Мат[1]. анализ. Программа курса

Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
Южный федеральный университет
Факультет математики, механики и компьютерных наук
Кафедра высшей математики и исследования операций
Учебно-методический комплекс
по дисциплине
«Математический анализ и дифференциальные уравнения»
для студентов специальности 08.01.01
«Теория и практика государственных закупок»
Составитель: кандидат физико-математических наук, доцент
В.М.Семигук
Ростов-на-Дону
2010
Математический анализ и дифференциальные уравнения
Организационно-методический раздел
Цель курса
Данный курс имеет целью ознакомить студентов с основами математического
аппарата, необходимого при решении теоретических и практических задач по
специальности «Теория и практика государственных закупок», выработать у студентов
навыки к математическому исследованию экономических проблем.
Задача курса
В данном курсе ставится задача обучить студентов инструменту исследования
функций одной или нескольких переменных.
Место курса
Курс является обязательной дисциплиной и читается в первом семестре.
Требования к уровню освоения содержания курса
В результате освоения курса студент должен уметь исследовать функцию одного
переменного, строить ее график, исследовать на экстремум и условный экстремум
функцию двух переменных..
Темы и краткое содержание
Раздел 1. Математический анализ.
Тема 1. Множества и действительные числа.
Множество. Пустое множество. Подмножество. Вложение, равенство,
объединение, пересечение, разность множеств. Понятие мощности множества.
Действительные числа. Числовая прямая, расширенная числовая прямая.
Модуль действительного числа, его свойства. Отрезок, интервал, полуинтервал.
Окрестность и проколотая окрестность точки. Ограниченные и неограниченные
подмножества множества действительных чисел.
Тема 2. Функция.
Понятие функции. Область определения, аргумент, область значений
функции. График функции. Способы задания функций. Четная, нечетная функции.
Периодические функции. Обратная функция. Сложная функция. Основные элементарные
функции, их свойства. Допустимые действия с элементарными функциями.
Приложения понятия функции в экономике.
Тема 3. Числовая последовательность и ее предел.
Определение числовой последовательности, способы ее задания. Предел
числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Геометрическая иллюстрация предела числовой последовательности. Ограниченность
сходящейся
числовой
последовательности.
Свойства
предела
числовой
последовательности.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Связь
бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Свойства бесконечно
малых и бесконечно больших последовательностей.
Монотонные последовательности и их предел.
Неопределенные выражения, раскрытие неопределенностей.
Тема 4. Предел и непрерывность функции.
Определение предела значений функции. Свойства предела функции.
Правила нахождения пределов. Односторонний предел.
Бесконечно малые функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых
функций, порядок малости, эквивалентные функции. Таблица эквивалентностей.
Бесконечно большие функции, их свойства. Связь бесконечно больших и
бесконечно малых функций.
Некоторые замечательные пределы.
Непрерывность функции. Определение. Свойства непрерывных функций.
Непрерывность основных элементарных функций.
Точки разрыва функции, их классификация
Использование пределов в финансовой математике.
Тема 5. Производная функции.
Определение производной непрерывной функции. Геометрическое
значение производной. Связь дифференцируемости и непрерывности функции.
Основные свойства производной. Производные основных элементарных
функций, таблица производных. Производная сложной функции. Производная обратной
функции. Производные высших порядков.
Теорема Лагранжа о конечном приращении функции, два следствия.
Теорема Ролля. Формула Тейлора, её приложения.
Экстремум функции одной переменной. Возрастание и убывание функции.
Необходимое условие возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания
(убывания) функции. Экстремум функции, максимум и минимум, точки экстремума.
Необходимое условие экстремума функции, критические точки. Достаточное условие
экстремума функции.
Выпуклые функции, выпуклость вверх и вниз. Достаточное условие
выпуклости. Точки перегиба.
Правило Лопиталя.
Исследование функций и построение графиков.
Тема 6. Дифференциал функции.
Определение, единственность дифференциала. Дифференциал независимой
переменной. Геометрический смысл дифференциала. Свойства дифференциала. Таблица
дифференциалов функций. Дифференциалы высших порядков.
Предельные величины в экономике.
Тема 7. Неопределенный интеграл.
Задача интегрального исчисления. Первообразная заданной функции.
Теорема об общем виде первообразной. Определение неопределенного интеграла. Его
свойства.
Таблица
неопределенных
интегралов.
Таблица
преобразований
дифференциалов.
Основные методы интегрирования: метод разложения, метод подстановки
(замены переменной), метод интегрирования по частям.
Основная теорема интегрального исчисления. Понятие о неберущихся
интегралах.
Тема 8. Определенный интеграл.
Определение, пределы интегрирования, подинтегральная функция.
Теорема от существовании определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним
(нижним) пределом. Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства
определенного интеграла. Теорема о среднем. Интегрирование по частям в определенном
интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. Понятие о несобственных
интегралах.
Приложения определенного интеграла.
Тема 9. Ряды.
Определение. Частичные суммы ряда, сумма ряда. Сходящиеся и
расходящиеся ряды. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости ряда.
Знакопостоянные ряды. Критерий сходимости. Признаки сходимости.
Знакопеременные ряды, абсолютно и условно сходящиеся ряды. Условие
абсолютной сходимости.
Знакочередующиеся ряды. Определение. Теорема Лейбница.
Степенные ряды. Теорема об области сходимости степенного ряда.
Свойства степенных рядов. Ряд Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд
Маклорена. Ряд Тейлора.
Тема 10. Функции нескольких переменных.
Функции двух переменных, их геометрическое изображение, линии
уровня. Окрестность точки на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости.
Непрерывность функции двух переменных. Частное и полное приращение
функции. Непрерывность функции в точке и в области. Частные производные первого
порядка. Геометрический смысл частных производных первого порядка. Полный
дифференциал функции двух переменных. Теорема о связи дифференцируемости и
непрерывности функции двух переменных. Теорема о представлении полного
дифференциала. Достаточное условие дифференцируемости.
Частные производные высших порядков. Теорема о независимости
значения производной от порядка дифференцирования. Признак полного дифференциала.
Экстремум функции двух переменных, точки экстремума. Необходимое
условие экстремума. Критические точки. Достаточное условие экстремума. Условный
экстремум.
Раздел 2. Дифференциальные уравнения.
Тема 1. Общие понятия.
Дифференциальное уравнение, его порядок. Решение дифференциального
уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения, интегральная
кривая.
Тема 2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка, нормальная форма. Задача
Коши, начальные условия. Теорема о существовании и единственности задачи Коши.
Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка. Однородные уравнения.
Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
Общие понятия. Задача Коши. Теорема о представлении общего решения.
Тема 4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами.
Общие понятия. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение. Линейно зависимые
решения. Теорема о представлении общего решения линейного однородного уравнения
второго порядка.
Тема 5. Дифференциальные уравнения в экономике.
Контрольные вопросы и задания для самостоятельной работы
Вопросы к экзамену
1. Понятие множества, операции над множествами.
2. Понятие функции, график функции, способы задания функций.
3. Основные элементарные функции, допустимые действия с ними.
4. Понятие числовой последовательности, способы ее задания.
5. Предел последовательности, сходящиеся и расходящиеся последовательности.
6. Геометрическая иллюстрация предела последовательности.
7. Свойства предела последовательности.
8. Бесконечно малые последовательности, их свойства.
9. Бесконечно большие последовательности, их свойства.
10. Предел значений функции .
11. Свойства предела функции.
12. Понятие непрерывности функции в точке.
13. Свойства непрерывных функций.
14. Непрерывность основных элементарных функций.
15. Точки разрыва, их классификация.
16. Бесконечно малые функции, их сравнение. Порядок малости.
17. Понятие производной непрерывной функции, ее геометрическая иллюстрация.
18. Основные свойства производных.
19. Производная сложной функции.
20. Производная обратной функции.
21. Производные высших порядков.
22. Теорема Лагранжа о конечных приращениях.
23. Понятие экстремума функции одной переменной.
24. Необходимое условие возрастания (убывания) функции.
25. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
26. Необходимое условие экстремума функции.
27. Достаточное условие экстремума функции.
28. Понятие выпуклости функции, точки перегиба.
29. Схема исследования функции.
30. Понятие дифференциала функции, его свойства.
31. Понятие функции двух переменных, линии уровня.
32. Непрерывность функции двух переменных в точке и в области.
33. Частные производные функции двух переменных.
34. Полный дифференциал функции двух переменных.
35. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия
экстремума функции двух переменных.
36. Понятие об условном экстремуме функции двух переменных.
37. Первообразная заданной функции, теорема о ее общем виде.
38. Определение неопределенного интеграла, его свойства.
39. Основная теорема интегрального исчисления.
40. Понятие о «неберущихся» интегралах.
41. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
42. Свойства определенного интеграла.
43. Теорема о среднем.
44. Понятие о несобственных интегралах.
45. Ряд, его частичные суммы, сумма ряда.
46. Свойства сходящихся рядов.
47. Признаки сходимости ряда.
48. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
49. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
50. Степенные ряды, их свойства.
51. Ряд Маклорена.
52. Ряд Тейлора.
53. Понятие дифференциального уравнения, его решение, общее решение.
54. Дифференциальные уравнения первого порядка Задача Коши, начальные условия.
55. Уравнения с разделяющимися переменными.
56. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго
порядка. Характеристическое уравнение.
57. Теорема
о представлении общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения второго порядка.
58. Дифференциальные уравнения в экономике
.
Типы задач
для курса «Математический анализ и дифференциальные уравнения»
1.Найти область определения и область значений функции.
2.Проверить четность функции.
3.Вычисление простых и сложных процентов.
4.Найти предел числовой последовательности.
5.Определить, начиная с которого члена последовательности модуль ее общего члена
будет меньше заданного числа.
6.Найти предел функции.
7.Сравнить бесконечно малые функции.
8.Исследовать на непрерывность функцию в заданной точке.
9.Определить точки разрыва функции.
10.Вычислить производную и ее значение в заданной точке.
11.Вычислить производную функции, заданной параметрически.
12.Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке.
13.Найти угол между линиями в заданной точке.
14.Найти производную порядка два, три и т.д.
15.Найти полное приращение функции и ее дифференциал. Сравнить их значение в
заданной точке.
16.Найти приближенное значение функции в заданной точке.
17.Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.
18.Найти интервалы монотонности функции.
19.Найти критические точки и точки экстремума функции.
20.Найти максимальное и минимальное значение функции.
21.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
22.Найти асимптоты графика функции.
23.Исследовать функцию и построить ее график.
24.Вычислить частные производные первого и второго порядка для заданной функции.
25.Найти экстремум функции двух переменных.
26.Найти экстремум функции дух переменных при заданных условиях.
27.Найти неопределенный интеграл (метод разложения, метод подстановки, метод
интегрирования по частям).
28.Вычислить определенный интеграл.
29.Вычислить площадь фигуры.
30.Найти объем тела вращения.
31.Исследовать сходимость числового ряда (признаки сравнения, Коши, Даламбера).
32.Разложить функцию в степенной ряд.
33.С заданной точностью вычислить значение функции.
34.Решить дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
переменными.
35. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными.
36.Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами.
37. Решить неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами методом вариации произвольных постоянных.
Задания для самостоятельной работы
В качестве заданий для самостоятельной работы рекомендуются задания из
Практикума по высшей математики для экономистов: Учеб. пособие для вузов под ред.
проф. Н.Ш.Кремера [5].
Форма текущего, промежуточного и итогового контроля
Формой текущего контроля являются периодические консультации и опросы на
лекциях. Промежуточной формой контроля являются коллоквиумы и контрольные
работы. Итоговый контроль осуществляется в форме письменного экзамена.
Учебно-методическое обеспечение курса
Основная литература
1. Высшая математика для экономистов / под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: Банки и биржи,
2010.
2. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М: ИНФРА-М, 2001.
3. Общий курс высшей математики для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова.
М.:ИНФРА-М. 2008.
4. Плис А.И., Сливина Н.А. MATHCAD
2000. Математический практикум для
экономистов и инженеров. М.: Финансы и статистика, 2000.
5. Практикум по высшей математике для экономистов. Под редакцией Н.Ш.Кремера.
М.:ЮНИТИ.2008.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.:
ИНФРА-М. 2008.
7. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике М.,ч.1.
Финансы и статистика. 2007.
8. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике М.,ч.2.
Финансы и статистика. 2007.
9. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть 1. Ростов-на-Дону. 2001.
10. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть 2(1). Ростов-на –Дону. 2005.
11. Фоменко С.В. Математический анализ. Часть 2(2). Ростов-на –Дону. 2005.
12. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Гуманитариям о математике. М. Эдиториал УРСС,
2006.
Дополнительная литература
1. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. М.: ИНФРА-М, 1999.
2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики М., Наука 1980г.
3.Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ а
примерах и задачах . т.1,2. Киев.: Высшая школа. 1975.
4.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1971.
Компьютерные программы, используемые в курсе
При изучении курса студентам рекомендуется использовать сопровождение
практических занятий решением аналогичных задач в пакете программ MATHCAD
2000.