Лекция: «Показательная функция, ее график и свойства».

Лекция: «Показательная функция, ее график и свойства».
Функция у = аx, где а > 0, а  1 называется показательной с основанием
а. Эта функция определена для всех действительных значений переменной x
.
Функция у = аx обладает следующими свойствами:
1. Д(у) = R, Е(у) = R+, т.е. у = аx > 0 для любого
xR.
Для доказательства рассмотрим четыре случая.
а) x – натуральное число или нуль. В этом случае имеем а0 = 1>0,
а n  а  а  а  ...  а  0 , как произведение n положительных чисел.
m
m
n
б) x 
- где m и n – натуральные числа. В этом случае а
n
определению арифметического корня из положительного числа.
 n аm
по
в) x – иррациональное положительное число. Тогда r1<x<r2, где r1 и r2 –
некоторые рациональные числа. По определению степени с
положительным показателем имеем
а  1  0  а к1 а  а r2  а x  0,
x
0  а  1  а r1  a x  a r2  0  a x  0.
x
x
г) x – отрицательное число. Тогда t = - x>0 и значит а  a 
1
 0 , т.к. аt >0.
x
a
2. а)
a x  1, если..x  0
а 1 
0  a x  1, если..x  0.
б)
0  a x  1, если..x  0
0  a 1  x
a  1, если..x  0.
3. При а>0 функция у = аx монотонно возрастает, а при а<1 – монотонно
убывает.

Пусть, а > 1, x1 < x2. Тогда а 1  a 2  a 1  1  a
x
свойству 2 a
x2 x1
x
x
x2  x1
. Так как x – x >0, a > 1, то по
2
1
x x
 1 , а это означает, что 1  a 2 1  0 . Таким образом,
a  1, x1  x2  a x1  a x2  0  a x1  a x2 .
4. Функция не периодическая, т.к. она принимает все свои значения ровно
один раз.
5. Функция не является четной т.к. она принимает все свои значения ровно
один раз и не является нечетной, т.к. область ее значений несимметрична
относительно нуля.
6. Уравнение у = аx не имеет корней при любом у ≤ 0, поэтому график не
пересекает ось абсцисс, но пересекает ось ординат в точке ( 0; 1 ), т.к. а0 = 1
при любом а.
7. Функция не имеет наибольшего и наименьшего значений.
8. График имеет единственную асимптоту – ось абсцисс.
9. График функции у = ax для различных а изображается на доске.
а) у = аx, а > 1.
б) у = аx, 0< a < 1.
10. При любом положительном а и действительных x и у справедливы
формулы:
a x  a y  a x y ;
a  b x
k
a
x
 ax bx;
x
k
a ;
ax
 a x y
y
a
a 
 a xy  a yx  a y ;
a x 
1
;
ax
x y
 
x
x
x
bx
a
b
     x ;
a
b
a
a 0  1.
Эти формулы называют основными свойствами степеней, которые
сначала были определены только для рациональных чисел.
Из свойств функции у = аx вытекают следующие соотношения:
1.a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
2.При..a  1..a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x);
a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x).
3.При..0  a  1
a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x);
a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x).