§23. Что такое функция? Что такое элементарная функция

§23. Что такое функция? Что такое элементарная функция?
Необходимо начать с общего понятия функции. Приведенные ниже предложения и
соотношения иллюстрируют широту этого понятия:
1. площадь многоугольника;
2. центр окружности;
3. окружность, вписанная в треугольник;
4.
y  x2 ;
n
0 при n  2k  1,
1   1

 1
, kN ;
5. an 
n
при
n

2
k
 k
6.
n!  1 2  3  ...   n  1  n ;
 x 2 при  1  x  0,

1
y   при x  0,
7.
2
1  x при 0  x  1;
8.
y  1  x2
9. y 
10.
1
x
;
;
  n  – число делителей натурального числа n ,
 1  1,   2  2,  3  2,   4  3,  5  2,   6   4,   7   2, ...,  12   6
(так как 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 12), …
Общим во всех этих примерах является то, что каждому объекту (элементу) из заданного
множества отвечает определенный объект (элемент) из некоторого (возможно совпадающего с
первым) множества.
Так, в примере 1 каждому многоугольнику (элементу из множества многоугольников)
отвечает определенное число (элемент из множества действительных чисел) – его площадь (при
выборе определенного квадрата в качестве эталона единичной площади).
В примере 2 каждому элементу из множества окружностей отвечает элемент из множества
точек плоскости этой окружности – центр такой окружности.
В примере 3 элементу из множества треугольников отвечает элемент из множества
окружностей – а именно, окружность, вписанная в данный треугольник. Отметим, что
предложение: «Треугольник, описанный около окружности», не отвечает понятию функции, так
как относительно каждой окружности можно описать не один треугольник (а фактически,
бесчисленное их количество).
В
примерах
1,
2,
множества
3
многоугольников,
окружностей, треугольников
соответственно называют областью (множеством) определения функции, а соответственно
множества действительных чисел, геометрических точек, окружностей называют множествами
принадлежности значений функции. Обычно область определения функции
X  x ,
а каждый элемент
х  x  X  называют
принадлежат значения функции обозначают
обозначают
аргументом функции. Множество, которому
Y   y .
Само значение функции, отвечающее
аргументу х, обозначают f(x), где сама буква f символизирует то правило, с помощью которого по
х находится у. Разумеется, возможно использование и других букв.
В примерах 4 – 10 множествами
Х и Y являются либо множество действительных чисел,
либо его отдельные подмножества. Такие множества называют числовыми.
В примере 7 прямо указано множество
прямо не указано. Для этих функций множество
X   1; 1 .
В примерах 4, 8, 9 множество
Х
Х – это то подмножество действительных чисел,
для которого возможно проведение операции, определяющей функцию. В примере 4 множество Х
– это все множество действительных чисел, так как
числа
х.
1  x2
В примере 8
X   1; 1
x 2 определено для любого действительного
поскольку для
x   1; 1
подкоренное выражение в
отрицательно. В примере 9 X   ;0    0;   , так как деление на ноль не имеет
смысла.
В примерах 5, 6, 10
X N
– множество натуральных чисел. Значения функции,
отвечающие аргументу «n», обозначаются соответственно
последовательностей, см. гл. 5),
an
(обозначение общего члена
n!,   n  .
Приведем определение функции:
Если каждому элементу х из множества X   x по какому-либо правилу или
закону ставится в соответствие определенный элемент у из множества Y   y , то
говорят, что на множестве Х определена функция, значения которой принадлежат
множеству Y   y . В этом случае говорят также, что задано отображение
множества Х в множество Y.
Множество значений функции
Y.
x X
может совпадать с
Y,
а может и не
 f ( x)  Y , то говорят, что функция задает отображение множества Х
совпадать. Если
множество
 f ( x) ,
Так в примере 1, если под
на
Y понимать все множество действительных чисел, то в
этом примере имеет место отображение в, но не отображение
может быть отрицательным числом). Если же под
Y
на
(площадь многоугольника не
понимать множество положительных
действительных чисел, то функция из примера 1 является отображением
на (а также, разумеется,
и отображением в).
В записи
y  f ( x)
называют образом аргумента
переменная
у
– значение функции, отвечающее аргументу
х при отображении f. Соответственно х называют
прообразом
х,
ув
отображении f.
В примерах 6, 9 каждому значению функции отвечает только один прообраз. В примерах 1,
2, 3 каждому значению функции отвечает бесконечное количество прообразов. В примерах 4, 8
каждому
у соответствует либо один, либо два прообраза. В примере 7 каждому у отвечает либо
один, либо два, либо три прообраза:

y   0;

1 1 
 ;1
2   2 
каждому

f (1)  0, f (1)  1, f  

1 
  f  0 
2
1 1
f    , для
 2 2
у отвечают два прообраза. В примерах 5, 10 каждому значению
функции отвечает либо один, либо бесконечное количество прообразов. Так, в примере 5
значению функции, равному 0, отвечает в качестве прообраза любое нечетное натуральное число,
каждому значению функции, равному
1
k  N  ,
k
отвечает прообраз
n  2k .
В примере 10
значению функции, равному 1, отвечает один прообраз, то есть также 1, для остальных значений
функции  (n) количество прообразов бесконечно.
Общее понятие функции является математической моделью определяющих зависимостей
реального мира, в том числе и моделью описания причинных связей. Особая роль числовых
функций состоит в том, что процесс измерения переводит зависимость между характеристиками
реальных явлений в зависимость между числами, то есть превращает эти зависимости в числовые
функции.
Вернемся к примеру 8:
образованную
из
функций
y  f  x   1  x 2 . Эту функцию можно рассматривать как
y  g  t   t , t    x   1  x 2 : y  f  x   g   x 
  g 
 x t  y  .


Такой способ построения функции
функции (или суперпозицией функций
t    x
и
f ( x)
называется образованием сложной
y  g  t  ).
Из огромного многообразия числовых функций выделяют определенный базовый набор
функций, называемых основными элементарными функциями (они названы в оглавлении второй
части этой книги). Строго говоря, выбор этот более или менее условен и оправдывается практикой
изучения числовых функций для их дальнейшего использования в приложениях. Основные
элементарные функции являются предметом изучения в средней школе. В высшей школе (если это
не педвузы) к изучению основных элементарных функций больше не возвращаются. Отметим, что
одно из важнейших понятий высшей математики – понятие производной могло быть открыто
именно потому, что оно уже содержится внутри структуры основных элементарных функций и
было выявлено при их исследовании.
Детальному изучению основных элементарных функций посвящена вторая часть этой
книги. Ставится задача устранения логических пробелов в построении теории этих функций,
пробелов, обычно заполняемых либо указанием, что данный факт может быть доказан в высшей
математике, либо маскировкой таких пробелов с созданием иллюзии их отсутствия. Это сделает
более простым для учащихся переход к изучению высшей математики и, в частности, к изучению
общих элементарных функций на базе использования понятия производной.
Элементарная функция (общая элементарная функция) – это функция, которая может быть
получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения,
вычитания, умножения, деления и суперпозиции (образования сложной функции). Так,
элементарной функцией (хотя и довольно простой), но не основной элементарной функцией,
является функция из примера 8.
Графиком функции
плоскости, где
x X
координатной плоскости
и
y  f ( x)
у
ХОY
прямая, параллельная оси
называют множество точек
для каждого
x  X определяется
M  x, y 
как
тогда и только тогда определяет функцию
ОY
(прямая
координатной
y  f ( x) .
Линия на
y  f ( x) , если любая
x  const ) либо не пересекает эту линию (и тогда
x  X ), либо пересекает ее только в одной точке (определяя y  f ( x) ). В реальном
графическом задании функции это определение может быть только приближенным, так как и
аргумент, и значение функции могут быть отмечены на чертеже лишь с определенной степенью
точности.
Целесообразно сразу отметить и понятие монотонной функции. Будем использовать
следующую терминологию (для числовых функций):
Функция
y  f ( x)
называется монотонно возрастающей, если для любых аргументов
x1 и x2 из области определения функции таких, что x1  x2 , имеет место соотношение
y1  f  x1   f  x2   y2 .
Если же для указанных аргументов
y1  f  x1   f  x2   y2 ,
неравенство
то функцию
x1 и x2 имеет место строгое
y  f ( x)
будем называть строго
монотонно возрастающей.
Если из
x1  x2 следует, что y1  f  x1   f  x2   y2 , то функция называется
монотонно убывающей. При строгом неравенстве
аргументов
y1  f  x1   f  x2   y2
для произвольных
x1 и x2 таких, что x1  x2 , функцию будем называть строго монотонно
убывающей.1
Отметим, что при образовании сложной функции на основе суперпозиции монотонных
функций вновь получают монотонную функцию.
Если при образовании сложной функции обе составляющие функции имеют одинаковый
характер монотонности, то полученная в результате суперпозиции функция является монотонно
возрастающей, а если противоположный характер монотонности, то результирующая функция
является монотонно убывающей. При строгой монотонности составляющих функций и
результирующая функция является строго монотонной.
Пусть,
например,
y  g t  ,
y  f  x   g   x  . Тогда из x1  x2
Для сложной функции
y  f ( x)
из
t    x
следует
–
строго
монотонно
возрастают,
и
t1  t2 , что в свою очередь влечет y1  y2 .
x1  x2 следует y1  y2 .
Часто используется иная терминология. Функции, которые здесь названы «строго монотонными»,
называют «монотонными», а те, что здесь названы «монотонными», называют соответственно
«неубывающими» или «невозрастающими».
1