Задача: Если U-открыто и выпукло, то для , F( )

Задача:
Если U-открыто и выпукло, то для B ( x, r )  U , F( B ( x, r ) )  B(F(x),br)

F является липшицевым на U с константой b.
Def:F является липшицевым на U с константой b , если
x, y  U || F(x)-F(y)||  b||x-y ||
Решение:
 Возьмем произвольный шар B ( x, r )
To тогда для любой точки из F(y)  F( B ( x, r ) )( так как y  U такие, что ||x-y ||  r), в силу того, что
выполнено условие липшицевости , выполнено неравенство
|| F(x)-F(y)||  b||x-y ||=br
Но это и значит , что F( B ( x, r ) )  B(F(x),br).

Возьмем произвольные x , y.
В силу выпуклости весь отрезок (в нашем понимании это множество точек следующего
вида x  (1   ) y , где  пробегает все значения отрезка [0,1] ) лежит в U.
Пусть у нас ||x-y||=r,где r>0.
Для произвольной точки z  [x , y] через a z обозначим максимальный радиус шара такого , что
B(z , a z ) cодержится в замыкании открытого множества U.
Функция F:z  a z непрерывна и положительна.
Поскольку [x , y ] является компактным множеством , то а= inf F>0 .
z[ x , y ]
Teперь построим новое конечное покрытие отрезка шарами меньшего радиуса (допустим (а-a/2)=a/2тогда они будут заведомо лежать в U).
Тогда величина а представима в следущем виде
r=a*q/2 и cледовательно a=2r/q .
Возьмем [q/2] шаров с радиусом а /2, и одну меньший с радиусом (r-[q/2]*a)/2.
Расположим их следущим образом:
1)Точка x является крайней , то есть она лежит на границе первого шара.
Центр первого шара есть точка x1 (она также принадлежит отрезку).Далее y1 - точка диаметрально
противоположная x относительно x1 и принадлежащая отрезку.
Аналогично проводим процесс до [q/2]-шара с центром в точке x[q / 2 ] и строим маленький шар.
Мы построили покрытие отрезка, полностью лежащее в U.
|| F(x)-F(y)||= || F(x)-F( x1 )+F( x1 )-F( y1 )+F( y1 )-…+F( x[ q / 2]1 )-F(y)|| 
 || F(x)-F( x1 )||+||F( x1 )-F( y1 )||+||F( y1 )-F( x 2 )||+…+||F( x[ q / 2]1 )-F(y)|| 
 b([q]*a/2+(r-[q/2]*a).)=b*r= b||x-y ||
Следовательно , мы доказали условие липшицевости.