Найти два числа, зная их сумму 168 и... 1. а) 24, 144=24*6

1.
Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24.
а) 24, 144=24*6
б) 48=24*2, 120=24*5
в) 96=24*4, 72=24*3
Ответ.24 и 144; 48 и 120; 96 и 72.
2.
В каком году родились люди, которым в 1958 году исполнилось
столько лет, какова сумма цифр года их рождения?
В 1942 году родились люди, которым в 1958 году исполнилось 16 лет
и сумма цифр года их рождения равна 16 (1+9+4+2=16).
Ответ. В 1942 году.
3.
Найти такое трехзначное число, удвоив которое мы получим число,
выражающее количество цифр, необходимое для написания всех
последовательных целых чисел от 1 до этого трехзначного числа.
4.
Если к некоторой сумме денег прибавить через год
следующий -
1
12
1
12
ее, а в
новой суммы, то первоначальная сумма за два года
увеличиться на 16900. Найти первоначальную сумму.
Пусть было x денег. Через год стало x+1/12x. Еще через год:
x+(x+1/12x)1/12. По условию (x+1/12x)1/12=16900.
13/12x*1/12=16900
x=16900*12*12/13
x=1300*144
x=187200
Ответ. 187200.
5.
Дана система
𝑧
𝑥+𝑦
{ 𝑧
𝑦−𝑥
= 2,
= 3,
где 𝑥>0, 𝑦>0, z>0. Что больше: z
𝑧
𝑥+𝑦
{ 𝑧
𝑦−𝑥
=2
=3
или 𝑥?
𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦)
{
𝑧 = 3(𝑦 − 𝑥)
2(x+y) = 3(y-x), 2x+2y=3y-3x, 3y-2y=2x+3x, y=5x.
z=2(x+5x), z=12x, т.к. 𝑥>0, то z>x
Ответ. Z>X.
6.
Сколько всего диагоналей можно провести в многоугольнике,
имеющем 103 стороны.
Каждая вершина многоугольника соединена с соседними двумя
вершинами сторонами. Значит, с остальными 103-3=100 вершинами
ее можно соединить диагональю. Так можно сделать для каждой
вершины, т.е. надо 100 умножить на 103. Но мы посчитали каждую
диагональ 2 раза, проведя ее из обоих точек, которые она соединяет.
Значит, надо еще поделить произведение 100*103 на 2. Итак, всего
50*103=5150 диагоналей.
Ответ. 5150 диагоналей.
7.
В треугольнике АВС высота ℎ𝑎 составляет половину биссектрисы
внешнего угла этого треугольника при вершине А. Найти разность
углов В и С.
8. Найти сумму
1
√2+1
+
1
√3+√2
+ ⋯+
1
√100+√99
Упростим данную сумму, умножив числитель и знаменатель каждой
дроби на сопряжённое знаменателя.
√2− 1
√3− √2
√100− √99
+
+…+
=
(√2+1)(√2− 1) (√3+√2)(√3− √2)
(√100+√99)(√100− √99)
=
√2− 1 √3− √2
√100− √99
+
+…+
=
2−1
3−2
100−99
-1+10=9
Ответ. 9.
9.
Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению
𝑥 2 − 𝑦 2 = 69.
(x+y)(x-y)=69
а) (x+y)(x-y)=23*3
𝑥 + 𝑦 = 23
{
𝑥−𝑦 =3
2x=26
13-y=3
x=13
y=10
б) (x+y)(x-y)=69*1
𝑥 + 𝑦 = 69
{
𝑥−𝑦 =1
2x=70
35-y=1
x=35
y=34
Ответ.(13;10),(35;34).
132 − 102 = 69
169-100=69
352 − 342 = 69
(35-34) (35+34) =69
10. В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в
котором не менее 34 учеников.
1000:30=33 (Ост. 10)
1000=30*33+10
По обобщенному принципу Дирихле есть класс, в котором не менее
34 учеников.