1 - 4stud

1.Линейные пространства (определение, примеры): Множество L называется
линейным пространством, а его элементы векторами, если:
- задан закон, по которому любым двум элементам из множества L сопоставляется
элемент z, принадлежащий L, и называется суммой x и y. x, y  L, z  L : x  y  z
- задан закон умножения оператора на число, по которому элементу x из множества L и
числу α, соотв. элем. y  L, такой, что y= αx. x  L, y  L : y   x
- для любых x,y и z  L и любых чисел α,β выполняются следующие аксиомы x, y, z  L и
 ,  :
1. x+y=y+x 2. (x+y)+z=x+(y+z) 3.  такой эл-т О (нулев. эл-т) x  L : x  Î  x
4. x  L , ( x)  L : x  ( x)  O , ((-х) – противоположный элемент)
5. α(x+y)= αx+ αy 6.( α+β)x= αx+βx
7. α(βx)=(αβ)x
8. x*1=x
Прим: 1) v- множество векторов на плоскости; v – линейное пространство
2)p – множество многочленов от 1ой переменной степени не выше 5; p - линейное
пространство.
2.Линейная
зависимость
принадлежащие L,
(независимость)
векторов:
x1 , x2 ,..., xn
-
вектора,
1 ,  2 ,...,  n 
- вещественные числа.
Выражение вида 1x1   2 x2  ...   n xn называется линейной комбинацией векторов
x1 , x2 ,..., xn с коэффициентами 1,  2 ,...,  n .
Система векторов x1 , x2 ,..., xn называется линейно зависимой, если существует равная О
нетривиальная (невырожден. – хотя бы 1 из коэффициентов отличен от нуля) линейная
комбинация этих векторов. В противоположном случае система называется линейно
независимой.
1x1   2 x2  ...   n xn  0  i  0
Система векторов линейно зависима тогда, когда, по крайней мере, один из этих векторов
является линейной комбинацией остальных.
Доказательство: 1. необходимо
Пусть x1 , x2 ,..., xn - линейно зависимая система векторов



x1    2 x2  ...  n xn 


1
 1

Следовательно, x1 линейная комбинация векторов.
2. Достаточно.
Пусть x1   2 x2  3 x3  ...   n xn (линейная комбинация векторов)
Пусть 1 
0
(-1)* x1   2 x2  3 x3  ...   n xn
0
т.к. 1  1  0 , следовательно, система векторов линейно зависима.
Если в систему векторов входит нулевой вектор, то эта система будет линейно зависима.
Если какая-либо часть системы линейных векторов линейно зависима, то и вся эта
система линейно зависима.
3. Базис. Координаты вектора. Размерность пространства. Система линейно
независимых векторов
e1, e2 ,...en
называется базисом пространства L, если любой
вектор x из этого пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих
n
векторов. x   e  ...   e    e
11
n n i 1 i i
А числа 1 ,  2 ,...,  n называются координатами
вектора относительно данного базиса. Если задан базис, то координаты вектора в данном
базисе определены однозначно.
1
Доказательство:
Пусть e , e ,...e - базис. Предположим, что x разложен двумя способами.
1 2
n
n
n
x x e
i
i 1 i
x x e
i i
i 1
n
n
n
x  x   x e   x e =  ( x  x )e =0
i i i 1 i i i 1 i
i i
i 1
Т.к. линейная комбинация = 0, а вектора e , e ,...e линейно независимы ( x  x ) =0,
1 2
n
i
i
следовательно x  x .
i
i
Пусть в линейном пространстве L выбран базис e , e ,...e , тогда:
1 2
n
1) при сложении векторов их координаты складываются.
2) При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
n
n
n
Доказательство: 1. x  L, y  L, x   x e , y   y e , x  y   ( x  y )e
i i
i i
i
i i
i 1
i 1
i 1
n
n
2. α – число  x    x e   ( y )e
i 1
i i
i i
i 1
Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то любой другой базис
этого пространства так же содержит n векторов.
Линейное пространство L, в котором базис состоит из n векторов называется n-мерным, а
число n - размерностью пространства Ln
4.Подпространство.
Линейное
нормированное
пространство.
Евклидово
пространство. Непустое множество Z векторов в линейном пространстве L называется
линейным подпространством, если для любых х и y принадлежащих Z: (x+y)=Z и для
любого вектора x  Z  α- число (αx)  Z.
Множество называется линейным нормированным пространством, если для любого
вектора х, принадлежащего этому множеству поставлено в соответствие вещественное
число x x - вещественное число, называемое нормой элемента х, причем выполняются
следующие условия:
1. Если норма x =0, то х=0.
2. Для любого числа α  R или α С,  x  H норма от произведения αх будет
x   * x
3. Для любого элемента х, y, принадлежащего Н x  y  x  y .
Линейное пространство называется евклидовым, если в этом пространстве определено
скалярное произведение векторов. Каждому x и y поставлено в соответствие
действительное число (x,y), причем выполняется следующее:
1. (x,y)=(y,x)
2. (λx,y)= λ(x,y)=(x, λy)
3. (x1+x2,y)=(x1,y)+(x2,y)
4. (x,y)  0
5.  x, y   x  y ( x   x; x  )
Норма вектора x, равен
x 
вектора и обозначается x 
 x; x 
в евклидовом пространстве называется длиной
n
 x; x  =  X i2
i 1
Вывод:
1. Если x и y принадлежат евклидовому пространству размерности n, тогда
n
(x,y)=  xi yi
i 1
2
2. x,y E n и ортогональны, если их скалярное произведение = 0 ((x,y)=0) и x  0 ,
y 0
Система ненулевых векторов образует ортогональный базис в E n , если эти вектора
попарно ортогональны, и ортонормальный базис, если каждый из векторов имеет длину
=1.
5.Линейные операторы (определение, примеры). Пусть H и F – линейные пространства.
Оператором A, действ. из H в F называется отображение вида A : Н  F. Сопост. любому
x  H A  элементу  F
y=A(x)=Ax
Оператор А называется линейным, если для любых х1,х2  H ,   число.
1.
A( x1  x2 )  A( x1 )  A( x2 )
2. A( * x1 )   * A( x1 )
Примечание:
1.А-умножается на число
1 ,  -число, x-вектор, Ax   x
A( x1  x2 )   ( x1  x 2 )   x1   x2  Ax1  Ax2
A(a * x1 )  x * ax1  a( x, x1 )  aA( x1 )  A-линейный оператор
2.
M n –линейное пространство,A-оператор дифференц.
A( P(t ))  P '(t )
A( P1 (t )  P2 (t ))  P '1 (t )  P '2 (t )  A( P1 (t ))  A( P2 (t ))
A( * P(t ))  ( * P(t )) '   * P '(t )   * A *( P(t ))
 A -линейный оператор
6.Матрица
линейного
A( x)  x2  x3 ; x1; x1  x2 
 0 1 1


матрица: A   1 0 0 
1 1 0 



оператора.
Образуется

следующим
образом:
Пусть в заданном базисе e , e ,...e лин. простр. Rn каждому линейному опреатору А
1 2
n
отвечает матрица A ai k , B bi k , тогда при сложении линейных операторов
соответствующие им матрицы складываются, при умножении матрицы на число
соответствующая матрица умножается на число, при умножении операторов
соответствующие матрицы перемножаются.
7.Действия с линейными операторами. Два линейных оператора A и B называются
равными и принадлежат тому же пространству, если результат их действий на один и тот
же элемент х, принадлежащий к Rn дает один и тот же элемент y.
Ax=y, Bx=y, следовательно, А=В.
Под суммой двух операторов А и В понимают третий оператор С, полученный в
результате действий каждого из операторов на элементе х, принадлежащему к Rn и
суммирование результатов действий.
3
А+В=В+А; А+В+D=(A+B)+D=A+(B+D)
Произведением двух операторов называется оператор который получен в результате
последовательно выполнения данных операторов, причем сначала действует тот оператор,
который стоит ближе к элементу. A*Bx=A(Bx)
Если для любого х, принадлежащего Rn , Ex=x, то Е – единичный оператор.
Свойства произведения:
1. A*Ex=Ax=E*Ax
2. A2 x=A(Ax)
3.A*B(C)x=A(BC)x=(AB)Cx
4. (A+B)Cx=ACx+BCx
5. Если A*A-1x= A-1*Ax=Ex=x, то A-1-обратный оператор.
8. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
А – линейный оператор. Ах=у, (х,у  Rn )
e1, e2 ,...en - базис в R ; A
n
ai k
a1n   x1   y1 
 a11

   

  = 
a
amn   xn   yn 
 m1
e1' , e2' ,..., en'  - новый базис.
Т – матрица перехода от старого базиса к новому.
А  А’, x  x’, y  y’, Ax’  y’
x=Tx’; y=Ty’.
Пусть T  0
Ax=Atx’; y=Atx’; Ty’=ATx’; y’=T-1ATx’; A’x’= T-1ATx’;
A’= T-1AT – формула перехода.
При переходе линейного оператора из базиса в базис матрица линейного оператора
меняется, а определитель остается прежним. A '  T 1 AT  T 1 A T  A
T 1 T  1
9.Собственные значения и собственные вектора линейных операторов:
Пусть Rn , А- линейный оператор в Rn , вектор V  0 , удовлетворяющий соотношению
AV  V , называется собственным вектором, а собственное число  -собственным
значением линейного оператора А.
Пусть R1 - прямая, тогда любой вектор на этой прямой является собственным.
В комплексном пространстве Ln всякий линейный оператор А имеет хотя бы один
собственный вектор.
Доказательство:
1. Ln {e1 , e2 ,..., en }
2. A
ai k
3. Пусть x  Ln
V  1e1  2e2  .....  nen
Ax  y  {1,  2 ,....,  n }
 a11 .. a1n  x1   1 

   
4.  :
:  :    : 
a
   
 1n .. ann  xn    n 
4
 a11 x1  ...  a1n xn  1

(*) 
:
a x  ...  a x  
nn n
n
 1n 1
5.Пусть х- собственный Ax   x
 1   x1

, заменим i в (*)
:

   x
n
 n
 (a11   ) x1  ....  a1n xn  0

(**) 
:
a x  ....  (a   ) x  0
nn
n
 1n 1
(**)- однородная система линейных уравнений, всегда имеет тривиальное решение, а
чтобы имела нетривиальное, необходимо, чтобы определитель системы = 0.
a11   a12 .....
(***) 
:
an1
a1n
0
an 2
ann  
Пусть  - корень уравнения n-ой степени относительно  (***)
Подставим в систему (**)
x  {10 ;  20 ;...;  n0 } - собственный вектор
Ax   x Для каждого собственного числа имеется свой вектор.
10. Свойства собственных значений и собственных векторов линейного оператора.
det( A   E )  0 - характеристический многочлен А, а следовательно, и собств.значен.А не
зависят т выбора базиса, а определяются только самим оператором.
Собственный вектора оператора А, соответствуют различным собственным знчениям,
линейно независ.
Если характеристический многочлен оператора А имеет n различных корней, то матрица
А может быть приведена к диагональной форме.
Рассмотрим матрицу линейного оператора А в базисе из собственных векторов, т.к. все
 1 0...0   x1   1 x1 


  
02 ...0   x2   2 x2 


значения различны, то: Ax  A x 


  





  
 00...n   x n   n x n 
1. А – матрица линейного оператора в диагональном виде. p( )  A   E
p( )  (1) n ( n  p1 n 1  ...  pn )
p1 - сумма диагональных элементов p1   aii
p2 - сумма главных миноров II порядка
5
pn - определитель A
2. А – треугольная матрица, то собственными числами будут числа, стоящие на диагонали
p( )  (a11   )(a22   )
2  a22
1  a11
11.Квадратичные формы. Определение. Примеры.
К.ф. – многочлен второй степени, относительно переменных x1 , x2 ,..., xn не содержит
n
свободного члена и члена в первой степени. f  x1 , x2 ,..., xn    aij xi x j
i 1
aij называются коэффициентами квадратичной формы.
Числа
Если f  x1 , x2 ,..., xn  - к.ф., тогда если мы умножаем каждую переменную на действит. α
f  x1 ,  x2 ,...,  xn    2 f  x1 , x2 ,..., xn 
Примечание: x, y  R 2
f  x, y   a11 x 2  2a12 xy  a22 y 2
Квадратичная форма может быть записана в матричном виде:
a1n  x1 
 a11

 
f  x1 , x2 ,..., xn  =  x1 , x2 ,..., xn  
 
a
 
a
nn  xn 
 n1
 x1 
 
Обозначим за х матричный столбец   , следовательно, f  x1 , x2 ,..., xn  =xTAx (Ax 
 n
матрица квадратичной формы). Если при изменении базиса координаты вектора х
меняются, то есть xi  x 'i , то к.ф. f  x  может быть записана как к.ф. через x 'i , но с
другими коэффициентами.
f  x  = xTAx
х=Lx’ (L-матрица перехода)
f  x  =(Lx’)TA(Lx’)=(x’)TLTALx’=(x’)TBx’
12. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.
Если матрица квадратичной формы диагональна, то к.ф. имеет канонический вид.
Пусть f(х) - к.ф. в пространстве Rn , тогда можно найти ортонормированный базис, в
n
котором эта к.ф. записывается диагональной матрицей. f  x     j x j 2
j 1
Доказательство: пусть e1 , e2 ,..., en - ортонормированный базис из собственных векторов
матрицы квадратичной формы А.
n
n
n
n
n
n
k 1
j 1
k 1
j 1
k 1
f  x   <Аx,x>=<A  x j e j ,  xk ek >=<   j x j e j ,  xk ek >=<   j x j e j ,  xk ek >=
j 1
n
 x
j k
j
2
j
n
n
j k
j 1
e j ek +  k xk 2e j ek =   j x j 2
Приведение квадратичной формы второго порядка к каноническому виду:
f  x  = a11 x12  2a12 x1 x2  a22 x22 в e1 , e2 
6
a 
a
1) составим матрицу А: А=  11 12 
 a21 a22 
2) находим корни характеристического уравнения:
a11  
a12
=0
λ1,λ2
a21
a22  
3) Находим собственные вектора, соответствующие числам λ1 и λ2.
1  e '1 , 2  e '2
корни
Из них выбираем два вектора, ортогональные между собой и единичн. e1 и e2 - базисные
вектора.
4) Составим матрицу перехода:
 e e2 
e1 ={e1,m1}, e2 ={e2,m2} S(матрица перехода)=  1

 m1 m2 
detS>0 (для сохранения взаимного ориент. новых векторов)
5) Переход к новому базису
 0 
A = 1

 0 2 
f  x  = 1 x12  2 x22
Направление собственных векторов при образовании x’=Ax называют главным
направлением квадратичной формы.
13. Приведение к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей 2-го
порядка:
(См. 12)
Пример:
4 xy  4 x  4 y  6  0
F ( x, y )  4 x
 0 2 


 2 0 

2
2
0

 2 2   1 

   0
 2 2  2 
1  2
  2
{2211 2222 00
1   2
1 1
1
1
1 1
u1 * u2    0
;
) u2  (
;
)
2 2
2
2
2 2
1
1
2
2
=1>0, след. прав ориентации
S 
1
1

2
2
1
1
x
x
y
2
2
x
x
1
1
y 
x
y
  S 
2
2
 y
 y
u1  (
{
2
2
2x  2 y  4 2 x  6  0
7
u1  (c; c)
2
( x  2)2  y  1
x2
2
2
y  x 1
y2
14.Каноническое уравнение кривых и поверхностей II порядка (см.реферат)
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 – алгебраическое уравнение кривой 2 порядка относительно
переменных x и y.
x2 y 2
x2 y 2
Эллипс 2  2  1 ; если a=b, 2  2  1  окружность.
a
b
a
b
2
2
x
y
Гипербола 2  2  1
a b
Парабола y 2  2 px
Ax 2  By 2  Cz 2  Dxy  Exz  Fyz  Mx  Ny  Kz  L  0 - уравнение поверхности второго
порядка относительно трех переменных.
Если D=E=F  каноническое уравнение.
x2 y 2 z 2
Конус 2  2  2  0
a
b
c
x2 y 2
Цилиндр эллиптический 2  2  1
a
b
2
x
y2
Гиперболический цилиндр 2  2  1
a b
Параболический цилиндр y 2  2 px
x2 y 2 z 2

 1
a 2 b2 c 2
x2 y 2 z 2
Двуполостной гиперболоид 2  2  2  1
a
b
c
2
2
x
y
Гиперболический параболоид 2  2  z
a
b
2
2
2
x
y
z
Эллипсоид 2  2  2  1
a
b
c
x2 y 2
Эллиптический параболоид 2  2  z
a
b
15.Дифференцильные уравнения (основные понятия, примеры)
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой
независимую переменную х, искомую функцию у(х) и производные этой функции по х
различных порядков.
Порядок старшей производной называется порядком уравнения.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть этого уравнения –
многочлен первой степени относительно неизвестной функции у и ее производных
y, y,... y ( n )
a0 ( x) y ( n )  a1 ( x) y ( n 1)  ...  an y  f ( x )
Однополостной гиперболоид
Функции a0 ( x),..., an ( x) , определенные и непрерывные в определенном
называются коэффициентами уравнения; f(x) – свободный член.
Пример: y  3 y  0 - линейное.
8
интервале,
Линейное уравнение называют однородным, если f(x) тождественно равно нулю, в
противоположном случае – неоднородным.
Всякая функция  ( x ) , которая при подстановке в ДУ превращает его в тождество,
называется решением этого уравнения.
Общим решением ДУ F ( x, y, y...)  0 называется такое решение y  u ( x, c1 , c2 ,...) , которое
содержит столько постоянных c1 , c2 ,...cn , каков порядок уравнения.
16.ДУ I порядка. Задача Коши.
F ( x, y, y)  0
y   f ( x, y )
 ( x, c ) - общее решение ДУ I порядка.
Геометрически общее решение ДУ I порядка – семейство интегральных кривых,
соответствующих различным значениям постоянных.
Найти решение
F ( x, y, y)  0 , удовлетворяющее условию y x  x  y0
0
Геометрически надо найти интегральную кривую ДУ y  f ( x, y ) , проходящую через
точку M 0 ( x0 , y0 )
Уравнение y  f ( x) имеет бесконечное число решений, но если выбр.начальн.услов., то
решение существует и только единственное.
17.Уравнение, с разделяющимися переменными.
ДУ I порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет
вид x1 ( x) y1 ( y)dx  x2 ( x) y2 ( y )dy  0
x1 ( x)
y ( y)
dx  2
dy  0
x2 ( x)
y1 ( y )
x ( x)
y ( y)
 x12 ( x) dx    y12 ( y) dy
dy
x
y
Пример: xy  y
dx
dy
dx
ln y  ln y  c , где c  ln c
 y  x
y  xc
18. Однородные уравнения I порядка.
Функция F ( x, y, z ) называется однородной в степени n, если F (tx, ty, tz )  t n F ( x, y, z )
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
если M ( x, y ) и N ( x, y ) - однородные функции одного и того же порядка
y
y
m
M ( x, x )
x M (1;  )
x
dy
M ( x, y )
x  f ( y)



y
y
m
dx
N ( x, y )
x
N ( x, x )
x N (1;  )
x
x
dy
y
y
 f ( ) Обозначим  z
y=xz
dx
x
x
dy
dz
x z
dx
dx
dz
x  z  f ( z )  уравнение с разделяющимися переменными.
dx
xdz  ( f ( z )  z )dx
9
dz
 ( f ( z)  z)  
dx
x
x
dz

c
( f ( z)  z)
19.Линейные уравнения первого порядка.
dy
 p ( x) y  f ( x) , где a  x  b и функции f(x) и p(х) – непрерывные
Уравнение вида
dx
функции на (a,b), называется дифференциальным линейным уравнением первого порядка.
Если f(x) тождественно =0, следовательно, уравнение называется однородным.
Методы решения линейного уравнения:
1)метод Бернулли:
ищем решение в виде произведения функции y=u(x)v(x)
y  u( x)v( x)  u ( x)v( x)
u( x)v( x)  u ( x)v( x)  p( x)u ( x)v( x)  f ( x)
u ( x)(v( x)  p( x)v( x))  u( x)v( x)  f ( x)
v( x)  p( x)
Подберем v(x)
ln
v( x)  e
 p( x)dx
f ( x)
dx
v( x)
du 
u( x)v( x)  f ( x)
 du   f ( x)* e
 y   f ( x)* e
 p( x)dx
 p( x)dx
dx  c
- общее решение
Общее решение линейного неоднородного уравнения = решению соответствующего
однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
2) Метод Лагранжа:
 p( x)dx
y  p ( x) y  0
- общее решение однородного уравнения
y  ce 
Пусть с=с(х) – функция
 p( x)dx
- неоднородное уравнение
y  c( x)e 
 p( x)dx
 p( x)dx
y  c( x)e 
 c( x)e 
( p( x))
 p( x)dx
 p( x)dx
 p( x)dx
ce 
 ce 
p( x)  p( x)ce 
 f ( x)
p( x)dx
p( x)dx
c( x)  f ( x)e
 c( x)   f ( x)e 
 const
ye
 p( x)dx
( f ( x)e
p( x)dx
 const )
20.Уравнение Бернулли:
y ' p( x) y  y g ( x) , где  - любое число
Если  =1,  =0- линейное уравнение
Если   0,   1, то:
z  y1 , z '  (1   ) y  * y '
y' 
z '* y
1
z'
 p ( z )  g ( x ) - линейное уравнение от z(x)
1
10
21.Уравнение Рикатти:
y ' px  qy 2  z  0 , где p, q, z- функции от х.
Пусть y1 - частное решение, т.е.
y1 ' py1  qy12  z  0
1
1
u'
y  y1  , u 
, y '  y1  2
u
u
y  y1
2y
u'
1
1
y1 ' 2  p( y1  )  q( y12  1  2 )  z  0
u
u
u u
2qy1 q
u
'
p
( y1 ' py1  qy12  z )  2  
 2 0
u
u
u
u
0
u ' pu  2qy1u  q  0
u ' ( p  2qy1 )u  q (линейное уравнение от u(x)
22.Дифференциальные уравнения второго порядка:
F ( x, y, y ', y '')  0
y ''  f ( x, y, y ')
y   ( x, c1 , c2 ) - общее решение
y   ( x1 , c1 , c2 ) - частное решение. y x x  y , y ' x  x  y '
Если в уравнении y ''  f ( x, y, y ') функции и ее частные производные непрерывны в некой
области D, то любой точки этой области существует единственное решение y   ( x) ,
удовлетворяющее начальному условию.
1) y ''  f ( x) . Пусть y '  p ( x) , y ''  p '( x )
p '( x)  f ( x) ,
 dp   f ( x)dx +с,
p   f ( x)dx  c
y '   (  f ( x)dx  c1 )  c2
2) y ''  f ( x, y ') Пусть y '  z ( x) , y ''  z '( x)
z ( x)   ( x, c1 ) , y    ( x1 , c1 )dx  c2
3) y ''  f ( y, y ') Пусть y '  p( y ) , y ''  p
pdp  f ( y )dy ,

p2
 f ( y )dy  c1 ,
2 
dy
2 f ( y )dy  c1
  dx ,

dp
dp
, p
 f ( y, p )  f ( y )
dy
dy
p   2 f ( y)dy  c1 ,
dy
2 f ( y )dy  c1
p
dy
dx
 ( x  c2 )
23.Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений
II порядка.
y  p( x) y  g ( x) y  0 (1) где p ( x ) и g ( x ) - непрерывные функции.
y1  y1 ( x) и y2  y2 ( x) - частные решения.
2 решения y1 и y2 называются линейно независимыми, если только тривиальные
линейные комбинации этих функций =0 и линейно зависимыми, когда хотя бы 1 из них
можно выразить через другой.
( 1 y1 ( x)   2 y2 ( x)  0 - линейная комбинация)
11
y1 ( x) и y2 ( x) - независимы  1   2  0

если 1  0  y1 ( x)   2 y2 ( x)
1
Пример: y1  e x
y2  e 3 x
W ( y1 , y2 ) 
ex
e3 x
x
3x
 2e4 x  0 ( e 4 x - независ.)
e 3e
Функции y1 ( x) и y2 ( x) дифференцируемы и непрерывны на (a;b)линейно зависимы, если
определитель Вронского на этом интервале тождественно = 0, и линейно независимы,
если вронскиан  0.
Определитель Вронского от непрерывных и дифференцируемых функций y1 , y2 , y3 ,... yn ( x)
- определитель n-ого порядка, в первой строке которого находятся функции, во второй –
первые производные и т..
Если функции y1 и y2 являются линейно независимым решением уравнения (1), то общее
решение этого уравнения есть линейная комбинация этих решений. ( y  c1 y1  c2 y2 )
y2  py2  qy1  0
Доказательство: y1  py1  qy1  0
(c1 y1  c2 y2 )  p(c1 y1  c2 y2 )  q(c1 y1  c2 y2 )  0
(c1 y1  c1 y1 p  c1qy1 )  (c2 y2  c2 y2 p  c2 qy2 )  0
0  0 , ч.т.д.
Чтобы найти общее решение ДУ вида (1) достаточно знать 2 частных линейно
независимых решения этого уравнения y1 и y2 , тогда y  c1 y1  c2 y2
24.Однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
y  p( x) y  g ( x) y  f ( x) Уравнение
вида
линейное
ДУ
с
постоянными
коэффициентами.
Если f ( x)  0 , то уравнение однородное.
Решение этого уравнения ищем в виде y  e kx , где k=const.
y  k 2ekx
y  kekx
ekx (k 2  pk  g )  0
e kx  0
k 2  pk  g  0 - характеристическое уравнение
p
p2
k  
g
2
4
p2
 g >0
k1 , k2 - 2 действ., разл. корня.
1)
4
y  c1e k1x  c2 e k2 x
2)
p2
 g =0
4
ye
3)
p
 x
2
k1 = k2 = 
p
2
(c1  c2 x)
p2
 g <0
4
k1     i , k2     i
y  e x (c1 cos  x  c2 sin  x)
25. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:
y '' py ' qy  f ( x) (1)
Общим решением неоднородных уравнений вида (1) = сумме общих решений, соотв.
однородным уравнениям и частных решений неоднородных уравнений.
y  y  z , где y - общее решение y '' py ' qy  0 , z(x)- частное решение (1).
12
Метод неопределенных коэффициентов:
1) f ( x)  a * emx , z  A * emx , z '  Amemx z ''  Am 2e mx
a
aemx
z

m2  pm  q
m2  pm  q
Если m- корень характ уравнения, то z  A * x * emx
2) f ( x)  M cos  x  N sin  x , z '   A sin  x  B cos  x
z ''   A 2 cos  x  B 2 sin  x
A
 A 2 Bp  Aq  M
 B 2  Ap  Bq  N , находим А и В
{
3) f ( x)  ax 2  bx  c
z ( x)  Ax 2  B( x)  c
z '  2 Ax  B z ''  2 A
y '' py ' qy  f ( x)
x2
x
Aq  a
2 pA  Bq  b
x 2 A  Bq  Cq  c
4) f ( x)  ebx (Qe ( x) cos ax  Pm sin ax)
z ( x)  ebx (U n ( x) cos ax  Vn ( x) sin ax)
S1  b  ai
n  max(l , m)
S2  b  ai
Если S1 -корень хар уравнения, след. z  ebx x(U n cos ax  Vn sin ax)
Если S1 и S 2 -корни (кратности 2), то z  ebx x 2 (U n cos ax  Vn sin ax)
5) f ( x)  f1  f 2  ....... , где f1 ( x) - 1 вид, f 2 ( x) -2 вид., след. z ( x)  z1 ( x)  z2 ( x)
26. Метод вариаций произвольных постоянных.
y '' py ' qy  f ( x) (1)
y  yz
1) z ищем методом вариаций.
y  c1 y1  c2 y2 , где c1 и c2 - произвольные постоянные
2) Пусть c1  V1 ( x) и c2  V2 ( x) , то есть это функции, которые подберем так, чтобы
Z  V1 ( x) y1 ( x)  V2 ( x) y2 ( x) было решением уравнения (1)
z '  V1 ' y1  V2 ' y2  V1 y1 ' V2 y2 ' (2)
Подберем V1 ( x) и V2 ( x) так, чтобы сумма V1 ' y1  V2 ' y2  0 , тогда:
z '( x)  V1 y1 ' V2 y2 '
z ''( x)  V1 ' y1 ' V1 y1 '' V2 ' y2 ' V2 y2 ''
Так как z- решение (1), то подставим это в уравнение (1)
V1 ' y1 ' V1 y1 '' V2 ' y2 ' V2 y2 '' pV1 y1 ' pV2 y2 ' gV1 y1  gV2 y2  f ( x)
V1 ( y1 '' py1 ' qy1 )  V2 ( y2 '' py2 ' qy2 )  (V1 ' y1 ' V2 ' y2 ')  f ( x)
 V ' y V ' y  0
(3)
(**)  1 1 2 2
V1 ' y1 ' V2 ' y2 '  f ( x)
Систему (**) относительно 2-х неизвестных V1 ' и V2 ' решаем по Крамеру:
W ( y1 , y2 )   
y1 y2
y1 ' y2 '
13
V1 ' 
0
f ( x)
y2
  f ( x) y2
y2 '
y1
0
 y1 f ( x)
y1 ' f ( x)
 f ( x ) y2
V1  
dx
W
f ( x) y1
V2  
dx
W
V2 ' 
27. Линейные ДУ высших порядков
ДУ n-ого порядка называется уравнение вида ( x, y, y,..., y ( n ) )  0
Для определен.решенения необходимо задать n постоянных
С пост.коэф.:
y ( n )  a1 y ( n 1)  ...  an yn  f ( x)
1) f ( x)  0  однородное уравнения
y  e kx
kn  a1k ( n 1)  a2 k ( n  2)  an  0 - характеристическое уравнение.
k1 , k2 ,..., kn - корни характеристического уравнения.
Если
все
корни
–
различные
действительные
 y  c1ek1x  c2e k2 x  ...  cn e
числа
kn x
Каждой паре комплексных сопр.корней будет соответствовать e x (c1 cos  x  c2 sin  x)
2) f ( x)  0
f ( x)  e x ( Pe( x) cos  x  Qm( x)sin  x)
z ( x)  x s e x ( Pn( x) cos  x  Qn( x) sin  x)
n  max(e, m) S- кратность корня
28.Вронскиан, его свойства.
Средством изучения линейной зависимости систем функций является так называемый
определитель Вронского.
Для 2-х дифференцируемых функций y1  y1 ( x) и y2  y2 ( x) вронскиан имеет вид
W ( x) 
y1
y2
y1
y2
Если дифференцируемые функции y1 ( x) и y2 ( x) линейно зависимы на (a;b), то
определитель Вронского на этом интервале тождественно =0.
Если функции y1 ( x) и y2 ( x) линейно независимые решения на интервале (a;b), то
определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в ноль.
29.Преобразования Лапласа.
Пусть f(x) – функция действительной переменной t, назовем ее оригиналом, если она
обладает следующими свойствами:
1. f(t)  0, при t<0
2. f(t) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода и точки устранимого
разрыва на любом конечном интервале.
3. существует такое M>0 и S0  0, что для всех t  0
f(t).
14
f (t )  MeS0t , S0- показатель роста
Прим: функция Хевисайта (единичная функция)
1, _ t  0
0, _ t  0
 (t )  u (t )  
Пусть f(t) – произвольная функция, являющаяся оригиналом, и p=a+bi – комплексное
число такое, что Re p  S0.
Преобразованием Лапласа называется выражение

 pt
F ( p)   e
f (t )dt
F(p) – изображение f(t)
0

F ( p) 
 ( f (t ), p)  f ( p)
F ( p)
f (t )
0
Всякому оригиналу соответствует изображение
Любой линейной комбинации оригиналов соответствует линейная комбинация их
изображений
k=1,2,…n
f (t ) F ( p)
ê
ê
n
n
c f (t )

ê ê
k 1
 cê Fê ( p)
k 1
30.Свойства преобразований Лапласа
1.Линейность. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная
комбинация
изображения. f1 (t )
const. c1 f1 (t )  c2 f 2 (t )
2.Подобие. Если f1 (t )
F1 ( p) ,
f 2 (t )
F2 ( p) ,
и
C1
C2
–
c1F1 ( p)  c2 F2 ( p)
F1 ( p) ,   0
то
аргумент оригинала на положительное число
аргумента на это число.
3.Смещение (затухание). Если
f1 (t )
f ( t )
 p
F   , то есть
 
1
умножаем
 приводит к делению изображения и его
F1 ( p) , a-const, то eat * f (t )
F ( p  a) ,
at
e
т.е. умножение оригинала на функцию
влечет за собой смещение переменной p.
e pt F ( p) , то
4. Запаздывание. Если f1 (t ) F1 ( p) ,   0 , то f (t   )
есть запаздывание оригинала на положительную величину
 pt
e
оригина без запаздывания на
.
5. Дифференцирование оригинала.
f '(t )
pf ( p )  f (0)
f ''(t )
p 2 f ( p )  pf (0)  f '(0)
f '''(t )
p 3 f ( p )  p 2 f (0)  pf '(0)  f ''(0)
15

приводит к умножению
6. Дифференцирование изображения.
F '( p)
t * f (t )
F ''( p)
t 2 * f (t )
7.Интегрирование оригинала.
t

F ( p)
p
f ( ) d
0
8.Интегрирование изображения.

f (t )
t
 F ( p)dp
p
9.Умножение изображений.
t
F1 ( p)* F2 ( p)
 f ( ) f (t   )d  f * f
1
2
1
2
0
10.Умножение оригиналов.
  i
1
f1 (t )* f 2 (t )
F1 ( z )* F2 ( p  z )dz

2 i  i
31.преобразование Лапласа элементарных функций.
1. f (t) Найти изображение процесса начавшегося t=t0 и закончившегося t=t1.
2.Найти изображение функции f(t), имеющей разное аналитическое задание на различных
участках вещественной оси.
Удобно представить единичный импульс [t0;t1] следующим образом:
0, t  t0

 (t )  1, t0  t  t1
0, t  t
1

,
 (t )  U (t  t0 )  U 0 (t  t1 )
Пример:
0, t  0
2, 0  t  1

f (t )  4,1  t  2
1, 2  t  3

0, t  3
16
f (t )  2(u (t )  u (t  1))  4(u (t  1)  u (t  2)) 
(u (t  2)  u (t  3))  2u (t )  2u (t  1)  3u (t  2)  u (t  3)
L( f (t ), p) 
2 2  p 3 2 p 1 3 p
 e  e  e
p p
p
p
32. Свертка. Свойства свертки.
f1 (t ) , f 2 (t ) - оригиналы.
Сверткой f1 (t ) и f 2 (t ) называется интеграл
Свойства свертки:
1. f1  f 2 - оригинал
t
f1 (t ) * f 2 (t ) = f 0 f1 (t   ) f 2 ( )d
2. f1  f 2 = f 2  f1
3. ( f1  f 2 )  f3 = f1  ( f 2  f3 )
4. f1  ( f 2 + f3 )= f1  f 2 + f1  f3
33.Применение преобразования Лапласа
уравнений.
ДУ II порядка с постоянными коэффициентами.
x(0)  x0
x  ax  bx  f (t )
x(t ), x(t ), x(t ), f (t ) - оригиналы.
b
x(t )
при
решении
дифференциальных
x(0)  x0
X
a
x(t ) pX  x(0)
1 x(t ) p 2 X  px(0)  x(0)
f (t ) F ( p )
X ( p 2  ap  b)  px0  x(0)  ax(0)  F ( p)
F ( p)  ( p  a) x(0)  x(0)
X
p 2  ap  b
X ( p)(èçî áð) x(t )(î ðèãèí àë)
ДУ с постоянными коэффициентами n-ого порядка.
an x ( n ) (t )  an 1 x ( n 1) (t )  ...  a0 x(t )  f (t ) , где a1 , a2 ,...an - числа; x(t ), x(t ),...x( n ) (t ), f (t ) оригиналы.
x(0)  x0
x ( n ) (0)  x0 ( n )
x(0)  x0
…
an ( p n X  p n 1 x0  ...  x0( n 1) )  ...  a0 x  F ( p )
F ( p ) Gn 1 ( p )
X ( p) 

Qn ( p ) Qn ( p )
Qn ( p)  an p n  an 1 p n 1  ...  a1 p  a0
F ( p)
если x0  x0  ...  x0 ( n )  0  X ( p) 
Qn ( p)
34.Линейные однородные системы дифференциальных уравнений.
17
 dy1
 dt  a11 (t ) y1  ...  a1n (t ) yn

(*) 
 dy
 n  an1 (t ) y1  ...  ann (t ) yn
 dt
ak1 (t ) - функция, непрерывная на интервале (a;b), называется коэффициентом, система
называется линейной однородной системой ДУ I порядка.
 y1 
a1n 
 a11
 


 y2  - вектор
y
(
t
)

A(t )  

 
a

a
 
nn 
 n1
 yn 
dy
 A(t ) y - краткая запись системы (*)
dt
Решением данной системы называется совокупность функций y1 , y2 ,..., yn - непрерывных
на интервале (a;b), удовлетворяющих условию (*) и образующих каждое уравнение
системы (*) в тождество.
Задача Коши для системы (*) – это задача для нахождения решений этой системы,
удовлетворяющих начальным условиям. Пусть система (*) имеет решения
yi  yi (t , c1 , c2 ,...cn ) ; yi - общее решение. Система решений называется линейно
на интервале (a;b), если из равенства c1 y1  c2 y2  ...  cn yn  0
 c1  c2  ...  cn =0
Чтобы найти общее решение системы (*), надо найти и линейно независимое решение
системы, тогда y  c1 y1  c2 y2  ...  cn yn
Общее решение линейной неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами
dy
 Ay
A  aik , где aik - числа
dt
независимой
 1 et  a111 et  ...  a1n n  et

t
t
t
 2  e  a211 e  ...  a2 n n  e


 n  et  an11 et  ...  ann n  et
y1  1et
y2   2 e  t
yn   n e  t
Однородная система ДУ имеет решение, если  =0 ( 1   2  ...   n  0 )

a11  
a12
a1n
a21
a22  
a21
0
an1
an 2
ann  
характеристическое уравнение
 - собственные числа. Многочлен имеет n корней
n
1. если все корни характеристического уравнения различны, то:
18
y   e pt c p p
p 1
2. если 1 имеет кратность m, то y1  e1t p1 (t ) , где p1 (t ) - полином степени (m-1)
Пример:
 dy1
1 2  4
 dt  y1  2 y2
1 
2
1  3
=0

2 1 
 dy2  2 y  y
2  1
1
2
 dt
 2 2   c1 
1
  3; 
    0; c1  c2 ; 1   
 y1  c1e3t  c2et
 2 2   c2 
1
ответ: 
3t
t
 2 2   c1 
1
 y2  c1e  c2e
  1; 

0;
c


c
;


 
 
1
2
1
 2 2   c2 
 1
35.Решение систем дифференциальных уравнений операционным методом.
Рассмотрим задачу Коши.
 2 x  y   x  1
y(0)=x(0)

 x  3 y   2  0
L(x,p)=X
L(y,p)=Y
L( x, p )  pX
1

(2 p  1) X  pY 
p
L( y, p )  pY


1
 pX  (3 p  2)Y  0
L(1, p ) 
p
2 p 1
p

 5 p2  7 p  2
p
3p  2
1
1  p
0
X
p
3p  2
3p  2

p
1
2  p
0
p
 1
3p  2
1
3p  2

 разлож.на дроби  перевести изображение в оригинал.
 2 p(5 p 2  7 p  2)
19