Вероятность и статитика - Сайт факультета Информационных

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА
Крюковский А.С.
Требования к обязательному минимуму содержания основной
образовательной программы:
Математические основы теории вероятностей, модели случайных процессов,
проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.
Цели преподавания дисциплины:
Определяются необходимостью дать студентам научное представление о методах
исследования случайных событий и случайных величин.
Перечень дисциплин, усвоение которых студентам необходимо для усвоения курса
для успешного освоения дисциплины «Вероятность и статистика» необходимо
предварительное изучение курса «Математика», в первую очередь разделов
«Дифференциальное и интегральное исчисление», «Теория рядов», «Линейная алгебра».
В результате изучения курса студент должен
знать:

основные понятия комбинаторики, теории вероятностей,

основы теории случайных процессов,

основные понятия и задачи математической статистики
уметь:

применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и
статистических задач,

пользоваться расчетными формулами, таблицами, графиками при решении
статистических задач,

применять современные пакеты прикладных программ многомерного
статистического анализа для обработки экспериментальных данных,

уметь содержательно интерпретировать формальные результаты
иметь представление о:

о целях и задачах теории вероятностей и математической статистике их роли
и месте в социально-экономических исследованиях,

о современных направлениях в теории вероятностей и математической
статистике,

о методологических проблемах теории вероятностей и математической
статистики
Основными видами занятий являются лекции и семинары.
Основыными видами промежуточного контроля знаний являются: семестровая
контрольная работа, самостоятельные работы и защита практических работ, выполняемых
в компьютерных классах.
Основными видами рубежного контроля знаний являются экзамен
Часы, отведенные на изучение дисциплины, согласно учебному плану (85ч):
Форма обучения
Всего
ауд. Самостоятельная работа
занятий
очная
51ч
34ч
очно-заочная(вечерняя) 18ч
67ч
заочная
12ч
73ч
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Тема 1. Введение
Предмет и содержание дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».
Соотношение теории вероятностей и математической статистики. Задачи математической
статистики в области экономических исследований. Роль математической статистики в
анализе закономерностей в компьютерных информационных системах.
Тема 2. Основные понятия комбинаторики
Элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания с повторением и без
повторения.
Тема 3. Классическое определение вероятности
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Противоположные события.
Независимые события. Относительная частота. Классическое и геометрическое
определение вероятности. Элементарная теория вероятностей. Методы вычисления
вероятностей.
Тема 4. Аксиоматическое определение вероятности. Условная вероятность
Пространство элементарных событий. Алгебра событий: теоремы о вероятности суммы
событий, противоположных событий, сумма вероятностей несовместных событий,
образующих полную группу. Аксиоматическое определение вероятности. Условная
вероятность. Теоремы о вероятности произведения зависимых и независимых событий.
Полная вероятность. Формула Байеса.
Тема 5. Дискретные случайные величины
Понятие случайной величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения
дискретной случайной величины. Функция распределения, ее свойства, график.
Биномиальное распределение, гипергеометрическое распределение, распределение
Пуассона, геометрическое распределение, отрицательное биномиальное распределение
(распределение Паскаля).
Тема 6. Непрерывные случайные величины
Непрерывные случайные величины. Плотность распределения случайной величины
(плотность вероятности). Формула для вероятности попадания случайной величины в
данный интервал, выраженный через плотность вероятности, геометрический смысл
формулы, случай малого интервала. Равномерное распределение, нормальное
распределение, экспоненциальное распределение, логарифмическое нормальное
(логнормальное) распределение.
Тема 7. Математическое ожидание и дисперсия
Математическое ожидание и дисперсия дискретной и непрерывной случайной величины.
Свойства математического ожидания. Среднее квадратичное отклонение. Формула для
вычисления дисперсии, ее свойства. Определение математического ожидания и дисперсии
для основных дискретных и непрерывных распределений. Геометрический и
вероятностный смысл параметров нормального закона распределения случайной
величины.
Тема 8. Многомерные случайные величины
Многомерные случайные величины. Функция распределения: дискретные и непрерывные
случайные величины, полиномиальное, равномерное и нормальное распределения.
Граничные распределения. Моменты многомерной случайной величины. Ковариация,
коэффициент корреляции. Условные распределения. Регрессионная зависимость. Прямые
регрессии.
Тема 9. Характеристические и производящие функции
Характеристические и производящие функции, их свойства, вычисление математического
ожидания и дисперсии. Характеристические и производящие функции суммы
независимых случайных величин. Характеристические и производящие функции
основных распределений: распределения Бернулли, равномерного распределения,
распределения Пуассона, нормального распределения.
Тема 10. Предельные теоремы
Значение предельных теорем. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Закон
больших чисел: теоремы Чебышева, Бернулли, Колмогорова. Предельные теоремы
Муавра-Лапласа (локальная и интегральная). Центральная предельная теорема Ляпунова.
Тема 11. Метод Монте-Карло
Сущность метода статистических испытаний (метода Монте-Карло), оценка
погрешностей. Случайные числа. Разыгрывание дискретной случайной величины,
противоположных событий, полной группы событий. Разыгрывание непрерывной
случайной величины, метод обратных функций, метод суперпозиции. Приближенное
разыгрывание нормальной случайной величины. Вычисление определенных интегралов
методом Монте-Карло.
Тема 12. Марковские цепи
Марковские случайные процессы. Цепи Маркова. Вероятности перехода. Теорема о
предельных вероятностях. Стационарное распределение. Матрица перехода. Равенство
Маркова.
Тема 13. Случайные функции
Понятие случайной функции. Корреляционная теория случайной функции.
Математическое ожидание. Дисперсия. Взаимная корреляционная функция и её свойства.
Стационарные случайные функции. Спектральная теория стационарных случайных
функций. Дельта-функция. Стационарный белый шум. Понятие о преобразовании
стационарной случайной функции линейной динамической системой.
Тема 14. Случайные процессы
Понятие случайного процесса. Процессы с независимыми приращениями. Потоки
событий. Пуассоновский процесс: стационарность, отсутствие последействия,
ординарность. Винеровский процесс. Ветвящийся процесс. Процессы гибели и
размножения.
Тема 15. Теория массового обслуживания
Классификация систем массового обслуживания (СМО). Показатели эффективности
массового обслуживания. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Одно- и
многоканальные СМО. Замкнутые СМО. СМО, с ограниченной длиной очереди, с
ожиданием, с ограниченным временем ожидания. Вероятность отказа в СМО, вероятность
обслуживания; среднее количество требований, ожидающих начало обслуживания;
интенсивность входного потока требований, интенсивность обслуживания, относительная
и абсолютная пропускная способность СМО, среднее число занятых обслуживанием
приборов, общее количество требований в СМО, среднее время ожиданием требованием
начала обслуживанием; средний экономический эффект, полученный при обслуживании
одного требования; величина потерь в системы, стоимость эксплуатации одного канала в
единицу времени, стоимость убытков в результате ухода требований из СМО в единицу
времени, стоимость единицы времени простая прибора в СМО.
Тема 16. Основные понятия математической статистики
Предмет математической статистики. Статистическая совокупность. Выборки.
Гистограмма и полигон частот. Статистическая (эмпирическая) функция распределения.
Выборочные характеристики и их распределения. Асимптотические свойства выборочных
моментов. Точные выборочные распределения: Стьюдента (t–распределение), Фишера–
Снедекора (F–распределение), Пирсона (  -распределение). Таблицы математической
статистики и работа с ними.
2
Тема 17. Оценка параметров. Точечные оценки
Состоятельные, эффективные смещенные и несмещенные оценки параметров.
Статистическое среднее, статистическая дисперсия и статистическое среднее
квадратичное как точечные оценки неизвестных: математического ожидания, дисперсии,
среднего квадратичного отклонения и корреляции. Метод наибольшего правдоподобия.
Тема 18. Доверительные оценки
Доверительные интервалы и интервальные оценки. Мера надёжности. Доверительные
оценки неизвестной вероятности по большим выборкам. Доверительная оценка
математического ожидания при неизвестной дисперсии. Доверительная оценка среднего
квадратичного отклонения.
Тема 19. Статистические гипотезы
Математические методы проверки статистических гипотез. Основная и конкурирующая
гипотезы, уровень значимости, ошибки первого и второго родов, критическая область,
мощность критерия.
Проверка гипотезы о равенстве двух средних, при условии, что дисперсии равны, а
выборки, принадлежат к генеральным совокупностям с нормальным распределением, tкритерий.
Проверка гипотезы о равенстве дисперсий по двум выборкам, принадлежащим к
генеральным совокупностям с нормальным распределением, F-критерий.
Критерии согласия. Критерий 2. Проверка гипотезы о принадлежности выборки к
равномерно распределенной генеральной совокупности. Проверка гипотезы о
принадлежности выборки к нормально распределенной генеральной совокупности.
Тема 20. Дисперсионный анализ.
Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
Общая средняя. Уровни фактора. Групповые средние. Общая, факторная и остаточная
суммы квадратов отклонений, связь между ними. Общая, факторная и остаточная
дисперсии. Сравнение факторной и остаточной дисперсии. Проверка гипотезы о равенстве
групповых средних. Случай неодинакового числа испытаний на различных уровнях.
Понятие о многофакторном дисперсионном анализе.
Тема 21. Корреляционный анализ
Основные понятия корреляционного анализа. Двумерная модель корреляционного анализа
и точная оценка её параметров: коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции.
Способы вычисления выборочных характеристик. Проверка гипотезы о значимости
выборочного коэффициента корреляции. Интервальные оценки параметров связи.
Трехмерная модель корреляционного анализа. Точечные оценки парных выборочных
коэффициентов корреляции, частных выборочных коэффициентов корреляции,
выборочных множественных (совокупных) коэффициентов корреляции и детерминации.
Проверка значимости и нахождение интервальных оценок для значимых коэффициентов.
Тема 22. Особенности статистического анализа количественных и качественных
показателей.
Статистические методы обработки эмпирических данных. Методы шкалирования при
обработке качественных признаков. Непараметрические методы оценки корреляционной
связи, коэффициенты ассоциации и контингенции. Ранговая корреляция. Выборочные
коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендала. Проверка гипотез о значимости
выборочных ранговых коэффициентов корреляции Спирмена и Кендала.
Тема 23. Регрессионный – анализ
Основные понятия регрессионного анализа. Условные средние, выборочные уравнения
регрессии, выборочные линии регрессии. Линейная модель регрессионного анализа,
требования к исходным данным. Метод наименьших квадратов. Оценка коэффициентов
регрессии методом наименьших квадратов. Дисперсии оценок параметров регрессии.
Оценка дисперсии ошибок. Прогнозирование с помощью регрессионной модели. Понятие
о нелинейной регрессии; нелинейные модели регрессии.
Тема 24. Многомерный статистический анализ
Многомерные методы оценивания и статистического сравнения. Множественный
корреляционно-регрессионный анализ, ковариационная матрица, оценки параметров
множественного корреляционного анализа, определение параметров множественной
регрессии методом наименьших квадратов, показатели качества регрессии, доверительные
интервалы и доверительные области. Понятие о кластерном и дискриминантном анализе.
Тема 25. Применение ЭВМ в многомерном статистическом анализе
Современные
пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа: электронные
таблицы, пакеты SPSS, NCSS and PASS, STATA, STATISTICA. Применение многомерных
статистических методов для обработки экспериментальных данных.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике. М.: Высшая школа. 2005.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа.
2002.
3. Дубров А.М., Мхитарян В.С., Трошин Л.Н. Многомерные статистические методы. М.:
МЭСИ, 2002.
4. Барбаумов В.Е. Ермаков В.И. Кривенцова Н. Справочник по математике для
экономистов. М.: Инфра-М . 2007.
5. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Дрофа. 2007.
6. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Теория массового обслуживания в экономической сфере.
М.: «Банки и биржи» Изд. об. «ЮНИТИ». 1998.
7. Фомин Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности.
Учебное пособие. М.: Финансы и статистика. 2000.
Дополнительная
1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика. М.: Физматлит, 2005.
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. М.: Физматлит, 2005.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся
втузов. М.: Лань. 2009 г.
4. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей.
М.: Наука. 1989.
5. Королюк В.С. и др. Справочник по теории вероятностей и математической статистике.
М.: Наука, 1985.