Федеральное агентство по образованию Томский политехнический университет

Рабочая программа учебной
Ф ТПУ 7.1- 21/01
дисциплины
Федеральное агентство по образованию
Томский политехнический университет
"УТВЕРЖДАЮ"
Директор
ЭЛТИ
Суржиков А.П. _______________
"___"_________ 2009 г.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Рабочая программа для направления (специальностей и специализаций)
140 607 Электрооборудование автомобилей и тракторов (дипломированный специалист)
Факультет
Электротехнический институт
Обеспечивающая кафедра Высшей математики и математической физики
курс - I, II
семестр - 1, 2, 3
Учебный план набора
2009 года
Распределение учебного времени
лекций -
142
часа (ауд)
практические занятия -
159
часов (ауд)
Всего аудиторных занятий
301
час
Самостоятельная (внеаудиторная) работа
319
часов
Общая трудоёмкость
620
часов
Экзамен - 1, 2, 3
семестр
ТОМСК 2009 г.
Предисловие
1. Рабочая программа составлена на основе ГОС по (специальности) 140 607
«Электрооборудование автомобилей и тракторов» (дипломированный специалист)
РАССМОТРЕНА И ОДОБРЕНА на заседании обеспечивающей кафедры ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 23 июня 2009г. протокол № 120.
2. Разработчик
доцент кафедры высшей
математики и математической физики
Игорь Александрович Цехановский
3.Зав. обеспечивающей кафедрой проф.
Андрей Юрьевич Трифонов.
4. Рабочая программа СОГЛАСОВАНА с факультетом, выпускающими кафедрами
специальности; СООТВЕТСТВУЕТ действующему плану.
Аннотация
ЕН.01.Высшая математика
280100.65 280200.62
Каф. ВММФ ЕНМФ
Доцент, к.ф.-м.н. Цехановский И.А.
Тел./факс: (3822)-418913.
Цели: формирование математической культуры мышления и навыков самостоятельного
использования математического анализа в профессиональной деятельности.
Содержание: матрицы; линейная алгебра; векторный анализ; аналитическая геометрия;
дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных; интегральное
исчисление функции одной и нескольких переменных; элементы теории поля; числовые,
функциональные и тригонометрические ряды; обыкновенные дифференциальные уравнения и
системы
дифференциальных.
уравнений;
функции
комплексного
переменного;
теория
вероятностей и введение в математическую статистику.
Курс I ( 1сем. – экзамен, 2 сем. – экзамен).
Курс II ( 3 сем. – экзамен).
Всего 620 ч, в том числе: лк 142 ч, пр 159 ч.
I. Цели и задачи преподавания дисциплины
«Высшая математика»
Цели дисциплины:
Современный научный сотрудник или инженер, в достаточной мере, должен владеть
математическими методами исследования и логической культурой мышления.
Высшая математика является одной из фундаментальных дисциплин для студентов
данного блока направлений, которая позволит сформировать у студента навыки решения
задач с использованием математического аппарата дисциплины.
Студент, изучив дисциплину «Высшая математика» должен:
иметь представление:

о математике, как особом способе познания мира и образе мышления,

общности её понятий и представлений;

о связи курса с другими дисциплинами;
уметь:

использовать основные понятия и методы высшей математики;

использовать математические модели для конкретных процессов и проводить
необходимые расчёты в рамках построенных моделей;
знать и иметь опыт:

употребления математической символики для выражения количественных и
качественных отношений объектов,

применения математических методов и элементов научных исследований в
прикладных задачах и оценивания пределов применимости полученных результатов.
Задачи дисциплины:
В результате изучении дисциплины «Высшая математика» студент обязан:
Знать:

место дисциплины «Высшая математика» среди других, изучаемых студентом
дисциплин и её значение при изучении последующих курсов;

Основные определения и понятия: определение матрицы, основные характеристики
матриц: определение и свойства определителей n – го порядка; определение ранга
матрицы, его свойства;

определение вектора как элемента точечно-векторного пространства, принципы
построения алгебры векторов; способы задания прямой на плоскости и в пространстве;

геометрические определения кривых второго порядка;

правила
нахождения
производных,
исследование
функций
на
экстремум
и
монотонность, нахождение пределов, правила нахождения частных производных;

вычисления неопределенных интегралов, вычисления или оценки определенных
интегралов, вычисления основных характеристик векторных полей, применения
методов, изученных в курсе “Интегральное исчисление” к решению задач физики.

числовые ряды и критерии их сходимости, ряды Тейлора и Маклорена и условия
разложения функций, интервал сходимости степенного ряда, ряды Фурье и условия
Дирихле;

условия аналитичности ФКП, вычет ФКП в изолированной особой точке;

методы решения дифференциальных уравнений и систем.
Уметь:

работать с учебной и справочной литературой;

вычислять определители различными способами; вычислять ранг матрицы различными
способами; находить базис линейного пространства, исследовать систему линейных
уравнений на совместность различными методами;

производить действия над векторами в пространствах и находить разложение
произвольного вектора по любому базису; определять размерность пространства,
подпространства;

геометрически и аналитически представлять прямую и плоскость в пространстве;
использовать аппарат векторной алгебры для анализа взаимного положения прямых и
плоскостей; приводить общие уравнения прямой в пространстве к каноническому виду;

выводить канонические уравнения кривых второго порядка;

использовать основные понятия и методы дифференциального исчисления;

находить производных от функций одной и нескольких переменных, исследовать
функций на экстремум и монотонность, находить пределы;

применять методы дифференциального исчисления функций одной и нескольких
переменных к отысканию физических и геометрических характеристик процессов;

использовать основные понятия и методы вычисления неопределенных интегралов.

использовать математические модели для конкретных процессов и проводить
необходимые расчёты в рамках построенных моделей;

выбирать критерии сходимости числовых рядов; находить интервалы сходимости
степенных рядов; разлагать функции в ряды Тейлора, Маклорена, Фурье;

применять вычеты к вычислению интегралов;

определять тип дифференциального уравнения и выбирать метод его решения; составить
дифференциальное уравнение, описывающее конкретный физический процесс;

использовать полученные знания при усвоении учебного материала последующих
дисциплин;

самостоятельно овладевать новыми математическими знаниями, опираясь на опыт,
приобретенный в процессе изучения курса «Высшая математика».
ЗАДАЧИ ИЗЛОЖЕНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Для достижения целей, поставленных при изучении дисциплины, используется набор
методических средств:
 лекции;
 практические занятия с опросом студентов и закреплением теоретического материала;
 индивидуальные задания;
 работа с учебниками в библиотеке по изучению разделов дисциплины, вынесенных на
самостоятельное изучение
 индивидуальные и групповые консультации по теоретическим и практически вопросам
курса;
Проверка приобретенных знаний, навыков и умений осуществляется посредством опроса
студентов, текущих тестовых испытаний, контрольных работ, теоретических коллоквиумов и
сдачи зачета.
II. Содержание теоретической части занятий
ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР (54)
МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА (ЛК – 8 ч.)
Матрицы, их виды. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Понятие
линейной независимости. Определители матриц, их свойства и способы вычисления. Минор и
алгебраическое дополнение матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Теорема о базисном
миноре. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись. Способы решения:
обратной матрицей, правило Крамера, метод Гаусса. Решение неопределенных систем.
Однородные системы, нетривиальные решения, фундаментальная система решений.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА (ЛК – 6ч.)
Векторы и линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось, базис, координаты
вектора
в
базисе.
Основная
теорема
векторной
алгебры.
Ортонормированный
базис,
направляющие косинусы. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов: их свойства,
геометрический и механический смысл, способы вычисления в декартовых координатах;
приложения к решению задач.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ (ЛК – 8ч.)
Деление отрезка в заданном отношении. Прямая на плоскости, плоскость, прямая линия в
пространстве. Разнообразие форм и способов задания. Взаимное расположение линий друг
относительно друга и относительно плоскостей. Кривые второго порядка на плоскости:
определения, канонические уравнения и свойства. Преобразования системы
координат.
Поверхности второго порядка, их построение методом сечений. Полярная система координат.
Классические кривые, заданные в полярной системе и параметрически.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ЛК – 10ч.)
Элементы математической логики, символы. Функция. Аналитические функции, их
основные свойства и формы. Элементарные функции и их основные свойства. Числовые
последовательности, пределы последовательностей. Предел функции. Правила предельного
перехода. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их
свойства, сравнение. Понятие непрерывности функции в точке, на промежутке. Непрерывность
элементарных функций. Три теоремы о непрерывных на отрезке функциях. Точки разрыва и их
классификация.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(ЛК – 22ч.)
Производная функции, ее геометрический смысл. Производные элементарных функций.
Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной, неявной, обратной и параметрически
заданной функций. Уравнения касательной и нормали к кривой. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
Дифференциал функции, его геометрический смысл и инвариантность формы. Производные и
дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя. Исследование функции: монотонность,
экстремумы, выпуклость, точки перегиба, асимптоты.
ВТОРОЙ СЕМЕСТР (43 ч.)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ (ЛК – 8ч.)
Область существования, предел и непрерывность функции нескольких переменных.
Частные приращения, производные и дифференциалы. Полный дифференциал и его применение в
приближённых вычислениях. Производные от сложных функций. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Необходимые
условия экстремумов функции многих переменных. Достаточные условия экстремумов функции
двух переменных. Нахождение наибольших и наименьших значений функций, непрерывных в
замкнутой ограниченной области.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ЛК – 8ч.)
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства. Таблица интегралов. Методы
непосредственного
интегрирования,
замена
переменной,
по
частям.
Интегрирование
рациональных дробей и на их основе – иррациональных и тригонометрических функций.
Подстановка П.Л. Чебышева. Понятие «неберущихся» интегралов и их примеры.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ЛК – 9ч.)
Определенный интеграл, его свойства и геометрический смысл. Интеграл с переменным
верхним пределом и формула Ньютона - Лейбница. Замена переменных и интегрирование по
частям. Вычисление площадей, объемов, длин кривых с помощью определенного интеграла.
Численные методы вычислений определенных интегралов (метод прямоугольников, трапеций,
парабол). Несобственные интегралы их вычисление способы исследований их сходимостей.
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ЛК – 9ч.)
Двойной интеграл, его свойства, вычисление в декартовых координатах. Замена
переменных в двойном интеграле, полярная система координат. Тройной интеграл в декартовых,
цилиндрических и сферических системах координат. Применение в задачах физики. Численные
оценки кратных интегралов. Криволинейные интегралы I и II рода, определения, свойства,
вычисления. Формула Грина и не зависимость от пути интегрирования.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ЛК – 9ч.)
Поверхностные интегралы I и II рода, определения, свойства, вычисления, формы записи,
приложения. Условие независимости криволинейного интеграла по координатам от формы
кривой. Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса.
Векторное поле. Поток, дивергенция, ротация, циркуляция векторных полей. Линии тока.
Векторная форма формул Остроградского-Гаусса и Стокса. Свойство соленоидального поля.
Магнитное поле и его свойства. Дифференциальный оператор и его действие на векторные поля.
Скалярное поле, линии уровня, градиент. Поле неподвижных электрических зарядов. Лапласовы и
потенциальные поля. Задача о напряжении магнитного поля бесконечно длинного соленоида.
ТРЕТИЙ СЕМЕСТР (45ч.)
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (ЛК – 10ч.)
Понятие ряда и его основные свойства. Необходимый и достаточный признаки сходимости
знакоположительных числовых рядов. Знакопеременный ряд. Достаточный признак сходимости.
Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница для знакочередующихся рядов и её
следствие.
Область сходимости и равномерная сходимость функционального ряда. Степенные ряды и
теорема Абеля. Ряд Тейлора и Маклорена. Вычислительная математика на основе степенных
рядов
в
приложении
к
дифференциальным
уравнениям,
определённым
интегралам,
несобственным интегралам. Тригонометрический ряд и его особенности. Ряд Фурье и условие
разложимости функций: четных, нечетных, непериодических и разрывных. Интеграл Фурье.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ЛК – 10ч.)
Комплексные числа и действия над ними в алгебраической, тригонометрической,
показательной формах. Формула Муавра. Функции комплексного переменного, предел,
непрерывность, дифференцируемость, условие Коши- Римана. Формула Эйлера. Понятие
сходимости рядов в комплексной
области. Круг сходимости. Элементарные функции
комплексного переменного.
Понятие интеграла комплексного переменного и его свойства. Теорема Коши для простого
и сложного контура. Формула Коши. Представление аналитических функций рядами Тейлора (в
круге), Лорана (в кольце). Особые точки и их классификация. Вычеты функций. Применение
теории вычетов для вычисления определенных и несобственных интегралов.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛК – 12ч.)
Обыкновенные дифференциальные уравнения: основные понятия. Общее и частное
решения
дифференциальных
уравнений
первого
порядка.
Задача
Коши.
Решение
дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных,
Бернулли,
в
полных
дифференциалах,
с
интегрирующим
множителем.
Решение
дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка. Введение в
теорию
линейных
дифференциальных
уравнений.
Однородные
и
неоднородные
дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации «постоянных»
коэффициентов. Понятие особого решения и его отыскание. Понятия о численных методах
решений
дифференциальных
уравнений;
метод
Эйлера,
метод
конечных
приращений.
Приложение: переходные процессы в простейших электрических цепях.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Метод исключения
неизвестных функций. Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с
постоянными коэффициентами. Случаи действительных и комплексных корней. Устойчивость
решений систем дифференциальных уравнений по Ляпунову А.М.
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (ЛК – 4ч.)
Интегральное преобразование Лапласа. Таблица изображений. Применение операторного
метода к решению задач Коши.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ
(ЛК – 9 ч.)
Случайные события и их классификация. Сведения из комбинаторики. Классическая вероятность.
Теоремы вероятности. Условная вероятность, полная вероятность и теорема Бейеса. Различные
формулировки вероятности (геометрическая, статистическая). Повторные испытания. Схема
Бернулли. Формулы Муавра - Лапласа и Пуассона.
Дискретные случайные величины. Закон распределения. Математическое ожидание и
дисперсия случайной величины. Биномиальное, Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое
распределения.
Непрерывные случайные величины. Законы распределения и числовые характеристики.
Равномерное, экспоненциальное, нормальное распределения.
Функция от случайной величины, закон её распределения, свойства числовых
характеристик.
III.Содержание практических занятий
Первый семестр (54ч.)
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА (ПР – 14ч.)
1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Самостоятельная работа -1ч.
2. Вычисление определителей матриц с использованием свойств определителей. Контрольная
работа «Определители» - 1ч.
3. Минор и алгебраическое дополнение матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы..
4. .Способы решения систем линейных алгебраических уравнений. (обратной матрицей, по
правилу Крамера, метод Гаусса). Решение неопределенных систем. Однородные системы,
нетривиальные решения, фундаментальная система решений. Самостоятельная работа
«Решение систем» -1ч.
5. Операции над векторами в геометрической и координатной формах. Признаки параллельности
и перпендикулярности векторов. Произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
Аналитическая геометрия (ПР – 8ч.)
1. Расстояние между точками. Нахождение координат отрезка делённого в заданном отношении.
Нахождение уравнений прямых по различным способам её задания ( по нормальному и
направляющему вектору, по двум точкам, с угловым коэффициентом).
2.
Расстояние между двумя прямыми и точкой и прямой. Самостоятельная работа «Прямая на
плоскости» –1ч.
3. Вывод уравнений плоскости по разным способам задания (по вектору нормали, по трём точкам
и т.д.). Нахождение уравнений прямых линий в пространстве по разным способам их задания.
Каноническое и общее уравнения прямых и связь между этими формами. Определение углов,
расстояний между плоскостями, плоскостями и прямыми и – двумя прямыми линиями.
Контрольная работа «Линейная аналитическая геометрия» -2ч..
4. Построение кривых второго порядка и определения их параметров. Простейшие приведения к
каноническому виду кривых второго порядка.
5. Построение кривых, заданных в параметрической форме и в полярной системе координат.
6. Распознавать поверхности второго порядка по их каноническим уравнениям. Тест –0,3ч.
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ПР – 32ч.)
1. Область существования функции, заданной аналитически. Элементарные функции и их
графики. Обратная функция и формы задания функции одной переменной. Основные свойства
функций. Примеры неэлементарных функций и функция модуля.
2. Предел бесконечной числовой последовательности. Способы стремления непрерывной
переменной к своему пределу. Пределы функций и спообы их нахождения когда теоремы о
пределах не применимы (раскрытие неопределённостей). Непрерывность функций.
Исследование функций на непрерывность и классификация их точек разрывов.
3. Сравнение бесконечно малых величин. Определение порядков малости и эквивалентные
бесконечно малые величиныВычисление производной по определению и с помощью правил
дифференцирования и таблицы производных.
4. Вычисление производных сложных, обратных, неявных и заданных параметрически функций.
Контрольная работа «Производные» –2ч.
5. Дифференциал функции. Использование дифференциала в приближённых вычислениях
6. Вычисление производных и дифференциалов высших порядков.
7. Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя.
8. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов функций. Наибольшее и наименьшее
значения дифференцируемых на отрезке функций.
9. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости графика функции. Уравнения асимптот.
10. Проведение полного исследования функции и построение её графика.
Второй семестр (42ч.)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ (ПР – 10ч.)
1. Нахождение и построение областей существования функций многих переменных. Вычисление
двойных, тройных и т.д. пределов соответствующих функций.
2. Вычисление частных производных по определению и по правилу. Вычисление частных
производных сложных функций. Вычисление полных производных.
3. Нахождение полных дифференциалов функций многих переменных.
Использование полных дифференциалов в приближённых вычислениях.
4. Составление уравнений касательных плоскостей и нормалей к поверхностям в указанных
точках.
5. Вычисление производных и дифференциалов высших порядков. Свойства смешанных
производных.
6. Экстремум функции двух переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значений
непрерывных в замкнутой области функций (исследование рельефа функции двух
переменных). Градиент и производная по направлению.
7.
Контрольная работа «Функции многих переменных» – 2ч.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ, ОПРЕДЕЛЁННЫЕ И НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(ПР – 16ч.)
1. Непосредственное интегрирование с использованием таблицы. Интегрирование с помощью
метода замены переменной (подстановка, внесение под знак дифференциала). Интегрирование
по частям
2. Интегрирование рациональных дробей.
3. Интегрирование иррациональных функций и подстановки Чебышева.
4. Интегрирование тригонометрических функций. Индивидуальное задание.
5. Вычисление определённого интеграла по определению и по формуле Ньютона – Лейбница.
6. Вычисление длин кривых и площадей неправильной формы с помощью определённого
интеграла.
7. Вычисление объёмов тел неправильной формы. Вычисление площадей поверхности тел
вращения. Контрольная работа 2ч «Приложение определённого интеграла».
8. Вычисление несобственных интегралов 1-го и 2 – рода. Определение сходимости
несобственных интегралов. Самостоятельная работа – 1ч.
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ (ПР – 10ч.)
1. Численные оценки и вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
2. Вычисление якобианов и двойных интегралов в криволинейных координатах (полярных).
3. Численные оценки и вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
Индивидуальное задание «Кратные интегралы в декартовых и криволинейных координатах»
5. Вычисление криволинейных интегралов 1 – го рода в декартовых и полярных координатах.
6. Вычисление криволинейных интегралов 2 – го рода непосредственно и с помощью формулы
Грина. Независимость интеграла от пути интегрирования.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ПОЛЯ (ПР – 6ч.)
1. Вычисление поверхностных интегралов 1 –го рода.
2. Вычисление поверхностных интегралов 2 –го рода непосредственно и с помощью формул
Остроградского – Гаусса, Стокса.
3. Вычисления дивергенции и ротации векторных полей. Дифференциальные операторы
Гамильтона и Лапласа.
4. Представление циркуляции векторного поля по замкнутому контору с помощью формулы
Стокса. Исследование свойств магнитного поля на основании уравнения Максвелла.
5 Нахождение градиентов скалярных полей и поверхностей уровня. Потенциальные скалярные
поля и их свойства. Лапласовы поля. Нахождение всех характеристик поля, создаваемого
точечным неподвижным электрическим зарядом.
Третий семестр (63ч. )
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ (ПР – 19ч.)
1. Вычисление сумм числовых рядов по определению.
2. Определение сходимости знакоположительных рядов по достаточным признакам сходимости
(5 признаков, включая теоремы сравнения).
3. Определение абсолютной и условной сходимости для знакопеременных и знакочередующихся
рядов. Самостоятельная работа «Числовые ряды» - 1ч.
4. Нахождение областей сходимости функциональных рядов.
5. Нахождение интервалов и радиусов сходимости степенных рядов.
6. Построение рядов Тейлора (Маклорена) для заданных функций. Получение рядов Маклорена
некоторых функций на основе известных разложений.
7. Приближённые и численные методы решения задач с помощью степенных рядов.
8. Разложения в ряд Фурье периодических функций с периодом 2π, и с произвольным периодом.
9. Разложения в ряд Фурье чётных и нечётных функций.
10. Разложения в ряд Фурье непериодических функций.
11. Представление функций интегралом Фурье.
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ПР – 18ч.)
1. Действия с комплексными числами, заданными в разных формах (алгебраической,
тригонометрической, показательной).
2. Решение алгебраических уравнений n - ого порядка с помощью формулы Муавра. График
значений корня в комплексной плоскости.
3. Вычисления значений элементарные функции комплексного переменного (ФКП). Решение
трансцидентных уравнений. Выделение реальных и мнимых частей ФКП.
4. Нахождение пределов ФКП в указанных точках. Исследование непрерывности ФКП в
заданных точках.
5. .Доказательства выполнимости условий Коши – Римана и на основании этого вычисление
производных ФКП. Таблица производных.
6. Построение аналитической функции по заданной гармонической.
7. Интегрирование функций комплексного переменного. Вычисление интегралов по замкнутым
контурам от аналитических функций с использованием теорем и интегральных формул Коши.
8. Разложение аналитических ФКП в круге в ряды Тейлора, а аналитических в кольце – в ряды
Лорана.
9. Нахождение и классификация изолированных особых точек аналитических функций.
10. Нахождение вычетов в полюсах и бесконечно удалённой точке. Самостоятельная работа.
“Вычеты” –1ч.
11. Вычисление контурных интегралов, несобственных интегралов 1 –го и 2 – го родов с
помощью теории вычетов. Индивидуальное задание “ТФКП”, Контрольная работа “ТФКП”2ч.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ПР – 12ч.)
1. Определение порядка, степени, начальных условий и формы решений дифференциальных
уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения
дифференциальных уравнений 1 –го порядка.
2. Две формы решения дифференциальных уравнений 1 – го порядка и решения уравнений с
разделяющимися переменными. Решение всех типов ( 5 типов) дифференциальных уравнений
1 – го порядка, сводящихся к уравнениям с разделяющимися переменными.
3. Контрольная работа « Дифференциальные уравнения 1 –го порядка» – 2ч.
4. Решение дифференциальных уравнений выше первого порядка, допускающие понижение
порядка ( 3 типа).
5. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков с
постоянными коэффициентами.
6. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с
постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Метод вариаций
произвольных постоянных.
7. Коллоквиум «Дифференциальные уравнения»
Операционное исчисление (ПР – 4ч. )
Таблица изображений. Применение операционного метода к решению задач Коши.
Распознавание оригиналов по полученным изображениям.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ
(ПР – 10 ч.)
1. Понятие случайного события. Алгебра событий. Элементы комбинаторики.
2. Решение задач в рамках классической теории вероятностей с использованием алгебры
вероятностей.
3. Решение задач с использованием формулы Бейеса ( полная вероятность событий).
4. Решение задач с повторными испытаниями по схеме Бернулли. Формулы Лапласа и Пуассона.
5. Работа с дискретными случайными величинами. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины. Работа с распределениями биномиальным, геометрическим и Пуассона.
6. Работа с непрерывной случайной величиной. Законы распределения и числовые
характеристики. Работа с равномерным, экспоненциальным и нормальным распределениями.
7. Нахождение законов распределения функций от случайных величин. Контрольная работа
“Теория вероятностей”.
IV. Программа самостоятельной познавательной деятельности (319ч.)
Цель - приучить студента систематически работать с конспектом над изучаемой
дисциплиной, привить навык работы с книгой (учебником). Приобщить к самостоятельному
обучению и научной работе.
Первый семестр (106)
1. Работа с конспектами лекций – 26ч.
2. Подготовка к экзамену – 20ч.
3. Домашнее задание. «МАТРИЦЫ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»– 10ч.
4. Домашнее индивидуальное задание «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»– 10ч.
5. Домашнее задание «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» – 10ч.
6. Домашнее индивидуальное задание «ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» – 10ч.
7. Домашнее задание «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ» – 10 ч.
8. Домашнее индивидуальное задание «ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ» - 10ч.
Второй семестр (106ч.)
1. Работа с конспектами лекций – 26ч.
2. Подготовка к экзамену – 20ч.
3. Домашнее задание «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ» – 10ч.
4. Домашнее индивидуальное задание «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» -10ч.
5. Домашнее задание «ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА» –10ч..
6. Домашнее задание «НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» –10ч.
7. Домашнее задание «КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ»– 10ч.
8. Домашнее индивидуальное задание «ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ПОЛЯ» – 10ч.
Третий семестр (105ч. )
1. Работа с конспектами лекций – 25ч.
2. Подготовка к экзамену – 20ч.
3. Домашнее задание «ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ» - 8ч.
4. Домашнее индивидуальное задание «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ» – 8ч.
5. Домашнее задание «РЯДЫ ФУРЬЕ- 2ч.
6. Домашнее задание «АЛГЕБРА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ» -8ч.
7. Домашнее индивидуальное задание «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО»– 8ч.
8. Домашнее задание «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1 –ГО
ПОРЯДКА»– 8ч.
9. Домашнее индивидуальное задание «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ 2 –ГО ПОРЯДКА» - 8ч.
10. Домашнее задание «ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ» – 4ч.
11. Домашнее задание «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
СТАТИСТИКУ» – 6 ч.
V. ТЕКУЩИЙ И ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Текущий контроль служит эффективным стимулирующим фактором для организации
систематической самостоятельной работы, являющейся полученных знаний. Целью текущего
контроля является оперативное управление ходом процесса обучения и достижения целей,
заложенных ГОС ВПО.
Модульное построение учебной дисциплины предусматривает
осуществление следующих видов контроля:
1. текущий контроль;
2. рубежный контроль;
3. итоговый контроль.
Текущий контроль осуществляется на всех видах аудиторных занятий, состоит из оценки
выполнения самостоятельной работы студента на практическом занятии и выполнении им
индивидуального домашнего задания.
Рубежный контроль осуществляется после завершения изучения какого-либо модуля в
форме контрольной работы по контрольным заданиям. Образцы контрольных работ
приводятся в Приложении 1.
Итоговый контроль осуществляется в период экзаменационной сессии с помощью
экзаменационных билетов. Экзамен проводится в письменной форме с последующим
собеседованием. Образцы экзаменационных билетов приводятся в Приложении 1.
Организация текущего контроля строится на оценке знаний студентов по принятой в ТПУ
рейтинговой системе. Общий рейтинг по данной дисциплине составляет 1000 баллов. В
рейтинг входят баллы:
1. за работу на практических занятиях (25 баллов);
2. за выполнение индивидуального домашнего задания (25 баллов);
3. за выполнение контрольной работы (150 баллов).
Рейтинг-планы для каждого семестра приводятся в Приложении 1.
VI. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
8.1 Программные продукты
1. Лекции-презентации в программе Power Point.
2. Демонстрационные программы поверхностей в 3-d изображении.
6.2 ЛИТЕРАТУРА
Основная литература
I.
Учебники
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. ─ 8-е изд, перераб. - М.:
Физматлит, 2000. ─ 376с.
2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия. ─ М.: Наука, 1999. ─ 224с.
3. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Учебное пособие. – Томск: Изд-во Дельтаплан, 2007. – 216с.
4. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Предел. Непрерывность. Производная
функции. Приложения производной. Функции нескольких переменных. Учебное пособие. –
Томск: Изд-во Дельтаплан, 2007. – 180с.
5. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Неопределенный интеграл. Определенный
интеграл. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Векторное поле. Учебное
пособие. – Томск: Изд-во Дельтаплан, 2007. – 96с.
6. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Ряды.
Операционный метод. Комплексные числа и функции. Учебное пособие. – Томск: Изд-во
Дельтаплан, 2007. – 264с.
7. Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для
технических университетов. IV Ряды. ─ Томск: Изд-во Томского политехнического
университета, 2006. ─ 343с.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебное пособие для втузов: В
2 томах. ─ М.: Интеграл-Пресс, 2001. ─ Том 1. ─ 416с.; ─ 2001. ─ Том 2. ─ 544с.
9. Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики: I.
Основы комплексного анализа. II. Элементы вариационного исчисления в теории обобщенных
функций. ─ Томск: Изд-во НТЛ, 2002. ─ 672с.
10. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. ─ М. Высшая школа,1977. ─
479с.
II. Задачники
1. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. ─ М.: Наука, 1986. ─223с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. ─ М.: Наука, 1985. ─ 384c.
3. Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М., Наука, 1987. ─ 350с.
4. Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости. М., Наука, 1981. ─ 303с.
5. Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. ─ М.: Наука, 1972. ─
387c.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистики. ─ М. Высшая школа,1970. ─ 400с.
Дополнительная литература.
1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.: В 2-х томах. ─ М..: Наука, 1964 ─ Том1.
─ 440с.; ─ 1968. ─ Том.2. ─ 463с.
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. ─ М.: Наука,1984. ─
444с.
3. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. ─ М., Наука.1978. ─ 415с.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. ─М.:
Наука, 1987. ─ 688с.
5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. ─ М.: Физматгиз, 1964.
6. Камке Э.Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. ─ М.: Наука,1976. ─
576с.
7. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. ─ М.: Наука, 1966. ─
336с.
8. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. ─. М.: . .Наука,
1972. ─ 544с.
9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. ─ М. Наука,1965. ─ 400с.
Приложение 1
Образцы контролирующих материалов.
Экзаменационный билет по дисциплине Высшая математика
1 семестр
Вариант 1
1. Понятие базиса. Разложение вектора по произвольному базису.
2. Дана система линейных уравнений
2 x1  x2  2 x3  x4  x5  2,

 x1  2 x2  x3  x4  x5  2,
x  x
 x4  2 x5  1.
2
 1
найдите общее решение системы;
3. Плоскость проходит через точку M(6, −1, 1) и отсекает на оси Ox отрезок a = −3, на оси Oz
отрезок c = 1. Составьте уравнение этой плоскости.
4. Приведите уравнение кривой к каноническому виду и постройте кривую
4 x 2  4 y 2  64 x  18 y  89 .
Вариант 2
1. Сформулировать и доказать правило Лопиталя для случая неопределённости вида
2. Найдите пределы:
2 x 1  3 x  2
а) lim
.
x   2 x 1  3 x
0
..
0
1
в) lim xe x .
x  0
x
3. Найдите производную функции y  ln tg (5  2 ).
1
x
4. Определите точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции y  x 5 e .
Экзаменационный билет по дисциплине Высшая математика
2 семестр
Вариант 1
1. Свойства функций, непрерывных на множестве. Формулировки теорем, геометрическая
иллюстрация, примеры.
2. Определение локального экстремума функции двух переменных. Терема о необходимом
условии экстремума (с доказательством). Примеры: z  x  y , z  x  y .
2
2
2
2
Существует ли стационарная точка для каждой из функций? Есть ли экстремум функции в
стационарной точке?
3. Найти и построить область определения функции z  lg( 4 x  y ) .
2
4. z  arcsin
2
x
. Найти угол между градиентами этой функции в точках (1,1) и (3,4).
x y
Вариант2
1. Понятие первообразной. Теорема о первообразных (формулировка).
2. Вычислить a), b) и исследовать на сходимость c).
a)  x
2
cos( x 3  4)dx
3. Вычислить

1
x
dx
0 ( x  2)( x  1)
b) 
c)

0
x
dx
x2 1
2
3
 xdx  y dy, L : { y  x , от т. А(8, 2) до т. В(0, 0)}
L
4. Вычислить  ydS S : {x  3 y  2 z  1, x  0, y  0, z  0}
S
Экзаменационный билет по дисциплине Высшая математика
3 семестр
Вариант 1
1. Исследовать на сходимость ряды:

1. 
n2
3
n 1 n  2

n
, 2. 
2 n
n 1 ( n  5 ) 4

, 3. 
n 1
e-
n
n
,
 ( 1) n 3n
4. 
.
n 1
1
n 1 3
2. Разложить в ряд Тейлора с центром в точке x0 функцию f(x):
f ( x )  3 2 x  3 ; x0  1.
3. Вычислить и построить на комплексной плоскости:
 12  i 4 3
4. Вычислить интеграл:  e  | z|dz ,
L
где L - отрезок прямой от точки z1  0 до точки z 2  3  4i .
5. Найти аналитическую функцию f ( z )  U  iV по известной
f ( z 0 ) : V( x , y )  e y cos x  y ;
мнимой части и значению
f (  / 2) 1 i
Вариант 2
1. Теоирема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка.
2. Определить тип и найти общие решения данных уравнений:
y  y  x .
3. Решить задачу Коши:
yy  ( y) 2  0 .
 dx
 dt  y,
 dy
   x.
 dt
y (1)  1, y(1)  1.
x (0)  1; y( 0)  1.
4. Операционным методом решить задачу Коши:
 x  3x  y,
x0  2; y0  0.

 y  5 x  3 y  2.
5. Найти оригинал по заданному изображению:
e p
.
p( p  1)
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
Контрольная работа по теме «Линейная алгебра»
1. Дан определитель
2 4 3 1
1 1 0 1 .
3 2 4 0
0 1 1 3
а) Запишите разложение данного определителя по четвёртому столбцу;
б) вычислите определитель, получив предварительно нули в какой – либо строке или
столбце.
5 x  8 y  z  7
2. Решить систему уравнений  x  2 y  3 z  1

матричным
методом.
2 x  3 y  2 z  9

вычислить также методом Крамера.
3. Исследовать систему на совместность и решить методом Гаусса
x2  x3  x4  1

x
 x3  x4  2
 1

 x4  3
 x1  x2

4
 x1  x2  x3
4. Дана система однородных линейных уравнений
0
 x1  x2  2 x3

2 x1  x2  x3  3x4  0
 x  2 x  x  3x  0
2
3
4
 1
а) Докажите, что система имеет нетривиальные решения;
б) Найдите общее решение системы;
в) найдите фундаментальную систему решений.
5. При каких значениях параметра
с расширенной матрицей
 система линейных уравнений
 2 1 1 4


 1  1 3  совместна?
 1 2 1 4 


Значение x
Контрольная работа по теме «Векторная алгебра»




I. Даны четыре вектора: a  {4,5,2}; b  {3,0,1}; c  {1,4,2}; d  {5,7,8}.

  
1.Доказать, что векторы a , b , c образуют базис и найти разложение вектора d в этом базисе.
 
2. Найти косинус угла между векторами a и b .

 

3. Найти длину вектора g  a  2b  3c .
II. Даны четыре точки: A(1;3;0), B(4;1;2), C (3;0;1), D(4;3;5) .
4. Найти объём пирамиды ABCD и длину высоты , опущенной из вершины D на грань ABC .
5. Найти проекцию вектора AB на ось вектора CD .
6. Найти координаты вектора [( BC  AB), CB] .
 
  1  
III. Параллелограмм построен на векторах a  p  4q , b  ( p  q ), где
2


 

p  4, q  2, ( p ^ q )  .
3
Определить: а) косинус тупого угла между диагоналями;

сторону a .
б) длину высоты, опущенной на
Контрольная работа по теме «Аналитическая геометрия»
1. Определить при каких значениях а прямая
(а+2)х + (а2 -9)у + 3а2 - 8а + 5 = 0
параллельна оси ОХ.
2.
3х - 4у - 10 = 0 и отстоящих от
Составить уравнения прямых, параллельных прямой
нее на расстояние d=3.
3. Даны вершины треугольника А(2,6), В(4,-2), С(-2,-6).
вершины А и
4.
Составить уравнение высоты из
уравнение медианы из вершины С.
Привести к каноническому виду, назвать и построить
кривые:
а) 16х2 + 25у2 + 32х - 100у - 284 = 0;
б) у2 - 4у - 20х + 24 = 0.
5.
 2 x  y  3z  9  0
 2 x  3z  4  0
Из общих уравнений прямой : 
получить канонические и параметрическое уравнения
6.
Найти проекцию точки А(1,2,0) на плоскость
прямой.
8x + 6y +8z – 25 = 0.
7.
Построить тело, ограниченное поверхностями
х2 = z,
x + y = 2,
y = 0, z = 0.
Контрольная работа по теме «Введение в анализ»
I. Вычислить пределы:
1. lim
n2  4n
n  3
3. lim
x 2
2n  1
3
;
2. lim
x 1
x2  3  1
;
x2
1 1 1
1
   n
2 4 8
2 ;
5. lim
n
n 1
x 2 1
x2 x

7. lim 

x   x  1 
;
x2  x
x  3x - 4
3
;
arcsinx 2
4. lim
;
x 0 1  cos x
sin 2  x 
;
x 2
2x  2
6. lim
8. lim
ln( 1  3 x 2  tg 4 x )
x 0
2x  1  1
2
.
II. Найти точки разрыва функции, указать их характер. Построить график функции в окрестности
точек разрыва:

cosx , åñëè x  0 ,

f ( x )   x 2 , åñëè 0  x  1,
 1
 x 1
, åñëè x  1.
2
Ш. Доказать по определению предела и дать геометрическую интерпретацию:
lim
n 
n2  1
n2
 1.
IV. Сформулировать и доказать первый замечательный предел.
Контрольная работа по теме «Дифференциальное исчисление»
I. Найти производные следующих функций:
x
ctg( )
3. y  (tg 2 x) 2
y
1. y  (ecos x  3)2 ;
2. 3x  3  x  y ;
d2y
II. Найти вторую производную
:
dx 2
1. y 
 x  cos(t / 2),
x
2.

x2  1
 y  t  sin t.
III. Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы:
1. lim 
x
1 


x 1 x  1 ln x 
2. lim (1  x)
cos
x
2
x 1
IV. Провести полное исследование функции и построить график функции :
y
3x  1
.
5x  2
Контрольная работа по теме «Неопределенный интеграл»
Вычислить интегралы
1.  x 1  x 2 dx ;
2.  5 ( 8  3x)6 dx ;
4.  (1  x)sin 2x dx ;
3.  arctg x dx ;
xdx
5. 
;
x3 1
6. 
sin 6 x
dx ;
8. 
cos 4 x
dx
7. 
;
cos 4 x
x 2dx
9. 
;
2
4 x
xdx
;
(x  1 )(x  3 )(x  5 )
dx
10. 
.
4
4
1 x
Контрольная работа по теме «Определенный интеграл»
1. Вычислить среднее значение функции на указанном отрезке:
y
sin 2 x
,
2  cos 2 x
 
x  [ , ].
4 4
2. Оценить интеграл (сверху и снизу):
2
e
x2  x
dx .
0
3. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их

3
dx
1) 
;
1 x ln x
2) 
0
x 2 dx
3
(x3  8)4
на сходимость:
x 2dx
3) 
.
3
2
0 arctg x  x
2
;
4. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:
1) y  e x , y  e x
и
x  1;
2)   2 sin  .
5. Вычислить длины кривых:
1) y  x3 ,
от точки
(0,0) до (5,5 5 ) ;
 x  5(t  sin t ),
t  [0, ] .
 y  5(1  cos t ),
2) 
6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры вокруг
оси ОХ, ограниченной линиями:
 x  3 y  2,

 y  1, x  1.
Контрольная работа по теме «Кратные интегралы»
1. Вычислить двойной интеграл
 x
3 2
y dxdy;
D : {x 2  y 2  R 2 }.
( D)
2. Перейти к полярной системе координат и вычислить
интеграл
y
 arctg( x ) dxdy;
D : {x 2  y 2  1, 0  y  x}.
( D)
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y  x;
4. Найти объем тела, ограниченного цилиндрами: x 2  y,
и плоскостями: z  0,
z
x2  y 2
x2  4  3 y
z  9.
5. Вычислить массу тела, занимающего область
если  
x2  2  y
- объемная плотность.
V : {x 2  y 2  2 x, z  3, y  0, z  0},
Контрольная работа по теме «Элементы векторного анализа »
1. Вычислить криволинейный интеграл 1го рода
 (1  x
2
)dl , где L : x 2  y 2  ay .
( L)
2. Вычислить работу силового поля. Проверить зависит ли интеграл от траектории
интегрирования? Если не зависит, то упростить вычисления.
 ( xy  1)dx  x
2 2
y dy ,
где L : AB; A(1,0); B(0,2) .
( L)
3. Вычислить поверхностный интеграл
 dS , где S – часть плоскости
(S )
x  y  z  a , заключенная в первом октанте.



4. Найти поток векторного поля A  4i  9 j через внешнюю сторону поверхности
параболоида вращения y  x 2  z 2 , ограниченного плоскостью y  4 , при x  0, z  0 .
5. Проверить будет ли потенциальным и соленоидальным поле




a m   (2 xy  z 2 )i  (2 yz  x 2 ) j  (2 xz  y 2 )k .
Контрольная работа по теме «Числовые и функциональные ряды»
I.
Исследовать на сходимость ряды:

1. 
n 1 n

1
 1  cos na
2
, 2. 
(n  1) 2
n 1 (n
 2) 3
2
n!(n  1)!
,
n 1 (2n)!

, 3. 
n
n

 ( 1) n n 4
 n 1 
4.  
.
 , 5.  5
n 1  3n  2 
n 1 n  5
II.
Найти интервал сходимости ряда, исследовать ряд на концах интервала:
n
n  x  5

 .

2 
n1 n  2 

III.
Разложить в ряд Тейлора, в окрестности точки x0, функцию f(x):
f ( x )  cos 2 x;
IV.
x0 

3
.
Разложить функции в ряд Фурье в указанном интервале: 1. y  3x  7, x  (  ; ).
 2, при  2  x  1
; x  (2;0); (по косинусам).
 x, при  1  x  0
2. y  
Контрольная работа по теме «Функции комплексного переменного»
1.
Разложить функцию f ( z ) 
z
2
( z  1)( z  2 z  3)
в ряд Лорана с центром в z 0  1 в
кольце | z  1 | 4 .
2.
А)
Вычислить следующие интегралы:

zdz
z
2
| z  2| 4 e  e

2
В)  ( z  1) sin dz
z
| z | 5
2
С)

cosxdx
2
 x  4x  5
Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения.»
Определить тип и найти общие решения данных уравнений:
1.
( y  y ln x)dx  ( x  xy)dy  0.
2. y 
2x
1  x2
y
2 x2
.
2
1 x
Найти частные решения уравнений:
4.
 y
xy  y  x tg   ,
 x
y (1)  1.
5. e y dx  (2 y  xe y )dy,
y(1)  0.
Контрольная работа по теме «Операционное исчисление»
1) Найти изображение по заданному оригиналу: e5t sin 2 t
2) Найти оригинал по заданному изображению:
3)
e p
p( p  1)
Операционным методом решить задачу Коши: x  x  cos t , x0  0, x0  2.
4) С помощью формулы Дюамеля решить задачу Коши:
1, 0  t  2,
xx 
x0  x0  0.
 0, t  2,
5) Операционным методом решить задачу Коши:
 x  3x  y,
x0  2; y0  0.

 y  5 x  3 y  2.
РЕЙТИНГ-ПЛАН
по курсу Высшая математика
Осенний семестр ЭЛТИ 2009\2010 учебного года
Всего баллов
Семестр 1
1000
Курс 1 (набор 2009)
Лектор
Кол-во уч.недель 17
Манешева Р.А.
Допуск к экзамену 450
Тема
Линейная
алгебра
Векторная
алгебра
Аналитическая
геометрия
Введение в
анализ
Диф.исчисление
функции одной
переменной
ИТОГО
Лектор потока
Контрольная
работа,
баллы
ИДЗ,
балл
ы
Практ.
занятия,
баллы
Колл.
Отчетная
неделя
Макс.балл
150
25
25
200
100
25
25
150
150
25
25
200
150
25
25
200
150
25
25
200
700
150
150
1000
И.А. Цехановский
РЕЙТИНГ-ПЛАН
по курсу Высшая математика
Весенний семестр ЭЛТИ 2009\2010 учебного года
Всего баллов
Семестр 2
1000
Курс 1 (набор 2009)
Лектор
Кол-во уч.недель 16
Манешева Р.А.
Допуск к экзамену 450
Тема
Контрольная
работа,
баллы
ИДЗ,
баллы
Практ.
занятия,
баллы
Дифференциальн
ое исчисление
функции
нескольких
переменных
Неопределенный
интеграл
Определенный
интеграл
Кратные и
криволинейные
интегралы
Поверхностные
интегралы и
элементы теории
поля
150
25
25
150
150
25
25
150
150
25
25
150
150
25
25
200
150
25
25
200
ИТОГО
750
125
125
Лектор потока
Колл.
Отчетная
неделя
Макс.балл
1000
И.А. Цехановский
РЕЙТИНГ-ПЛАН
по курсу Высшая математика
Осенний семестр ЭЛТИ 2010\2011 учебного года
Всего баллов
Семестр 3
1000
Курс 2 (набор 2009)
Лектор
Кол-во уч.недель 17
Манешева Р.А.
Допуск к экзамену 450
Тема
Контрольн
ая работа,
баллы
ИДЗ,
баллы
Практ.
занятия,
баллы
Числовые и
функциональные
ряды
Теория функции
комплексного
переменного
Дифференциальн
ые уравнения и
системы
Теория
вероятностей и
матстатистика
200
25
25
150
200
25
25
150
200
25
25
150
150
25
25
200
ИТОГО
700
150
150
Лектор потока
Колл.
Отчетная
неделя
Макс.балл
1000
И.А. Цехановский