Методичка Практические работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ
«КРАСНОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ СТУДЕНТОВ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
ЕН.03 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИТСТИКА
для специальности
230115 Программирование в компьютерных
системах
Красногорск
2013
1
ОДОБРЕНА
на заседании отделения специальности
230115 Программирование в
компьютерных системах
протокол № _____ от «____» ____ 2013 г.
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора КГК
по учебной работе, к.т.н.
_____________ Е.В.Романова
«____» ____ 2013г.
Заведующий отделением, к.п.н.
_____________ Е.С. Трегубова
Рассмотрена на заседании
методического совета КГК
протокол №_____ от «____» ____ 2013г.
____________ к.э.н. Т.П.Дубровская
Разработчик:
Соболева
Ольга
Анатольевна
–
преподаватель
специальных
дисциплин, кандидат технических наук
2
Содержание
Пояснительная записка. ................................................................................................................4
Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре событий».............................................5
Практическая работа №2: «Решение задач по комбинаторике». ..............................................7
Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей событий по классической формуле
определения вероятностей». .........................................................................................................8
Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и умножение вероятностей». ..........9
Практическая работа №5 «Решение задач по формуле полной вероятности событий и по
формуле Байеса». .........................................................................................................................10
Практическая работа №6 «Решение задач на законы распределения вероятностей
дискретных случайных величин». .............................................................................................11
Практическая работа №7 «Нахождение числовых характеристик дискретных случайных
величин». ......................................................................................................................................12
Практическая работа №8 «Вычисление функции и плотности распределения непрерывных
случайных величин»....................................................................................................................13
Литература ...................................................................................................................................15
3
Пояснительная записка.
Учебная дисциплина "Теория вероятностей и математическая статистика" – это
математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.
Во всех случаях, когда применяются вероятностные методы исследования, их цель
состоит в том, чтобы, минуя слишком сложное изучение отдельного явления,
обусловленного очень большим количеством факторов, обратиться непосредственно к
законам, управляющим массами случайных явлений. Изучение этих законов позволяет не
только осуществить научный прогноз в своеобразной области случайных явлений, но в
ряде случаев помогает целенаправленно влиять на ход случайных явлений,
контролировать их, ограничивать сферу действий случайности.
Вероятностный метод в науке не противопоставляет себя классическому методу
точных наук, а является его дополнением, позволяющим глубже анализировать явление с
учётом присущих ему элементов случайности.
Характерным для современного этапа развития любой науки является широкое и
плодотворное применение вероятностных и статистических методов. Это вполне
естественно, так как при углублённом изучении любого круга явлений неизбежно
наступает этап, когда требуется не только выявление основных закономерностей, но и
анализ возможных отклонений от них. В одних науках, в силу специфики предмета и
исторических условий, внедрение вероятностных и статистических методов наблюдается
раньше, в других – позже. В настоящее время нет почти ни одной науки, в которой так
или иначе не применялись бы вероятностные и статистические методы.
Математические законы теории вероятностей – отражение реальных
статистических законов, объективно существующих в массовых случайных явлениях
природы. К изучению этих явлений теория вероятностей применяет математический
метод и по своему методу является одним из разделов математики, столь же логически
точным и строгим, как и другие математические науки.
В соответствии с учебным планом колледжа на дисциплину "Теория
вероятностей и математическая статистика" отводится ____ часов, в том числе ______
часов практических работ.
Решение задач по теории вероятностей и математической статистике у
студентов колледжа часто сопряжено со многими трудностями. Помочь студенту
преодолевать эти трудности, научить применять теоретические знания к решению
4
задач по всем разделам курса теории вероятностей и математической статистики –
основное назначение данного пособия.
Известно, что при самостоятельном решении задач многие студенты нуждаются в
постоянных консультациях по приёмам и методам их решения, так как найти путь к
решению задачи без помощи преподавателя или соответствующего пособия студенту не
под силу. Такие консультации студент может получить в данном пособии.
По теме каждой практической работы приводятся основные определения и
формулы и задачи с решением.
В пособии также приведены задания для выполнения семестровой самостоятельной
внеаудиторной работы студентов.
Практическая работа №1: «Решение задач по алгебре
событий».
Основные понятия и определения.
Пусть  - пространство элементарных событий рассматриваемого опыта. Для
каждого возможного в этом опыте события А выделим совокупность всех элементарных
событий, наступление которых необходимо влечёт наступление А. Эти элементарные
события благоприятствуют появлению А. Множество этих элементарных событий
обозначим тем же символом А, что и соответствующее событие.
Таким образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных
событий, входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и
соответствующее ему множество А элементарных событий.
Событие называется достоверным, если оно наступает в результате появления
любого элементарного события. Обозначение:  .
Невозможным назовём событие, не наступающее ни при каком элементарном
событии. Обозначение: .
Пример. В опыте с кубиком достоверным является событие, что выпадет число,
меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное число.
Суммой (или объединением) двух событий А и В назовём событие А+В (или
АВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме
событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные соотношения:
А+=А, А+  =  , А+А=А.
Пример. Событие «выпало чётное» является суммой событий: выпало 2, выпало 4,
выпало 6.
Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ
(или АВ), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и А, и В.
Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В.
Очевидные соотношения: А=, А  =А, АА=А.
Пример. «Выпало 5» является пересечением событий: выпало нечётное и выпало
больше 3-х.
5
Два события назовём несовместными, если их одновременное появление в опыте
невозможно, т.е. АВ=.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события несовместные.
Событие А назовём противоположным к А, если оно происходит тогда и только

тогда, когда А не происходит. Очевидные соотношения: А+ А =  , А А =, А =А.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное число – события
противоположные.
Разностью событий А и В назовём событие А\В, происходящее тогда и только

тогда, когда происходит А, но не происходит В. Очевидные соотношения: А =  \А,

А\В=А В .
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А,
АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.
Пример. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А – попадание в цель


при первом выстреле и В – при втором, тогда А и В - промах соответственно при первом
и втором выстрелах. Обозначим поражение цели событием С и примем, что для этого
достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить С через А и В.
Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и
промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и


втором выстрелах. Перечисленные варианты можно соответственно записать: А В , А В и
АВ. Интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или
третьего вариантов (хотя бы одного), то есть


С= А В + А В+АВ.
С другой стороны, событие С , противоположное С, есть промах при двух
выстрелах, то есть С  АВ , отсюда искомое событие С можно записать в виде С= А * В .
6
Практическая работа №2: «Решение задач по
комбинаторике».
Комбинаторными задачами называются задачи, в которых необходимо
подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной выбор, выполнить какоелибо условие.
Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное
подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k
элементов:
n!
k
An  (n  k )! , где n!=1*2*3*…*n
Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами
можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно
быть 4 различных урока?
Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно
7!
7! 3!*4 * 5 * 6 * 7
4
4
 4 * 5 * 6 * 7  840 .
А7 . Получаем А7 = (7  4)!  3! 
3!
Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n
элементов:
n!
n!
n
Pn  An  (n  n)!  0!  n! .
Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1,
2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются?
Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем месте. Остальные пять цифр могут
стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число
шестизначных чисел, кратных пяти, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е.
5!=5*4*3*2*1=120.
Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его
подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k
элементов:
n!
k
C n  (n  k )!k!
Пример. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16
команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз?
Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных
подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно
16!
14!*15 *16 15 *16
2
C16  2!(16  2)!  2!*14!  2  120 .
Свойства сочетаний:
k 1
k 1
k
k
nk
C n k  C n  C n
Cn  Cn
7
Практическая работа №3 «Вычисление вероятностей
событий по классической формуле определения
вероятностей».
Классическое определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна
отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к
числу всех возможных результатов опыта (N):
M
P( A) 
.
N
Пример 1. Подбрасывание игральной кости один раз. Событие А состоит в том,
что выпавшее число очков – чётно. В этом случае N=6 – число граней куба; М=3 – число
граней с чётными номерами; тогда Р(А)=3/6=1/2.
Пример 2. Подбрасывание симметричной монеты 2 раза. Событие А состоит в том,
что выпало ровно 2 герба. В этом случае N=4, т.к.  ={ГГ, ГР, РГ, РР}; М=1, т.к. А={ГГ}.
Тогда Р(А)= ¼.
Пример 3. Вытягивание шара из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара.
Событие А состоит в том, что вытянули чёрный шар. В этом случае N=2+3=5 (общее
число шаров в урне), М=3 (число чёрных шаров), тогда Р(А)=3/5.
Пример 4. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Какова
вероятность того, что он с первого раза наберёт эти цифры правильно, если он помнит,
что они различны?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что абонент, набрав
произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число правильных вариантов,
10! 8!*9 *10
2

 9 * 10  90 .
очевидно, что М=1; N – число различных цифр, N  A10 
8!
8!
Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.
Пример 5. Шесть шариков случайным образом располагаются в шести ящиках так,
что для каждого шарика равновероятно попадание в любой ящик и в одном ящике может
находиться несколько шариков. Какова вероятность того, что в каждом ящике окажется
по одному шарику?
Решение. Событие А – в каждом ящике по одному шарику. М – число вариантов
распределения шариков, при которых в каждый ящик попадает по одному шарику, М=6!
(число способов переставить между собой 6 элементов). N – общее число вариантов N=66
(так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков). В результате получаем
6! 5!*6 5!
P( A)  6  6  5 .
6
6
6
Пример 6. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из урны вынимаются два шара. Найти
вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в появлении белых шаров; N – число
2
способов вытащить 2 шара из 7; N  C 7 ; M – число способов вытащить 2 белых шара из
имеющихся 3 белых шаров; M  C 3 .
2
2
M C 3 2!*5!*3!
3!
1
P( A) 
 2


N C
7!*2!*1! 7 * 6 7
7
8
Практическая работа №4 «Решение задач на сложение и
умножение вероятностей».
Вероятность противоположного события А определяется по формуле: р( А )=1р(А).
Для несовместных событий вероятность суммы двух событий вычисляется по
формуле:
р(А+В)=р(А)+р(В).
Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго.
Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы
получим брак?
Решение. Р=1-(0,85+0,1)=0,05.
Вероятность суммы двух любых случайных событий равна р(А+В)=р(А)+р(В)р(АВ).
Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по
английскому языку, причём 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков
процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?
Решение. Р = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%)
Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло,
называется
р( АВ)
р( В / А) 
р( А)
Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых. Из неё достают шар и, не кладя
его обратно, достают ещё один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый
шар, через В событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а через С
событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда
n
N n
n 1
n
р ( А)  ; р ( В) 
; р (CА) 
; р (C | B) 
;
N
N
N 1
N 1
n * (n  1)
р( АC )  p( A) * p(C | A) 
N * ( N  1)
Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он
отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему
разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется
счастливым.
Решение. Пусть событие А заключается в том, что первый вытащенный билет
оказался для студента «плохим», а В – второй – «хорошим». Поскольку после наступления
события А один из «плохих» уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25
студент знает. Отсюда искомая вероятность равна Р(В/А)=25/29.
Вероятность произведения:
p(AB)=p(A)*p(B|A)=p(B)*p(A|B).
Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи
экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на
первый, обязательно ответить на второй.
Решение. Пусть события А и В заключаются в том, что соответственно первый и
второй билеты «хорошие». Тогда А - появление «плохого» билета в первый раз. Экзамен
будет сдан, если произойдёт событие А, или одновременно А и В. То есть искомое
9
событие С – успешная сдача экзамена выражается следующим образом: С=А+ А В.
Отсюда
р(С)=р(А+ А В)=р(А)+р( А В)=р(А)+р( А )р(В/ А )=25/30+5/30*25/29=0,977
или
р(С)=1 - р( С )=1 - р( А * В )=1 - р( А )* р( А / В )=1 -5/30*4/29=0,977
Случайные события А и В назовём независимыми, если
р(АВ)=р(А)*р(В).
Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из
которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладём его обратно и только затем
вынимаем следующий. А – событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, В –
событие, состоящее в том, что первым вынули чёрный шар, а С – событие, состоящее в
том, что вторым вынули белый шар; тогда
n
N n
n
n
р ( А)  ; р ( В) 
; р (C / А)  ; р (C | B)  ;
N
N
N
N
n*n
р( АC )  p( A) * p(C | A) 
 р( А) * р(С ) ;
N*N
т.е. в этом случае события А и С независимы.
Практическая работа №5 «Решение задач по формуле
полной вероятности событий и по формуле Бейеса».
Пусть события H 1 , H 2 ,..., H n удовлетворяют условиям
H i * H j  , если i  j , и
n
H
i 1
i
 .
Такую совокупность называют полной группой событий.
Пусть интересующее нас событие А может наступить после реализации одного из
Hi и известны вероятности p(Hi), p(A|Hi). В этом случае справедлива формула полной
вероятности
n
p ( A)   p ( H i ) * p ( A | H i ) .
i 1
Пример 1. Литьё в болванках поступает из 2-х цехов: 70% из первого и 30% из
второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго 20%. Найти
вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.
Решение. p(H1)=0,7; p(H2)=0,3; p(A|H1)=0,1; p(A|H2)=0,2; Р=0,7*0,1+0,3*0,2=0,13
(13% болванок в цехе дефектны).
Пример 2. В урне лежит N шаров, из которых n белых. Достаём из неё (без
возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?
Решение. H1 – первый шар белый; р (H1)=n/N;
H2 – первый шар чёрный; p(H2)=(N-n)/N;
A – второй шар чёрный; p(A|H1)=(n-1)/(N-1); p(A|H2)=n/(N-1)
n n 1 N  n
n
n

*

Р(A)=p(H1)*p(A|H1)+p(H2)*p(A|H2)= *
N N 1
N
N 1 N
Формула Бейеса.
10
Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно
известно, что событие А произошло. Найдём вероятность того, что при этом была
реализована гипотеза Hk. По определению условной вероятности
p( H k A)
p( H k ) * p( A | H k )
p( H k | A) 
 n
p( A)
 p( H i ) * p( A | H i )
i 1
Полученное соотношение - это формула Бейеса. Она позволяет по известным (до
проведения опыта) p(Hi) и условным вероятностям p(A|Hi) определить условную
вероятность p(Hi/А), которую называют апостериорной (то есть полученной при условии,
что в результате опыта событие А уже произошло).
Пример 3. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой
социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом
для представителя каждой социальной группы соответственно равна 0,02, 0,03 и 0,01.
Проведённые анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза.
Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.
Решение. Пусть H1, H2, H3 – гипотезы, заключающиеся в том, что пациент
принадлежит соответственно первой, второй и третьей группам. Очевидно, что они
образуют полную группу событий, причём p(H1)=0,3; p(H2)=0,2; p(H3)=0,5. По условию
событие А, обнаружение туберкулёза у больного, произошло, причём условные
вероятности по данным условия равны p(А/H1)=0,02; p(А/H2)=0,03; и p(А/H3)=0,01.
Апостериорную вероятность p(H3/А) вычисляем по формуле Байеса:
p( H 3 ) * p( A | H 3 )
0,5 * 0,01
5
p( H 3 | A)  3

 .
0,3 * 0,02  0,2 * 0,03  0,5 * 0,01 17
 p( H i ) * p( A | H i )
i 1
Практическая работа №6 «Решение задач на законы
распределения вероятностей дискретных случайных
величин».
Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в
зависимости от результата стохастического эксперимента.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой
образуют конечное множество.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по
которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с
n
которой случайная величина может принять это значение, причём
p
i 1
i
 1.
Пример. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике.
Составить закон распределения случайной величины х, числа полученных пятёрок, если
вероятность получения пятёрки по математике равна 0,8, а по физике – 0,6.
Решение. Обозначим А1 и А2 – события, заключающиеся в том, что и математика,
и физика сданы на 5. Очевидно, возможные значения х есть 0, 1, 2, причём
p ( x  0)  p ( A1 * A2 )  p( A1 ) * p ( A2 )  0.2 * 0.4  0.08;
p ( x  1)  p ( A1 * A2  A1 * A2 )  0.8 * 0.4  0.2 * 0.6  0.44;
p ( x  2)  p ( A1 * A2 )  p( A1 ) * p ( A2 )  0.8 * 0.6  0.48
11
Полученные результаты сведём в таблицу:
xi 0
1
2
pi 0.08 0.44 0.48
n
p
i 1
i
 0,08  0,44  0,48  1 .
Практическая работа №7 «Нахождение числовых
характеристик дискретных случайных величин».
К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся
математическое ожидание и дисперсия.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины х называется
произведение всех её возможных значений на их вероятности:
n
M ( x)   xi pi
i 1
Свойства математического ожидания:
- математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
М(С)=С
- постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
М(Сх)=С*М(х)
- математическое ожидание суммы случайных величины равно сумме
математических ожиданий слагаемых:
n
n
i 1
i 1
M ( xi )   M ( xi )
- математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно
произведению математических ожиданий сомножителей:
М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…М(хn)
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от её математического ожидания:
D(x)=M((x-M(x))2) или D(x)=M(x2) – (M(x))2
Среднеквадратическое отклонение:   D(x)
Свойства дисперсии:
- дисперсия постоянной равно нулю:
D(С)=0
- постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
D(Сх)=С2*D(х)
- дисперсия суммы (разности) случайных величины равно сумме дисперсий
слагаемых:
n
n
i 1
i 1
D ( xi )   D ( xi )
Свойства среднеквадратического отклонения:
-  (С )  0
-  (Сx) | C | * ( x)
12
Пример 1. Закон распределения случайной величины задан таблично. Найти
р(х<2), р(х>4), р(2≤х≤4), математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое
отклонение.
xi 1
2
3
4
5
pi 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
Решение. р(х<2)=0,1;
р(х>4)=0,1;
р(2≤х≤4)=0,2+0,4+0,2=0,8;
М(х)=1*0,1+2*0,2+3*0,4+4*0,2+5*0,1=3;
D(x)=12*0,1+22*0,2+32*0,4+42*0,2+52*0,1-32=1,2
σ(x)= 1,2 =1,095
Пример 2. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и
колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более
20-ти центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:
цена за 10 яиц 0,6 0,4 0,2 0
-0,2
Р
0,2 0,5 0,2 0,06 0,04
Как оценить ожидаемую прибыль от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом
году 100000 яиц?
Решение. х – случайная, прибыль от продажи 10 яиц.
М(х)=0,6*0,2+0,4*0,5+0,2*0,2+0*0,06-0,2*0,04=0,352
М(10000х)=10000*0,352=3520 $
D(x)=0.62*0.2+0.42*0.5+0.22*0.2+02*0.06+(-0.2)2*0.04-0.3522=0.037696
σ(x)= 0,037696 =0.194154578
D(10000x)=100002* D(x)=19415457.76
σ(x)= 0,194154578 =0.441
Практическая работа №8 «Вычисление функции и
плотности распределения непрерывных случайных
величин».
Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в
зависимости от результата стохастического эксперимента.
Непрерывной назовём случайную величину, которая может принять любое
значение из некоторого промежутка.
Распределение вероятностей непрерывной случайной величины х можно
dF ( x )
задавать либо функцией распределения F(x)=p(ξ<x), либо её производной f(x)=
,
dx
называемой плотностью вероятности.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
f(x)=F'(x),
а зная f(x), найдём функцию распределения:
13
0
F ( x) 
 f (t )dt

Для непрерывной случайной величины х вероятность попадания её в промежуток с
концами a и b равна:
b
P(a  x  b)  P(a  x  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx .
a

Причём
 f ( x)dx  F ()  1 .

Пример. Задана следующая функция распределения:
0, x  0

F ( x )   x 2 ,0  x  1
1, x  1

Найти плотность распределения.
Решение.
Зная F(x), можно найти плотность вероятности по формуле:
2 x,0  x  1
f(x)=F'(x)= 
0, x  [0,1]
Равномерное распределение. Случайная величина х называется равномерно
распределённой на [a, b], если её плотность распределения f(x) на [a, b] постоянна, а вне
[a, b] равна 0:
0, x  [a, b]

f ( x)   1
,
 b  a , x  [a, b]
Пример 1. Время ожидания автобуса (х) измеряется в минутах и распределено
равномерно на отрезке [0, 30]. Определить, что ждать придётся не более 10 минут.
Решение.
a  0, b  30
1
1
1


b  a 30  0 30
10
1
1 10 1
1
P( x  10)   dx 
x0 
(10  0) 
30
30
30
3
0
f ( x) 
Пример 2. Задана плотность распределения:
h  2;1  x  2
f ( x)  
0, x  [1,2]
Найти h.
0, x  [a, b]
0, x  [1,2]
0, x  [1,2]


 1

Решение. f ( x)   1
 b  a , x  [a, b]  2  1 , x  [1,2] 1, x  [1,2]
h-2=1  h=3
Нормальное распределение. Случайная величина х называется нормально
распределённой, если её плотность распределения f(x) имеет вид:
14
f ( x) 
1
 2

1
 2

e

e
( xa )2
2 2
,  x  
,
( xa )2
2 2
dx  1

где а и σ – параметры нормального распределения, σ >0.
В этом случае говорят, что х распределено нормально согласно закону N(a, σ).
Если а=0 и
σ=1, то f ( x) 
1

x2
2
e
и эта функция обозначается через φ(х) и
2
называется плотностью нормированного и центрированного нормального распределения.
Функция распределения в этом случае обозначается через Ф( х) 
1
Значения Ф(х) затабулированы, Ф() 
2

е

у2
2
1
2
х
е

у2
2
dy .

dy  1 .

Пример. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост
мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного
мужчины будет в пределах 160-190 см?
Решение.
 а
 а
200  175
160  175
Р(160  x  190)  Ф(
)  Ф(
)  Ф(
)  Ф(
)  Ф(2,5)  Ф(1,5) 


10
10
 0,9938  0,0668  0,927
Правило трёх сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).
a  а  3
a  а  3
Р(/ х  а /  3 )  P(a  3  x  a  3 )  Ф(
)  Ф(
)  Ф(3)  Ф(3) 


 0,9986  0,0014  0,9972
Пример. Рост мужчины в Москве имеет нормальное распределение. Средний рост
мужчины в Москве а=175 см, σ=10 см. Какова вероятность, что рост первого встречного
мужчины будет в пределах 145-205 см?
Решение.
Р(145  x  205)  0,9972
Правило двух сигм. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).
a  а  2
a  а  2
Р(/ х  а /  2 )  P(a  2  x  a  2 )  Ф(
)  Ф(
)  Ф(2)  Ф(2) 


 0,9772  0,0228  0,9544
Правило одной сигмы. Случайная величина х распределена нормально N(a, σ).
a  а 
a  а 
Р(/ х  а /   )  P(a    x  a   )  Ф(
)  Ф(
)  Ф(1)  Ф(1) 


 0,8413  0,1587  0,6826
Литература
1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике.- М., Высшая школа,
1979.
2. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая
статистика. – М.: Гардарики, 1998.
15
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 2001.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высшая школа, 2001.
5. М.Р.Ефимова, Е.В.Петрова, В.Н.Румянцев. Общая теория статистики,
учебник. – М., ИНФРА-М, 1999
6. В.Н.Калинина, В.Ф.Панкин. Математическая статистика. Учебник.- М.,
ACADEMA, 2001
7. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, часть 2. Учебник
под ред. Г.Н.Яковлева. – М., Наука, 1981 г.
8. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. –
М.: Наука, 1982.
9. Солодовников А.С. Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1983.
Дополнительные источники:
1. Вентцель Е. С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
вероятностей. М.: «Высшая школа» 2000 г.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: «Высшая школа» 2001 г.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:
«Высшая школа» 2001 г.
4. Ивашов-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая
статистика. М.: «Наука» 1979 г.
5. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. М.: «Высшая
школа» 2001 г.
16