для расчета используем определение
статистической вероятности:
m
определение вероятности: p ( A) 
n
р стат. W (A)
Для повторения можно предложить выполнить № 436(2), которое выполняется у доски.
Перед решением задачи рекомендуется поставить вопрос о переформулировке задачи в
более простой форме. Так как 8 ч 40 мин – 6 ч = 2 ч 40 мин, скорость течения равна
скорости плота и скорости движения по течению плота и катера различаются на
собственную скорость катера, то задачу можно переформулировать иначе:
Туристы отправились в поход по реке на плоту. Через 2 ч 40 мин вслед вышел катер
и догнал плот, пройдя 10 км. Какова скорость плота, если собственная скорость
катера 12 км/ч?
Полезно изобразить схему движения на начало одновременного движения:
x + 12 км/ч
x км/ч
2
2 x км
3
Где x км/ч – скорость плота, а значит и течения (х > 0);
x + 12 км/ч – скорость катера
Затем схема дополняется по условию задачи следующим образом:
x + 12 км/ч
x км/ч
tвстр.
2
2 x км
3
10 км
9
Из схемы учащиеся могут сделать следующие выводы:
10
 tвстр. = Sкат. : vкат.=
ч.
x  12
 За время
10
2
ч плот преодолел расстояние 10 – 2 x км со скоростью x км/ч.
x  12
3
Далее строится математическая модель задачи:
2
 10
 x  10  2 x

х–?
3
 x  12
 x  0
Дальнейшее решение учащиеся самостоятельно оформляют в своих тетрадях без опоры
на доску.
10 x
8
 10  x
x  12
3
8 

10 x  10  x x  12 , х  12
3 

x 2  12 x  45  0
По теореме, обратной т. Виета:
х1 = 3; 3  12
х2 = –15 – не удовл. второму соотношению мат. модели
Ответ: скорость течения равна 3 км/ч.
9. Рефлексия деятельности на уроке
− Что в конце необходимо сделать? (Надо проанализировать свою работу.)
Группы работают с карточкой анализа деятельности (Д−98.6) либо пользуются текстом
на слайде 9 презентации:
1) Определить новые знания, которые открыты на уроке.
2) Сформулируйте цель, которая стояла перед вами.
3) Определите, достигнута ли цель.
4) Перечислите средства и способы, которые вам помогли достичь цели.
5) Оцените деятельность группы и каждого участника группы на уроке.
6) Сформулируйте неразрешённые затруднения на уроке, если они есть.
Учащиеся обсуждают работу на уроке, организаторы озвучивают результаты анализа
деятельности групп.
− Молодцы, вы сегодня хорошо поработали, чтобы закрепить результат не забудьте
записать домашнее задание (Слайд 10).
Домашнее задание:
п .6.2.3., № 441, 442, № 443, №446, №451.
10