Прокопьев Е.П. Магнитопозитроний в полупроводниках //... энергий. 1996. Т.30. №2. С.141-144.

1.
Прокопьев Е.П. Магнитопозитроний в полупроводниках // Химия высоких
энергий. 1996. Т.30. №2. С.141-144.
УДК 539.124.6.539.21.539.189.2
МАГНИТОПОЗИТРОНИЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Е.П.Прокопьев
Федеральное Государственное Унитарное Предприятие «Государственный Научный
центр Российской Федерации- Институт теоретической и Экспериментальной Физики им.
А.И.Алиханова», ФГУП ГНЦ РФ – ИТЭФ, 117218 Россия, Москва, ул. Б.Черемушкинская,
25
2
Московский Государственный Институт Электронной техники (технический
университет), МИЭТ, 124498 Россия, Москва, г.Зеленоград, проезд 4806, д.5
Поступила в редакцию
2008 г.
1
Магнитопозитроний – новая квазичастица – может образовываться при облучении
полупроводников позитронами при сверхнизких температурах в сильных магнитных
полях. В связи с этим в рамках теории Горького-Дзялошинского (Л.П.Горьков,
И.Е.Дзялошинский, ЖЭТФ. 1967. Т.53. Вып.2. С.717-722) рассчитаны вероятности  s и
ширины N процесса двухквантовой аннигиляции магнитопозитрония. Оказалось, что
величинам  s и N присущи необычайно сильные аномалии, что позволяет надеяться
детектировать магнитопозитроний, по крайней мере при максимально достижимых полях
в лаборатории H ~ 100 Тл.
Теория атома позитрония ( Ps ) большого и малого радиусов в различных веществах
рассматривалась в работах [1-8]. В данном сообщении обсуждается теория Ps большого
радиуса в полупроводниках в сильном магнитном поле. Эта задача во многои подобна
задаче экситона в полупроводниках (см., например, [9-20]). Следуя [9-11], рассмотрим
позитроний в сильном однородном магнитном поле, который будем называть по аналогии
с магнитоэкситоном [12-15] магнитопозитронием. Свойства его резко отличаются от
свойств позитрония большого радиуса в полупроводниках и от свойств свободного атома
позитрония в вакууме. Теория позитрония большого радиуса в сильном магнитном поле
во
многом
аналогична
теории
Элиота-Лудона
[9],
Хасегавы-Хауорда
[21]
и
Горькова=Дзялошинского [10] для экситона Мота с равным нулю импульсом P  0 и
P  0 . Здесь воспользуемся общим случаем теории экситона Мота в сильном магнитном
поле с P  0 [10]. Ограничимся случаем сильного магнитного поля, когда расстояние
между уровнями Ландау eH / c (  - приведенная масса) превосходит Кулонову
энергию e 4 /  2  2 (  - диэлектрическая проницаемость) и случаем изотропного закона
1
дисперсии для электронов и позитрона. Для полноты изложения и более ясного
понимания физической сущности проблемы изложим фрагменты теории экситона Мота в
сильном магнитном поле Горькова-Дзялошинского [10].
Согласно
[9,10],
в
первом
приближении
по
малому
параметру
теории
( e 4 /  2  2 ) /( eH / c) волновая функция магнитопозитрония  имеет вид
(r )   (  ) ( z ) ,
(1)
где  (  ) характеризует свободное поперечное движение, а  (z ) является решением
уравнения, получающегося в результате усреднения уравнения Шредингера в сильном
магнитном поле [10] при помощи  (  ) .
Как и в [10], ограничимся магнитопозитронием в нулевой зоне Ландау. Имеем
 ( ) 
 2
 2
exp
2 2H
 4 H
1

 ,

(2)
где магнитный радиус  H равен
H  (c / eH )1 / 2
(3)
При этом функция  (z ) удовлетворяет уравнению Эллиота-Лудона
 2 d 2



U
(
z
)

  W ,
2
 2 dz

(4)
где
u( z)   
 2
d
  2
exp
22H  [(    0 ) 2  z 2 ]1 / 2
 2 H
e2



(5)
В формулах (1)-(5) c - скорость света,  - постоянная Планка, H - напряженность
магнитного поля,   mn m p /( mn  m p ) - приведенная масса позитрония, m n и m p эффективные массы электрона и позитрона соответственно,  - диэлектрическая
2
проницаемость,  0  (c / eH 2 )[ HP ], M  mn  m p . Энергия магнитопозитрония получается
равной
E 
P 2  P  2 eH

W
2M
2c
(6)
Здесь  - расстояние между позитроннойьи электронной зонами.
Решение
уравнения
(4)
по
Эллиоту-Лудону
дает
энергию
основного
магнитопозитрония.
W0  
2 2
 2

;
r

,
B
2rB2
e 2
(7)
где параметр  теории Горькова-Дзялошинского является решением


 2 P  2
  C   H
 2 2


 2 H  
rB
  2 ln 
x
( x)   dye  y ln
0

 ,

(8)
x
y
(9)
Здесь ( x)  x при x  0 ,  ( x)  ln x при x   , C - постоянная Эйлера.
Возбужденные состояния дискретного спектра магнитопозитрония даются формулой
Горькова=-Дзялошинского [10] (  1,2,... )
W  
2 1
2 1

 ,
2rB2  2 2rB2  3
 r 
1 3
1  2 P  2
 ln  B    ( ) 
 C   H 2

2 2
2  2
 2 H 
1
Здесь  ( ) -  -функция, а  (x)
(10)



(11)
- определяются формулой [9]. Кроме того,
магнитопозитроний, как и экситон [9], имеет водородную серию уровней, отвечающую
3
антисимметричным по z волновым функциям. Приведем, согласно [9], добавку W0 к W0
при P   0
W0  P  2 / 2M 0 ; M 0  
rB2 0
2H
,
(12)
где  0 является решением уравнения (8) при P   0 . Соответствующая добавка к W
равна для этого случая
W0  P  / 2M 0 ; M   2
2
rB2  3
2H  v2
,
(13)
0
Перейдем к расчету основных характеристик аннигиляции магнитопозитрония.
Вероятность двухквантовой аннигиляции, просуммированная по волновым векторам
центров масс аннигилирующих пар и поляризациям излучаемых фотонов, дается с
хорошей точностью общеизвестной формулой [8]
 s  4r02 c |  (0) | 2 ,
(14)
где  (r ) - волновая функция относительного движения магнитопозитрония. Согласно
расчетам [10]
|   (0) | 2   02 (  0 ) 2 (0) 
1
2
2
H
 2 (0) ,
(15)
так что для основного состояния
|  0 (0) | 2 

,
22H rb
(16)
А для возбужденных состояний (  1,2,... )
|   (0) | 2 
 2
,
22H rB  3
1
(17)
4
где параметры
 и   определяются уравнениями (8) и (11). Отметим, что в формулах
(15)-(17) отсутствует экспоненциальная зависимость |  0 (0) | 2 от P  , так как вероятность
аннигиляции не зависит от P  .
Угловое распределение аннигиляционных фотонов (УРАФ) процесса двухквантовой
аннигиляции магнитопозитрония дается выражением
W (k )  r02 c k (k )  r02   (rn , rp )e
iK ( rn  rp )
d 3 rn rp
2
f (K ,T )
(18)
k
Здесь
P  K
- волновой вектор центра масс магнитопозитрония, а
f (K ,T )
-
максвелловская функция распределения по импульсам магнитопозитрония. Отметим, что
в экспериментах измеряются кривые УРАФ, определяемые выражениями
P( K z )  Q( K z ) / Q(0); Q( K z )  2  W ( K ) KdK
(19)
Вычисления функции P( K z ) для направлений вдоль и поперек поля H дают разные
результаты. Для направления вдоль поля H величина W (K ) получается равной
W ( K )  BK exp( K 2 / 2M 0, k 0T )
(20)
Здесь B - некоторая постоянная, T - температура. Отсюда, согласно (19), кривые УРАФ
определяются выражением
P( K z )  I N ( )  exp( K 2 / 2M 0, k 0T )
(21)
Здесь функция I N ( ) - так называемая узкая компонента в кривых УРАФ, обусловленная
двухквантовой аннигиляцией магнитопозитрония.
Ширина кривой P( K z ) (полная ширина кривой на полувысоте) исходя из выражения
(21) дается выражением
N  4,4  10 2 T 1 / 2 M 0, / M
(22)
5
Здесь M 0 и M 0, даются выражениями (12) и (13). В случае направления вдоль поля H
функция P( K z ) , согласно расчетам по формулам (18), (19), представляет собой дельтафункцию.
Приведем
некоторые
численные
оценки
аннигиляционных
характеристик
магнитопозитрония в случае облучения GaAs позитронами в сильном магнитном поле
при температурах жидкого гелия и ниже (   11,8; принимаем m p ~ mn  0,082m ). При
обычных значениях сильного поля H ~ 4 Тл расчеты по формулам (12), (13), (15), (16) и
(22) дают для основного состояния магнитопозитрония  s (4 Тл)  1.901  10 3 0 , с-1; N (4
Тл)  0.280 , мрад. Для максимальных возможных в лаборатории магнитных полей
H ~ 100
 s (100 Тл)  4.63  10 7 0 , с-1; N (100 Тл)  6.7240 , мрад.
Тл значения
Аналогичные расчеты для кремния (   10,8; принимаем m p ~ mn  0,2m ) дают  s (4
Тл)  5.067  10 3 0 , с-1; N (4 Тл)  0.3790 , мрад и  s (100 Тл)  1.267  10 8 0 , с-1; N (100
Тл)  0.9470 ,
мрад.
Следует
отметить,
что
полная
вероятность
аннигиляции
магнитопозитрония равна
Ws   s   B  R
(23)
Здесь BR - вероятность аннигиляции позитрона, входящего в состав магнитопозитрония
на валентных электронах Ga, Si. Расчеты по методу Брандта-Райнхаймера [22] дают
B  R (GaAs)  4.3  10 9 , с-1; B R (Si)  4.08  10 9 , с-1.
Эти оценки показывают, что аннигиляционные характеристикамагнитопозитрония
присущи ярко выраженные аномалии: необычайно малые значения вероятностей
аннигиляции  s по сравнению с вероятностью  0s свободного позитрония, аномалии в
величинах N для направлений, продольных и поперечных направлению магнитного поля
при различных H . Особое внимание здесь следует обратить на увеличение N в GaAs
при H  100 Тл. Однако наблюдать магнитопозитроний в полупроводниках не просто изза высокой вероятности аннигиляции Брандта_Райнхаймера. Например, в кремнии при
H  100 Тл и 0 ~ 1 [9] Ws   s   B R  0.127  10 9  4,08  10 9  4,27  10 9 c-1, так что
 tot  2,377  10 10
с,
что
ближе
всего
к
экспериментальному
значению
 1  (2.28  0.10)  10 10 с [8]. Вклад собственной аннигилчции магнитопозитрония в общий
6
процесс аннигиляции порядка 3 % при
H  100
Тл. Такого типа состояния
магнитопозитрония трудно, но все же можно уже наблюдать в прецизионных
экспериментах при очень низких температурах. В то же время в окисном полупроводнике
MgO
 s (100 Тл)  2.8  10 9 0 , с-1, а в щелочно-галоидном кристалле KI
 s (100
Тл)  3.37  10 9 0 , с-1. При расчете величины Ws по формуле (23) вместо выражения BR
следует пользоваться величиной  p , характеризующий собой процесс “pick-off” –
аннигиляции магнитопозитрония. Согласно работе [24], она равна
1
4
 p  r02 cn * ,
(24)
где   6, а n * ( MgO)  5.91  10 22 см-3. Расчет по формуле (24) дает  p ( KI )  1.52  108 с-1;
 p (MgO)  6.64  108 с-1. Таким образом, в очень сильных магнитных полях ( 0  1 )
величина
Ws ( KI )  3.519  10 9
с-1,
так
что
 stot ( KI )  2.842  10 10
с,
а
величина
Ws ( MgO )  3.474  10 9 с-1, так что  stot ( MgO )  2.878  10 10 с. Таким образом, вклад
собственной аннигиляции магнитопозитрония в общий процесс аннигиляции в случае KI
составляет очень высокую величину порядка 96 %, а в случае MgO - величину порядка 81
%. Величина  stot ( KI )  2.842  10 10 с ближе к значению  1 ( KI )  (2.16  0.13)  10 10 в KI
[25], а величина  stot ( MgO )  2.878  10 10 с ближе к значению  1 ( KI )  (2.03  0.10)  10 10 в
MgO [24]. Таким образом, в окисном полупроводнике MgO и щелочно-галоидном
кристалле KI наблюдение магнитопозитрония в очень сильных магнитных полях кажется
вполне реальным. Еще одной возможностью наблюдения магнитопозитрония может
явитья резкое увеличение значение параметра теории Горькова-Дзялошинского  0 ,
характеризующего в некоторой мере степень одномеризации магнитопозитрония в очень
сильных магнитных полях [20]. Крайним критерием одномеризации может служить
одномерна модель магнитопозитрония с потенциалом V  e 2 / z . В этом случае согласно
модели Лудона [25], одномерного атома водорода величина . 0   , так что в принципе
в полупроводниках, согласно формуле (15), возможно наблюдение времен жизни
 s   s0  1.25  10 10
с – времени жизни синглетного позитрония. Поиск таких
короткоживущих состояний позитрония представляет самостоятельный научный интерес.
Однако наблюдать такие состояния на современном этапе развития экспериментальной
техники не просто.
7
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гольданский В.И., Прокопьев Е.П. Об аномалиях аннигиляции позитронов в
ионных кристаллах // Письма в ЖЭТФ. 1966. Т.4. Вып.5. С.422--425.
2. Прокопьев Е.П. Атом позитрония в твердых телах // Физика твердого тела. 1967.
Т.9. Вып.7. С.1266-1268.
3. Прокопьев Е.П. Атом позитрония в полупроводниках // Известия вузов. Физика.
1974. №4. С.38-40.
4. ПрокопьевЕ.П. Энергетический спектр и аннигиляционные характеристики атома
позитрония в ионных кристаллах // Оптика и спектроскопия. 1974. Т.36. Вып.2.
С.361-367.
5. Прокопьев Е.П. Об аномальных свойствах атома позитрония (Ps) в ионных
кристаллах и полупроводниках // Физика твердого тела. 1977. Т.19. Вып.2. С.472475.
6. Прокопьев Е.П.
Позитроний и его свойства в полупроводниках и щелочно-
галоидных кристаллах // Химия высоких энергий. 1978. Т.12. Вып.2. С.172-174.
7. Варисов А.З., Кузнецов Ю.Н., Прокопьев Е.П. Почему в полупроводниках
наблюдается одно короткое время жизни позитронов // ДАН СССР. 1978. Т.239.
№5. С.1082-1085.
8. Прокопьев Е.П. Исследования в области физики медленных позитронов.
Позитронная аннигиляция - новый метод изучения строения вещества. М., 1986. 86
с. - Деп. в ЦНИИ “Электроника”. Р-4367. Сб. реф. НИОКР, обзоров, переводов и
деп. рукописей. Сер.”ИМ”. №12. 1987.
9. Elliot R.J., Loudon R. // J. Phys. Chem. Solids. 1959. V. 8. №2. P. 382; 1960. V. 15. №1.
P. 196.
10. Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. // ЖЭТФ. 1967. Т.53. Вып.2. С.717.
11. Буркова Л.А., Дзялошинский И.Е., Друкарев Г.Ф., Монозон Б.С. // ЖЭТФ. 1976.
Т.71. Вып.2. С.526.
12. Akimoto O., Hasegava H. // J. Phys. Soc. Japan. 1967. V.22. №1. P.181.
13. Лернер И.В., Лозовик Ю.Е. // ЖЭТФ. 1980. Т.78. Вып.3. С.1167.
14. Yang S.R. Eric, Sham L.J. // Phys. Rev. Letters. 1987. V.58. №2. P.2598.
15. Green R.L., Bajaj K.K. // Phys. Rev. B. 1985. V.31. №10. P.6498.
16. Эфрос Ал.Л. // Физика и техника полупроводников. 1986. Т.20. №7. С.1281.
17. Кохановский И.С., Макушенко И.М., Сейсян Р.П., Эфрос Ал.Л., Язева Т.В.,
Абдуллаев М.А. // Физика твердого тела. 1991. Т.33. Вып.7. С.1719.
18. Покутний М.И. // Физика и техника полупроводников. 1991. Т.25. №2. С.628.
8
19. Прокопьев Е.П. Позитроний в полупроводниковых структурах с квантовыми ямами
// Физика и техника полупроводников. 1992. Т.26. Вып.10. С.1681-1687.
20. Кавокин
А.В.,
Несвижский
А.И.,
Сейсян
Р.П.
//
Физика
и
техника
полупроводников. 1993. Т.27. №10. С.977.
21. Hasegava H., Howard R.E. // J. Phys. Chem. Solids. 1961. V.15. №1. P.196.
22. Brandt W., Reinheimer J. // Phys. Rev. B. 1970. V. 8. № 3. P.3104.
23. Bertolaccini M., Bisi A., Gambarini G., Zappa L. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1971.
V.4. №2. P.734.
24. Loudon R. // Am. J. Phys. 1959. V.27. №2. P.649.
25. Хаутоярви П., Яухо П. // Физика примесных центров в кристаллах, Тарту: Изд-во
АН ЭССР, 1971. С.281.
9