Краевые задачи

Краевые задачи.
Задача о стационарном распределение тепла в стержне, на концах которого
поддерживается постоянная температура.

d 
dT 
  k x    f x 
(1)
dx 
dx 


T 0  T0 , T l   T1

x  0, l 
f x  - источник тепловыделения; k x  - коэффициент теплопроводности; T x температура.

d 
du 
LU   k x    qx U x    f x 
dx 
dx 

(2)

 1U | x    1U x  x 0  U 0 

(3)

 2U | x    2U x  x l  U 1 






Определение. В (3)  i и i - это числа, не обращающиеся в ноль одновременно, и
выполняется условие  i2   i2  0 . Если  i  0 , то получаем краевые условия первого
рода, так называемые условия Дирихле. Если  i  0 , то получим краевые условия
второго рода или условия Неймана. Если  i  0 и  i  0 одновременно, то получим
краевые условия третьего рода.
Определение. Однородная краевая задача – это задачи (2) и (3) тогда, когда
f x   0,U 0  0,U 1  0 . Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение,
но может иметь и нетривиальное решение. Частный случай однородной краевой задачи
– это задача на собственные значения, она состоит в определение параметров
входящих в ДУ, при которых существует нетривиальное решение однородной задачи.
Характерная задача на собственные значения – это задача определения параметра  , при
котором существует нетривиальное решение на интервале 0, l  задачи:



 0

 0

Ly x    x  y  x   0
 y x    yx 
 y x    yx 
|
1
1
x 0
2
x l
|
2
(4)
В этой формуле оператор L – это линейный дифференциальный оператор, такой же как в
формуле (2);  x - это заданная функция, непрерывная на интервале 0, l  ;  i ,  i - заданные
константы.
Определение. Значения параметра  , при которых задача (4) имеет нетривиальное решение,
называются собственными значениями, а соответствующие нетривиальные решения задачи (4) –
собственными функциями этой краевой задачи. Сама задача (4) называется задачей ШтурмаЛиувилля.
Свойства собственных функций этой задачи:
1.) существует счетное множество собственных значений  n и соответствующих им
собственных функций, то есть n   y n x . Все собственные значения задачи (4) можно
упорядочить по возрастанию их абсолютной величины: 1  2  ...  n  ...
2.) каждому собственному значению соответствует, с точностью до постоянной, только
одна собственная функция. Ранг собственных значений равен единице.
3.) в случае краевых условий Дирихле ( y(0)=y(l)=0 ) и при выполнение следующих
ограничений qx   0 (из формулы (2)), все собственные значения задачи (4) будут строго
положительны: n :  n  0 .
Теорема о разложимости Стеклова. Если функция f(x) (правая часть) непрерывна и
дважды дифференцируема на отрезке 0, l  и удовлетворяет однородным краевым условиям
типа (4), то эта функция может быть представлена в виде абсолютно и равномерно
сходящегося ряда на интервале 0, l  по собственным функциям y n x  задачи (4), то есть
функция может быть представлена в виде:


n 0


f  x  y n  x   x dx 

l

2




y
x

x
dx

0 n


f x    f n y n x 
l
fn 

0
(5)
Замечание. Если дана неоднородная краевая задача с однородными краевыми условиями и
правая часть f дифференциального уравнения – дважды непрерывно-дифференцируемая функция,
то искать решение этой неоднородной задачи можно в виде (5).
u || x   u x   0
Пример: 
u 0  u l   0
ux   e x ;
1  i 
2   0;
u x   C1 cos  x  C 2 sin  x
u0  C1  0;
C2  1
 2  i 
u l   sin  l  0
 l  n;
 n 

 l 
n  
n  0,1,2,...
2
u n  x   sin
n
l
x
Решение краевых задач с помощью функции Грина.
d 2x
dx
 at   bt x  f t 
Пусть дано уравнение
2
dt
dt
(1)

 dx




x

0
(
2
.
1
)

1 
 0 dt

 t 0


 dx


  0 dt   1 x   0(2.2)

 t l

(2)
И пусть краевая задача имеет единственное решение. Рассмотрим однородное уравнение,
соответствующее уравнению (1):
d 2x
dx
(3)
 at   bt x  0
2
dt
dt
Пусть x  x1 t  - это нетривиальное решение задачи (3), удовлетворяющее краевому условию
(2.1); x  x2 t  - нетривиальное решение задачи (3), удовлетворяющее краевому условию (2.2).
Предположим, что x1 не удовлетворяет краевому условию (2.2), а x 2 - краевому условию (2.1).
Это выполняется, так как если бы решение x1 удовлетворяло условию (2.2), то C1 x1 t  тоже бы
ему удовлетворяло, а значит C1 x1 t  было бы решением задачи (3) с краевыми условиями (2), а мы
решили, что у нее единственное решение => противоречие.
Таким образом:
 dx1

  0 dt   1 x1 t   0

 t l
(4)
 dx 2

0
 0 dt   1 x 2 t 

 t 0
Решения x1 и x 2 линейно не зависимы, то есть если бы они были пропорциональны (линейно
зависимы), то удовлетворяли бы одним и тем же краевым условиям, что не возможно.
Раз у нас есть два линейно независимых решения, то решение неоднородной задачи (1-2) будем
искать методом вариации постоянных.
xt   C1 t x1 t   C2 t x2 t 
|
|
C1 t x1 t   C 2 t x 2 t   0
 |
C1 t x1| t   C 2| t x 2| t   f t 
x t  f t 
C1| t    2
wt 
x t  f t 
C2| t   1
wt 
(5)
(6)
(7)
x1 t  x2 t 
0
t  0, l  , так как x1 , x 2 - линейно независимы.
x1| t  x2| t 
Проинтегрируем (6) и (7):
t
x s  f s 
C1 t     2
ds   1
ws 
t1
wt  
C2 t  
t

t0
x1 s  f s 
ds   2
ws 
t1
xt   x1 t 
t
t
x 2 s  f s 
x s  f s 
ds   1 x1  x 2 t  1
ds   2 x 2


ws 
w
s
t0
(8)
Проинтегрируем (8) по t и получим выражение для dx dt ; подставим полученное соотношение
в краевые условия (2) и учтем, что x1 t  удовлетворяет краевым условиям (2.1), а x2 t  - краевым
условиям (2.2).
t1
x s  f s 
|
0   0 x1 t 0   1 x1 t 0   2
ds   1  0 x1| t 0   1 x1 t 0    2  0 x2| t 0   1 x2 t 0    2  0
ws 
t

 0 x1| t 0    1 x1 t 0   0





Подставим другие краевые условия и получим, что  1  0 .
t1
Таким образом xt   x1 t 
 x1 s x 2 t 
 ws  ,

G t , s   
 x 2 s x1 t  ,
 ws 
t
t
1
x2 s  f s 
x s  f s 
ds  x2 t  1
ds   Gt , s  f s ds
ws 
ws 
t0
t0
t
(9)
t0  s  t
(10)
t  s  t1
 x1 t x 2 s 
t0  t  s
 wt  ,

G t , s   
 x 2 t x1 s  ,
s  t  t1
 wt 
G(t,s) – функция Грина для краевой задачи (1-2), если она определена, то решение краевой
задачи (1-2) определяется формулой (9). Для функции Грина определяются только решения x1 и
x 2 - линейно независимые и не зависящие от правой части f(x).
При фиксированном s функция Грина обладает следующими свойствами:
1.)
при функция Грина удовлетворяет однородному уравнению (3).
2.)
При t  t 0 и t  t1 функция Грина удовлетворяет краевым условиям (2).
3.)
При t  s функция Грина непрерывна.
4.)
При t  s производная функции Грина dG dt претерпевает единичный скачек, те
есть
dG
dG

1 .
dt t  s 0 dt t  s 0
Доказательство получим исходя из соотношения (10).
Пример.
d 2 x 2 dx

 f t ; x0  0;
dt
dt 2
x || t   x | t   0
dx
0
dt t 1
xt   C1e t  C 2
xt   ex
 2    0; 1  1,  2  0
x1 t   C1e t  C2 ; x1 0  0; C2  C1
1.)
x1 t   C1 e t  1
x2 t   C1e t  C2 ; x2| 1  0; C1e  0; C1  0
2.)
x2| t   C1e t ; x2 t   C 2
x1 t   e t  1; x2 t   1

wt  

et  1 1
et
0
 e t
es 1
, 0st

 es
G t , s    t
e 1 , t  s  1
  e t