Задание №8

Задачи для самостоятельного решения № 8
1. А. 1. Доказать, что кривая, угловой коэффициент касательной которой в любой
точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2) и обладающей тем
свойством, что отрезок любой её касательной, заключенный между осями координат,
делится в точке касания в отношении 2 : 3 , считая от оси ординат.
3. Тростниковый сахар в присутствии кислот разлагается на составляющие
вещества. Скорость, c которой идет этот процесс, пропорциональна массе
неразложившегося сахара Q . Определить количество неразложившегося сахара в момент
t , если Q  a при t  0 .
4. Начальная температура тела  0 C равна температуре окружающей среды. Тело
получает тепло от нагревательного прибора (скорость подачи тепла является заданной
функцией от времени: c (t ) , где c – постоянная теплоемкость тела). Кроме того, тело
отдает тепло окружающей среде (скорость охлаждения пропорциональна разности между
температурами тела и среды). Найти зависимость между температурой тела и временем,
отсчитываемым от начала опыта.
В. 1. Найти кривую, у которой длина полярного радиуса любой её точки M
равняется расстоянию между точкой пересечения касательной в точке M с осью ординат
и началом координат.
2. Разность потенциалов на зажимах катушки равномерно падает от Е =2 в до
Е =1 в в течение 10 с. Какова будет сила тока в конце десятой секунды, если в начале
2
опыта она была 16 a ? Сопротивление катушки 0,12 ом, коэффициент самоиндукции 0,1
3
генри.
С. 1. Найти кривую, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой
касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.
2. Цепь, висящая на гладком крюке, соскальзывает вниз. В начале движения по
одну сторону крюка свисает 10 м цепи, а по другую - 8 м. Не учитывая сопротивления,
найти: 1) в какой момент времени с крюка соскользнет вся цепь и 2) какова будет скорость
цепи в начальный момент её свободного падения?
2. А. 1. Найти все кривые, у которых отрезок касательной между точкой касания и
осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.

2
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку  0,
 и обладающей
 2 
следующим свойством: касательная к ней в точке касания с координатами ( x, y ) проходит
1 1
через точку с координатами  ,  .
x y
3. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна
в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость A0 . Какова
будет стоимость оборудования по истечении t лет?
4. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела
и среды. При некоторых расчетах считают, что она линейно зависит от времени:
k  k0 (1   t ) . Найти при этом предположении зависимость между температурой тела  и
временем t , полагая, что при t  0   0 , а температура окружающей среды 1 .
В. 1. Найти кривую, у которой подкасательная есть среднее арифметическое
координат точки касания.
59
2. Найти силу тока в катушке в момент t , если сопротивление её R , коэффициент
самоиндукции L , начальная сила тока J 0  0 , электродвижущая сила меняется по закону
E  E0 sin  t .
С. 1. Найти кривую, у которой начальная ордината любой касательной равна
соответствующей поднормали.
2. Пуля, двигаясь со скоростью v0  400 м/с, пробивает стену толщиной h  20 см и
вылетает из неё со скоростью v1  100 м/с. Полагая силу сопротивления стены
пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время T движения пули в
стене.
3. А. 1. Найти все кривые, у которых подкасательная пропорциональна абсциссе
точки касания (коэффициент пропорциональности равен k ).
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1) и обладающей
следующим свойством: касательная к ней в любой точке пересекает прямую x  1 в точке,
ордината которой в три раза больше ординаты точки касания.
3. На диск, вращающийся в жидкости, действует сила сопротивления,
пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от
времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 200 об/мин, по истечении
одной минуты вращается со скоростью 120 об/мин.
4. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто солью. Допуская, что
скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный
момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и что данное
количество чистой воды растворяет 1/3 кг соли в одну минуту, найти, сколько соли будет
содержать раствор по истечении 1 ч.
В. 1. Найти кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси
ординат, к отрезку, отсекаемому нормалью на оси абсцисс, есть величина постоянная,
равная k.
2. В цепи поддерживается напряжение Е =300 в. Сопротивление цепи R  150 ом.
Коэффициент самоиндукции L  30 генри. За какое время с момента замыкания цепи
возникающий в ней ток J достигнет 99 % своей предельной величины?
С. 1. Найти кривую, у которой длина полярного радиуса любой её точки M
равняется расстоянию между точкой пересечения касательной в точке M с осью ординат
и началом координат.
2. Пуля, летевшая со скоростью v1  200 м/с, пробивает доску толщиной 40 см и
вылетает с другой стороны со скоростью v2  80 м/с. Сколько времени пуля пробивала
доску, если сопротивление доски движению пули пропорционально скорости пули?
4. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку (a, b) и имеющую постоянную
подкасательную, равную a .
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 1) и обладающей
следующим свойством: расстояние от начала координат до любой её касательной равно
абсциссе точки касания.
3. Закон ускоренного развития науки, сформулированный Энгельсом, гласит:
«Наука
развивается
пропорционально
сумме
знаний,
унаследованных
от
предшествующего поколения». Определить во сколько возрастет сумма знаний к 2035
году по отношению к 1985 году, если известно, что сумма знаний удваивается каждые 10
лет.
4. Резервуар содержит 75 л рассола, содержащего 3 кг растворенной соли. Вода
вливается в резервуар со скоростью 4 л. в 1 минуту, а смесь вытекает из него со скоростью
2 л в 1 минуту, причем концентрация поддерживается равномерной посредством
перемешивания. Сколько соли будет содержать резервуар через 25 минут?
60
В. 1. Найти кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого нормалью на оси
абсцисс к радиус-вектору точки касания, есть величина постоянная, равная k.
2. Напряжение и сопротивление цепи равномерно меняются в течение минуты
соответственно от нуля до 120 в и от нуля до 120 ом. Самоиндукция цепи постоянна (1
генри). Начальная сила тока J 0 . Найти зависимость между силой тока и временем в
течение первой минуты опыта.
С. 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной в любой
её точке, заключенный между осью абсцисс и прямой y  ax  b , делится точкой касания
пополам
2. Пуля входит в доску со скоростью v0  200 м/с и пробивает через время
T  0, 00082 с, вылетая со скоростью v1  80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски
движению пули пропорциональна квадрату скорости движения пули, найти толщину
доски.
5. А. 1. Найти такую кривую, в каждой точке которой угол, образуемый касательной
с радиусом-вектором, равнялся бы постоянной величине.
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,1) и обладающей
следующим свойством: угловой коэффициент касательной в любой точке M ( x, y ) кривой
вдвое больше углового коэффициента радиуса-вектора точки M .
3. Ежегодный прирост древесины на лесной делянке составляет 3 %. Сколько нужно
спиливать кубометров древесины ежегодно, чтобы через 10 лет количество древесины
1
возросло в 1 раза? Считать прирост и спиливание непрерывным. Начальное количество
4
древесины 1000м3 , объем спиливания постоянен.
4. Через сосуд емкостью a литров, наполненный водным раствором некоторой соли,
непрерывно протекает жидкость, причем в единицу времени втекает b литров чистой
воды и вытекает такое же количество раствора. Найти закон, по которому изменяется
содержание соли в сосуде в зависимости от времени протекания жидкости через сосуд.
В. 1. Найти такую кривую, чтобы треугольник, образованный нормалью к ней с
осями координат, был равновелик треугольнику, образуемому осью абсцисс, касательной
и нормалью.
2. Имеется замкнутая электрическая цепь с сопротивлением R и силой тока J 0 . В
некоторый момент времени t , который мы примем за начальный ( t  0 ), постоянный ток
J 0 размыкается. Требуется выяснить, прекратится ли сразу ток в цепи, а если нет, то как
он будет убывать?
С. 1. Найти кривую, у которой начальная ордината любой касательной на две
единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.
2. Найти закон прямолинейного движения материальной точки массы m , если
известно, что работа действующей на точку силы пропорциональна времени t ,
протекшему от начала движения (коэффициент пропорциональности k ). Начальный путь
и начальная скорость равны соответственно s0 и v0 .
6. А. 1. Найти такую кривую, чтобы в каждой её точке подкасательная равнялась
удвоенной абсциссе.
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1,  1) и обладающей тем
свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной к любой
точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.
3. Банк выплачивает 3 % годовых, причем начисление производится непрерывно (в
каждый момент). Определить через сколько лет сумма в 1000 руб, помещенная в банк,
удвоится.
61
4. В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержащего 10 кг соли. Вода
вливается в резервуар со скоростью 3 л в 1 мин, и смесь вытекает из него со скоростью 2 л
в 1 мин, причем концентрация поддерживается равномерной посредством перемешивания.
Сколько соли будет содержать резервуар по истечении 1 часа?
В. 1. Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке
которой тангенс угла, образуемого радиусом-вектором с касательной, равен квадрату
радиуса- вектора.
2. Конденсатор емкостью C включается в цепь с напряжением E и сопротивлением
R . Определить заряд q конденсатора в момент t после включения.
С. 1. Найти кривую, у которой площадь трапеции, образованной осями координат,
ординатой произогональной точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата
абсциссы.
2. Из точки, находящейся на высоте 18 м над уровнем Земли, брошено вертикально
вверх тело со скоростью 30 м/с. Найти высоту, на которой тело находится в момент t , как
функцию от времени. Найти также наибольшую высоту, до которой поднимается тело.
7. А. 1. Найти кривую, у которой сумма длин касательной и подкасательной в
любой точке пропорциональна произведению координат точки касания (коэффициент
пропорциональности равен k ).
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1, 2) и обладающей тем
свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен абсциссе
точки касания.
3. Тело температуры T0 помещается в среду температуры 0 . Тело начинает
охлаждаться. Требуется найти формулу, по которой можно было бы определить
температуру тела в любой момент времени.
4. В сосуд, содержащий 20 л воды, непрерывно со скоростью 5 л в минуту
поступает раствор, в каждом литре которого содержится 0,2 кг соли. В сосуде раствор
перемешивается, и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в
сосуде через 4 мин?
В. 1. Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная между осью
абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых - постоянная, а другая переменная, равна отношению куба переменной ординаты к соответствующей абсциссе.
2. Цилиндрическая катушка изготовлена из медной проволоки. При прохождении
через катушки электрического тока выделяется тепло. Вывести формулу для температуры
T  T (t ) установившегося режима как функции времени t .
С. 1. Найти кривую, у которой площадь прямоугольника, построенного на абсциссе
любой точки и начальной ординате касательной в этой точке, есть величина постоянная,
равная a 2 .
2. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км.
Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость
падения человека в воздухе нормальной плотности составляет 50 м/с. Изменением
плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату
скорости.
8. А. 1.
Найти кривую y  f ( x) ( f ( x)  0, f (0)  0) , ограничивающую
криволинейную трапецию с основанием 0, x , площадь которой пропорциональна (n  1) ой степени f ( x) . Известно, что f ( x)  1.
2. Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной,
ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная a 2 .
3. Тело охладилось за 20 минут от 100 до 60. Температура окружающего воздуха
поддерживается равной 20 . Через сколько времени (от момента начала охлаждения)
температура тела понизится до 25 ?
62
4. Воздух, наполняющий сосуд вместимостью 3 л, содержит 20% кислорода. Сосуд
имеет две трубки. Через одну из них в сосуд поступает чистый кислород, через другую
вытекает наружу столько же воздуха, сколько притекает кислорода. Какое количество
кислорода будет содержаться в сосуде после того, как через него протечет 10 л газа? В
каждый момент концентрация кислорода в сосуде при помощи перемешивания
сохраняется одной и той же.
В. 1. Найти кривую, у которой поднормаль в любой точке так относится к сумме
абсциссы и ординаты, как ордината этой точки к её абсциссе.
2. Точка массой, равной m , движется прямолинейно. На неё действует сила,
пропорциональная времени (коэффициент пропорциональности k1 ) от момента, когда
скорость равнялась нулю. Кроме того, точка испытывает сопротивление среды,
пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности k2 ). Найти зависимость
скорости от времени.
С. 1. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образованного осью абсцисс,
касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна a 2
2. Футбольный мяч весом 0,4 кг брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление
воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 г при скорости 1 м/с.
Вычислить время подъема мяча и наибольшую высоту подъема. Как изменятся эти
результаты, если пренебречь сопротивлением воздуха?
 1
9. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку 1,  , если угловой коэффициент
 3
касательной к ней в любой точке кривой втрое больше углового коэффициента радиусавектора точки касания.
2. Найти кривые, для которых сумма длин катетов треугольника, образованного
касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная
b.
3. Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 минут падает от 100 до 60.
Температура воздуха равна 25 . Через сколько времени от момента начала охлаждения
температура хлеба понизится до 30 ?
4. Прямоугольная пластина вертикально погружена в сосуд, наполненный
некоторой жидкостью, удельный вес которой равен  . Одна из сторон длиной а лежит на
поверхности жидкости, вертикальные стороны имеют длину b . Вычислить давление,
испытываемое каждой из сторон пластинки.
В. 1. Определить кривую, проходящую через точку A(a, a) , если расстояние начала
координат от касательной в любой точке кривой равно абсциссе этой точки.
2. На тело массой m действует сила, пропорциональная кубу времени с момента,
когда скорость тела была равна v0 . Кроме того, тело испытывает противодействие среды,
пропорциональное скорости тела и времени. Найти зависимость скорости от времени.
С. 1. Найти кривые, обладающие тем свойством, что отрезок, который касательная в
любой точке кривой отсекает на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания.
2. Вычислить время падения мяча с высоты 16,3 м. без начальной скорости с учетом
сопротивления воздуха . Найти скорость в конце падения.
10. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку ( a, a ) , если подкасательная в
любой точке её равна удвоенной абсциссе точки касания.
2. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку
кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с осями, то площадь
полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1: 2 .
3. Стальной слиток с температурой а перед прокаткой помещен в печь,
температура которой в течение часа равномерно повышается от а градусов до b
63
градусов. При разности температур печи и слитка в Т градусов слиток нагревается со
скоростью кТ градусов в минуту. Найти температуру слитка через час.
4. Вычислить давление на треугольник, высота которого равна h , а основание  b ,
если он погружен в воду так, что основание его лежит на поверхности воды, а высота
направлена вертикально вниз.
В. 1. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой
касательной, равен абсциссе точки касания.
2. Человек массы M , стоя на коньках на льду (трением о лед пренебрегаем),
действует с силой F на массу m в течение времени t . Какую кинетическую энергию
приобретает человек? Чему равна полная работа, произведенная силой над массой m и
над человеком?
С. 1. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат,
равен полусумме координат точки касания.
2. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти
путь, пройденный телом за время t , если угол наклона плоскости равен  , а коэффициент
трения  .
11. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку (1,  2) , если поднормаль её в
каждой точке равна 2.
2. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат,
касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3a 2 .
3. В некоторой химической реакции вещество А превращается в вещество х ,
причем скорость образования продукта х пропорциональна наличному количеству
вещества А . Найти зависимость х от времени, если в начальный момент А  1, х  0 , а
1
3
по истечении одного часа А  , х  .
4
4
4. Пластинка, имеющая форму половины эллипса, погружена вертикально в
жидкость так, что ось 2b лежит на поверхности жидкости. Найти давление на стороны
этой фигуры, если длина погруженной полуоси эллипса равна а , а удельный вес
жидкости  .
В. 1. Найти уравнение кривой, пересекающей ось абсцисс в точке x  l и
обладающей свойством: длина поднормали в каждой точке кривой равна среднему
арифметическому координат этой точки.
2. На материальную точку массы m действует постоянная сила, сообщающая точке
ускорение а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление,
пропорциональное скорости её движения, коэффициент пропорциональности k . Как
изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка покоилась?
С. 1. Определить кривую, подкасательная которой есть среднее арифметическое
между абсциссой и ординатой.
2. Аэросани скользят по горизонтальному полю со скоростью v0 , преодолевая
трение лыж о снег, пропорциональное весу саней, и сопротивление воздуха,
пропорциональное квадрату скорости движения. Найти расстояние, пройденное санями
после выключения мотора, по инерции.
12. А. 1. Определить кривую, проходящую через точку P (  a, a ) , если отрезок AB
любой касательной к ней, заключенный между осями координат, делится точкой касания
M пополам.
2. Найти кривые, у которых площадь треугольника, ограниченного касательной,
осью абсцисс и отрезком от начала координат до точки касания, есть величина
постоянная, равная a 2 .
64
3. По закону Бойля-Мариотта плотность газа пропорциональна давлению.
Определить атмосферное давление на вершине Эвереста ( h  8848 м), если на уровне
моря давление равно P0  1кг / см 2 , а на высоте 500 м давление равно P1  0,92кг / см2 .
4. За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром
2 R  1,8 м и высотой H  2, 45 м через отверстие в дне диаметром 2r  6 см? Ось
цилиндра вертикальна.
В. 1. Найти кривую, для которой расстояние от начала координат до касательной в
произвольной точке равно расстоянию от начала координат до нормали в этой же точке.
2. Вес летчика с парашютом 80 кг. Сопротивление воздуха при спуске парашюта
пропорционально квадрату его скорости v (коэффициент пропорциональности k  400 ).
Определить скорость спуска в зависимости от времени и установить максимальную
скорость спуска.
С. 1. Определить кривую, координаты точек которой удовлетворяют следующим
условиям: если провести прямую, параллельную оси абсцисс и удаленную от неё на
расстоянии, равном абсциссе точки касания, то отрезок этой прямой, заключенный между
ординатой и касательной в точке ( x, y ) , равен постоянной величине.
2. Установлено, что при погружении тела в жидкость сопротивление можно считать
пропорциональным скорости, если только скорость не очень большая. Найти закон
движения материальной точки массы m , погружающейся в жидкость под действием силы
тяжести без начальной скорости.
13. А. 1. Кривая проходит через точку A(0, a) , MN – ордината произвольной точки
M ( х, у ) кривой. Определить кривую из условия, что площадь OAMN  al , где l -длина
дуги AM .
2. Найти кривую, у которой точка пересечения любой касательной с осью абсцисс
одинаково удалена от точки касания и начала координат.
3. Известно, что чем выше над уровнем моря, тем воздух разреженнее –
атмосферное давление с высотой уменьшается. Определить зависимость p  p ( h)
давления p от высоты h .
4. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось цилиндра расположена
горизонтально, а отверстие находится в самой нижней части цилиндра.
В. 1. Найти кривую, у которой площадь трапеции, образованной осями координат,
ординатой произвольной точки и касательной в этой точке, равна половине квадрата
абсциссы.
2. Веревка лежит на столе, причем один из её концов перекинут через гладкий блок
на высоте h над столом. В начальный момент кусок веревки длиной 2h висит свободно
по другую сторону блока. Найти скорость v движения этого конца в зависимости от пути
s , если сопротивление трения при движении принято равным квадрату скорости, а
начальная скорость равна нулю.
С. 1. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат (или абсцисс)
касательной в произвольной точке пропорционален квадрату ординаты (или абсциссы)
точки касания.
2. Допустим, что в Земле проделано сквозное отверстие, проходящее через её
центр. Камень, упавший в отверстие, притягивается центром с силой, пропорциональной
расстоянию между ними. Через сколько времени камень пролетит всю Землю ( R  6400
км)?
14. А. 1. Определить и построить кривую, проходящую через точку ( 1,1) , для
которой отрезок OT , отсекаемый на оси абсцисс касательной к кривой в любой её точке,
равен квадрату абсциссы точки касания.
65
2. Точка M ( x, y ) при движении описывает кривую, наклон касательной к которой
пропорционален площади треугольника, образованного ординатой точки, осью абсцисс и
прямой, соединяющей точки (2, 0) и M . Найти уравнение кривой.
3. При температуре 0 и при нормальном атмосферном давлении P0  10,33кг / м3
плотность воздуха у поверхности Земли k0  0, 00129 Т / м3 . Предполагая, что
вышележащие слои воздуха также имеют температуру 0, найти зависимость между
высотой h над уровнем Земли и атмосферным давлением Р ; вычислить атмосферное
давление на высоте 1 км.
4. Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина
воды из полного бака вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся вода?
В. 1. Найти кривую, обладающую следующим свойством: ордината любой её точки
есть средняя пропорциональная между абсциссой и суммой абсциссы и поднормали,
проведенной к кривой в той же точке.
2. Пуля входит в доску толщиной h  10 см со скоростью v0  200 м/с, а вылетает из
доски, пробив её, со скоростью v1  80 м/с. Принимая, что сила сопротивления доски
движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти, сколько времени
продолжалось движение пули через доску.
С. 1. Найти кривую, у которой отрезок, отсекаемый на оси ординат (или абсцисс)
касательной в произвольной точке пропорционален кубу ординаты (или абсциссы) точки
касания.
2.
Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно
пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась
на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость v0  20 м/с. Определить
пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.
15. А. 1. Определить кривую, радиус-вектор любой точки которой равен отрезку
нормали между кривой и осью абсцисс.
2. Найти такую кривую, чтобы проекция её нормали MN , ограниченной полярной
осью, на радиус-вектор, равнялась постоянной величине.
3. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды,
которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/с, скорость
его через 5 с станет 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/с?
4. Воронка имеет форму конуса радиуса R =6 см и высоты H =10 см, обращенного
вершиной вниз. За какое время вытечет вся вода из воронки через круглое отверстие
диаметра 0,5 см, сделанное в вершине конуса?
В. 1. Определить кривую, поднормаль которой есть среднее арифметическое между
абсциссой и ординатой.
2. Скорость увеличения площади молодого листа виктории-регии, имеющего форму
круга, пропорциональна радиусу листа и количеству солнечного света, падающего на
него. Количество солнечного света пропорционально площади листа и косинусу угла
между направлением лучей и вертикалью к листу. Найти зависимость между площадью S
листа и временем t , если в 6 часов утра эта площадь равнялась 1600 см2, а в 18 часов того
же дня  2500 см2. Принять, что угол между направлением луча Солнца и вертикалью в 6
часов утра и в 18 часов равен 90 , а в полдень – 0 .
С. 1. Определить кривые, у которых отрезок, отсекаемый нормалью в точках
x2
М ( x, y ) кривых на оси абсцисс, равен
.
y
2. Лодке сообщена начальная скорость v0  6 м/с, через 69 с после начала движения
эта скорость уменьшилась вдвое. Определить закон движения лодки и путь, пройденный
за 100 с, если сила сопротивления воды пропорциональна скорости лодки.
66
16. А. 1. Определить кривую, если площадь, ограниченная осями координат, этой
1
линией и произвольной её ординатой, равна площади прямоугольника, построенного на
3
координатах конечной точки кривой.
2. Определить кривую, у которой площадь сектора, ограниченного двумя
радиусами-векторами пропорциональна дуге кривой, заключенной между этими
радиусами-векторами.
3. Ускорение локомотива, начальная скорость которого равна v0 прямо
пропорционально силе тяги F и обратно пропорционально массе поезда m . Сила тяги
локомотива F (t )  b  kv(t ) , где v (t )
скорость локомотива в момент t а b и k
постоянные величины. Определить зависимость силы тяги локомотива от времени t .
4. В прямоугольный бак размером 60 см  75 см и высотой 80 см поступает 1,8 л
воды в секунду. На дне имеется отверстие площадью 2,5 см2. За какое время наполнится
бак? Сравнить результат со временем наполнения такого бака без отверстия на дне.
В. 1. Определить кривую, обладающую тем свойством, что произведение квадрата
расстояния любой её точки от начала координат на отрезок, отсекаемый на оси абсцисс
нормалью в этой точке, равно кубу абсциссы этой точки.
2. Капля воды, имеющая начальную массу m0 г и равномерно испаряющаяся со
скоростью m г/c , движется по инерции с начальной скоростью v0 см/с. Сила
сопротивления среды пропорциональна скорости движения капли и её радиусу. В
начальный момент ( t  0 ) она равна f 0 дин. Найти зависимость скорости капли от
времени.
С. 1. Найти кривую при условии, что отрезок нормали в любой её точке M ,
заключенный между осью абсцисс и параболой y 2  4ax , делится точкой M пополам.
2. Материальная точка массы m движется вдоль координатной прямой Ox . Работа
силы, действующей на точку, пропорциональна времени t от начала движения
(коэффициент пропорциональности k ). Найти закон движения точки, если в начальный
момент (при t  0 ) точка покоилась и находилась на расстоянии S0 от начала отсчета.
17. А. 1. Найти кривую, у которой отрезок касательной равен расстоянию точки
касания от начала координат.
2. Найти кривую, у которой подкасательная имеет постоянную длину a.
3. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью 5 м/с. На полном ходу
мотор был выключен и через 45 с. скорость её стала равной 2 м/с. Считая, что сила
сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки, определить скорость
лодки через 2 мин. после выключения мотора.
4. На дне цилиндрического сосуда с поперечным сечением в S см 2 и вертикальной
осью имеется малое круглое отверстие площадью q см 2 , закрытое диафрагмой (как у
объектива фотоаппарата). В сосуд налита жидкость до высоты h . В момент t  0
диафрагма начинает открываться, причем площадь отверстия пропорциональна времени и
полностью отверстие открывается за Т сек. Какова будет высота H жидкости в сосуде
через Т сек после начала опыта?
В. 1. Найти такие кривые, чтобы поднормаль в каждой точке была равна расстоянию
этой точки до начала координат.
2. Капля воды, имеющая начальную массу m0 г. и равномерно испаряющаяся со
скоростью m г/c , свободно падает в воздухе. Сила сопротивления пропорциональна
скорости движения капли (коэффициент пропорциональности равен k ). Найти
зависимость скорости движения капли от времени, протекшего с начала падения капли,
если в начальный момент времени скорость капли равнялась нулю. Считать, что k  2m .
67
С. 1. Найти уравнение кривой, для которой отрезок касательной равен расстоянию
точки пересечения этой касательной с осью абсцисс от точки M (0, a ) .
2. Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя
начинает прямолинейно падать на Землю с высоты h . Какой была бы скорость метеорита
при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала земная атмосфера? Радиус
Земли R  6377 км.
18. А. 1. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке кривой,
заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке.
2. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести плоской фигуры,
3
ограниченной осями координат, этой кривой и ординатой любой её точки, равна
4
абсциссы этой точки.
3. Материальная точка массой 1 г. движется прямолинейно под действием силы,
прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента t  0 и обратно
пропорциональной скорости движения точки. В момент t  10 с скорость равнялась 50
см/с, а сила
4 динам. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?
4. В резервуар глубиной 4 м, имеющий в поперечном сечении квадрат со стороной 6
м, втекает нефть со скоростью 10 м 3 в 1 мин. В какое время резервуар будет наполнен,
1
если в то же время нефть вытекает из него через квадратное отверстие со стороной в
12
м, имеющееся на дне?
В. 1. Найти кривые, для которых середина отрезка нормали к любой точке кривой,
отсекаемого осью абсцисс, лежит на прямой y  x .
2. Капля с начальной массой m падает под действием силы тяжести и равномерно
испаряется, теряя ежесекундно массу, равную m0 . Какова работа силы тяжести за время
от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебречь).
С. 1. Найти кривую, для которой тангенс угла наклона её касательной в любой её
точке в n раз больше тангенса угла наклона прямой, проходящей через ту же точку и
начало координат.
2. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое
пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а её скорость
через 4 с равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0,25 м/с? Какой
путь может пройти лодка до остановки?
19. А. 1. Сумма длин нормали и поднормали равна 1 . Найти уравнение кривой, если
известно, что кривая проходит через начало координат.
2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,  1), если известно, что
угловой коэффициент касательной во всякой её точке пропорционален квадрату ординаты
этой точки.
3. Ветер, проходя через лес и испытывая сопротивление деревьев, теряет скорость.
На бесконечно малом пути эта потеря пропорциональна скорости в начале этого пути и
его длине. Найти скорость ветра, прошедшего в лесу 150 м, зная, что до вступления в лес
его начальная скорость v0  12 м/с и после прохождения в лесу пути s  1 м. скорость
уменьшилась до величины v1  11,8 м/с.
4. Найти время, в течение которого вся вода вытекает из конической воронки, если
известно, что половина воды вытекает за 2 мин.
В. 1. Какая кривая обладает следующим свойством: угол между осью абсцисс и
касательной к кривой в любой её точке вдвое больше угла, который составляет с той же
осью полярный радиус точки касания?
68
2. Масса ракеты с полным запасом топлива равна M , без топлива  m0 , скорость
истечения продуктов горения из ракеты равна v0 , начальная скорость ракеты равна нулю.
Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и
сопротивлением воздуха (формула Циолковского).
С. 1. Найти кривую, у которой площадь треугольника, образованного касательной в
любой точке и осями координат, постоянна.
2. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 10 км/ч. На полном
ходу её мотор был выключен и через t  20 с скорость лодки уменьшилась до v1 = 6 км/ч.
Считая, что сопротивление воды движению лодки пропорционально её скорости, найти
скорость лодки через 2 мин после остановки мотора; найти также расстояние, пройденное
лодкой в течение одной минуты после остановки мотора.
20. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку (0, 2) , угловой коэффициент
касательной к которой в любой её точке равен ординате этой точки, увеличенной на 3
единицы.
2. Найти уравнение семейства кривых, зная, что угловой коэффициент касательной
во всякой точке любой из кривых этого семейства равен произведению координат этой
точки.
3. Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально
количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см
поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой
толщиной в 2 см?
4. В какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м,
вытечет из неё через круглое отверстие радиусом 0,1 м, вырезанное на дне чаши.
В. 1. Определить кривые, у которых отрезок, отсекаемый нормалью в точках
x2
M ( x, y ) кривых на оси ординат, равен
.
y
2. Ракета пущена вертикально вверх с начальной скоростью v0  100 м/с.
Сопротивление воздуха замедляет её движение, сообщая ракете отрицательное ускорение,
равное   k 2  , где k  аэродинамический коэффициент, v  мгновенная скорость
ракеты. Определить время достижения ракетой наивысшего положения.
С. 1. Найти кривую, для которой отрезок любой её касательной, заключенный между
осями координат, имеет постоянную длину l .
2. Судно выходит из точки O и с постоянной скоростью плывет в направлении оси
ординат. В тот же момент времени ( t  0 ) из точки A оси абсцисс, расположенной на
расстоянии OA  a от судна, выходит вдогонку на пересечение катер, плывущий со
скоростью, дважды превышающей скорость судна. Найти уравнение описанной катером
кривой погони и минимальное время, необходимое ему для достижения судна.
21. А. 1. Определить кривые, зная, что сумма координат точек пересечения
касательной к кривой с осями координат в два раза больше суммы координат точки
касания.
2. Координаты точек некоторой кривой удовлетворяют уравнению
(2 x 2  1) y   4 xy  0 .
Составить уравнение этой кривой, если известно, что она проходит через точку (1, 2).
3. Согласно опытам, в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг.
Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?
4. В результате химической реакции между веществами А и В образуется вещество
С . Установить зависимость количества вещества С от времени, если в момент
вступления в реакцию имелись количества веществ а и b соответственно. Скорость
реакции пропорциональна произведению реагирующих масс.
69
В. 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что длина перпендикуляра,
опущенного из начала координат на касательную к кривой, равна абсциссе точки касания.
2. C некоторой высоты брошено вертикально вниз тело массой m . Найти закон
изменения скорости v падения этого тела, если на него действует сила тяжести и
тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости.
С. 1. Найти кривую, если расстояние данной точки до любой касательной к этой
кривой постоянно.
2. Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара камня о дно шахты
услышан через 6,5 с от момента начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти
глубину шахты (сопротивлением воздуха пренебречь).
22. A . 1. Найти кривую, проходящую через точку (2,3) и обладающую тем
свойством, что
отрезок любой её касательной, заключенный между координатными
осями, делится пополам в точке касания.
2. Найти кривую, проходящую через точку (1, 2) , для которой абсцисса точки
2
пересечения касательной в произвольной точке с осью абсцисс равна
абсциссы точки
3
касания.
3. В благоприятных для размножения условиях находится некоторое количество
N 0 бактерий. Из эксперимента известно, что скорость размножения бактерий
пропорциональна их количеству. За какое время количество бактерий увеличится в m раз
по сравнению с начальным количеством?
4. Естественный прирост населения большого города пропорционален наличному
количеству жителей и промежутку времени. Кроме того, население города увеличивается
благодаря иммиграции: скорость прироста населения этим путем пропорциональна
времени, отсчитываемому от момента, когда население города равнялось А0 . Найти
зависимость числа жителей города от времени.
В . 1. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(0, a) , если MN
произвольная ордината кривой и площадь OAMN  a  MN  a  .
2. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка конической формы,
радиус основания которой равен 1,2 м, а высота h  1 м? Удельный вес песка   2 г/см.
(песок поднимают с поверхности Земли).
С . 1. Определить кривую, у которой отношение отрезка, отсекаемого касательной
на оси ординат, к радиусу-вектору произвольной точки кривой, равно постоянной
величине.
2. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/ч. Во
сколько времени и на каком расстоянии он будет остановлен тормозом, если
сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса?
23. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку (2, 0) и обладающую тем
свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет
постоянную длину, равную двум.
2. Найти кривые, для которых проекция на ось абсцисс отрезка касательной,
заключенного между точкой касания и осью абсцисс, равна среднему арифметическому
координат точки касания.
3. Сумма A рублей положена в сберегательную кассу под 2 % в год. Найти закон
изменения суммы при условии, что приращение начисляется непрерывно. Через сколько
лет удвоятся 10 000 руб, хранящиеся на 2 % счету?
4. В цилиндрическом сосуде объемом V0 атмосферный воздух адиабатически (без
обмена тепла с окружающей средой) сжимается до объема V1 . Вычислить работу сжатия.
70
В. 1. Найти кривую, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в
точке, одинаково удаленной от точки касания и начала координат.
2. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду, наполняющую
цилиндрический резервуар высотой 5 м и диаметром 6 м.
С. 1. Пользуясь прямоугольными координатами, найти форму зеркала, отражающего
параллельно в заданном направлении все лучи, выходящие из данной точки.
2. Материальная точка весом 9,81 кг движется по инерции в среде, сила
сопротивления которой пропорциональна первой степени скорости. Найти коэффициент
пропорциональности k , если точка при начальной скорости 1 м/с прошла до остановки 10
м.
24. 1. Найти кривую, обладающую тем свойством, что все её нормали проходят через
точку M ( a, b) .
2. Найти кривые, для которых отношение отрезка оси абсцисс, отсекаемого
перпендикуляром к касательной, к радиус-вектору точки касания есть величина
постоянная, равная k .
3. Предположим, что скорость прироста населения прямо пропорциональна
количеству населения. Найти зависимость между численностью населения и временем t ,
если известно, что в некоторый момент, принимаемый за начальный, количество
населения равнялось A0 , а через год оно увеличилось на a %.
4. Полый железный шар ( k  0,14 ), имеющий внутренний радиус 6 см, а внешний 10 см, находится в стационарном тепловом состоянии (т.е. в состоянии, при котором
температура в разных точках тела разная, но в каждой отдельной точке с течением
времени не изменяется), причем температура на внутренней его поверхности (постоянно)
равна 200C , на внешней 20C. Найти температуру на расстоянии r от центра шара и
количество теплоты, которое в 1 с. шар отдает наружу.
В. 1. Найти кривую, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой
касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.
2. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду, наполняющую
полусферический сосуд радиуса R  0, 6 м.
С. 1. Найти кривую, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат
нормалью, проведенной в произвольной точке кривой, равна расстоянию этой точки от
начала координат.
2. Материальная точка движется прямолинейно, причем так, что её кинетическая
энергия в момент t прямо пропорциональна средней скорости движения в интервале
времени от нуля до t . Известно, что при t  0 путь s  0 . Показать, что движение
равномерно.
25. А. 1. Найти кривую, проходящую через точку (0,  2) , угловой коэффициент
касательной к которой в любой её точке равен ординате этой точки, увеличенной в три
раза.
2. Найти кривые, если длина отрезка касательной от точки касания до пересечения с
осью абсцисс имеет постоянную длину, равную a .
3. Найти закон распада радия, если скорость распада в каждый момент времени
пропорциональна его наличному количеству и в начальный момент t  0 имелось m0
граммов радия, а за время T  1590 лет его количество уменьшится в 2 раза. Какой
процент первоначального количества распадется за 200 лет?
4. Кирпичная стена имеет толщину 30 см. Найти зависимость температуры от
расстояния точки от наружного края стены, если температура равна 20 на внутренней и
0 на внешней поверхности стены. Найти также количество тепла, которое стена (на 1 м 2 )
отдает наружу в течение суток.
71
В. 1. Найти кривую, у которой начальная ордината любой касательной равна
соответствующей нормали.
2. Канат подъемного крана прикреплен к вершине кругового конуса. Конус висит на
канате и погружен в воду настолько, что его вершина находится на поверхности воды.
Какую работу затратит подъемный кран на извлечение конуса из воды? Радиус основания
конуса равен R м, его высота - h м, а его удельный вес   1 .
С. 1. Найти кривую, для которой произведение абсциссы произвольной точки на
величину отрезка, отсекаемого нормалью на оси ординат, равно удвоенному квадрату
расстоянию от этой точки до начала координат.
2. Цепь длиной 6 м соскальзывает со стола без трения. Если движение начинается с
момента, когда свисает один метр цепи, то за какое время соскользнет вся цепь?
72