Всероссийский Институт Научной и Технической Информации Российской Академии Наук. Давидюк Константин Васильевич

Всероссийский Институт Научной и Технической Информации
Российской Академии Наук.
Давидюк Константин Васильевич.
Универсальная конструкция для построения множества
действительных чисел и системы подмножеств множества
натуральных чисел как счетных множеств.
Москва - 2008 г.
Регистрационный номер: №714-В 2008 от 15.08.2008г.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 - 15
2
Содержание.
1. Введение………………………………………………………………………… 3 стр.
2. Обозначения…………………………………………….……………………… 4
3. Определения и теоремы ……………………..……………………………….. 5
4. Метод деления (разбиения) отрезка [0, 1] на части ..………………............. 10
5. Понятия действительного числа и точки отрезка [0, 1], которые
соответствуют друг другу ……………………………………………………... 12
6. Допустимость построения …………………………………………………… 14
7. Модель универсальной конструкции для построения множества
действительных чисел отрезка [0, 1] как счетного множества …………… 15
8. Модель универсальной конструкции для построения системы
подмножеств множества натуральных чисел N как счетного множества …. 22
9. Теорема Кантора о несчетности чисел отрезка [0, 1] ……………………… 30
10. Анализ схемы доказательства Кантора …………………………………….. 32
11. Выводы ………………………………………………………………………… 39
12. Список используемой литературы …………………………………………... 39
13. Вопросы к работе (анкета)
…………………………………………………... 40
Регистрационный номер: №714-В 2008 от 15.08.2008г.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
2
3
1. Введение.
В этой работе приводится описание универсальной схемы для построения
множества действительных чисел (R) и системы подмножеств множества
натуральных чисел ( 2 N ) как счетных множеств. Универсальная схема, сочетает в
себе три элементарные операции:
1. Методом индукции строится множество g , которое является счетным по
построению (методом индукции строится и само множество натуральных чисел N).
Для наглядности построения g используется таблица.
2. Множество g специальным способом разбивается на классы. В результате
получается множество классов g р , которое также является счетным (разбиение
множества на классы не увеличивает мощности множества).
3. Каждому действительному числу (подмножеству множества N) ставится в
соответствие однозначным образом элемент (класс) из g р .
Универсальная схема реализована на двух моделях:
1. Метрическая модель, которая применена к точкам отрезка [0, 1].
2. Теоретико-множественная модель.
Эти модели строятся и доказываются независимо друг от друга, но имеют единую
схему построения (этим и объясняются термины универсальная схема и модель).
В конце работы приведен исчерпывающий анализ диагонального метода Кантора
в применении к действительным числам отрезка [0, 1] (теорема Кантора о
несчетности точек отрезка).
Нумерация определений, примеров, примечаний и т.д. – сквозная.
Автор будет благодарен за высланные ответы на вопросы (стр. 40) на почтовый
адрес, указанный в конце каждой страницы.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
3
4
2. Обозначения:
→
знак соответствует (имеет пределом).
[а ,b ]
отрезок с концами а и b
f , g , l
функции
аn , f n , gn , ln
последовательности

отношение подмножества
2A
система подмножеств множества А
Ø
пустое множество
2A
система подмножеств множества A
N
множество натуральных чисел
R
множество действительных чисел

объединение

отношение принадлежать
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
4
5
3. Определения и теоремы.
Определение 1. Высказыванием называется предложение, в отношении которого имеет
смысл задать вопрос: истинно оно или ложно?
Пример 1. В качестве двух высказываний рассмотрим два крылатых фразеологизма,
которые характеризуют Россию и академию:
У России две напасти:
Внизу – власть тьмы,
А на верху – тьма власти.
Понятен зов их сердобольный
И для отцов и для детей:
С фасада – храм наук свободных,
А с переулка – дом б…
Определение 2. Предикатом называется предложение с переменными, которое
становится высказыванием после подстановки вместо переменных конкретных
значений.
Пример 2. В качестве предиката рассмотрим конструкцию, которая ставит двум числам
в соответствие их сумму:
X+Y=Z
Здесь мы наблюдаем три переменных. Подставим вместо переменных такие значения,
чтобы предикат стал высказыванием:
4+5=6
Это предложение имеет смысл и, очевидно, является ложным высказыванием.
Предикаты имеют большое значение для математики, поскольку все методы, схемы,
функции, конструкции и т.д. вводятся в любую теорию именно предикатами. Когда в
доказательствах рассматривают какой-либо механизм (алгоритм, схему, операцию), то
для краткости говорят: «рассмотрим механизм», «воспользуемся механизмом» и т.д.
При детальном доказательстве обязательно указывают соответствующий предикат и
указывают его статус (аксиома, гипотеза, посылка и т.д.).
Определение 3. Функцией называется правило, которое ставит в соответствие
элементам одного множества (аргумент) элементы другого множества (значения), при
условии, что одинаковым аргументам соответствуют одинаковые значения.
Функция представляется в виде множества упорядоченных пар, где на первом месте
пары стоит аргумент функции, а на втором – значение функции для этого аргумента.
Как видно из определения, порядок элементов в упорядоченной паре имеет значение
(именно поэтому пары называются упорядоченными).
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
5
6
Пример 3. F = {[1, 2], [3, 4], [5, 6]}, здесь числа 1, 3, 5 – аргументы и 2, 4, 6 – значения
функции F.
В фигурные скобки заключаются элементы множества порядок которых для нас
безразличен (неупорядоченное множество), в квадратные скобки заключаются
аргумент и значение функции (упорядоченная пара), порядок которых для нас имеет
значение, так как на первом месте стоит аргумент, а на втором – значение для этого
аргумента (значение, которое соответствует этому аргументу при заданном правиле
соответствия F). На первом и втором месте упорядоченной пары могут стоять не только
элементы множества, но и сами множества. Проще говоря, в качестве аргументов и
значений функции могут выступать объекты любой природы. Если в качестве
аргумента рассмотреть пары чисел, то получим функцию от двух переменных.
Пример 4. Рассмотрим функцию, у которой в качестве аргумента рассматриваются
пары чисел, а в качестве значений – их разность:
X и Y ставим в соответствие Z = X – Y.
Как видно из примера, порядок среди чисел пары, образующей аргумент, имеет
значение. Записывают это так:
[[X, Y], Z] или то же самое [[X, Y], X – Y]
Чтобы не писать лишних скобок, принята следующая запись, которая называется
упорядоченной тройкой:
[X, Y, Z]
Из этой упорядоченной тройки легко восстановить упорядоченную пару, и – обратно.
В этой работе будут рассматриваться функции одного и двух аргументов.
Определение 4. Последовательностью называется функция, аргументами которой
являются натуральные числа.
Из определения следует, что последовательности бывают двух типов: конечные
(количество аргументов образует конечное множество) и бесконечные (количество
аргументов образует бесконечное множество).
Пример 5.
Конечная последовательность
F = {[1, 1], [2, 0], [3, 0]}
Бесконечная последовательность:
F = {[1, а 1 ], [2, а 2 ], … [n, а n ], …}, где индекс означает, что а n соответствует числу n.
Конечные и бесконечные последовательности обычно записывают соответственно:
а 1 , … а n (в этом случае говорят, что последовательность имеет длину n);
а 1 , … а n , … или а 1 , а 2 , …
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
6
7
Определение 5. Характеристической функцией множества A называется функция,
которая для любого элемента принимает значение 1 или 0 в зависимости от того
принадлежит или не принадлежит этот элемент множеству А.
В таком случае часто говорят, что характеристическая функция представляет
(характеризует) множество А.
Пример 6. Рассмотрим множество N 3 = {1, 2, 3}. Его подмножествами будут
Ø , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}.
Каждому подмножеству однозначным образом соответствует характеристическая
функция, которое она представляет:
{1, 2} соответствует функция F 1, 2 = {[1, 1], [2, 1], [3, 0]},
{1} соответствует функция F 1 = {[1, 1], [2, 0], [3, 0]} и т.д.
Определение 6. Множество А называется пределом для последовательности
множеств А n если для любого элемента а множества А существует такое А n , что
а принадлежит А n и для любого n выполняется условие: А n  А n 1 .
В работе будут рассматриваться последовательности множеств, удовлетворяющих
правилу включения, т.е. А n
 А n 1 , и пределы таких последовательностей. Из
определения видно, что предел А последовательности множеств А n есть не что иное
как результат операции теоретико-множественного объединения всех членов
последовательности: А1  А2 … В литературе так определенный предел часто
называют пределом по Хаусдорфу в честь математика Хаусдорфа.
Определение 7. Бесконечное множество S называется счетным, если существует
возможность установить взаимно-однозначное соответствие между его элементами и
множеством натуральных чисел N.
Если множество S является счетным, то для краткости говорят, что его элементы
можно занумеровать (выстроить в ряд). Термин «существует» выделен курсивом, так
как в большинстве случаев удается лишь доказать существование такой функции, а
этого для практики вполне достаточно. Указание конкретной функции часто бывает
затруднительным. В таких случаях (для установления свойства счетности) используют
другие методы. Укажем наиболее распространенные из них. Первый способ состоит в
построении множества S методом индукции, который состоит из базы индукции и шага
индукции (метод построения множества S как счетного множества). Ввиду важности
этого способа рассмотрим следующий пример.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
7
8
Пример 7. Пусть элемент с 1 принадлежит множеству С и является его единственным
элементом (база индукции), тогда элемент с 2 , получающийся из элемента с 1 с
помощью фиксированной операции (скажем, возведения в степень), можно добавить в
множество С. В результате С будет содержать два элемента с 1 и с 2 . Здесь шаг
индукции состоит из возведения в степень и добавления результата в множество С.
Затем из с 2 той же операцией получаем элемент с 3 и добавляем его в множество С и
т.д. Надо отметить особо, что методом индукции впервые вводится множество
натуральных чисел в теории множеств (аксиома о натуральных числах).
Пример 8. Множество N есть счетное по индуктивному построению: 0 принадлежит
этому множеству (база индукции); если число k принадлежит N, то k + 1также
принадлежит N (шаг индукции).
Метод индукции может состоять в простом добавлении к множеству С, содержащим
один элемент (несколько элементов), элемента, не принадлежащему этому множеству.
Для этого берем множество, содержащее один элемент и по умолчанию присваиваем
номер равный 1. Затем берем другой элемент, присваиваем ему номер 2 и добавляем в
множество С (в результате получается множество из двух элементов); затем берем еще
один элемент (отличный от предшествующих) – третий и т.д. Можно добавлять по два
элемента (по три и т.д.): сначала их нумеруем, а затем добавляем. Продолжая
неограниченно процесс добавления, мы придем к бесконечному множеству С, каждый
элемент которого будет иметь номер (соответствовать натуральному числу
однозначным образом). Это множество будет счетным. Важно отметить одно
обстоятельство. Можно добавлять элементы, не нумеруя их. Тогда результатом будет
также счетное множество (по построению), но будет невозможным определить номер у
произвольно взятого элемента из множества С, так как они не нумеровались.
Второй способ состоит в разбиении счетного множества на классы (см. ниже
определение 9, пример 10).
Из сказанного выше следует, что при существовании взаимно-однозначной функции,
она может быть как указана, так и не указана. Зачастую на практике удается установить
счетность, исходя из метода, которым было получено исследуемое множество. Надо
помнить, что множество натуральных чисел построено по индукции, а уже потом
является эталоном для установления счетности. Первичным критерием счетности
является конструктивный метод построения, так как эталон счетности N появляется в
результате построения по индукции.
Если множество конечно или счетное, то для краткости говорят, что это множество
не более чем счетное.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
8
9
Определение 8. Функция f называется пределом для последовательности функций
f n если f является пределом для f n , рассматриваемых как множества.
В таком случае еще говорят, что последовательность функций f n сходится
(приближает) к f . f n называют n-ым приближением функции f , а число n –
степенью приближения. При обозначении последовательности индекс n может
располагаться также сверху – f n . Если последовательность функций f n удовлетворяет
свойству включения ( f n
 f n1 ), то пределом будет множество f , которое также
будет функцией. Действительно, если взять любые две упорядоченные пары (элементы
множества f ), то найдется такой номер n, что эти пары будут принадлежать f n .
Значит, если у этих пар совпадают первые элементы (аргументы), то (по определению
функции и того, что f n – функция) должны совпасть и вторые элементы (значения).
Отсюда следует, что множество f является функцией.
Определение 9. Результатом разбиения множества G на классы называется
множество G р , если оно удовлетворяет следующим требованиям:
a). элементами множества G р являются подмножества множества G;
b). элементы множества G р , рассматриваемые как множества, не имеют общих
элементов;
с). любой элемент множества G принадлежит некоторому множеству из G р .
Из определения видно, что разбиение – это механизм, с помощью которого каждому
множеству ставится в соответствие другое множество, элементами которого являются
множества (в таком случае говорят: система множеств, избегая термин множество
множеств). При использовании механизма разбиения часто употребляют следующие
эквивалентные термины: разбиение множества на подмножества, разбиение
множества на классы. Об элементах a и b множества G говорят, что они попадают в
один класс (эквивалентны), если эти элементы принадлежат одному из множеств G р :
a, b  J, где J  G р (J является подмножеством множества G).
Пример 9. Рассмотрим множество N 5 = {1, 2, 3, 4, 5}. Разбиением этого множества
(результатом разбиения) будет, например, N р = {{1, 2}, {3, 4}, {5}} или N р' = {{1, 2, 3,
4}, {5}}. Из определения и примера видно, что существует много способов разбиения
заданного множества на подмножества. Из метода разбиения следует, что у множества
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
9
10
G р количество элементов не более чем у множества G, так как при разбиении один,
два и более элементов множества G образуют один элемент множества G р .
Пример 10. Рассмотрим множество натуральных чисел N. Произведем разбиение этого
множества на классы по следующему правилу: два элемента принадлежат одному
классу, если они образованы (как произведения) одинаковым набором простых чисел.
В результате мы получим некое множество N р , которое будет бесконечным. В этом
примере замечательное то обстоятельство, что для данного разбиения существует
много способов нумерации элементов множества N р и для этого разбиения они
равнозначны, т.е. из метода разбиения не следует прямо конкретная взаимнооднозначная функция, устанавливающая нужное соответствие.
Теорема 1. Предел В последовательности В n конечных множеств есть множество,
которое конечно или счетное (не более чем счетное).
Доказательство. Пусть нам дана последовательность В n конечных множеств. Из
определения предела следует, что рассматриваемая последовательность для любого n
удовлетворяет правилу включения, т.е. В n
 В n1 . Рассмотрим два варианта. Первый
вариант получается, когда В n и В n1 отличаются одним элементом. Второй вариант –
когда эти множества отличаются более чем одним элементом – скажем m элементами.
В любом случае можно сказать, что множество В n1 получилось из множества В n
добавлением этих m элементов по одному. Тогда множество В получается как
результат последовательного добавления по одному элементу в исходное (базовое)
множество В 1 , т.е. как результат индуктивного построения. Отсюда следует счетность
множества В по построению.
4. Метод деления (разбиения) отрезка [0, 1] на части.
Обозначение отрезка и упорядоченной пары с помощью квадратных скобок не
приведет к путанице, так как во время построения всегда можно определить, о чем идет
речь.
Рассмотрим отрезок [0, 1] и любую точку r на нем (принадлежащую ему). Разделим
отрезок на 2 равные части. Можно разделить этот отрезок и на другое число n равных
(неравных) частей, но для построений, которые будут произведены ниже, выбрано
число 2. В результате получим два отрезка:
[0, 1/2], [1/2, 1].
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
10
11
Если точка r принадлежит двум из получившихся отрезков (r – точка деления), то
возьмем тот из них, который лежит слева. Можно взять отрезок справа, но для
определенности будет браться всегда левый отрезок (в этом случае точка r будет
правым концом отрезка). В противном случае – r не является точкой деления – берем
тот отрезок, который содержит точку r. Снова делим выбранный отрезок на две равные
части; получается один из двух вариантов: либо точка r принадлежит двум из
получившихся отрезков и тогда берется левый отрезок, либо – r не является точкой
деления – берется тот отрезок, который содержит точку r. Исключением является точка
0: для всех выбираемых отрезков она является левым концом. При неограниченном
продолжении процесса деления, получается бесконечная последовательность, каждый
отрезок которой будет содержать точку r:
[ а 0 , b 0 ], … [ а n , b n ], …
где n означает номер этапа разбиения. Из метода деления и построения
последовательности видно, что последовательность отрезков является вложенной:
[ аn , bn ]
 [ а n1 , b n1 ].
Длинна отрезка [ а n , b n ] равна 1/ 2 n и стремится к нулю при неограниченном
увеличении числа n. Отсюда следует, что точка r является единственной общей для
всех отрезков этой последовательности. Если взять пересечение всех отрезков
последовательности (отрезок является множеством), то получится отрезок [r, r].
Определим его как предел последовательности отрезков [ а n , b n ] при неограниченном
увеличении n. Очевидно, что так определенный предел является результатом
пересечения всех отрезков последовательности. В этом случае мы будем говорить, что
точка r и последовательность соответствуют друг другу. Из построения видно, что
между точками отрезка [0, 1] и последовательностями вложенных отрезков,
получающихся в результате последовательного деления единичного отрезка на число 2,
существует взаимно-однозначное соответствие. Если использовать другие методы
деления отрезка (скажем, на любое другое целое n), то для точки r можно построить
другие последовательности вложенных отрезков, которым эта точка будет
соответствовать. В этой работе используется метод деления на число 2. Построенную
для точки r соответствующую сходящуюся последовательность вложенных отрезков,
пределом которой является отрезок [r, r], будем для краткости называть
соответствующей последовательностью вложенных отрезков или соответствующей
последовательностью.
Множество всех соответствующих последовательностей, которые получаются в
результате применения указанного выше построения для точек отрезка [0, 1], делится
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
11
12
на два типа. К первому типу относятся такие последовательности, у которых,
начиная с некоторого номера m, все правые концы отрезков совпадают:
[ а 0 , b 0 ], … [ а m , b m ], …, где b m = b n для n ≥ m (помним, точка 0 – исключение)
Ко второму типу относятся последовательности, которые не обладают таким
свойством, т.е. для любого n существует такое k, что отрезок [ а nk , b nk ] целиком
содержится в [ а n , b n ]:
[ а nk , b nk ]
 [ а n , b n ], где а n ≠ а nk , b n ≠ b nk .
Если взять точку и соответствующую ей последовательность отрезков, то левые и
правые концы отрезков являются рациональными числами. Эти числа можно
расценивать как последовательность рациональных чисел, сходящуюся к числу r справа
или слева:
последовательность левых концов а 0 , … а n , … устремляется к точке r слева,
последовательность правых концов b 0 , … b n , … устремляется к точке r справа.
Будем также говорить, что точка r и эти последовательности соответствуют друг
другу. Произвольной точке r отрезка [0, 1] соответствуют либо две последовательности
рациональных чисел (сходящиеся к ней справа и слева), либо последовательность
отрезков. Как видно из метода деления, это соответствие является взаимнооднозначным.
Исходя из изложенного, для метода деления безразлично, какую точку отрезка
выбрать для построения соответствующей ей последовательности. В этом и состоит
общность метода деления. В таком случае говорят, что точки отрезка равноправны по
отношению к методу деления.
5. Понятия действительного числа и точки отрезка [0, 1], которые
соответствуют друг другу.
Действительные числа вводятся в современной математике двумя способами:
алгебраическим и геометрическим. Понятию действительного числа предшествует
понятие фундаментальной последовательности.
Определение 10. Бесконечная последовательность рациональных чисел а 1 , а 2 , …
называется фундаментальной, если для любого натурального числа t найдется такое
натуральное s, что выполняется условие:
абсолютная величина разности а n – а m меньше 1/t для любых m и n, где m, n ≥ s.
Пример 11. Последовательности а n = 1/n b n = 4/n являются фундаментальными.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
12
13
Из определения видно, что любая фундаментальная последовательность
рациональных чисел имеет предел. Обратно, любая сходящаяся последовательность
удовлетворяет свойству фундаментальности.
Определение 11. Две фундаментальные последовательности а n и b n называются
эквивалентными, если выполняется следующее условие:
разность а n – b n стремится к нулю при стремлении n к бесконечности.
Пример 12. Последовательности а n = 1/n b n = 4/n являются эквивалентными.
При построении множества действительных чисел из множества рациональных чисел
применяют последовательно следующие операции:
1. Строится множество G всех фундаментальных последовательностей рациональных
чисел (всех последовательностей, которые являются фундаментальными).
2. Производится разбиение на классы множества G по признаку эквивалентности.
3. Каждый класс рассматривается как действительное число.
Это чисто алгебраический подход. Рассмотрим геометрический подход для точек
отрезка [0, 1].
Понятие действительного числа неразрывно связано с понятием деления отрезка.
Результатом деления отрезка и построением последовательности вложенных отрезков
является точка r (отрезок [r, r]). Произведем разделение между понятиями точки и
соответствующего ей действительного числа. Точка r отрезка – физическая величина.
В результате неограниченного деления отрезка на фиксированное натуральное число n
получается соответствующая точке последовательность отрезков. Разным натуральным
числам соответствуют разные последовательности отрезков, сходящиеся к этой точке.
Множество (класс) g всех таких последовательностей называют действительным
числом. В таком случае говорят, что действительное число g соответствует точке и –
наоборот. Именно как классы сходящихся последовательностей вложенных отрезков
появляются впервые в математике действительные числа. Более коротко, точка r –
величина физическая, а действительное число g – величина абстрактная (множество).
Знание этого позволяет избежать многих проблем при применении теорий на практике.
В зависимости от практической ситуации для метода деления выбирают конкретное
натуральное число (в этой работе – число 2). При таком выборе каждой точке r отрезка
соответствует единственная последовательность вложенных отрезков, и – наоборот. В
этом случае класс g содержит одну последовательность.
Рассмотрение последовательности отрезков, сходящихся к точке, предпочтительнее
рассмотрению для этой точки соответствующей ей последовательности рациональных
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
13
14
чисел по следующим причинам. Пусть точке r соответствуют две
последовательности, которые сходятся к ней справа и слева (стр. 12):
а0 , … аn , …
b0 , … bn , …
Дальше для наглядности берется произвольное число, например 1/5. Числу 1/5 (0,2)
соответствует некоторая точка отрезка. Построим последовательность вложенных
отрезков, соответствующих этой точке:
[0; 1], [0; 0,5], [0; 0,25], [0,125; 0,25], [0,1875; 0,25], [0,1875; 0,21875],
[0,203125; 0,21875], [0,203125; 0,210938], [0,203125; 0,207032] и т.д.
Отсюда получаются следующие последовательности слева и справа:
0; 0; 0; 0,125; 0,1875;0,1875; 0,203125; 0,203125; 0,203125 и т.д. – слева,
1; 0,5; 0,25; 0,25; 0,25; 0,21875; 0,21875; 0,210938; 0,207032 и т.д. – справа.
На основе любой из этих последовательностей строится запись числа 1/5 (0,2):
0,20…
0,20…
Как видно из записей, полученных из левых и правых последовательностей, они
совпадают. Таким образом, двум разным последовательностям, сходящимся к точке
слева и справа, соответствует одна запись. Глядя на саму запись 0,20…, невозможно
определить, какой из двух последовательностей она соответствует. Записи могут и не
совпадать. Например, записи, соответствующие числу 0,3:
0,29999…
0,30000…
Эти моменты будут очень полезны при рассмотрении диагонального метода Кантора,
поскольку доказательство Кантора основывается именно на записях чисел (стр. 30).
6. Допустимость построения.
Рассмотрим пустую таблицу с произвольным числом строк и столбцов (конечным
или бесконечным). На пересечении любой строки и любого столбца находится ячейка,
в которую ставится какой-нибудь объект. Эта операция называется заполнением ячеек
таблицы. Каждая ячейка в заполненной таблице характеризуется следующими тремя
объектами: номерами строки и столбца (на пересечении которых стоит ячейка), объект,
который стоит в этой ячейке. Любой ячейке таблицы можно поставить в соответствие
упорядоченную тройку элементов [n, m, a n,m ], где на первом месте стоит номер строки,
на втором – номер столбца, на третьем – объект a n,m . В каждой ячейке таблицы (по
заполнению) стоит всего один объект, значит, любым двум натуральным числам n и m
Контакты автора: [email protected] Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
14
15
соответствует единственным образом объект a n,m , находящийся на пересечении
строки и столбца с номерами n и m. Таким образом, множество F всех троек [n, m, a n,m ]
для таблицы, является функцией двух натуральных аргументов. Каждой таблице
можно поставить в соответствие функцию F от дух аргументов, и – наоборот. Исходя из
этого свойства, можно – для наглядности – при построении функции от двух
аргументов использовать метод заполнения ячеек таблицы. В этом и заключается
понятие термина допустимость построения.
Множество ячеек таблицы счетное (их можно пересчитать по диагонали). Значит,
функция F от двух аргументов, которой однозначным образом соответствует некоторая
таблица, также будет счетной (функция рассматривается как множество). Если
произвести разбиение ячеек таблицы (функции) на классы по признаку нахождения
ячеек в одной строке (равенство первых элементов упорядоченной тройки), то в
результате получится некоторое множество F р , которое также будет счетным.
7. Модель универсальной конструкции для построения множества
действительных чисел отрезка [0, 1] как счетного множества.
Построению предшествует два простых замечания, которые вскрывают основную
идею доказательства и упрощают его понимание.
Примечание 1.
Рассмотрим любую точку r отрезка [0, 1]. Методом деления на число 2 построим
соответствующую ему последовательность:
[ а 0 , b 0 ], … [ а n , b n ], …
Для любого n возьмем n-ое приближение (первые n+1 членов последовательности):
[ а 0 , b 0 ], … [ а n , b n ],
Если взять любую точку t отрезка [ а n , b n ], отличную от а n , то она также будет точкой
отрезка [0, 1]. Из местонахождения точки t и метода построения последовательности
следует, что n-ые приближения для точек t и r совпадают. Равенство последующих n+1ых членов соответствующих им последовательностей будет выполнено в том случае,
если при делении отрезка [ а n , b n ] на число 2 (с учетом построения) точки t и r будут
принадлежать одному из выбранных отрезков. В противном случае n+1-ые члены
(отрезки) будут различны. С этой точки зрения можно рассматривать n-ое приближение
как заготовку для точки r. На n+1-ом этапе построения последовательности заготовка
уточнится (приблизится на один шаг к своему изделию), а в пределе – перейдет в
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
15
16
изделие [ а 0 , b 0 ], … [ а n , b n ], …, определяющее однозначно точку r. Все точки
отрезка [0, 1] на нулевом этапе имеют одинаковые заготовки (начальный отрезок [0, 1]).
Дальнейшее совпадение заготовок для любых, взятых наперед точек, зависит от того
как точки расположены по отношению друг к другу. Для любых двух различных точек
отрезка существует такое минимальное n, что n+1-ые члены соответствующих
последовательностей будут различными, т.е. существует такое n+1, что заготовки для
этих точек на n+1-ом этапе будут различными.
Примечание 2.
Каждая последовательность вложенных отрезков, которая получается в результате
неограниченного деления отрезка [0, 1] на число 2, имеет своим пределом некоторый
отрезок [r, r] (сходится к точке r). Между таким последовательностями и точками
отрезка [0, 1] существует взаимно-однозначное соответствие. Ниже доказывается
счетность множества этих последовательностей. Это, в свою очередь, будет означать
счетность множества точек отрезка [0, 1]. Идея доказательства состоит в том, чтобы
построить множество таких последовательностей как счетное множество. Построение
заключается в том, чтобы на каждом новом этапе n вводить заготовки и вместе с тем
устремлять ранее введенные заготовки к их изделиям. Прейдем непосредственно к
самому построению.
Построение 1.
Рассмотрим бесконечную таблицу с незаполненными ячейками. Заполняя ячейки
таблицы отрезками, заключенными между 0 и 1 включительно, построим функцию g,
которая будет соответствовать этой таблице, (см. таблицу № 1). Строки и столбцы
таблицы здесь будем называть в соответствии с натуральным числом, которым они
начинаются (для удобства индексации).
Таблица № 1.
№
0
1
2
...
1
[0, 1]
[0, 1/2]
[0, 1/4]
...
2
[0, 1]
[1/2, 1]
[2/4, 3/4]
…
3
[0, 1]
[0, 1/2]
[1/4, 2/4]
…
4
[0, 1]
[1/2, 1]
[3/4, 4/4]
…
:
:
:
На начальном нулевом этапе поставим отрезок [0, 1] на пересечении нулевого
столбца и первой строки. На первом этапе разобьем отрезок [0, 1] на два равных
отрезка и на пересечении 0-го столбца и 2-ой строки поставим снова отрезок [0, 1].
На пресечении 1-го столбца и первых двух строк разместим полученные разбиением
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
16
17
отрезки так, чтобы отрезок из 1-го столбца целиком содержался в отрезке из 0-го
столбца, если они находятся в одной строке (см. таблицу № 2). И т.д. Вообще, n-ый
этап состоит в следующем. На n-1-ом этапе заполнены все столбцы до n-1-го
включительно и 2 n1 строк. Копируем элементы ячеек, находящиеся на пересечение
этих столбцов и 2 n1 первых строк, в пустые ячейки, находящиеся на пресечении
этих же столбцов и 2 n1 следующих незаполненных строк (см. таблицу № 2). Подругому говоря, вводим 2 n1 заготовок. Пустые ячейки, образованные n-ым
столбцом и 2 n первыми строками, заполняем отрезками, полученными в результате
деления отрезка [0, 1] на 2 n равных отрезков, так, чтобы отрезок из n-го столбца
содержался целиком в отрезке n-1-го столбца, если они находятся в одной строке.
По-другому говоря, приближаемся на один шаг к изделию. Из построения видно,
что таблица строится так, чтобы не пропустить ни одного n-го приближения
(заготовки). На n-ом этапе построения таблицы строки представляют все
возможные n-ые приближения точек отрезка [0, 1], т.е. построение не упускает ни
одной точки этого отрезка.
На нулевом этапе получаем 0-ое приближение функции g : g 0 = ([1; 0; [0, 1]]) –
одноэлементное множество, содержащее упорядоченную тройку из чисел 1, 0 и
отрезка. На первом этапе – 1-ое приближение g : g 1 = ([1; 0; [0, 1]], [1; 1; [0, 1/2]],
[2; 0; [0, 1]], [2; 1; [1/2, 1]]) – четыре упорядоченные тройки. И т.д. Квадратными
скобками выделяется как отрезок, так и упорядоченная тройка, но это не приводит к
недоразумению, поскольку из контекста видно, что именно подразумевается. В
результате получаем последовательность функций (последовательность конечных
множеств):
g 0 , g 1 , …,
которая имеет в качестве предела функцию g . Как видно из построения, таблица
(функция g ) получается в результате предельного перехода по числу n. На каждом
этапе n число столбцов равно n+1, а число строк равно 2 n . Таким образом,
построение осуществляется в двух направлениях: качественном (по числу столбцов)
и количественном (по числу строк). В результате предельного перехода по n
количество столбцов становится бесконечным (заканчивается построение
последовательностей вложенных отрезков – заготовки становится изделиями).
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
17
18
Рассмотрим подробнее получившуюся таблицу (множество g ). В результате
построения у нее заполнены все ячейки. Строки и столбцы таблицы представляют
собой бесконечные последовательности отрезков. Дальше будут рассматриваться
только строки. Рассмотрим любую строку. Если рассматривать строго, то строка
представляет собой множество упорядоченных троек:
[m, 0, [ а 0 , b 0 ]], … [m, n, [ а n , b n ]], …
Первый элемент тройки является фиксированным числом. Второй элемент является
номером столбца. Каждому номеру столбца в этой строке соответствует отрезок.
Таким образом, можно рассматривать строку как последовательность вложенных
отрезков:
[ а 0 , b 0 ], … [ а n , b n ], …
В этом случае будем говорить, что этой последовательности соответствует строка в
таблице.
При построении последовательности отрезков соответствующей произвольной
точке r отрезка [0, 1], нас не интересовали другие точки этого отрезка. Выберем
произвольное количество точек на этом отрезке. Используя свойство общности
метода деления для любой точки этого отрезка (стр. 10 – 12), этим точкам можно
одновременно строить соответствующие последовательности вложенных отрезков.
А можно строить последовательности одновременно сразу для всех точек отрезка
[0, 1]. Как видно из метода деления и заполнения ячеек таблицы (множества g ),
построение относится сразу ко всем точкам отрезка: на каждом этапе после
операции деления любая точка r отрезка [0, 1] принадлежит двум отрезкам, если она
является точкой деления, и принадлежит одному из получившихся отрезков – в
противном случае. Это означает, что для любой точки r отрезка [0, 1] при
построении таблицы строится соответствующая ей последовательность вложенных
отрезков.
Дальше, для простоты, будет идти речь о ячейках таблицы. Это не ограничивает
общности, так как всегда можно заменить в рассуждении ячейку таблицы
упорядоченной тройкой, и – наоборот (стр. 14). Разобьем функцию g на классы:
две ячейки принадлежат одному классу, если они находятся в одной строке. Из
такого разбиения следует, что классами являются бесконечные строки (множество
ячеек, лежащих в одной строке и только они). Результат разбиения обозначим через
g Р . Каждому классу соответствует его предел – отрезок, содержащий
единственную точку. Разные классы представляют разные строки, а разные строки
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
18
19
по построению отличаются друг от друга, начиная с некоторого номера n. Поэтому
разным классам соответствуют разные пределы. Таким образом, между классами
множества g Р и точками отрезка [0, 1] установлено взаимно-однозначное
соответствие.
Примечание 3.
Исходя из метода построения таблицы (множества g ) следует, что таблица не
пустая, содержит не менее одной строки и каждая строка представляет собой
последовательность вложенных отрезков, сходящуюся к некоторой точке r (пределу
[r, r]). Возьмем из таблицы любую строку; пусть она соответствует точке r. Берем
любую другую точку t отрезка [0, 1], отличную от r. При построении таблицы метод
деления относится ко всем точкам этого отрезка. Для метода деления все точки
отрезка равноправны (стр. 12), в том числе и для точек r и t. Отсюда следует, что
если таблица содержит строку для точки r, то она должна содержать строку и для
точки t. Поскольку точка t была выбрана произвольно, то это означает, что для
каждой точки t отрезка [0, 1] найдется соответствующая строка в таблице. Этот
результат можно также получить методом от противного (см. примечание 4).
Примечание 4.
Можно было для простоты доказательства исключить примечания (1, 2), ряд
построений и воспользоваться методом от противного в доказательстве того, что
каждой точке r отрезка [0, 1] соответствует строка в таблице (элемент из g Р ). На
взгляд автора такое доказательство не имело бы конструктивной ценности. Тем не
менее, рассмотрим его.
Допустим, что существует точка r такая, что для нее нет соответствующего класса
в g Р (нет соответствующей строки в таблице). Методом деления построим для
точки r соответствующую последовательность:
[ а 0 , b 0 ], [ а 1 , b 1 ], …
Тогда, в силу метода построения таблицы и последовательности, существует такой
номер n у этой последовательности, что ее n-ое приближение [ а 0 , b 0 ], … [ а n , b n ]
не содержится в множестве g n в качестве строки. По-другому говоря, n-ому
приближению точки r не соответствует ни одна строка таблицы на n-ом этапе
построения. А это противоречит методу заполнения таблицы, где на каждом этапе n
располагаются построчно все возможные конечные комбинации вложенных
отрезков, т.е. все n-ые приближения для любой точки отрезка [0, 1] (все n-ые
заготовки).
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
19
20
Ввиду важности построения 1 рассмотрим его с геометрической точки зрения.
Геометрической интерпретации предпошлем простые построения.
Рассмотрим вкратце построения, произведенные выше. Сначала методом
индукции ( g 0 – база индукции, переход от g n1 к g n – шаг индукции) строится
множество g . Затем множество g разбивается на классы, получаем g Р . Ставим в
соответствие каждому классу результат пересечения всех элементов этого класса и
обозначим через А Р получившееся при таком соответствии множество. Теперь, для
наглядности, занумеруем указанную выше последовательность операций:
1. Строим последовательность g n .
2. Переходим к пределу по n (получаем g ).
3. Разбиваем g на классы и получаем g Р .
4. Каждому классу из g Р ставим в соответствие элемент из А Р .
Эти операции независимы и результатом их последовательного применения
является множество А Р . Но это множество можно было получить как результат
одновременного применения этих независимых операций. Рассмотрим этот процесс.
Разбиение множества g на классы порождает (индуцирует) разбиение и на
множестве элементов последовательности g 0 , g 1 , … Получается новая
последовательность: g Р0 , g Р1 , … Из разбиения видно, что элементами g Рn являются
конечные последовательности вложенных отрезков длинны n, которые лежат в
одной строке. Далее, соответствие каждому бесконечному классу множества g Р его
предела (результата пересечения) порождает соответствие между конечным классом
из множества g рn и пересечением элементов этого класса, т.е. конечной
последовательности соответствует ее последний член. Обозначим получившееся
множество при таком соответствии через Аn . Итак, результатом одновременного
применения четырех независимых операций, указанных выше (см. п. 1 – 4), будут:
1. Последовательность А 0 , А1 , …:
А 0 = {[0, 1]},
А 1 = {[0, 1/2], [1/2, 1]},
А2 ={[0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 4/4]},
Аn = ([0, 1/ 2 n ]; … [( 2 n -1)/ 2 n , 1]) и т.д.
2. Множество А Р :
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
20
21
А Р = {[ а , а ], [ b , b ], …}, где а , b , … принадлежат отрезку [0, 1]
При таком построении последовательности А 0 , А1 , … будет соответствовать
множество А Р . Определим это соответствие как новый способ предельного перехода
от последовательности А 0 , А1 , … к множеству А Р . Одно из свойств такого
предельного перехода (по построению этого предела) – это счетность предельного
множества А Р при конечных множествах А 0 , А1 ,… В таких обозначениях и новом
способе предельного перехода приведенные выше построения выглядят намного
проще. Приведем их полностью.
Геометрическая интерпретация.
Возьмем любое натуральное число n большее 0 и 1. Пусть это будет число 2.
Схема подходит для любого натурального числа: достаточно вместо числа 2
подставить любое другое натуральное число большее 0 и 1. Далее, разобьем отрезок
на две равные части. Каждый из получившихся отрезков снова разобьем на 2 части
и т.д. В результате получим следующую последовательность множеств :
А1 = ([0, 1/2]; [1/2, 1]) – 1-ый этап,
А2 = ([0, 1/4]; [1/4, 2/4]; [2/4, 3/4]; [3/4, 1]) – 2-ой этап,
:
Аn = ([0, 1/ 2 n ]; … [( 2 n -1)/ 2 n , 1]) – n-ый этап
и т.д.
Обозначим через Ар результат предельного перехода по n.
Рассмотрим отрезок [m/ 2 n , (m +1)/ 2 n ] для любого m, где 0 ≤ m ≤ 2 n -1. Этот
отрезок удовлетворяет следующим условиям:
1. При стремлении n к бесконечности концы отрезка имеют пределом одно и то
же действительное число x (отрезок стягивается в точку).
2. Длина этого отрезка стремится к 0, при стремлении n к бесконечности.
Если устремить n к бесконечности, то отрезок [m/ 2 n , (m+1)/ 2 n ] будет иметь своим
пределом отрезок типа [x, x], где число x лежит между 0 и 1 (0≤ x ≤1) по
построению. С другой стороны, для любого x (0≤ x ≤1) каждый отрезок типа [x, x]
будет результатом стягивания концов одного из отрезков в построении, так как на
каждом этапе n система отрезков Аn полностью покрывает отрезок [0, 1]:
[0, 1/ 2 n ]  …  [( 2 n -1)/ 2 n , 1] = [0, 1].
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
21
22
Итак, результатом предельного перехода будет множество Ар отрезков типа [x, x]
длины 0 для любого x (0≤ x ≤1). На каждом этапе n множество Аn имеет 2 n
элементов (множество конечно), значит, множество Ар , как предел
последовательности конечных множеств, не более чем счетное (счетное). Далее,
отрезку [x, x] можно поставить в соответствие число x. Для этого надо взять
функцию F: [x, x] → x. Функция F устанавливает взаимно-однозначное
соответствие между счетным множеством Ар и действительными числами отрезка
[0, 1]. А это, в свою очередь, означает счетность множества действительных чисел.
8. Модель универсальной конструкции для построения системы
подмножеств множества натуральных чисел N как счетного множества.
Предварительно надо отметить, что все построения аналогичны построениям
приведенным выше. Это естественно, поскольку рассматривается одна и та же идея
построения для объектов различной природы. Выше рассматривалась метрическая
интерпретация (модель), а здесь будет рассмотрена теоретико-множественная
интерпретация.
Как и выше, доказательству предшествуют два замечания.
Примечание 5.
Каждому подмножеству множества натуральных чисел соответствует единственным
образом его характеристическая функция (стр. 7). Значит, между системой
подмножеств множества натуральных чисел и множеством D этих характеристических
функций существует взаимно-однозначное соответствие. Поэтому достаточно
построить множество D характеристических функций как счетное множество. Для
наглядности построения считается, что натуральные числа располагаются в порядке
возрастания. Каждая характеристическая функция f s , характеризующая подмножество
S натуральных чисел (S  N), представляет собой последовательность.
Пример 13. Множеству S = {0, 1, 2} соответствует следующая функция:
f s = {[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 0], [4, 0], … [n, 0], …},
начиная с числа 3 (включительно), функция f s принимает значения 0, поскольку эти
числа (3, 4, ….) не принадлежат множеству S.
Если выписать вторые элементы пары в ряд и воспользоваться тем, что натуральные
числа располагаются по порядку, то функцию f s можно представить так:
1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, …
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
22
23
Каждой функции однозначным образом соответствует такой ряд чисел 0 и 1
(функция представляется этим рядом). Вообще, любая бесконечная
последовательность чисел 0 и 1 в нашем рассмотрении представляет (соответствует)
некоторое подмножество S множества натуральных чисел N.
Пример 13. Рассмотрим последовательность, где числа 0 и 1 чередуются через раз:
1, 0, 1, 0, 1, 0, …
Этой последовательности соответствует функция f H :
f H = {[0, 1], [1, 0], [2, 1], [3, 0], [4, 1], … [2n-1, 0], [2n, 1], …},
и, как следствие, множество H :
H = {0, 2, 4, 6, 8, …}.
Это будет множество всех четных натуральных чисел.
Каждому n-ому приближению характеристической функции f соответствует
конечный ряд чисел 0 и 1, и, как следствие, конечное множество.
Пример 14. Рассмотрим функцию f H из предыдущего примера. Этой функции
соответствует последовательность ее n-ых приближений:
f H0 , f H1 , …
Функции f 2Hn соответствует множество H 2n = {0, 2, 4, … 2n}, т.е. множество всех
четных чисел меньших или равных 2n. Последовательность функций f Hn порождает
последовательность конечных множеств H n , которая, очевидно, имеет своим пределом
(сходится) множество H (стр. 7). Если множество H конечное, то, начиная с
некоторого номера n, все члены последовательности H n будут равны.
Ниже будут заполняться ячейки таблицы числами 0 и 1, а произвольная строка будет
рассматриваться как ряд значений характеристической функции. В этом смысле
говориться, что характеристической функции (ее n-ому приближению) соответствует
строка в таблице, а строка представляет характеристическую функцию (ее n-ое
приближение).
Рассмотрим произвольную характеристическую функцию f s , которая соответствует
множеству S, и последовательность сходящихся к ней функций:
f 0s , … f ns , … → f s , где
f 0s = {[0, а 0 ]},
f ns = {[0, а 0 ], … [n, а n ]} и т.д.
Функция f ns является n-ым приближением (n-ой степенью приближения) функции f s .
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
23
24
При заполнении таблицы на любом n-ом этапе каждая непустая строка
представляет собой конечную последовательность (ряд), состоящую из n чисел.
Конечная строка представляет приближение какой-то характеристической функции. У
различных функций могут совпадать их конечные приближения вплоть до некоторого
номера n. Поэтому имеет смысл рассматривать f mn как заготовку для этих функций.
Если у двух функций заготовки совпадают на каждом этапе построения, то совпадут и
их пределы (изделия).
Примечание 6.
Идея построения таблицы заключается в том, чтобы построение множества
характеристических функций происходило в двух направлениях: количественном и
качественном (степень приближения заготовки к ее изделию). При переходе к пределу
по построению (по числу этапов) достигается счетность множества характеристических
функций, а степень приближения становится абсолютной. Выше индекс «s» у функции
f s означал для наглядности, что эта функция соответствует множеству S. Ниже по
тексту индексы будут использоваться как для нумерации функций, так и для
обозначения n-го приближения. Это не приведет к ошибке, так как всегда
оговаривается, что обозначают верхний или нижний индексы. Перейдем
непосредственно к построениям.
Построение 2.
Построим множество характеристических функций как счетное множество. Для
этого возьмем таблицу с бесконечным числом строк и столбцов и пустыми ячейками
(см. таблицу № 2, стр. 25). Нумерацию столбцов начнем с третьего, а строк – со второй
(включительно). В первом (не занумерованном) столбце будут номера строк. Во втором
(не занумерованном) столбце будут обозначения самих характеристических функций. В
нулевой (не занумерованной) строке будут расположены в порядке возрастания
натуральные числа. Остальные ячейки будут заполняться числами 0 и 1 – значениями
характеристических функций. Например, на пересечении 1-ой строки и 2-го столбца
стоит число 0. Это означает, что функция f 1 для аргумента равного 2 принимает
значение 0 (число 2 не принадлежит множеству, представленному этой
характеристической функцией). Ниже под термином номер строки (столбца)
подразумевается занумерованная строка (столбец). Будем заполнять ячейки таблицы
так, чтобы в конце построения каждая строка представляла собой ряд значений
характеристической функции и чтобы в таблице были построены все такие функции.
Таблицу будем заполнять по этапам. Первый этап состоит в том, что на пересечении 0го столбца и 1-ой строки ставится число 0 (можно поставить и число 1 – в этом и
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
24
25
состоит универсальность схемы построения: уточняя выбор, получается конкретная
нумерация). На этом этапе появляется 1-ое приближение характеристической функции
f 1 . Ей присваивается номер 1, что отображается нижним индексом у этой функции.
Второй этап состоит в том, что на пересечение 1-ой строки и 1-го столбца ставится 0, а
во второй строке на пересечении со столбцами 0 и 1 ставится соответственно 0 и 1. На
этом этапе появляется 2-ое приближение характеристической функции f 2 . На третьем
этапе появляются шесть 3-их приближений характеристических функций ( f 3 – f 8 ), а
на пересечении 1 – 3 столбцов и 1 – 8 строк располагаются всевозможные комбинации
троек чисел 0 и 1 (см. таблицу № 1). Из схемы нетрудно увидеть, что в процессе
построения растет не только количество характеристических функций, но и их степень
приближения (стр. 9). Вообще, этап номер n состоит в том, чтобы на пересечении n
столбцов (с 0-го по n-1-ый) и 2 n строк были всевозможные построчные комбинаторные
распределения нулей и единиц. Это достигается следующим способом. На этапе n-1 в
таблице заполнены n-1 столбцов (с 0-го по n-2-ой) и 2 n1 строк. Копируем содержимое
этих строк в следующие незаполненные 2 n1 строк. Затем расставляем в столбце с
номером n-1 числа 0 и 1 так, чтобы получились всевозможные построчные комбинации
чисел 0 и 1 в 2 n первых строках.
Таблица № 2.
№
0
1
2
3
...
0
0
0
0
...
0
1
0
1
…
1
f
1
2
f
2
3
f3
1
0
0
1
…
4
f
1
1
0
1
…
5
f5
0
0
1
0
…
6
f
0
1
1
0
…
7
f7
1
0
1
0
8
f8
1
1
1
1
:
:
4
6
:
:
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
25
26
Рассмотрим, например, как растет степень приближения f 1 . На нулевом этапе f =
0
1
Ø. На первом этапе было получено ее первое приближение: f 11 = ([0,0]). На втором
этапе – второе приближение: f 21 = ([0,0]; [1,0]). И т.д. В конечном итоге получается
характеристическая функция f 1 = ([0,0]; [1,0]; [2,0]; …), которая представляет пустое
множество. Построение f 3 начинается с третьего этапа: f 33 = ([0,1]; [1,0]; [2,0]). По
этой записи можно восстановить 1-ое и 2-ое приближения функции f 3 .
Можно сказать, что построение выполняется в двух направлениях: количественном и
качественном. На n-ом этапе получается 2 n функций. n-ое приближение функции f r
на этом этапе представляет собой n-ый член в функциональной последовательности,
пределом которой будет эта характеристическая функция:
f 01 , … f nr , … → f r .
Таким образом, связываются два направления для предельного перехода в
заключительном построении таблицы (по количеству и степени приближения)
посредством номера этапа построения. Эта связь выражается функцией, которая
задается множеством упорядоченных пар [n, 2 n ], где n – номер этапа (шага)
построения. В результате предельного перехода по n количество характеристических
функций становится счетным, а степень приближения – абсолютной. Рассмотрим
теперь строго эти вспомогательные наблюдения.
На первом этапе была заполнена одна ячейка, стоящая на пересечении 0-го столбца и
1-ой строки. В результате получилась конечная таблица, содержащая единственную
ячейку. Этой конечной таблице соответствует функция l 1 ( l 0 = Ø):
l 1 = {[1, 0, 0]},
где на первом месте упорядоченной тройки стоит номер строки, на втором – номер
столбца, на третьем – число 0 (по заполнению таблицы), а сама тройка соответствует
ячейке (представляет ячейку), находящейся на пересечении 1-ой строки и 0-го столбца.
На втором этапе получается конечная таблица, содержащая 2-е строки и 2-ва столбца.
Этой таблице соответствует функция l 2 :
l 2 = {[1, 0, 0], [1, 1, 0], [2, 0, 0], [2, 1, 1]}.
И т.д. В результате получается последовательность функций:
l 1, …ln , …
Эта последовательность сходится к функции l , которая соответствует построенной
таблице с бесконечным числом строк и столбцов. Произведем разбиение функции l на
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
26
27
классы по признаку равенства первых элементов упорядоченной тройки. Результат
обозначим через l Р . Две тройки попадают в один класс только тогда, когда
соответствующие им ячейки (ячейки, которые они представляют) принадлежат одной
строке. Отсюда вытекает, что класс представляет собой бесконечную строку. Эта
строка представляет характеристическую функцию. Различные строки представляют
различные функции по построению. Базой индукции в построении бесконечной
таблицы (множества l ) является l 1 . Шаг индукции в построении состоит в переходе от
l n1 к l n . Множество l является счетным по построению, а множество l Р – по
разбиению. Обозначим через А множество, которое получается в результате
сопоставления каждому классу (строке) из l Р того множества S, которое
представляется этой строкой (соответствует этой строке).
Примечание 7.
Исходя из метода заполнения таблицы (построения множества l ) следует, что
таблица не пустая, содержит не менее одной строки и каждая строка представляет
собой ряд чисел 0 и 1, соответствующий некоторому подмножеству K множества
N. Возьмем из таблицы любую строку, и пусть она соответствует множеству K .
Берем любое другое подмножество S множества N, отличное от K . При построении
таблицы метод заполнения ее ячеек производится так, чтобы на каждом конечном
этапе n построения были все возможные построчные комбинации длины n (все
заготовки длины n). Для метода заполнения все заготовки (n-ые приближения)
равноправны на любом этапе построения, в том числе и для множеств S и K .
Отсюда следует, что если таблица содержит строку, соответствующую K , то она
должна содержать и строку, соответствующую множеству S. Поскольку множество
S было выбрано произвольно, то это означает, что для каждого подмножества S
множества N найдется соответствующая строка в таблице. Этот результат можно
также получить методом от противного (см. примечание 8).
Примечание 8.
Рассмотрим произвольное подмножество K множества натуральных чисел ( K
 N).
Представим его характеристической функцией k , а ее, в свою очередь,
последовательностью n-ых приближений:
k1, …kn, … → k
Предположим, что этой функции не соответствует ни одна строка в полученной
бесконечной таблице. В силу построения таблицы это означает существование
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
27
28
такого номера n этапа, что соблюдаются следующее условие: для k не
n
соответствует ни одна строка. Т.е. ряд значений функции k n не совпадает ни с
одной из строк на n-ом этапе. А это противоречит построению (заполнению
таблицы), где на каждом этапе n заполнение ячеек производится так, чтобы
получить всевозможные построчные комбинации (длинны n) чисел 0 и 1. Таким
образом, функции k будет соответствовать некоторая строка в бесконечной
таблице, а это означает, что множество K является элементом множества А . Т.е.
множество А содержит все подмножества множества N в качестве элементов ( А =
2 N ). По построению множество А счетное, значит множество 2 N также счетное.
Примечание 9.
Естественно возникает вопрос: как определить в этой таблице номер
характеристической функции, представляющей взятое наугад подмножество
множества натуральных чисел?
При построении таблицы прежде всего соблюдается правило, чтобы, в результате
заполнения всех пустых ячеек нулями и единицами, были получены все возможные
бесконечные комбинации нулей и единиц, рассматриваемые построчно. В этом и
состоит универсальность (общность) схемы. Чтобы обладать возможностью указать
номер характеристической функции, надо, прежде всего, конкретизировать метод
заполнения ячеек таблицы. На каждом конечном этапе построения в строках стоят
n-ые приближения (заготовки) будущих функций (изделий), поэтому также не
представляется возможным указать во время построения, какая функция будет в
любой взятой строке. Построение таблицы производится так, чтобы (для
наглядности и примера) под номером 1 шла характеристическая функция f 1 ,
представляющая пустое множество, f 2 представляет множество всех нечетных
натуральных чисел, f 3 представляет множество (0, 3), f 8 – множество всех
натуральных чисел.
Рассмотрим вкратце все построения выше, которые происходят в следующем
порядке:
1. Построение последовательности l 1 , … l n , …
2. Переход к пределу по n.
3. Разбиение на классы множества l .
4. Сопоставление каждому классу множества l Р элемента множества А .
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
28
29
Эти операции независимы и результатом их последовательного применения
является множество А . Но это множество можно было получить как результат
одновременного применения этих независимых операций. Рассмотрим этот процесс.
Разбиение множества l на классы порождает (индуцирует) разбиение и на
множестве элементов последовательности l 1 , l 2 … Получается новая
последовательность: l Р1 , l Р2 … Из разбиения видно, что элементами l Рn являются
конечные последовательности чисел 0 и 1 (последовательности, содержащие n
элементов), которые лежат в одной строке. Далее, сопоставление каждому элементу
(классу) множества l Р соответствующего множества S порождает соответствие
между элементом (классом) из множества l Рn и конечным множеством (конечный
ряд чисел 0 и 1 представляет конечное множество). Обозначим через Аn множество,
которое получается в результате сопоставления каждому элементу из l Рn
соответствующего множества. Результатом одновременного применения четырех
независимых операций, указанных выше (см. п. 1 – 4), будут:
1. Последовательность А1 , А2 , …:
2. Множество А .
При таком построении последовательности А1 , А2 , … будет соответствовать
множество А . Определим это соответствие как новый способ предельного перехода
от последовательности А1 , А2 , … к ее результату А . Одно из свойств такого
предельного перехода (по построению этого предела) – это счетность предельного
множества А при конечных множествах А1 , А2 ,… В таких обозначениях и новом
способе предельного перехода приведенные выше построения выглядят намного
проще. Приведем их полностью.
Множество {0, 1, 2, ...n}, при n→∞, совпадает с N. Множество С n = {{0, 1, 2, ...n}},
содержащее {0, 1, 2, ...n} в качестве элемента, при n→∞, равно {N}, т.е. содержит N в
качестве элемента. Если к множеству С n добавить в качестве элементов любые и в
любом количестве, то получится множество С n* :
С n* = { а 0 , а 1 , а 2 …{0, 1, 2, ...n}},
где а 0 , а 1 , а 2 … – любые объекты. Перейдя к пределу по n, получится множество С * :
С * = { а 0 , а 1 , а 2 … N},
которое содержит N в качестве элемента.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
29
30
Множество С = {{0}, {(0, 1}, {0, 1, 2}, …. {0, 1, 2 …..n}}, при n→∞, имеет
'
n
пределом множество С ' :
С ' = {{0}, {(0, 1}, … {0, 1, 2 …..n}, … N}.
Множество Аn (система подмножеств множества {0, 1, 2 …..n}):
Аn = { Ø , {0, 1}, {2, n-1}, … {0,1, 2 …..n}}
при n→∞, равно А ( 2 N ).
На каждом этапе система Аn имеет конечное число элементов ( 2 n ). Это значит, что
результат операции А ( 2 N ) при n→∞ – счетное множество.
Как видно из построения, новая операция предельного перехода позволяет
получить множество всех подмножеств множества N (конечных и бесконечных).
При использовании классической теоретико-множественной операции предела по
Хаусдорфу (см. стр. 7) из множества Аn получается множество только всех
конечных подмножеств множества N.
9. Теорема Кантора о несчетности чисел отрезка [0, 1].
Теорема Кантора. Множество действительных чисел отрезка [0, 1] несчетно.
Доказательство. Докажем теорему от противного. Допустим, что это множество
счетное. Значит, существует способ выстроить эти числа в ряд. Возьмем любой из этих
способов и расположим их десятичные записи в ряд:
0, а11 а 21 а 31 …
0, а 21 а 22 а 23 …
0, а 31 а 23 а 33 … и т.д.
Верхний индекс n означает, что запись находится на n-ом месте в ряду. Нижний индекс
означает десятичный разряд (десятые, сотые и т.д.). Построим действительное число r
следующим способом. На первом шаге вместо цифры а11 берем любую другую цифру
от 0 до 9, отличную от а11 . Записываем первый разряд (десятые) числа r:
0, b 1 , где а11 ≠ b 1 .
На втором шаге вместо цифры а 22 берем любую другую цифру от 0 до 9. Записываем
второй разряд (сотые) числа r:
0, b 1 b 2 , где а 22 ≠ b 2 .
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
30
31
Вообще, n-ый шаг состоит в том, чтобы взять произвольную цифру (от 0 до 9) и
записать b n , где а nn ≠ b n . В этом и состоит метод построения диагональным методом.
Метод назвали диагональным, поскольку число а nn стоит на «диагонали» – верхний и
нижний индексы совпадают.
При неограниченном продолжении шагов получается следующая запись числа r:
0, b 1 b 2 … b n …
Запись числа r отличается от каждой из записей указанного выше ряда одним разрядом
(по построению). Таким образом, построено число r, которого нет в этом ряду.
Противоречие. Отсюда следует, что нельзя выстроить в ряд числа отрезка [0, 1].
Значит, множество чисел отрезка [0, 1] несчетно. Теорема доказана.
Анализу доказательства предшествуют два примечания.
Примечание 10.
Когда вместо цифры а nn берется другая цифра, то на выбор возможны 9 вариантов.
Если, например, а nn = 3, то можно взять любую из следующих цифр: 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8,
9. Такой выбор обязан десятичной системе исчисления: число записывается в виде
комбинаций цифр от 0 до 9. Благодаря такому выбору, число r можно построить так,
чтобы оно было иррациональным, т.е. чтобы в записи числа r отсутствовала
повторяющаяся последовательно конечная комбинация цифр:
0, 1356.1356.1356 … – комбинация 1356 повторяется периодически до бесконечности
(точка в записи используется для наглядности примера); такая запись соответствует
числу, которое можно представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем
n/m, где n, m – целые числа (в нашем рассмотрении – натуральные); это число является
рациональным.
0, 1246738674927… – здесь нет периодически повторяющейся комбинации; такая
запись соответствует числу, которое нельзя представить в виде дроби с целыми
числителем и знаменателем; это число является иррациональным.
Примечание 11.
В двоичной системе исчисления любое число записывается в виде
последовательности цифр: 0 и (или) 1. Поэтому в двоичной системе выбор в
построении записи 0, b 1 b 2 … отсутствует. Если в доказательстве Кантора
рассматривать двоичные записи действительных чисел, то в результате получится
число r, о котором невозможно сказать является оно рациональным или
иррациональным. Это происходит потому, что не конкретизирован способ
расположения записей в ряд. Если бы такой способ был указан конкретно, то можно
было точно определить запись числа r, проследив его построение. При доказательстве
Контакты автора: [email protected] Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
31
32
теоремы высказывается предположение: «допустим, что множество действительных
чисел счетное» – для того, чтобы расположить записи в ряд. Конкретизировать ряд не
представляется возможным, поскольку предполагается лишь такая возможность. Это
означает, что дальнейшее доказательство распространяется на любую такую
возможность (способ), т.е. схема доказательства проводится в условиях любого
способа (ряда) из тех, которые возможны. При таком подходе невозможно определить
является число r рациональным или нет.
10. Анализ схемы доказательства Кантора.
Проведем детальный анализ теоремы Кантора по шагам.
Шаг 1. Формулировка теоремы (утверждения):
Теорема Кантора. Множество действительных чисел отрезка [0, 1] несчетно.
В формулировке речь идет о действительных числах, а в самом доказательстве
рассматриваются их записи (стр. 12 – 14). Т.е. производится подмена понятия
действительного числа, которому соответствует точка отрезка [0, 1], понятием записи
(последовательности из цифр). Рассмотрим вместо записи действительного числа само
действительное число, которое представляется последовательностью вложенных
отрезков при делении отрезка на число 2, а затем самый общий случай (стр. 10 – 13).
Это делается для того, чтобы увидеть естественный процесс, который соответствует
диагональному методу, т.е. построить доказательство для действительных чисел.
Повторяя схему доказательства, выстроим все эти последовательности произвольным
образом в ряд (индексация начинается с номера 1 для удобства рассмотрения):
[ а 1 , b 1 ], [ а 2 , b 2 ], [ а 3 , b 3 ], …
[ с 1 , d 1 ], [ c 2 , d 2 ], [ c 3 , d 3 ], …
[ e 1 , f 1 ], [ e 2 , f 2 ], [ e 3 , f 3 ], … и т.д.
Сначала попробуем построить диагональным методом последовательность вложенных
отрезков так, чтобы она соответствовала некоторой точке (метод деления на число 2), и
выявим ее свойства. Обозначим ее через [ D n , К n ]. Первый элемент любой из
последовательности отрезков представляют собой отрезок [0, 1] (в силу построения),
поэтому [ D 1 , К 1 ] = [0, 1]. Второй элемент в любой из последовательностей отрезков
равен [0, 1/2], либо [1/2, 1]. Если выбрать на втором шаге тот из них, который отличен
от [ c 2 , d 2 ], то нет гарантии, что выбранный отрезок не совпадет с [ а 2 , b 2 ]. В силу
схемы доказательства Кантора такая гарантия отсутствует: берется любой способ
расположения в ряд (доказательство ведется методом от противного). Допустим, что
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
32
33
[ c 2 , d 2 ] ≠ [ а 2 , b 2 ], тогда по диагональному построению [ D 2 , К 2 ] = [ а 2 , b 2 ]. На
третьем шаге, соблюдая условие вложенности, [ D 3 , К 3 ]
 [ а 2 , b 2 ], предположим, что
отрезок [ а 2 , b 2 ] = [0, 1/2] (случай с [1/2, 1] рассматривается аналогично). Тогда [ а 3 ,
b 3 ] совпадает либо с [0, 1/4], либо с [1/4, 1/2]. Если [ e 3 , f 3 ] = [0, 1/4] и [ а 3 , b 3 ] ≠ [ e 3 ,
f 3 ], то по диагональному построению и в силу вложенности [ D 3 , К 3 ] = [1/4, 1/2]. Т.е.
может случиться так, что [ D 3 , К 3 ] = [ а 3 , b 3 ]. Четвертый шаг проводится аналогично
третьему и также не исключает равенство: [ D 4 , К 4 ] = [ а 4 , b 4 ]. И т.д. Таким образом,
диагональное построение не исключают совпадение последовательностей [ D n , К n ] и
[ а n , b n ], т.е. не дает ничего нового.
Есть другой вариант построения диагональным методом. Возьмем любой отрезок,
содержащийся целиком в отрезке [ а 1 , b 1 ]. Это будет первый шаг. На втором шаге
возьмем отрезок, который целиком содержится в отрезке [ c 2 , d 2 ]. И т.д. В результате
получится последовательность отрезков. Допустим, что она является
последовательностью вложенных отрезков, т.е. результат диагонального метода дает
последовательность, сходящуюся к точке отрезка [0, 1]. Для любой точки отрезка
существует бесконечное множество последовательностей вложенных отрезков,
сходящихся к ней (в построенном выше ряду – это последовательность при методе
деления отрезка на число 2). Таким образом, построение методом Кантора дает
результатом еще одну последовательность отрезков, т.е. не дает ничего нового.
Если построенная последовательность не является вложенной, начиная с некоторого
n, то этой последовательности не будет соответствовать ни одна точка отрезка. Если же
такое n существует, то последовательность сходится к некоторой точке. В результате
получается еще одна сходящаяся последовательность.
Рассмотрим самый общий случай, когда действительное число r представляет собой
класс (множество) всех сходящихся к нему последовательностей вложенных отрезков.
Выстроим действительные числа (классы) в ряд. Возьмем любую последовательность
из класса, стоящего на первом месте в ряду, затем возьмем любую последовательность
из класса, стоящего на втором месте в ряду и т.д. Применим к выбранным
последовательностям диагональный метод, выбирая на каждом шаге отрезок, который
совпадает с рассматриваемым отрезком или полностью содержится в нем. Полученная
последовательность отрезков (в случае если она будет вложенной, начиная с
некоторого номера n) будет сходиться к некоторой точке и, как следствие,
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
33
34
принадлежать тому из классов ряда, который ей соответствует. Снова нет
противоречия.
Из рассмотрения выше следует, что если применять диагональный метод к
действительным числам, то либо построение не дает ничего нового, либо дает
последовательность, которая не сходится ни к одной точке.
Итак, схема доказательства Кантора опирается исключительно на формальную
запись числа и рассматривает ее как самостоятельный объект, не связанный с его
происхождением. Ниже это будет подтверждено рядом независимых фактов.
Шаг 2. Механизм диагонального метода, применяемый к записям.
Попробуем применить диагональный метод Кантора к множеству S, о котором
заранее известно, что оно счетное. Рассмотрим это множество чисел, которое
представим рядом их записей:
0,3;
0,301;
0,3001;
0,30001 и т.д.
Построим диагональным методом новую запись. На первом шаге вместо цифры 3
ставим цифру 2. На втором шаге вместо цифры 0 ставим цифру 9. На третьем –
аналогично предыдущему. В результате получается следующая запись: 0,2999…
Записям 0,2999… и 0,3 соответствует одна и та же точка (одно число). Действительно,
если рассмотреть метод деления отрезка [0, 1] на число 10, то точка, соответствующая
числу 0,3, определяется последовательностью вложенных отрезков (стр. 11, 12):
[0, 1], [0,2; 0,3], [0,29; 0,30], [0,299; 0,300] и т.д. Тогда:
А). 0,2; 0,29; 0,299 и т.д. – последовательность, сходящаяся к точке, соответствующей
числу 0,3, слева;
В). 0,3; 0,30; 0,300 и т.д. – последовательность, сходящаяся к точке, соответствующей
числу 0,3, справа.
Запись 0,2999… получается из последовательности А (стр. 14); запись 0,3000… (нули
для краткости не пишут) получается из последовательности В. Диагональный метод дал
запись, которой нет в указанном ряду, и эта запись соответствует числу в
рассматриваемом множестве S. Этот пример подчеркивает разницу между
применением диагонального метода к числам и их записям.
Чтобы «удачно» применить диагональный метод, в таком случае исключают записи,
которые имеют цифры 0 или 9 в периоде, т.е. избавляются от «неудобных»
последовательностей, которые порождают соответствующие записи. Это дает еще одно
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
34
35
подтверждение того, что Кантор рассматривает запись числа как самостоятельный
объект.
Шаг 3. Диагональный метод Кантора в системе исчисления по основанию 2.
Множество рациональных чисел счетное. Возьмем только рациональные числа.
Рассмотрим доказательство Кантора, когда рациональные числа, соответствующие
точкам отрезка [0,1], представлены двоичной записью, и выстроим их записи в ряд. В
результате применения диагонального метода получается некоторая запись q –
последовательность из цифр 0 и (или) 1. Относительно записи q нельзя сказать,
периодическая она или нет (стр. 31, 32). Может случиться так, что полученная запись
будет периодической и представлять рациональное число. Это означает, что
применение метода Кантора приводит к противоречию и его надо вообще исключить из
теории.
В литературе распространена схема доказательства Кантора в применении к
иррациональным числам, соответствующим точкам отрезка [0, 1]. Для этого берется
множество иррациональных чисел; их записи располагаются в ряд и диагональным
методом строится новая запись числа, которой нет в этом ряду. Рассмотрим этот случай
в двоичной системе исчисления. Предполагая множество иррациональных чисел
счетным, выстроим их записи в ряд произвольным способом (в соответствии со схемой
доказательства). Построим диагональным методом новую запись. Эта запись может
оказаться периодической, т.е. соответствовать рациональному числу (рациональная
запись). Чтобы утверждать непериодичность записи, надо обладать конкретным
способом расположения записей в ряд, что невозможно в силу схемы доказательства
Кантора, где берется любой из способов расположения записей. Доказательство в этом
случае выглядит так: берем все иррациональные записи и строим диагональным
методом рациональную запись, которой нет в ряду. Но этой записи там нет по условию,
поскольку по построению ряд состоит исключительно из иррациональных записей.
Снова доказательная схема Кантора ни к чему не приводит.
Таким образом, в двоичной системе надо доказывать непериодичность
(периодичность) записи, что является невозможным в силу того, что рассматривается
произвольный способ расположения записей в ряд: таковы условия для метода
доказательства от противного. В результате получаем следующий вывод: схема
доказательства Кантора не применима к записям в двоичной системе исчисления.
Шаг 4. Допустимость применения диагонального метода Кантора с точки зрения
математической логики (Теории доказательств).
Предварительно рассмотрим понятия «доказательство» и «теорема», которые
устанавливаются теорией доказательств.
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
35
36
Теорема – это истинное высказывание. Доказательство – это последовательность
предложений, которые делятся на три категории:
1. Аксиомы.
2. Гипотезы (посылки), которые объявляют отношения, свойства и конструкции, не
входящие в аксиоматику.
3. Предложения, которые получаются из выше указанных с помощью логических
правил вывода.
Аксиомы выражают свойства базовых объектов, отношения между ними и вводят
конструкции (методы, схемы и т.д.), посредством которых происходят построения.
Например, аксиома о натуральных числах не только вводит множество натуральных
чисел, но и дает механизм (метод индукции) построения этого множества, а также
вводит схему перехода к пределу (разрешает абстракцию предельного перехода).
Благодаря этому при построениях можно пользоваться методом индукции и переходом
к пределу. Добавлением к базовой аксиоматике тех или иных механизмов (в качестве
новых аксиом) позволяет получать специализированные теории, которые зачастую
несовместимы.
Пример 15. Рассмотрим следующие построения в рамках теории множеств. Это
означает, что мы будем использовать понятия теории множеств и отношения между
ними в рамках этой теории. Добавим к теории множеств два понятия точки и прямой.
Аксиома 1. Точка – это элемент множества.
Аксиома 2. Прямая – это множество, состоящее из двух точек.
Аксиома 3. Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Аксиома пространства 4. Множество D = {a, b, c, d} является пространством
(плоскостью).
По определению 2 следующие множества являются прямыми:
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, с}, {b, d}, {d, c}
При таких аксиомах (1 – 4) для любых прямой и не лежащей на ней точке существует
единственная параллельная прямая, содержащая данную точку. Например, для прямой
{a, b} и точки с прямая {d, c} содержит точку с и параллельна прямой {a, b}. В этой
модели истинно следующее утверждение:
Теорема 2. Для любой прямой А и любой не лежащей на ней точке существует
единственная параллельная ей прямая В, содержащая данную точку.
При таких аксиомах (1 – 4) получается конечная модель Евклидовой геометрии.
Заменим четвертую аксиому следующей:
Аксиома пространства 4.1. Множество D = {a, b, c, d, e} является пространством
(плоскостью).
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
36
37
При такой аксиоме прямыми будут:
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, с}, {b, d}, {b, e}, {d, c} {e, c}, {e, d}.
Возьмем любую прямую и не лежащую на ней точку. Например, прямую {a, b} и точку
e. Для точки e существует две прямые, содержащие эту точку и параллельные данной
прямой: {e, c}, {e, d}.
В этой модели истинно следующее утверждение:
Теорема 3. Для любой прямой А и любой не лежащей на ней точке существуют две
прямые В и С, параллельные прямой А и содержащие эту точку.
При таких аксиомах (1 – 4.1.) получается конечная модель геометрии Лобачевского.
Очевидно, что аксиомы 4 и 4.1 несовместимы. Любая из этих аксиом вводит
пространство и его конструкцию (количество пространства). В зависимости от
конструкции пространства получаются те или иные свойства модели. В указанном
случае конструкции, введенные аксиомами 4 и 4.1, несовместимы. Отсюда видно, что
изменение конструкции пространства приводит к совершенно другой теории, не говоря
уже о добавлении к теории дополнительных конструкций, результаты которых могут
вступать в противоречие с результатами, полученными ранее. В таком случае говорят,
что конструкции вступают в противоречие. Перейдем теперь к диагональному методу
Кантора.
Диагональный метод Кантора – это конструкция, которая бесконечной
последовательности объектов (записей) ставит в соответствие один объект (запись).
Это значит, что конструкция Кантора является функцией, определенной на множестве
бесконечных записей. Любая функция (конструкция) в математике представляется
(вводится) в виде предиката (стр. 5). Возникает вопрос: какой статус имеет
конструкция Кантора? Среди аксиом теории множеств, аксиом действительных чисел, а
также правил логического вывода нет предиката или правила, соответствующего
диагональной конструкции. В этих теориях не существует также метода получения
этой конструкции как результата применения исходных конструкций, установленных
аксиомами. Это означает, что конструкция Кантора является внешней по отношению к
теориям множеств, действительных чисел и математической логике. Вопрос о том, не
вступает ли в противоречие конструкция Кантора с конструкциями теории множеств,
математической логики и теории действительных чисел – в теореме Кантора не
рассматривается. Утверждение «Конструкция Кантора не вступает в противоречие с
конструкциями, заложенными в аксиоматике действительных чисел» рассматривалось
ранее в качестве гипотезы. Именно такой статус носило это утверждение в конце 19 и
начала 20 столетий: «Гипотеза Кантора».
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
37
38
При доказательстве теорем разрешено пользоваться аксиомами, ранее
доказанными теоремами и правилами вывода. В доказательствах разрешено
использовать только те конструкции (методы, схемы, построения), которые либо
постулируются аксиомами (исходные конструкции), либо их производные. Любой
результат, полученный с помощью производной конструкции, можно получить также с
помощью исходных конструкций последовательным их применением. Так, например,
сделано выше при построении нового способа перехода к пределу (стр. 21, 29).
Установление того факта, что конструкция Кантора является производной
конструкцией, при доказательстве теоремы Кантора отсутствует. Таким образом,
Кантор в процессе доказательства теоремы о несчетности записей действительных
чисел допустил грубую формально-логическую ошибку:
использование в процессе доказательства конструкции Кантора, которая выполняет
основную роль, не обосновано.
А это является недопустимым нарушением в принятой на уровне математической
логики схеме проведения доказательств. Если проводить доказательство теоремы
Кантора по правилам, установленным в теории доказательств, то необходимо доказать
производность диагональной конструкции, либо доказать, что она не противоречит
конструкциям, установленным или введенным ранее, и придать ей статус
аксиоматической конструкции. Только в таком случае можно, придя к противоречию,
отрицать свойство счетности. Итак, чтобы опровергнуть счетность, надо:
1. Доказать, что конструкция Кантора не противоречит:
1.1. Аксиоматике теории множеств.
1.2. Конструктивному построению множества действительных чисел (аксиоматике в
том числе).
2. Ввести аксиому, содержащую (описывающую) конструкцию Кантора.
А этого не было сделано. Исходя только из этого, схема рассуждения Кантора теряет
свою силу: она не является доказательством с точки зрения правил, установленных
математической логикой (Теорией доказательств). Т.е. рассуждение не соответствует
стандартам математического доказательства. Поэтому, придя к противоречию, не ясно,
что нужно сделать: отрицать свойство счетности или объявить конструкцию Кантора
недопустимой в теории чисел? Кантор намеренно не рассматривал свою конструкцию в
доказательстве, чтобы, придя к противоречию, опровергнуть свойство счетности.
Из пошагового анализа следует:
1. Схема доказательства Кантора опирается исключительно на формальную запись
числа и рассматривает ее как самостоятельный объект, не связанный с его
происхождением (неадекватность схемы действительности).
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
38
39
2. Схема доказательства Кантора не применима к записям в двоичной системе
исчисления.
3. Диагональный метод, примененный к ряду действительных чисел, дает
результатом действительное число, которое есть в этом ряду.
4. Схема доказательства Кантора в применении к действительным числам не
устанавливает истинность утверждения теоремы (высказывания о несчетности).
5. Схема доказательства Кантора не соответствует стандартам математического
доказательства.
11. Выводы.
1. Универсальная конструкция, используемая для построения множества
действительных чисел и системы подмножеств множества натуральных
чисел как счетных множеств, является результатом применения четырех
независимых операций, разрешенных аксиоматиками теории множеств и
действительных чисел.
2. Указано на ошибки, допущенные Кантором при доказательстве его
утверждения (о несчетности действительных чисел) со следующих
позиций: правильной оценки диагональной конструкции, понятия
действительного числа и математической логики.
12. Список используемой литературы.
1. Алгебра и теория чисел – Куликов.
2. Теория множеств – Хаусдорф.
3. Математический анализ – Л.Д. Кудрявцев.
4. Математическая логика – Шиханович (Клини).
Контакты автора: [email protected]
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
39
40
13. Вопросы к работе «Универсальная конструкция для построения
множества действительных чисел и системы подмножеств множества
натуральных чисел как счетных множеств».
Уважаемый Читатель, если Вас не затруднит дать ответы на вопросы,
представленные ниже, то прошу направить их мне на почтовый адрес
([email protected]) в следующем виде:
1. Выпишите по порядку все номера (первый столбец).
2. Напротив каждого номера напишите «да» или «нет» – в зависимости от вашего
мнения.
Если вы сочтете необходимым дать конструктивную оценку схемам, примененным в
этой работе, то автору будет интересно ознакомится с ними.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Части (разделы),
примечания, построения
Часть. 3 – стр. 5
Часть.4 – стр. 10
Часть.5 – стр. 12
Часть.6 – стр. 14
Часть.7 – стр. 15
Примечание 1.
Примечание 2.
Построение 1.
Примечание 3.
Примечание 4.
Часть.8 – стр. 22
Примечание 5.
Примечание 6.
Построение 2.
Примечание 7.
Примечание 8.
Примечание 9.
Часть.9 – стр. 31
Примечание 10.
Примечание 11.
Часть.10 – стр. 32
Шаг 1.
Шаг 2.
Шаг 3.
Шаг 4.
Контакты автора: [email protected]
С содержимым части, примечания, построения
согласен
не согласен
Тел.: +7 – 911 – 955 – 22 – 15
40