Задача Имеются три пункта отправления однородного груза и пять пунктов его a b

Задача
Имеются три пункта отправления однородного груза и пять пунктов его
назначения. На пунктах отправления груз находится в количестве a1, a2, a3,
в пункты назначения требуется доставить соответственно b1, b2, b3, b4 ,b5
груза. Известна стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта
отправления в каждый пункт назначения (матрица D). Найти такой план
перевозок, при котором необходимо вывезти все запасы груза, полностью
удовлетворить все потребности и обеспечить при этом минимум общих
затрат на перевозку. Задачу решить методом потенциалов.
9 8
3 5 2
а1=60; а2=40; а3=80
D=7 7
8 5 6
b1=50; b2=20; b3=30;
4 2 12 8 11
b4=40; b5=40
Нужно решить задачу как указано в примере.
Пример решения задачи.
Исходные данные задачи представим в виде следующей таблицы.
𝒃𝟏
𝒃𝟐
6
𝒂𝟏
𝑥11
2
𝑥12
𝑥21
𝑥22
𝑥31
Потребности
7
60
9
3
60
𝑥25
2
6
𝑥34
40
80
𝑥15
2
𝑥33
Запасы
2
𝑥24
1
40
4
4
𝑥23
𝑥32
𝒃𝟓
𝑥14
6
3
𝒂𝟑
𝒃𝟒
𝑥13
3
𝒂𝟐
𝒃𝟑
100
𝑥35
50
50
240
Постановка задачи:
3
 xij  ai
i  1..3
 xij  b j
j 1
i 1
где
5
𝑎𝑖
𝑏𝑗
j  1..5
3
5
  cij xij  min
i 1 j 1
– наличие груза на i-ом пункте отправления
– потребность j-го пункта назначения
𝑐𝑖𝑗
𝑥𝑖𝑗
– стоимость перевозки из i-го пункта отправления в j-ый
пункт назначения
– переменная определяющая количество груза для
перевозки из i-го пункта отправления в j-ый пункт
назначения
Необходимое условие число базисных переменных 𝑟 = 3 + 5 − 1 = 7
1. Используя метод северо-западного угла назначаем опорный план.
𝒃𝟏
𝒃𝟐
6
𝒂𝟏
2
40
𝑥12
40
Потребности
7
𝑥13
𝒃𝟓
4
𝑥14
6
Запасы
2
𝑥15
4
9
3
60
𝑥21
𝑥22
20
3
𝒂𝟑
𝒃𝟒
80
𝑥11
3
𝒂𝟐
𝒃𝟑
𝑥23
40
1
𝑥24
𝑥25
2
2
6
100
𝑥31
𝑥32
40
𝑥33
60
𝑥34
40
50
50
𝑥35
50
50
240
Количество базисных переменных опорного плана 6 < 𝑟, следовательно
использование данного опорного плана для решения задачи невозможно.
Назначаем опорный план методом минимальной стоимости.
𝒃𝟏
𝒃𝟐
6
𝒂𝟏
𝑥11
𝑥12
𝑥21
40
60
Потребности
𝑥31
7
𝑥13
𝑥22
𝑥33
60
40
80
𝑥15
20
9
3
60
𝑥25
2
20
2
𝑥34
40
Запасы
2
𝑥24
1
40
4
4
𝑥23
𝑥32
𝒃𝟓
𝑥14
6
3
𝒂𝟑
𝒃𝟒
2
3
𝒂𝟐
𝒃𝟑
6
50
100
𝑥35
50
10
50
240
Количество базисных переменных опорного плана 7 = 𝑟, следовательно
использование данного опорного плана для решения задачи возможно.
2. Проверяем опорный план методом потенциалов.
2.1. Составляем линейное уравнение относительно потенциалов. Для
решения уравнения принимаем 𝜆1 = 0 и находим остальные потенциалы
для 𝑥12
для 𝑥15
для 𝑥21
для 𝑥25
для 𝑥33
для 𝑥34
для 𝑥35
𝜆1 + 𝛽2 = 2
𝜆1 + 𝛽5 = 2
𝜆2 + 𝛽1 = 3
𝜆2 + 𝛽5 = 3
𝜆3 + 𝛽3 = 2
𝜆3 + 𝛽4 = 2
𝜆3 + 𝛽5 = 6
2.2. Составляем
суммы
𝛽1 =2
𝛽2 = 2
𝛽3 = -2
𝛽4 = -2
𝛽5 =2
𝜆1 = 0
𝜆2 = 1
𝜆3 = 4
потенциалов
для
свободных
переменных
сравниваем полученные косвенные тарифы с истинными тарифами.
для 𝑥11
для 𝑥13
для 𝑥14
для 𝑥22
для 𝑥23
для 𝑥24
для 𝑥31
для 𝑥32
𝜆1 + 𝛽1 = 0 + 2 = 2
𝜆1 + 𝛽3 = 0 + (−2) = −2
𝜆1 + 𝛽4 = 0 + (−2) = −2
𝜆2 + 𝛽2 = 1 + 2 = 3
𝜆2 + 𝛽3 = 1 + (−2) = −1
𝜆2 + 𝛽4 = 1 + (−2) = −1
𝜆3 + 𝛽1 = 4 + 2 = 6
𝜆3 + 𝛽2 = 4 + 2 = 6
<6
<7
<4
<6
<4
<9
>3
>1
и
2.3. Произведем пересчет плана по циклу на основе переменной 𝒙𝟐𝟐 , в
которой косвенный тариф больше истинного, что позволит получить
новый план который будет лучше предыдущего.
𝑥32
0
+
10
10
𝑥35
10
–
0
0
𝑥15
20
+
10
10
𝑥12
60
–
50
50
𝑥32
0
+
10
10
2.4. Новый план вносим в таблицу и проверяем методом потенциалов на
оптимальность:
𝒃𝟏
𝒃𝟐
6
𝒂𝟏
𝑥11
2
𝑥12
50
3
𝒂𝟐
𝑥21
40
𝑥22
Потребности
𝑥31
10
40
𝒃𝟒
7
𝑥13
𝑥33
60
40
40
𝜆1 + 𝛽2 = 2
𝜆1 + 𝛽5 = 2
𝜆2 + 𝛽1 = 3
𝜆2 + 𝛽5 = 3
𝜆3 + 𝛽2 = 1
𝜆3 + 𝛽3 = 2
𝜆3 + 𝛽4 = 2
для 𝑥11
для 𝑥13
для 𝑥14
для 𝑥22
для 𝑥23
для 𝑥24
для 𝑥31
для 𝑥35
𝜆1 + 𝛽1 = 0 + 2 = 2
𝜆1 + 𝛽3 = 0 + 3 = 3
𝜆1 + 𝛽4 = 0 + 3 = 3
𝜆2 + 𝛽2 = 1 + 2 = 3
𝜆2 + 𝛽3 = 1 + 3 = 4
𝜆2 + 𝛽4 = 1 + 3 = 4
𝜆3 + 𝛽1 = −1 + 2 = 1
𝜆3 + 𝛽5 = −1 + 2 = 1
𝜆1 = 0
𝜆2 = 1
𝜆3 = -1
Для свободных переменных
<6
<7
<4
<6
=4
<9
<3
<6
10
9
3
60
𝑥25
20
2
𝑥34
6
50
100
𝑥35
50
50
Для базисных переменных
для 𝑥12
для 𝑥15
для 𝑥21
для 𝑥25
для 𝑥32
для 𝑥33
для 𝑥34
80
𝑥15
2
Запасы
2
𝑥24
1
10
4
4
𝑥23
𝑥32
𝒃𝟓
𝑥14
6
3
𝒂𝟑
𝒃𝟑
𝛽1 =2
𝛽2 =2
𝛽3 =3
𝛽4 =3
𝛽5 = 2
240
В анализируемом плане все косвенные тарифы ниже истинных
следовательно данный план является оптимальным.
Ответ: Оптимальный план перевозки представлен в таблице:
𝒃𝟏
𝒃𝟐
6
𝒂𝟏
2
7
𝒃𝟓
4
Запасы
2
80
10
6
4
9
3
60
20
40
3
𝒂𝟑
Потребности
𝒃𝟒
50
3
𝒂𝟐
𝒃𝟑
1
40
10
40
2
60
2
6
100
50
40
50
50
240
Стоимость перевозки при этом плане:
C = 2×50 + 2×10 + 3×40 + 3×20 + 1×10 + 2×40 + 2×50 = 490