Теория гомотопий - Санкт-Петербургское отделение

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО НАУЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ
Учреждение Российской академии наук
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В.А.Стеклова РАН
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
Теория гомотопий
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Федеральный ГОС ВО
Форма обучения: очная
Программу в соответствии с ФГОС ВО разработал
Г.н.с., профессор, д.ф.-м.н.
Санкт-Петербург
Ю.Д. Бураго
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью
преподавания
данной
дисциплины
—
подготовка
высококвалифицированных специалистов-топологов. В курсе особое внимание
уделяется применениям теории гомотопий, ее связям с прочими разделами
математики.
- Задачей дисциплины является изучение основ гомотопической теории,
необходимых для восприятия других дисциплин. После освоения курса аспиранты
должны иметь четкое представление об основных методах и подходах теории
гомотопий, уметь вычислять фундаментальные группы пространств определенного
класса, высшие группы гомотопий некоторых пространств.
Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование которых
ориентировано изучение дисциплины «Теория гомотопий».
Код
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
ПК-1
готовность применять методы римановой геометрии в задачах математики,
механики и математической физики
ПК-2
готовность применять методы теории гомотопий теоретико-прикладных
задачах математики и механики
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Теория гомотопий» и её вклад в формирование результатов
обучения (компетенций) слушателя:
- умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
- умение представить полученные научные результаты.
- знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
- умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ УЧЕБНОГО ПЛАНА
АСПИРАНТУРЫ
Дисциплина «Теория гомотопий» изучается в пятом семестре 3 курса аспирантуры.
Изучение данной дисциплины опирается на знания аспирантов в общих курсах
математического анализа, алгебры, геометрии и топологии. Освоение дисциплины
«Теория гомотопий» должна дать аспирантам возможность выйти на уровень, который
позволил бы им проводить исследования на переднем крае геометрии, включая такие
явления как коллапс.
3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТРУДОЕМКОСТИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ПО
ВИДАМ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ И ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ
3.1 Виды учебной деятельности
Виды учебной работы
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Самостоятельная работа (СР)
Экзамен (Э)
Трудоемкость по семестрам
5 сем.
ач/нед
ач/сем
18
-
Общая трудоемкость освоения дисциплины
Итого, ач
18
В академических часах, ач
18
В зачетных единицах, ЗЕ
3
3.2 Разделы дисциплины и виды учебной работы
Изучаемый вопрос
1 Гомотопии и гомотопические типы.
2 Фундаментальные группы.
3 Накрытия.
4 Гомотопические группы.
5 Методы вычислений групп гомотопий.
6 Связь с теорией гомологий.
Итого по видам учебной работы
Общая трудоемкость освоения дисциплины: а.ч./ЗЕ
Л, ач
3
3
3
3
3
3
18
ПЗ, ач
СР, ач
18/3 ЗЕ
4. РАЗДЕЛЫ ДИСЦИПЛИНЫ И ИХ СОДЕРЖАНИЕ
Разделы дисциплины
Содержание разделов
Гомотопии и гомотопические типы.
Пространства и операции над ними.
Клеточные комплексы. Ретракты.
Критерии гомотопической
эквивалентности. Теорема Борсука о
продолжении гомотопии и ее
доказательство. Следствия теоремы
Борсука. Теорема о клеточной
аппроксимации, ее применения.
Фундаментальные группы.
Произведения групп. Вычисление
фундаментальных групп. Теорема Зейферта
— ван Кампена, ее доказательство.
Накрытия.
Накрытия и их классификация. Скольжения
накрытий, действия групп. Регулярные
накрытия. Универсальные накрытия.
Теорема о накрывающей гомотопии.
Гомотопические группы.
Определение и базовые свойства
гомотопических групп. Относительные
гомотопические группы и точная
гомотопическая последовательность. nсвязные пространства. Клеточная
аппроксимация.
Методы вычислений групп гомотопий.
Теорема Фрейденталя о надстройке и ее
доказательство. Вычисление групп
гомотопий пространств Эйленберга —
Маклейна. Теорема Гуревича и ее
доказательство. Гомоморфизм Гуревича.
Относительная теорема Гуревича и
теорема Уайтхеда. Расслоения.
Стабильные гомотопические группы.
Связь с теорией гомологий.
Гомотопическая конструкция гомологий.
Расслоения. Башни Постникова. Теория
препятствий.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Преподавании курса носит форму лекций с проверкой усвоения материала курса в форме
экзамена. Вместе с тем, в преподавании курса используются современные технологии,
такие как проблемное обучение, междисциплинарное обучение.
Традиционным для курса является широкое использование знаний аспирантов,
полученных ими в ходе освоения смежных теоретических курсов. Курс лекций «Теория
гомотопий» базируется на знаниях, приобретенных слушателями на предыдущих этапах
обучения, в частности при изучении математического анализа, алгебры, геометрии и
топологии.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
6.1 Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Теория гомотопий»
является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства гомотопии и гомотопических типов.
- Определение и основные свойства фундаментальной группы.
- Определение и основные свойства накрытий.
- Определение и основные свойства гомотопических групп.
- Методы вычислений групп гомотопий.
- Связь теории гомотопий с теорией гомологий.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
6.2 Оценочные средства
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Теория гомотопий» является
посещение лекций и успешная сдача экзамена для приобретения дополнительных знаний,
полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.04
Геометрия и топология и выполнения квалификационной работы и последующей защиты
кандидатской диссертации.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Рекомендованная литература
1. A. Hatcher, “Algebraic Topology”, Cambridge University Press, 2002.
2. А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс, “Курс гомотопической топологии”, М.: Наука, 1989.
3. В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс, “Начальный курс топологии. Геометрические главы”, М.:
Наука, 1977.
4. Р. М. Свитцер, “Алгебраическая топология — гомотопии и гомологии”, Наука, 1985.
Дополнительная литература
1. О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов, “Элементарная топология”,
МНЦМО, 2010.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Лаборатория геометрии и топологии ПОМИ РАН, оснащенная необходимой техникой,
оборудованием и доступом к электронным ресурсам.
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Санкт-Петербургское отделение
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
(ПОМИ РАН)
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27
тел. (812) 312-40-58, факс (812) 310-53-77
e-mail: [email protected]
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель директора
по научной работе ПОМИ РАН
доктор ф.-м. наук
_______________ С. И. Репин
«__»___________ 2015 г.
Фонд оценочных средств
Теория гомотопий
основная образовательная программа подготовки аспиранта
по направлению 01.06.01 Математика и механика
направленность (профиль) подготовки - Геометрия и топология
Санкт-Петербург
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
- Целью
преподавания
данной
дисциплины
—
подготовка
высококвалифицированных специалистов-топологов. В курсе особое внимание
уделяется применениям теории гомотопий, ее связям с прочими разделами
математики.
- Задачей дисциплины является изучение основ гомотопической теории,
необходимых для восприятия других дисциплин. После освоения курса аспиранты
должны иметь четкое представление об основных методах и подходах теории
гомотопий, уметь вычислять фундаментальные группы пространств определенного
класса, высшие группы гомотопий некоторых пространств.
- Результаты обучения (компетенции) аспиранта, на формирование
которых ориентировано изучение дисциплины «Теория гомотопий».
Код
Результат обучения (компетенция) выпускника ООП
ПК-1
готовность применять методы римановой геометрии в задачах математики,
механики и математической физики
ПК-2
готовность применять методы теории гомотопий теоретико-прикладных
задачах математики и механики
Планируемые результаты изучения дисциплины, обеспечивающие достижение цели
изучения дисциплины «Теория гомотопий» и её вклад в формирование результатов
обучения (компетенций) слушателя:
 умение ориентироваться в научной литературе, критически оценивать
методы для решения теоретических задач.
 умение представить полученные научные результаты.
 знания о современных теоретических концепциях, лежащих в основе
дисциплины.
 умение применять освоенные теоретические методы в смежных
дисциплинах.
2. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ И
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ
2.1. Критерии оценивания
Оценкой успешной работы аспиранта при освоении дисциплины «Теория гомотопий»
является приобретение им знания:
- Определение и основные свойства гомотопии и гомотопических типов.
- Определение и основные свойства фундаментальной группы.
- Определение и основные свойства накрытий.
- Определение и основные свойства гомотопических групп.
- Методы вычислений групп гомотопий.
- Связь теории гомотопий с теорией гомологий.
- Умение ориентироваться в научной литературе по данной тематике.
2.2. Оценочные средства
Промежуточная аттестация производится в форме экзамена.
Вопросы экзамена:
1. Клеточные комплексы. Ретракты. Критерии гомотопической эквивалентности.
2. Теорема Борсука о продолжении гомотопии и ее доказательство. Следствия теоремы
Борсука.
3. Теорема о клеточной аппроксимации, ее применения.
4. Произведения групп. Вычисление фундаментальных групп.
5. Теорема Зейферта — ван Кампена, ее доказательство.
6. Накрытия и их классификация.
7. Скольжения накрытий, действия групп.
8. Регулярные накрытия. Универсальные накрытия.
9. Теорема о накрывающей гомотопии.
10. Определение и базовые свойства гомотопических групп.
11. Относительные гомотопические группы и точная гомотопическая
последовательность.
12. n-связные пространства.
13. Клеточная аппроксимация.
14. Теорема Фрейденталя о надстройке и ее доказательство.
15. Вычисление групп гомотопий пространств Эйленберга — Маклейна.
16. Теорема Гуревича и ее доказательство.
17. Гомоморфизм Гуревича.
18. Относительная теорема Гуревича и теорема Уайтхеда.
19. Расслоения. Стабильные гомотопические группы.
20. Гомотопическая конструкция гомологий.
21. Башни Постникова.
22. Теория препятствий.
Тесты:
1. Это пространство не является ретрактом 3-мерного шара
a. 2-мерная сфера;
b. точка;
c. отрезок;
d. 2-мерный шар.
2. При переходе к ретракту не всегда сохраняется
a. компактность;
b. связность;
c. линейная связность;
d. размерность.
3. Эти два пространства гомотопически эквивалентны
a. точка и 2-мерная сфера;
b. точка и 3-мерный шар;
c. 3-мерный шар и 2-мерная сфера;
d. плоскость и 3-мерная сфера.
4. Накрытие не всегда является
a. локально тривиальным расслоением;
b. расслоением Гуревича;
c. гомеоморфизмом;
d. непрерывным отображением.
5. Фундаментальная группа окружности изоморфна
a. Z2;
b. Z3;
c. Z;
d. Z2.
6. Фундаментальная группа тора изоморфна
a. Z2;
b. Z3;
c. Z;
d. Z2.
7. Универсальное накрывающее трехмерного тора гомеоморфно
a. трехмерной сфере;
b. четырехмерному тору;
c. трехмерному евклидову пространству;
d. пятимерному проективному пространству.
8. Вторая группа гомотопий пространства Эйленберга-Маклейна K(G,n) при n>5
изоморфна
a. Z2;
b. тривиальной группе;
c. Z;
d. Z2 .
9. Башня Постникова -- это
a. последовательность расслоений клеточных пространств;
b. последовательность накрытий клеточных пространств;
c. последовательность степеней клеточных пространств;
d. последовательность фундаментальных групп клеточных пространств.
10. При n>9 верно равенство
a. πn+7(Sn)=Z6;
b. πn+7(Sn)=Z24;
c. πn+7(Sn)=Z120;
d. πn+7(Sn)=Z720.
Критерием усвоения материала курса лекций по дисциплине «Теория гомотопий» является
посещение лекций и успешная сдача экзамена для приобретения дополнительных знаний,
полезных для успешной сдачи кандидатского экзамена по специальности 01.01.04
Геометрия и топология и выполнения квалификационной работы и последующей защиты
кандидатской диссертации.