ХСТАН ТАРАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. Х. Дулати УТВЕРЖДАЮ
advertisement
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ТАРАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. Х. Дулати УТВЕРЖДАЮ Председатель комитета по рабочим программам института_____________ _________ Смайылова У.М. «____»____________200 г. ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА (СИЛЛАБУС) Математический анализ -3 Кафедра Прикладная математика 2010 / 2011 учебный год, 3 семестр Пререквизиты: математический анализ-1,2, алгебра и геометрия Постреквизиты:, дифференциальные уравнения, теория поля оптимальное управление Специальность: Математика Количество кредитов: 4 кредита Ф.и.о. преподавателя: Жакаш Әшірбек Төленбайұлы. Адрес: ул. Толе би, 60, 2.1 – 404 Телефон кафедры: 45-49-06 Тараз 2010г. Цель и задачи дисциплины: является не только сообщение известного запаса сообщений, (определений, теорем, их доказательств, связей между ними, методов решения задач) и обучение их применениям. Курс математического анализа идейно готовит учащихся к изучению других математических методов и дисциплин. Ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления. Содержание дисциплины Примеча ние № Не де ля 1. 1 2. 1 3. 1 4. 2 3-лекция. Интегральные критерии Коши, Маклорена. Знакочередующие числовые ряды. Теорема Лейбница. [1], 423-431 5. 2 6. 2 4-лекция. Признаки сходимости произвольных рядов, абсолютная и условная сходимость Практическое занятие 2. Признаки сходимости Коши и Раабе. CРC №1. [1], 437-439 [4], 292-293 7. 3 5- лекция. Признак сходимости Дирихле-Абеля. Знакопеременные числовые ряды, абсолютная и условная сходимость. [2], 260-263 8. 3 6-лекция. Ассоциативность сходящихся числовых рядов. Коммунативность: о перестановке абсолютно сходящихся числовых рядов (Теорема Коши). [1], 430-435 Наименование занятийние 1- лекция. Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Критерии Коши сходимости ряда. 2 - лекция. Числовые ряды с неотрицательными членами, признаки их сходимости: сравнения, Коши, Даламбера, Раабе. Практическое занятие 1. Свойства сходящихся рядов. Признаки сходимости рядов по сравнению и Даламбера. 2 [1], 410-415 [1], 415-423 [4], 287-293 9. 3 Практическое занятие 3. Знакопеременные числовые ряды, абсолютная и условная сходимость. ИДЗ№ 1. [4], 294-295 10. 4 11. 4 [1], 435-436, 442-448 [1] часть2 13-18 12. 4 13. 5 14. 5 15. 5 16. 6 17. 6 18. 6 19. 7 7-лекция. Арифметические операции над сходящимися рядами. Бесконечные произведения. Тест №1. 8-лекция. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда: сходимость в точке и на множестве. Равномерная сходимость. Практическое занятие 4. Арифметические операции над сходящимися рядами. 9- лекция. Признаки равномерной сходимости функциональной последовательности и рядов: Вейерштрасса, Дирихле, Абеля и Дини. 10-лекция. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональной последовательности и рядов. Практическое занятие 5. Функциональные ряды. Определение области сходимости ряда. 11-лекция. Степенной ряд и область их сходимости. Теорема Коши-Адамара. Разложение функции в степенные ряды. Практическое занятие 6. Определение интервала сходимости степенного ряда. ИДЗ №2. Практическое занятие 7. Определение круга сходимости степенного ряда. МД-1. 12-лекция. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами, тригонометрическими многочленами. 20. 7 21. 22. [1] ч.2 23-36 [4], 298-300 [1] ч. 2, 40-47 [4], 300-305 [4], 300-305 [1], ч.2 37-54 Практическое занятие 8. Ряд Тейлора. СРС №2. [4] 304-307 Практическое занятие 9. Ряд Маклорена. [4] 307-310 7 8 [4], 295-297 [1] часть2 19-23 13-лекция. Несобственные интегралы первого рода. Несобственные интегралы и признаки их сходимости. Критерии Коши сходимости собственных интегралов. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. 3 [1] ч.2, 94-102 23. 8 Практическое занятие 10. Несобственные интегралы. Исследовать сходимость интегралов. [4] 140-142 24. 8 [4] 143-147 25. 9 26. 9 27. 9 28. 10 29. 10 30. 10 31. 11 32. 11 33. 12 34. 35. 12 13 36. 13 Практическое занятие 11. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. 14-лекция. Несобственные интегралы второго рода. Главное значение несобстаенного интеграла. Кратные несобственные интегралы. Практическое занятие 12. Несобственные интегралы второго рода. Среднее значение функции. Практическое занятие 13. Среднее значение функции. Критерии Коши.Кратные несобственные интегралы. 15-лекция. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости интегралов, зависящих от интегралов. Практическое занятие 14 Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости интегралов, зависящих от интегралов. Тест№2. Практическое занятие 15 Признаки Вейерштрасса, Дини. Свойства несобственных интегралов. 16-лекция. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Признаки Вейерштрасса, Дини. Свойства несобственных интегралов. Практическое занятие 16. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов. Интегралы Эйлера. 17-лекция. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов. Интегралы Эйлера. Практическое занятие 17. Интегралы Эйлера. 18-лекция. Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье. Замкнутые и ортонормированные системы. Замкнутость тригонометрической системы. Практическое занятие 18. Замкнутые и ортонормированные системы. Замкнутость тригонометрической системы. МД-2. 4 [1] ч.2, 102-114 [4] 140-147 [4] [1] ч.2, 268-273 [1] ч.2, 273-281 [1] ч.2, 281-292 [1] ч.2, 302-319 37. 14 38. 14 39. 15 40. 15 19-лекция. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференциорования тригонометрического ряда Фурье. Тест №3. Практическое занятие 19. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференциорования тригонометрического ряда Фурье. ИДЗ № 3. 20-лекция. Интеграл Фурье. Представление функции интегралом Фурье. Основная теорема, формула обращения. Некоторые свойства преобразования Фурье. Практическое занятие 20. Интеграл Фурье. Представление функции интегралом Фурье. Основная теорема, формула обращения. Некоторые свойства преобразования Фурье. [1] ч.2, 319-347 [4] 140-147 Политика выставления оценок № Компоненты курса 1. Математический диктант (МД) Индивидуальная работа по карточкам (ИРК) Индивидуальное домашнее задание (ИДЗ) Самостоятельная работа студентов (СРС) Тестовый опрос (ТО) Итоговый экзамен 2. 3. 4. 5. 6. Кол-во заданий Макс. балл за задание Высшая оценка 2 1 2 4 4 16 3 6 18 2 6 12 3 1 4 40 12 40 Политика выставления оценок для заочников № Компоненты курса 1. 2. 3. СРС Экзамен Итого: Кол-во заданий 2 Макс. балл за 1 задание 20 60 Описание заданий на СРС № Наименование Время выдачи Время 5 Условия 40 60 100 темы СРС сдачи 1 Признаки сходимости рядов. 2-неделя 6неделя 2 Приближенные 7-неделя вычисления с помощью степенных рядов. 13неделя оформления работы Выполнить в тетради для самостоятельной работы, записываются условия задач по порядку, после записи решение с разъяснениями студента, обязательно надо указать все формулы, определения и основные теоремы которые были использованы при выполнении СРС. Самостоятельная работа студента представляет собой решение комплексных задач. СРС выполняется в тетради СРС. У каждого студента свой номер варианта СРС согласно записи его фамилии в журнале преподавателя. Условия задач, согласно номеру СРС и номеру варианта студента выписывается с литературы, указанной преподавателем. Должно быть решено в течении времени указанного в таблице описания СРС. Студент должен защитить СРС в указанное преподавателем время. Без защиты – СРС считается невыполненной. СРС является основным видом контроля, выполнение и защита СРС является обязательным. Авторы Название учебника, учебного пособия Издательст во, год издания 1 Ильин В.А., Поздняк Э.Г М. Наука., 1980 2 Пискунов Н.С Основы математиче ского анализа Дифференц иальное и интегральн М. Наука., 1985 6 Корпус 2.1 Корпус 2.1 кол-во экз. № библиотек а Список основной и дополнительной литературы 5 5 3 Рудин У. 4 Демидович Б.П. Фихтенгольц Г.М. 5 Ильин В.А., Поздняк Э.Г 6 Темірғалиев Н 7 Кудрявцев Л.Д. ое исчисление Основы математиче ского анализа Задачи и упражнения по математиче скому анализу Курс дифференц иального и интегральн ого исчисления. Часть 1,2,3. Курс математиче ского анализа Математика лық анализ Курс математиче ского анализа М., Мир., 1976 Корпус 2.1 2 М. Наука., 1978 Корпус 2.1 2 М. Наука., 1969 Корпус 2.1 5 М. Наука., 1973 Корпус 2.1 2 Алматы., Мектеп., 1986 М., Мир., 1981 Корпус 2.1 2 Корпус 2.1 2 Курс лекций Числовые ряды. Функциональные последовательности и ряды. Определение Если дана бесконечная последовательность чисел a1 , a 2 , a 3 ,..., то выражение вида a1 a2 a3 an an n 1 называется числовым рядом; числа a1 , a 2 , a 3 ,...– членами ряда, a n – общим членом ряда, если n не зафиксировано. 7 (1) (элементами) Пример 1. Дан ряд общий член an Решение 1 n 2 1 . Найти Заменяя в общем члене 1 22 1 32 1 n2 1 2 n 1n , где an 1 . n на n 1 , получим an 1 1 n 12 СХОДЯЩИЕСЯ И РАСХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ. Если дан ряд (1), то сумма первых n членов этого ряда называется n ой частичной суммой и обозначается через A1 a1 сумма; сумма; An . Следовательно, суммы – 1-ая частичная A2 a1 a2 – 2-ая частичная A3 a1 a2 a3 – 3-ая частичная сумма; ………………………. – – n ая частичная сумма; An a1 a 2 a3 an – ………………………. ... образуют последовательность частичных сумм A1 , A2 , ..., An , ... Определение Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, то есть lim An A . n При этом число A называется суммой ряда. Если для данного ряда последовательность частичных сумм An не имеет конечного предела при n , то этот ряд называется расходящимся. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометрический ряд) 2 a aq aq aq n 1 aqn 1 , a 0 . n 1 Решение 8 Из элементарной математики An геометрической прогрессии q 1, известно, a 1 q 1 q n что сумма n членов . Отсюда следует, что если то геометрический ряд сходится и его сумма A a . 1 q Если же q 1 , то геометрический ряд расходится. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. Если ряд an n 1 сходится, то сходится и ряд, полученный отбрасыванием из него любого конечного числа членов. 1) Пусть даны ряды an и n 1 B, an , n 1 bn 2) Если ряд bn n 1 и an bn . Если оба ряда n 1 сходятся, а их суммы соответственно равны n 1 Aи то сходится и ряд A B. an bn , причем его сумма равна n 1 an сходится и имеет сумму A, то сходится и ряд n 1 an , причем его сумма равна числу A , где const . n 1 3) Если ряд an сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него n 1 группировкой слагаемых, не изменяющей порядок расположения членов ряда, и 9 суммы этих рядов одинаковы. К примеру, если an сходится и его сумма n 1 равна A , то ряд a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n также сходится, и его сумма равна A . Эти свойства доказываются с помощью определения сходящихся рядов. Для примера докажем второе свойство. An a1 a2 ... an , Пусть lim An A , n Bn b1 b2 ... bn , Очевидно, Cn a1 b1 a2 b2 ... an bn . n Cn An Bn . Тогда что при любом lim Cn A B , n lim Bn B , n что доказывает рассматриваемое свойство. (данный знак будет означать окончание доказательства теорем). ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ. На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА. ТЕОРЕМА 1 Если ряд a n сходится, то его общий член an стремится к нулю при n 1 n , т.е. lim a n 0 . n Кратко: если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю. Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна n частичная сумма An An 1 an an An An 1 . 10 A . Для любого Тогда lim an lim An An 1 lim An lim An 1 A A 0 n . n n n Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при n общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд 1 2 3 n ... ... 2 3 4 n 1 Решение Для этого ряда общий член an n n 1 и n 1 lim 1. n n 1 n 1 1 n lim an lim n Следовательно, данный ряд расходится. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 3 3 3 Решение Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при n , т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 ... 2 2 3 3 3 стремится к бесконечности. ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным. ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда) Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом. 11 Доказательство. Так A1 A2 An , как для любого т.е. последовательность n an 0 , то An – монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом. Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Ниже мы приведем другие признаки сходимости, имеющие большее применение. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ. ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения) Пусть даны два знакоположительных ряда: a1 a2 a3 an an (1) n 1 и b1 b2 b3 bn bn n 1 причем, начиная с некоторого номера неравенство a n bn 1) из сходимости ряда (2) N , для любого n N выполняется Тогда: n 1 n 1 b n следует сходимость ряда a n ; 2) из расходимости ряда a n следует расходимость ряда b n . n 1 n 1 Схематическая запись первого признака сравнения: an bn сход.сход. расх.расх. Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая N 1 . Пусть для любого n 1, 2, имеем 12 An Bn , (3) где An и Bn — соответственно частичные суммы рядов (1) и (2). Если ряд (2) сходится, то существует число Поскольку при этом последовательность больше любого из ее членов, т.е. Bn Bn B B lim Bn . n — возрастающая, ее предел для любого n. Отсюда из An B . Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом B . Согласно теореме 2 этот ряд сходится. неравенства (3) следует 2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например: 1) aq n 1 - геометрический (он сходится при n 1 расходится при q 1 и 1 и q 1 ); 2) 1n – гармонический (он расходится); n 1 1 n 1n расходится при 1 ). 3) ряд Дирихле (он сходится при Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств: ln x 1 x e , sin x x tgx 0 x , 2 sin x 1 , cos x 1 Рассмотрим на конкретном примере схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения. 13 Пример 6. Исследовать ряд Решение 1 на сходимость. 5 n 1n n 2 Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда: для 1 an n5 n 2 n 1, 2, 0 Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда: lim an 0 . n lim an lim Так 1 n n 5 n 2 n an как 1 n5 n 2 , то 0. (Если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить.) Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для 1 данного ряда ряд-эталон. Так как n5 n 2 качестве эталона можно взять ряд bn 1 1 n5 n 1 n 65 , то в , т.е. ряд Дирихле. Этот 65 n 1 n 1n 6 ряд сходится, так как показатель степени 1 . Следовательно, согласно 5 первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд. Пример 7. Исследовать ряд Решение n n 1n 1 3 n 1) Данный ряд знакоположительный, так как для n 1, 2, на сходимость. an n n 1 3 2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо 14 n 0 lim an lim n 3) Подберем n n 1 3n n nn lim n n n 1 n 3n ряд-эталон. n геометрический ряд Так как n 1 1 , n 1 3n n 3n 3 3n n 1 1 1 0 n 1 1 n 3n lim 1 bn 3 n 1 n 1 то в качестве эталона можно взять n 1 q 1 . 3 Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд. ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения) Если для знакоположительных рядов an n 1 и bn существует отличный от нуля конечный предел n 1 a lim n r , то ряды сходятся или расходятся одновременно. n bn Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем r . Из условия an r n bn lim n n0 вытекает существование такого номера справедливо неравенство n0 , что для всех an , или, что то же, bn an bn (4) Отбросив в рядах (1) и (2) первые n0 членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех n 1, 2, Но ряд с общим членом bn сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1). Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как 15 bn 1 0, n an r lim то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). an 0 при n (необходимый признак сходимости), то an из условия lim 0 , следует, что a n и bn – бесконечно малые n bn одного порядка малости (эквивалентные при 1). Следовательно, если дан Если ряд a n , где an 0 при n , то для этого ряда можно брать ряд- n 1 эталон b n , где общий член bn имеет тот же порядок малости, что и общий n 1 член данного ряда. При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при 0 : 1) ln1 ~ ; 4) e 1 ~ ; 2) sin ~ ; arcsin ~ ; 3) tg ~ ; 1 1 cos ~ 2 . 2 5) 6) Пример 8. Исследовать на сходимость ряд n 3 2n 2 n 4 n 1 n 3n 2 . Решение Данный ряд знакоположительный, так как для любого n N . 16 an n3 2n 2 n n 4 3n 2 0 Так как n 3 2n 2 n n 4 3n 2 n3 ~ n4 эталона гармонический расходящийся ряд отношения общих членов an и bn ~ 1 , n то возьмем в качестве ряда- 1 n bn . Поскольку предел n 1 n 1 конечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится. Пример 9. Исследовать на сходимость ряд Данный ряд знакоположительный, так как n 2n по двум n 1 признакам сравнения. Решение lim sin sin 2n 0 . Поскольку sin 2n 2n эталона можно брать гармонический ряд an sin 1 2n 0, и , то в качестве ряда2 n 1 n. Этот ряд расходится и n 1 следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится. Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие lim sin n 2n 1 2n (здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд n 1 17 sin 2n – расходится. ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера) Если для знакоположительного ряда a n существует конечный предел nlim n 1 1 и расходится при 1 . Доказательство. заключенное между Пусть и 1: 1. Возьмем q 1. следует, что начиная с некоторого номера an 1 , то ряд сходится при an n какое-либо Из условия число q, an 1 n an lim выполняется неравенство an 1 q; an an 1 an q ; an 2 an 1 q an q 2 Рассмотрим ряд (5) an an 1 an 2 (6) Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии Поскольку первого 0 q 1, признака an q an q 2 an эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу сравнения вытекает a1 a2 an Случай 1 рассмотрите самостоятельно. Замечания: сходимость ряда 1) Если 1, теорема 5 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости. 2) Признак Даламбера дает оценку и остатка ряда. Из неравенства ak 1 ak 2 ak 3 ak 1 ak 1 q ak 1q 2 , следует, что остаток ряда Rk a Rk k 1 . 1 q 18 3) Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал. Пример 10. Исследовать на сходимость ряд n2 n n 1 3 по признаку Даламбера. Решение Данный ряд знакоположительный и n2 2 lim 0. n 3n n 3n ln 32 lim an lim n (Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя.) Так как an 1 n 12 n 2 n 12 3n 1 n 2 2n lim lim lim lim n n n 1 2 3 n n an n 3n 1 3 3 n n2 2 1 1 1 1, lim 1 3 n n n 2 3 то по признаку Даламбера данный ряд сходится. Пример 11. Исследовать на сходимость ряд 1 n! . n 1 Решение Данный ряд знакоположительный и 1 0. n n! lim an lim n Поскольку an 1 1 1 n! 1 lim lim lim 0 1 n an n n 1! n! n n 1! n n 1 lim , то данный ряд сходится. 19 ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши) Если для знакоположительного ряда an n 1 существует конечный предел при 1 ряд расходится. lim n an , то при 1 ряд сходится, а n Доказательство аналогично теореме 5. Замечания: 1) Если 1, теорема 6 не дает ответа на вопрос о сходимости ряда и поэтому необходимо использовать другие признаки сходимости. 2) Если , то ряд расходится. Пример 12. Исследовать на сходимость ряд Решение 2n n 1 n 1 n . n Данный ряд знакоположительный, так как любого n N . Поскольку вычисление предела 2n an 0 n 1 для 2n lim n 1 n n вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем. Так как 2n lim n an lim n n n n 1 n 2n 2 lim 2 1 n n 1 n 1 1 n lim , то по признаку Коши данный ряд расходится. ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши) Пусть дан ряд u1 u2 un , (7) члены которого положительны и не возрастают: 20 u1 u2 un Пусть, далее f x — функция, которая определена x 1 , непрерывна, не возрастает и f 1 u1 , f 2 u2 , …, f n un , … для всех вещественных (8) Тогда для сходимости ряда (7) необходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал) несобственный интеграл f x dx . 1 Доказательство. интегралы: Рассмотрим ряд, членами 2 3 n 1 1 2 которого являются bn f x dx f x dx n 1 f x dx (9) n Частичными суммами этого ряда, очевидно, также будут интегралы: 2 n 1 n 1 sn f x dx f x dx f x dx . n 1 Сходимость ряда (9) означает существование предела последовательности частичных сумм, т. е. сходимость несобственного интеграла 1 f x dx . 1 (10) Так как функция что для любого x между f x монотонна и не возрастает, то из (8) следует, n и n 1 справедливо неравенство u n f x u n 1 . (11) Интегрируя каждую из трех частей этого неравенства по n 1, мы приходим к неравенству интегралов 21 x от n до n 1 n 1 n 1 n n n un dx f x dx un 1 dx , un n 1 f x dx un 1 или n un bn un 1 . (12) Пусть ряд (7) сходится. Обратим внимание на левую сторону неравенства (12). По первому признаку сравнения должен сходиться и составленный из интегралов ряд (9), а, следовательно, и несобственный интеграл (10). Пусть теперь ряд (7) расходится. Тогда, по первому признаку сравнения расходится и ряд u2 u3 un , получаемый из нашего ряда отбрасыванием его первого члена. Взглянем теперь на правую сторону неравенства (12) и применим снова признак сравнения, но уже в той его части, которая касается расходимости. Мы получим, что должен расходиться ряд из интегралов (9), т. е. несобственный интеграл (10). Пример 13. Исследовать на сходимость ряд Решение Члены ряда суть значения функции 1 2 n 2 n ln n f x 1 2 . при x 2,3, Так x ln x как для x 2 n 2 эта функция непрерывна, положительна и убывает, то вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости интеграла dx 2 2 x ln x . По определению несобственного интеграла 1 t lim lim lim 2 2 2 ln x 2 t 2 x ln x t 2 x ln x t 2 ln x 1 1 1 lim . ln t ln 2 ln 2 t dx t t dx 22 d (ln x ) несобственный интеграл сходится, а, следовательно, сходится и исходный числовой ряд. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. Определение Числовой ряд называется знакочередующимся, если его члены поочередно меняют знак. Знакочередующийся ряд можно записать в виде a1 a2 a3 a4 1n 1 an где 1n1an n 1 (13) an 0 . Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости. ТЕОРЕМА 8 (Признак Лейбница) Если для знакочередующегося ряда (13) все его члены удовлетворяют условиям: а) a1 a2 a3 a4 an (т.е. члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине); б) lim a n 0 n (т.е. общий член ряда стремится к нулю при n ), то такой ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена. Доказательство. Необходимо доказать, что lim An A . n Запишем частичные суммы: A1 a1 , A2 a1 a2 , A3 a1 a2 a3 , четная частичная сумма A2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n , нечетная частичная сумма A2n 1 A2n a2n 1 . Исследуем A2 n . Так как каждая последовательность четных частичных сумм скобка A2n неотрицательна, то не убывает. С другой стороны, A2n a1 a2 a3 a2n 2 a2n 1 a2n a1 . Таким образом, последовательность A2 n неубывающая ограниченная сверху, а значит, она сходится.. 23 и Следовательно, сумма исходного ряда равна A , т.е. ряд сходится, что и требовалось доказать. Ряд, удовлетворяющий условиям доказанной теоремы, называют рядом Лейбница. Пример14. Исследовать сходимость ряда 1 12 1 22 1 32 1 42 1n 1 по признаку Лейбница. n2 Решение Данный знакочередующийся ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница: а) б) Пример 15. 1 12 lim 1 22 1 n n 2 1 32 ; 0. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 1 1n 1 2 3 4 n Решение Данный знакочередующийся ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница: 1 1 ; 2 3 1 lim 0 . n n а) 1 б) Заметим, что данный ряд отличается от гармонического только знаками четных членов. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. Определение Ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные, так и отрицательные члены. Пример 16. Ряды 1 1 1 1 1 1nn 1 2 1nn 1 2 n 1 24 и sin 2 sin n sin n k sin , , kN 2 n n 2 n 1 являются знакопеременными. Знакочередующиеся ряды, очевидно, являются частным случаем знакопеременных рядов. an Для знакопеременного ряда возникает вопрос о связи его n 1 сходимости со сходимостью знакоположительного ряда an . n 1 ТЕОРЕМА 9 (Признак абсолютной сходимости) Если сходится ряд n 1 n 1 a n , то сходится и ряд a n . Доказательство. Из сходимости ряда an по свойству 3 сходящихся рядов n 1 следует сходимость 0 an an 2 an 2 an . ряда Действительно, поскольку n 1 , где n N , то по первому признаку сравнения сходится и ряд an an . n 1 Отсюда следует, что ряд an n 1 an an an n 1 n 1 также сходится, так как является алгебраической суммой двух сходящихся рядов. 25 В доказанной теореме сформулирован достаточный признак a n . Обратное утверждение в общем случае неверно. сходимости ряда n 1 Определения a n , то ряд a n Если сходится ряд n 1 абсолютно сходящимся. Если же ряд называется n 1 a n сходится, а ряд a n n 1 расходится, то ряд n 1 an n 1 называется условно сходящимся. Пример 17. Исследовать на сходимость ряд n 1 Решение Общий член этого ряда an 1 n 1 n 1 1. 2 Ряд n 1n 1 n n 1 1n 1 n 1 1n 1 n 1 ряд 1 n 2 , то ряд согласно признаку Лейбница сходится. Пример 18. Исследовать на сходимость ряд Решение Этот 1 n an расходится, ибо он является рядом Дирихле, в котором Следовательно, исследуемый ряд сходится условно. n 1n 1 . Так как an n 1 1n 1 . сходится 1 n 1n 2 абсолютно, так 1 n 2 . как ряд – сходящийся ряд Дирихле. Ранее отмечалось, что в знакоположительных рядах можно произвольным образом переставлять и группировать члены. В знакопеременных 26 рядах, если они абсолютно сходятся, это свойство сохраняется. Для условно сходящихся рядов дело обстоит иначе. Здесь группировка, перестановка членов ряда может нарушить сходимость ряда. Например, если из знакочередующегося условно сходящегося ряда выделить положительные члены, то полученный ряд может расходиться. Следует иметь в виду это обстоятельство и с условно сходящимися рядами обращаться с большой осторожностью. Для условно сходящихся рядов справедлива следующая теорема Римана. ТЕОРЕМА 10 Изменяя порядок членов в условно сходящемся ряде, можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу и даже сделать ряд расходящимся. Пример 19. Исследовать на сходимость ряд n n 1 2n 1 n 1 n . Решение Данный ряд знакочередующийся. Исследуем ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд получаем n 2n 1 n 1 n lim n an lim n n n 2n 1 n n . Используя признак Коши, n 1 1. n 2n 1 2 lim Следовательно, данный ряд сходится абсолютно. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД И ЕГО ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ. Пусть u1 x , u 2 x ,..., un x ,... – последовательность функций, определенных на некотором множестве Определение Ряд вида u1 x u2 x un x X. un x , n 1 (14) членами которого являются функции, называется функциональным. Придавая в (14) x различные числовые значения из множества будем получать различные числовые ряды. В частности, при 27 x x0 X X, из (14) получим числовой ряд un x0 . Этот числовой ряд может быть n 1 сходящимся или расходящимся. Если он сходится, то x0 называется точкой сходимости функционального ряда (14) . Множество всех точек сходимости функционального ряда называют его областью сходимости и обозначают ее через D . Очевидно, D X . В частных случаях множество D может совпадать или не совпадать с множеством X или же может быть и пустым множеством. В последнем случае функциональный ряд расходится в каждой точке множества X . Вид области D для произвольного функционального ряда может быть различным: вся числовая ось, интервал, объединение интервалов и полуинтервалов и т.д. В простейших случаях при исследовании функциональных рядов на сходимость можно применить рассмотренные выше признаки сходимости числовых рядов, если под x понимать фиксированное число. n членов функционального ряда S n x u1 x u2 x un x называется n ой частичной суммой, а функция S x lim S n x , Определения Сумма первых n определенная в области Функция D ,– суммой функционального ряда. Rn x S x S n x , определенная в области D, называется остатком ряда. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся на множестве D X , если в каждой точке D сходится ряд un x . n 1 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Определение Степенным рядом называется функциональный ряд C n x x0 n C0 C1 x x0 C 2 x x0 2 C n x x0 n 0 , (15) 28 члены которого являются произведениями постоянных степенные функции от разности x x0 C 0 , C1 , ..., C n ,... на с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x0 называется центром степенного ряда. Пример 20 x x 2 x3 xn 1 xn n 2 2 2 23 2n n 12 ряд с центром в точке x0 0 . Ряд – степенной Ряд x 3 x 32 x 33 x 3n 1 x 3n 1! 2! 3! n! n 1n! x0 3 . 1 1 1 1 Ряд – функциональный ряд. 1x 2 x 3x nx – степенной ряд с центром в точке Исследование степенного ряда на сходимость, а именно нахождение области сходимости степенного ряда, является одним из главных вопросов. Решение этого вопроса связано с теоремой Абеля. ТЕОРЕМА 11 (Теорема Абеля) x1 x0 , то он сходится, Если степенной ряд сходится при и притом абсолютно, для x x1 всех x , удовлетворяющих неравенству x x0 x 2 x0 . 1 Если степенной ряд расходится при x , удовлетворяющих неравенству x x0 x 2 x0 . x x 2 , то он расходится для всех Доказательство 1) Введем замену Cn y n , x x0 y . Тогда получаем степенной ряд точка сходимости которого n 1 описывающее область сходимости, примет вид 29 x1 x0 , y . а неравенство, По условию числовой ряд Cn n сходится, следовательно общий n 1 член Cn n 0 при n , но любая последовательность, имеющая M, предел ограничена, т.е. существует такое что n N . Cn n M для всех Рассмотрим общий член степенного ряда Cn y n . n 1 Cn y Cn n y n n y n n Cn 1 , так как y n n y M y n , . Получили новый ряд y M n , который является геометрической n 1 прогрессией со знаменателем n Cn y M y q y 1 , следовательно, он сходится. Так как n , то из первого признака сравнения следует абсолютная сходимость исходного степенного ряда. 2) Вторую часть теоремы можно доказать аналогично. Геометрическая интерпретация этой теоремы. Если ряд (1) сходится в точке x x1 , то он сходится и во всех точках, расположенных ближе к центру степенного ряда x0 , чем x1 . Если же ряд расходится при x x2 , то он расходится и во всех более удаленных от центра ряда точках. Опираясь на теорему Абеля можно доказать, что существует такое положительное число R , что для всех x , удовлетворяющих неравенству 30 x x0 R , ряд сходится абсолютно и расходится при всех x , для которых x x0 R . R Число интервал называется радиусом сходимости ряда x0 R , x0 R – интервалом сходимости. обл. расход. Cn x x0 n , а n 0 обл. расход. обл. сход. x0 R x0 R x0 x В частном случае интервал сходимости степенного ряда может совпадать со всей числовой осью (в этом случае R ) или может превращаться в точку (в этом случае R 0 ). Заметим, что интервал сходимости всегда симметричен относительно центра степенного ряда. Пример 21. Найти интервал сходимости степенного ряда x 2n . n 1 n Решение Первый способ решения Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: x2n n 1 lim n a n 1 n a n . Применим признак Даламбера: n 1 x2 lim n n 1 n n x 2 lim x2 n n 1 x2 n . Если 1 x 3– x 2 1, то ряд сходится. Итак, 1 x 2 1, интервал сходимости данного ряда. Поведение данного ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках отдельно. 31 x 1 и x 3, исследуется При x 1 1 n 1 условно сходится. При 1n n , который из данного ряда получаем ряд x 3 получаем гармонический ряд 1 n , который расходится. n 1 1 Таким образом, данный ряд сходится в области, для которой x 3. Второй способ решения Если для степенного ряда (2) существует Cn 1 0 , то радиус n Cn lim сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле Cn 1 . n Cn R lim 1 1 и Cn 1 , поэтому n 1 n C 1 n 1 R lim n 1 lim 1. 1 n Cn n n x0 2 Так как – центр степенного x0 R , x0 R 1; 3 – интервал сходимости данного ряда. В нашем случае x 1. Cn ряда, то Сходимость ряда на концах интервала сходимости исследована выше. Итак, данный ряд сходится абсолютно при 1 x 3 и условно при РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. Одной из центральных задач в теории степенных рядов является задача разложения элементарных функций в степенные ряды. Постановка задачи. Пусть дана некоторая функция f x . Требуется установить: 1) может ли эта функция быть представлена на заданном интервале в виде некоторого степенного ряда, т.е. может ли быть «разложена в степенной ряд»? 2) если да, то как найти этот ряд? 32 Следовательно, искомые коэффициенты степенного ряда в правой части (16), вычисляются по формулам: C0 f x0 , C1 f x0 , C2 f n x0 …, Cn . n! f x0 , 2! C3 f x0 , 3! Подставив найденные коэффициенты в правую часть равенства (16), получим f n x 0 x x n – ряд Тейлора. f x 0 n! n 0 n x0 0 имеем f x При f 0 n! n 0 xn – ряд Маклорена. Ответ на вопрос о возможности разложения функции в степенной ряд дает сформулированная ниже теорема. Предварительно представим виде n f k x 0 f x k 1 где и в x x0 k Rn x , Rn x – остаточный член ряда, который может быть представлен в форме Лагранжа x0 k! f x f n 1 x x0 n 1 , Rn x n 1! заключено между x. ТЕОРЕМА 12 степеням Если функция f x разлагается в степенной ряд по x x0 в окрестности точки x0 , то этот ряд является рядом Тейлора. Условия разложимости функции в степенной ряд: 1) f x должна иметь в интервале сходимости производные всех порядков. 33 n ая частичная сумма ряда Тейлора должна стремиться к f x n , т.е. lim Rn x 0 . 2) при n Условие 2 выполняется, если все производные f n x ограничены, M , что во всех точках интервала сходимости т.е. если существует такое число f n x M , n N . ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ. Сравнительная простота разложения некоторых функций в степенные ряды привела к широкому их использованию в приближенных вычислениях. Наиболее часто используются следующие разложения элементарных функций в ряд Маклорена: ex xn n! n 0 cos x sin x , x 1n n 0 2n x 2n 1 , 2n 1! 1n 2n ! , (по определению 0! 1 ). n 0 ln1 x n n 1 n x 1n 1 1 x 1 , 1 2 n 1 n 1 n! xn . Так как область сходимости первых трех рядов x ; , то эти равенства справедливы для любого значения x . Два последних ряда сходятся при x 1;1 . За приближенное значение функции берется n ая частичная сумма ряда Маклорена. При этом остаточный член ряда представляет собой абсолютную ошибку вычислений. Оценка остатка позволяет определить требуемое число слагаемых в частичной сумме. Оценка остатка для знакочередующегося ряда проводится на основании признака Лейбница (абсолютная величина остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого из отбрасываемых членов ряда). 34 Оценка остатка для знакоположительных рядов обычно производится подбором легко суммируемого ряда, члены которого больше оцениваемого остатка. Чаще всего это геометрическая прогрессия. Однако далеко не всякий ряд, имеющий суммой интересующее нас число, пригоден для фактического вычисления этого ряда (даже если члены просты и оценка остатка производится легко). Вопрос заключается в быстроте сходимости, т.е. в быстроте приближения частичной суммы к предельному значению. Например, ряды Маклорена для sin x и cos x удобны при малых x , при больших x эти ряды также сходятся, но медленно и для вычислений неудобны. Пример 23. Вычислить е, воспользовавшись рядом x2 xn e 1 x 2! n! x и взяв сумму первых пяти членов при . Решение x 1, e1 1 1 x 1. Оценить величину погрешности 1 1 1 1 2! 3! 4! n! Оценим остаток данного ряда с положительными членами двумя способами. I способ Воспользуемся остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа f n 1 x x0 n 1 . Rn x n 1! В нашем примере x0 0 , x 1, n 4 , x0 x . Поэтому e e1 e 3 1 1 Rn , . n 1! n 1! 5! 5! 40 40 II способ 1 1 1 1 1 1 1 1 Rn 1 5! 6! 7! 8! 5! 6 6 7 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 . 5! 6 62 63 5 ! 1 1 6 120 5 100 35 1 , т.е. после запятой оставляем две первые цифры 100 e 1 1 0,5 0,166 0,042 2,71 . Остаток ряда Следует отметить, что в данном примере второй способ оценки ошибки оказался более точным, что позволяет взять меньшее число членов ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Теорема.: Сумма степенного ряда s(x), связана с коэффициентами степенного ряда с помощью формулы . k * s x s a x a k k 0 * * k! an s n a n! x3 x5 x7 x3 x5 x7 ... f x shx shx x ... 3! 5! 7! 3! 5! 7! x2 x4 x6 x2 x4 x6 f x cos x cos x 1 ... f x chx chx 1 ... 2! 4! 6! 2! 4! 6 f x sin x sin x x ex 1 x x2 x3 xn ... 2! 3! n! x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 2 e x 1 x x2 x3 xn ... 1n 1 2! 3! n! x 2 y2 - сфера x 2 y 2 a 2 - цилиндр 2 2 2z a b парабфлойд x2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 x2 1 - 3-остный элипсойд a 2 y2 b 2 z2 c2 1 - 1 – остный гипербалойд x2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 1 - 2–остный гипербалойд x2 a 2 y2 b 2 z2 c2 0 - конус Ряды Фурье. Преобразования Фурье. Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическим рядом называют ряд вида a0 a 1 cos x b1 sin x a 2 cos 2x b 2 sin 2x 2 a n cos nx b n sin nx или, символической записи: 36 R R а0 a n cos nx b n sin nx , 2 n 1 где ω, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …,bn, …- постоянные числа (ω>0) . К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1). Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд. Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций a n cos nx b n sin nx (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех 2 точках вида x 0 m (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем 2 S n x 0 T S n x 0 S n x 0 2 , где T , S n x 0 T S n x 0 а потому и lim n lim n , т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье. Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда: 37 a0 a n cos nx b n sin nx . ƒ(x)= 2 n 1 (2) Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд a0 a 1 b1 a 2 b 2 a n b n 2 (3) Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2): a 0 f ( x )dx a n cos nxdx b n sin nxdx . 2 n 1 Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части: a0 dx a 0 , 2 a n cos nxdx a n cos nxdx b n sin nxdx b b sin nxdx Таким образом, f x dx a 0 , откуда a0 1 a n sin nx n f (x)dx . (4) Оценка коэффициентов Фурье. 38 0, b n cos nx n 0. Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ(s)(x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству: │ ƒ(s)(x)│≤ Ms; (5) тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству ak 2M s ks bk , 2M s ks (k 1,2, ) (6) Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что ƒ(-π) = ƒ(π), имеем 1 ak 1 k 1 sin kt f ( t ) cos ktdt f ( t ) k sin kt f (t) dt k ' f (t) sin ktdt. ' (7) Поэтому ak 1 k M 1 1dx 2M 1 k Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ΄, …, ƒ(s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6). Вторая оценка (6) получается подобным образом. Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство a k , b k 1 2 Доказательство. Имеем ak 1 f ( t ) f ( t ) dt. k f (t) cos ktdt. (8) (9) Вводя в данном случае замену переменной ƒ(x) – периодическая функция, получим 39 t u k и учитывая, что ak 1 1 k f (u k ) cos(ku )du k f (u k ) cos ku )du. (10) Складывая (9) и (10), получаем ak 1 2 f ( u ) f ( u ) cos kudu. k Отсюда ak 1 2 f (u ) f (u ) du. k Аналогичным образом проводим доказательство для bk. 1 2 b 2 lim f n f lim f n ( x ) f ( x ) dx 0. n n a Отметим, что если последовательность функций ƒ n (x) сходится равномерно к функции ƒ(x) на отрезке [a, b], то для достаточно больших n разность ƒ(x) - ƒn (x) по абсолютной величине должна быть мала для всех х из отрезка [a, b]. В случае же, если ƒn (x) стремится к ƒ(x)в смысле среднего квадратического на отрезке [a, b], то указанная разность может и не быть малой для больших n всюду на [a, b]. В отдельных местах отрезка [a, b] эта разность может быть и велика, но важно только, чтобы интеграл от её квадрата по отрезку [a, b] был мал для больших n. Сумма первых его n членов σ n = ƒ1 + ƒ2 + … + ƒ n есть функция, принадлежащая к существует функция ƒ такая, что || ƒ- σn || → 0 (n → ∞), 40 ' ' L2 . Если случится, что в L2 то говорят, что ряд квадратического и пишут ƒ = ƒ1 + ƒ2 + ƒ3 +… Замечание 2. Можно (12) сходится к функции ƒ в смысле среднего рассматривать ' L2 пространство = ' L2 (a, b) комплекснозначных функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x), где ƒ1(x) и ƒ2(x) – действительные кусочно – непрерывные на [a, b] функции. В этом пространстве функции умножаются на комплексные числа и скалярное произведение функций ƒ(x) = ƒ1(x) + iƒ2(x) и φ(х) = φ1(х) +i φ2(х) определяется следующим образом: b f , f 1 ( x ) if 2 ( x ) 1 ( x ) i 2 ( x )dx, a а норма ƒ определяется как величина f f , f 1 / 2 f b a b 2 f ( x ) dx a ( x ) ( x ) dx 1 2 2 1/ 2 f 2 1/ 2 . Коэффициенты, определенные по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x). В некоторых случаях, для более узких классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье. Обратим внимание, что постоянная a0 2 в (2) пишется в таком виде, чтобы придать единообразие формулам (17) и (18). Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического разложения данной функции целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое изучение вопроса о том, для каких функций ряд сходится, и притом именно к данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд Фурье, что обычно записывают в виде: 41 ƒ(x) ~ a0 a n cos nx b n sin nx , 2 n 1 (19) про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более – о его сходимости к данной функции. Из определения ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом Фурье. Признаки сходимости рядов Фурье. Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд Фурье сходился и чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась значениям данной функции в соответствующих точках? Сформулируем теорему, которая даст достаточные условия представимости функции ƒ(x) рядом Фурье. (из Пискунова) Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х 1, х2, …,хn-1 на интервалы (а, х1), (х1, х2),…, (хn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая. Теорема. Если периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x) справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то s x x c f (c 0) f (c 0) 2 . Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики. Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. При выводе формул (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (17), (18), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a0, ak и bk и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции. 42 Является ли построенный таким образом ряд Фурье сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда? Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность разложения функций в ряд Фурье даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения. Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна. Основное определение. Функция ƒ(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если: 1)функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода; 2) функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b]. Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю. Пример 2. Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом: ƒ(x) = -1 при –π < x < 0, ƒ(x) = 1 при 0 ≤ x ≤ π. Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье: 0 a0 1 f ( x )dx 1 (1)dx dx 0 , 0 Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид: f (x) sin 2p 1x 4 sin x sin 3x sin 5x 1 3 5 2p 1 . Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва. 4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье. Отметим следующее свойство периодической функции ψ(x) с периодом 2π: 2 x dx x dx , каково бы ни было число λ. 43 Действительно, так как ψ(ξ - 2π) = ψ (ξ) , то, полагая x = ξ - π, можем написать при любых c и d: d d 2 d 2 d 2 x dx 2dx d c c 2 c 2 В частности, принимая с = - π, d = λ, получим: 2 x dx . c 2 x dx x dx поэтому 2 x dx 2 x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx Указанное свойство означает, что интеграл от периодической функции ψ(x) по любому отрезку, длина которого равна периоду, имеет всегда одно и тоже значение. Из доказанного свойства вытекает, что при вычислении коэффициентов Фурье мы можем заменить промежуток интегрирования (-π, π) промежутком интегрирования (λ, λ +2π), т. е. можем положить 2 2 1 ak f ( x ) cos kxdx , 2 1 bk f ( x ) sin kxdx 1 a0 f ( x )dx, (20) где λ – любое число. Это следует из того, что функция ƒ(x) является, по условию, периодической с периодом 2π; следовательно и функция ƒ(x)·cоsnx, и ƒ(x)·sinnx 44 являются периодическими функциями с периодом 2π. В некоторых случаях доказанное свойство упрощает процесс нахождения коэффициентов. Пример. Пусть требуется разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2π, которая на отрезке 0 < x ≤ 2π задана равенством ƒ(x)= х. Эта функция на отрезке [-π, π] задается двумя формулами: ƒ(x) = х + 2π на отрезке [-π, 0] ƒ(x) = х на отрезке [0, π]. В то же время на отрезке [0, 2π] гораздо проще она задается одной формулой ƒ(x) = х. Поэтому для разложения этой функции в ряд Фурье выгоднее воспользоваться формулами (20), приравняв λ=0. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то x dx 2 x dx . Действительно, 0 0 0 0 0 x dx x dx x dz x dx x dx x dx x dx 2 x dx 0 0 0 так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x). Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskx есть функция также нечетная, а ƒ(x) · sinkx – четная; следовательно, 45 f x dx 0, 1 ak f x cos kxdx 0, 1 2 bk f x sin kxdx f x sin kxdx 0 1 a0 (21) т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x) · sinkx есть функция нечетная, а ƒ(x) · coskx – четная, то: 2 f x dx, 0 2 ak f x cos kxdx , 0 1 bk f x sin kxdx 0 a0 (22) т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы». Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной. Очевидно, что не всякая периодическая функция является четной или нечетной. Ряд Фурье для функции с периодом 2l. Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле х = lt / π. Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π: 46 a0 f t a k cos kt b k sin kt 2 k 1 (23) где (Пискунов, стр. 341 – дописывать не надо) a0 1 1 ak bk 1 f t dt f t cos ktdt f t sin ktdt Возвратимся к старой переменной x: x 1 t, t x dt dx Тогда будем иметь: 1 kx ak f ( x ) cos dx 1 kx bk f ( x ) sin dx 1 a0 f ( x )dx (24) Формула (23) получит вид a0 k k f x x, (25) a k cos x b k sin 2 k 1 где коэффициенты a0, ak, bk вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l. 47 Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l. 2p 1 x 3 cos x cos x cos 4 x 2 2 1 32 2p 12 Разложение в ряд Фурье непериодической функции. Пусть на некотором отрезке [a, b] задана кусочно монотонная функция ƒ(x). Покажем, что данную функцию ƒ(x) в точках её непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье. Для этого рассмотрим произвольную периодическую кусочно монотонную функцию ƒ1(x) с периодом 2μ ≥ a - b, совпадающую с функцией ƒ(x) на отрезке [a, b]. Таким образом, дополнили определение функции ƒ(x). Разложим функцию ƒ1(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией ƒ(x), т. е. мы разложили функцию ƒ(x) в ряд Фурье на отрезке [a, b]. Рассмотрим следующий важный случай. Пусть функция ƒ(x) задана на отрезке [0, l]. Дополняя определение этой функции произвольным образом на отрезке [ l, 0 ] , мы можем разложить эту функцию в ряд Фурье. В частности, если мы дополним определение данной функции так, чтобы при - l ≤ х < 0 было ƒ(x) = ƒ(-x). В результате получится четная функция. В этом случае говорят, что функция ƒ(x) «продолжена четным образом». Эту функцию разлагают в ряд Фурье, которая содержит только косинусы. Таким образом, заданную на отрезке [0, l] функцию ƒ(x) мы разложили по косинусам. Если мы продолжим определение функции ƒ(x) при - l ≤ х <0 так: ƒ(x) = ƒ(-x), то получим нечетную функцию, которая разлагается по синусам. Таким образом, если на отрезке [0, l] задана некоторая кусочно монотонная функция ƒ(x), то её можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, таки по синусам. Комплексная форма ряда Фурье для функций с периодом 2π. Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая условиям определения: Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте). Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем: 48 e inx e inx e inx e inx a n cos nx b n sin nx a n bn 2 2i e inx e inx e inx e inx an ib n 2 2 a n ib n inx a n ib n inx e e c n e inx c n e inx , 2 2 a n ib n a ib n , c n n где c n . 2 2 a0 Полагая ещё c 0 получим для частичных сумм ряда Фурье 2 выражение a0 N (a n cos nx b n sin nx ) 2 n 1 N c 0 (c n e n 1 inx c n e inx ) N c n e inx . n N Непосредственно видно, что эта формула верна для n = 0 и для n < 0 (последнее видно, например, из того, что c n c n , где с обозначает число, сопряженное с). По доказанному имеем в точках дифференцируемоcти: N 0 n n N n 1 a f ( x ) lim (a cos nx b sin nx ) 2 lim N cne N n N inx c n e inx . Рассмотрено на заседании кафедры протокол №____ от «__ »____ 200 г. 49 Разработчик Жақаш Ә.Т. _______________ Зав. кафедрой _______________ Крахмалева Ю.Р. 50
