Document 4124455

6. Криволинейный интеграл. Формула Грина.
Опр. Спрямляемая кривая – кривая, имеющая конечную длину, при этом длиной кривой
называется предел последовательности длин ломаных, вписанных в эту линию, при условии, что
длина наибольшего звена > 0. Этот предел всегда , но может быть =   кривая
неспрямляемая.
Рассмотрим на плоскости Oxy спрямляемую кривую L, без самопересечений и самоналегания,
определяющуюся следующими уравнениями:
 x   (t )
( a  t  b)

y


(
t
)

Будем считать её незамкнутой и ограниченной точками A(ц (a), ш(a)) и B(ц(b), ш(b))
Если на L=AB определены ф-ции f(x,y),P(x,y),Q(x,y) – непрерывные вдоль L(т.е.
  0  0 :  M 1 , M 2  L длина M 1 M 2    f (M 1 )  f (M 2 )   )
Разобьем [a,b]: a=t0<t1<t2<…<tn=b, [tk-1,tk] k=1..n.
L распадается на n частичных дуг M0M1…Mn-1Mn , Mk(xk,yk)=(xk=ц(tk),yk=ш(tk))
Если ?lk – длина k-той частичной дуги Mk-1Mk , то: {L –гладкая => ц’, ш’ – непр.}
lk 
tk

[ ' (t )]2  [ ' (t )]2
t k 1
Выберем на всех Mk-1Mk точку Nk(оk, Юk): оk=ц(фk), Юk=ш(фk)  [tk-1, tk]
  max l k - диаметр разбиения кривой L
1 k  n
Составим 3 интегральные У:
n
n
n
k 1
k 1
k 1
 1   f ( k , k )t k  2   P( k ,  k )xk  3   Q( k , k )yk
,
где ?xk=xk-xk-1, Дyk=yk-yk-1
Опр. Число I называется пределом интегральной суммы уs (s=1,2,3), при диам. разб. ?_0, если
  0   0 : |уs-Is|<е при ?<д(независимо от выбора Nk)
Опр. Если  предел интегральной суммы ?1 при ?_0, то этот предел наз-ся криволинейным
интегралом I рода от ф-ции f(x, y) по L и обозначается
 f ( x, y)dl или  f ( x, y)dl (не зависит от того, в какую сторону пробегается кривая)
L
AB
Опр. Если  предел интегральной суммы ?2 (у3) при ?_0, то этот предел наз-ся криволинейным
интегралом II рода от ф-ции P(x, y) (Q(x, y))по AB и обозначается
 P( x, y)dx (соответственно  Q( x, y)dl ) (зависит от того, в какую сторону пробегается
AB
AB
кривая: меняется знак)
 P( x, y)dx   Q( x, y)dy - общий интеграл II рода и обозначается
AB
AB
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy
AB
Опр. Кривая L- гладкая, если на [a,b]  непр. ц'(t), ш'(t), ? в точках a и b обладают конечн.
предельн. знач. справа и слева соответственно.
Опр. Особые точки L- соответствующие t: (ц'(t))2+(ш'(t)) 2=0
Теорема. Если L – гладкая, без особых точек на [a,b], и, если f, P, Q – непр. вдоль L то все
введённые выше интегралы  и вычисляются по формулам:
 f ( x, y)dl   f [ (t ), (t )]
AB
AB
[ ' (t )] 2  [ ' (t )] 2 dt
(1)
b
 P( x, y)dx   P[ (t ), (t )] ' (t )dt (2)
AB
a
b
 Q( x, y)dy   Q[ (t ), (t )] ' (t )dt
AB
(3)
a
Док-во. Интегралы в правых частях (1),(2),(3) , т.к. все подынтегральные ф-ции непр. на [a,b].
Разобьем [a,b] на n сегментов [tk-1,tk], k=1,2,3..n и составим интегральные суммы у1 и ?2.
Учитывая: Дxk=xk-xk-1= ц(tk)-ц(tk-1)=
tk
  ' (t )dt 
t k 1
tk
n
 1   { f ( ( k ), ( k ))  [ ' (t )] 2  [ ' (t )] 2 dt}
k 1
t k 1
n
tk
k 1
t k 1
 2  {P ( k ), ( k ))   ' (t )dt}
Обозначим правые части (1),(2) как I1,I2 и представим их в виде суммы интегралов:
tk
n
 1  I 1    { f ( ( k ), ( k ))  f ( (t ), (t ))} [ ' (t )] 2  [ ' (t )] 2 dt
k 1 t k 1
n
tk
 2  I 2    {P ( k ), ( k ))  P( (t ), (t ))} ' (t )dt
k 1 t k 1
tk
из
m  min [ ' (t )]  [ ' (t )]  0 и l k  m  dt  mt k  t k 
2
2
a t b
t k 1
1
l k 
m
  0   0 : при ?<д фигурная скобка из у1-I1по модулю < е/l, где l – длина L, а фигурная
скобка из у2-I2 по модулю < е/M(b-a), ?де M  max |  ' (t ) |
a t b
|  1  I1 | 
|  2  I 2 |

l
tk
n

[ ' (t )] 2  [ ' (t )] 2 dt 
k 1 t k 1


tk
n

l
n
 l
k 1
k
,
n
   ' (t )dt  M (b  a) M  t
M (b  a)
k 1 t k 1
k 1
k

Аналогично для ?3._
Опр. L – кусочно-гладкая, если она непр. и распадается на конечное число не имеющих общих
внутренних точек кусков, каждый из которых гладкая кривая.
Замечание1. Если L – замкнутая, то контур обходится в положительном напр. (против часовой
стрелки)
 P( x, y)dx  Q( x, y)dy
L
Замечание2(Свойства).
 [f ( x, y)  g ( x, y)]dl    f ( x, y)dl    g ( x, y)dl
1.
AB
2.
AB
Если AB=AC+CB 
 f ( x, y)dl   f ( x, y)dl   f ( x, y)dl
AB
3.
|
AC
CB
 f ( x, y)dl |   | f ( x, y)dl |
AB
4.
AB
Существует M:
AB
 f ( x, y)dl  lf (M ) , где l – длина L.
AB
Формула Грина.

Пусть ? – плоскость в E3, k – ед. вектор нормали к ?. D – односвязная обл. на ? и удовл.:
1) D  C -замкнутая, кусочно-гладкая кривая без особых точек.
2) на ?  декартова прямоугольная система координат: все прямые ||(паралельн) Ox и Oy
пересекают C не более чем в 2-х точках.


t -единичный вектор касательной к кривой C, согласованный с k (правило буравчика).

Теорема. Если a - векторное поле, дифференцируемое в D, удовл. 1),2), и такое, что его
производная по  направлению непрерывна в D  C  D 


 
 (k , rot a )d   (a, t )dl
D
C


 
Док-во. Все интегралы , т.к. все ф-ции непр. Поскольку (k , rot a ) и (a , t ) инвариантны
относительно системы координат, то достаточно док-ть в некоторой специальной системе
коорд..
Выберем Oxyz: выполняется 2), ось Oz направлена вдоль
R(x,y)0
 

k , a ={P,Q,R}, t ={cos , cos , 0}
 R Q P R Q P 


rot a  rot a |ОНБ   
,

,
 
 y z z x x y 



Q P
, (a, t )  P cos  Q sin 
(k , rot a ) 

x y

 Q P 

(
k
D , rot a )d  D  x  y dxdy  C P cos   Q sin  dl  C Pdx  Qdy
(т.к. dx=2lcos, dy=2lsin)
Докажем, что:
P
dx dy   Pdx

y
D
C
Q
J  
dx dy   Qdy
x
D
C
I  
x2
x2
 y2 ( x ) P( x, y ) 
I    
dy  dx   P( x, y1 ( x)) dx   P( x, y2 ( x)) dx 

y

x1 
y
(
x
)
x1
x1
2
x2


  Pdx     Pdx    Pdx
 C
 C
C1
 2

Аналогично вычисляется Q