Транспортная задача

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ
Брянский Государственный Технический Университет
Кафедра: «ИиПО»
Контрольная работа №1
по вычислительной математике
Задание 2
Решение транспортной задачи линейного
программирования
Выполнила
студентка гр. 05-САПР
Горохов А.Н.
Зачётная книжка № 051720
Преподаватель:
Порошин Б.В.
Брянск 2007
Решить транспортную задачу линейного программирования.
Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у конечного числа поставщиков в известном количестве у каждого, необходимо доставить потребителям, число и потребности которых известны. Число поставщиков и потребителей, запасы и потребности,
стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю даны в таблице
Поставщики
А1
А2
А3
А4
Потребности
В1
5
1
2
10
50
Потребители
В2
В3
6
2
9
3
8
9
3
5
150
200
В4
2
7
3
1
150
Запасы
В5
8
3
4
9
350
150
175
275
300
900
Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывезти
грузы и полностью удовлетворить потребности потребителей. При
этом его стоимость должна быть минимальной.
Решение
Составим математическую модель задачи. По таблице задачи
определим, что имеется 4 поставщика и 5 потребителей. Обозначим
поставщиков через Аi , а запас количества продукта сосредоточенный у каждого аi (i=1,2,3,4) единиц соответственно. Потребителей
обозначим через Вj , а потребности каждого bj (j=1,2,…,5) единиц.
Стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му по1
требителю обозначим через Сij . Обозначим через xij количество
единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к jму потребителю. Так как от i-го поставщика к j-му потребителю
запланировано к перевозке xij единиц груза, то стоимость перевозки
составит Cijxij . Стоимость всего плана выразится двойной суммой
m
n
Z   Cij xij .
i 1 j 1
Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: все грузы должны быть вывезены и потребности должны быть
удовлетворены.
 5 x a
ij
i

j 1
4
 x  b
j
 i 1 ij
(i  1,2,..., 4)
( j  1,2,..., 5)
Решение полученной математической модели будем искать
методами математики.
Составляем с помощью метода двойного предпочтения план
задачи. В каждом столбце отмечаем знаком V клетку с наименьшей
стоимостью (в первом столбце это стоимость, помещённая в клетку
А2В1). Затем то же проделываем в каждой строке (для первой строки эта стоимость помещена в клетку А1В3). В результате клетки
А2В1 и А4В4 имеют отметку VV. В них находится минимальная
стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещаются максимально возможные объёмы перевозок (в клетку А2В1
поместим 50 единиц груза, а в клетку А4В4 поместим 150 единиц
груза). Таким образом, исключаем из рассмотрения первый и четвёртый столбцы, поскольку потребности по этим столбцам удовле2
творены. Затем распределяем перевозки по клеткам, помеченным
знаком V (в А2В5 помещаем 75 единиц груза). Выполняем подобные действия до тех пор, пока все запасы не будут распределены, а
потребности удовлетворены. В результате в таблице 1 получен
план.
Для определения оптимальности плана, если план невырожденный, необходимо построить систему потенциалов, используя
которую можно сделать вывод об оптимальности плана.
Таблица 1
Поставщики
А1
А2
А3
А4
Потребности
В1
5
VV
50
V
-
1
2
10
50
Потребители
В2
В3
В4
6 V
2 V
150
9
3
50
8
9
V
3
5 VV
150
150
150
200
150
Запасы
В5
2
8
7 V
3
75
3
4
275
1
9
350
150
175
275
300
900
В таблице 1 опорный план вырожденный , поэтому необходимо дополнить количество занятых клеток до m+n-1 , вводя нулевые
перевозки. Введём нулевую перевозку в клетку А3В4 и получим новый опорный план (таблица 2).
3
Таблица 2
Поставщики
А1
А2
А3
А4
В1
5
1
50
2
10
-
Потребности
50
Потребители
В2
В3
В4
6
2
150
9
3
50
8
9
0
3
5
150
150
150
200
150
Запасы
В5
2
8
-
7
3
75
3
4
275
1
9
350
150
175
275
300
900
Для определения m+n=4+5=9 потенциалов имеется m+n-1
условий, то есть однозначно потенциалы определить нельзя, поэтому один из потенциалов приравниваем к нулю (U1 =0). В строке А1
одна занятая клетки А1В3, которая связывает потенциал U1 с потенциалами V3. Определим этот потенциал:
V3=C13 – U1 = 2 – 0 =2.
С помощью потенциала U1 определить ещё какой-нибудь потенциал невозможно.
Теперь рассматриваем столбец В3, для которых потенциалы
уже определены. В столбце В3 имеется две занятые клетки, которые
связывают потенциал V3 с потенциалами U1 и U2 , потенциал U1
уже определён. Переходим к клетке А2В3 и с помощью С23 определим неизвестный потенциал:
U2= C23 – V3 = 3 – 2= 1. Подобным образом находим все потенциалы и получаем таблицу 3.
4
Таблица 3
Матрица планирования
Vj
Постав- Ui
щики
А1
U1 =0
А2
U2 =1
А3
U3 =2
А4
U4 =0
Потребители
V1 =0
V2 =3
V3 =2
V4 =1
V5 =2
В1
В2
В3
В4
В5
5
-
6
-
1
50
Потребности
150
9
2
-
50
7
9
75
0
5
200
3
3
-
8
-
-
3
150
150
3
8
10
2
50
-
-
2
4
275
1
150
150
Запасы
9
350
150
175
275
300
900
Проверяем правильность построения системы. Проверим выполнение условия оптимальности для незанятых клеток:
U1 +V1 =0  5,
U3 +V1 =2  2,
U1 +V2 =3  6,
U3 +V2 =5  8,
U1 +V4 =1  2,
U3 +V3 =4  9,
U1 +V5 =2  8,
U4 +V1 =0  10,
U2 +V2=4  9,
U4 +V3=2  5,
U2 +V4 =2  7,
U4 +V5=2  9.
Получили, что для всех незанятых клеток условие оптимальности выполняется, то есть получен оптимальный план.
Подсчитаем минимальную стоимость перевозки груза в соответствии с этим планом, составленную как сумма произведений
объёмов перевозок, стоящих в левом углу занятых клеток, на соответствующие стоимости в этих же клетках:
Z min  1  50  3  150  2  150  3  50  0  3  1  150  3  75  4  275 
 2425åä. ñòîèìîñòè

5