УДК 511.2 В.И.Рахман `Mirabilem sane` доказательстве

УДК 511.2
В.И.Рахман
‘Mirabilem sane’ доказательстве-1637
( реконструкция )
Представленное Пьером Ферма доказательство случая биквадратов
в ‘последней теореме’ (ПТФ)
не является основанием для сомнений
в наличии у него неизвестного полного,
имеет и
т.к. частный случай с N = 4
незамысловатое доказательство.
Действительно, достаточно считать в уравнении условия теоремы :
XN + YN = ZN, -
[1]
X, Y и Z попарно простыми, N – простым числом или N = 4, - и принять
за X слагаемое, взаимно простое с таким N, чтобы в форме :
ZN - YN = XN, -
[2]
левая часть оказалась произведением двух взаимно простых скобок
(Z - Y )( ZN-1 + ZN-2YN +…), приравниваемых соответственно двум взаимно
простым сомножителям числа X в роли независимых параметров :
X ≡ QP,
P > Q ≥ 1, -
что даёт необходимое условие существования попарно простой тройки
Ферма (ТФ*, как и ТФ – примитивных подобий ТФ* - с общим множителем) :
Z - Y = QN, -
[3]
а также - алгебраическое уравнение порядка N–1
для
Y или
Z:
(Y + QN)N - YN = QNPN = ZN – (Z - QN)N , все корни которого удовлетворяют необходимому условию [3].
При
N = 2 это решение представляет собою старинный рецепт
получения всех оригинальных (попарно простых) троек Пифагора (ТП*) :
(нечётн.)
X = QP,
Y = (P2 – Q2)/2 ,
Z = (P2 + Q2)/2.
Рассмотрение в качестве ТП* уравнения для биквадратов :
Z4 - Y4 = X4 = Q4P4
даёт по [4] натуральные числа
с
разностью
как
(Z2)2 - (Y2)2 = (X2)2 = (Q2P2)2, -
Y2 = (P4 – Q4)/2
и
Z2 = (P4 + Q4)/2
Z2 - Y2 = Q4 > Z –Y.
Это несоответствие
X,Y,Z-тройки в
Z4 - Y4 = X4
условию [3] доказывает правоту ПТФ для N = 4.
необходимому
[4]
Но и уравнение
эквивалентно уравнению ТП* :
Z2m - Y2m = X2m
(Zm)2 - (Ym)2 = (Xm)2 = (QmPm)2 , что
по [4]
даёт аналогично разность
необходимому условию
[5]
Zm - Ym = Q2m,
Z - Y = Q2m по [3] только при
удовлетворяя
m = 1, так что
ПТФ верна для всех чётных N.
Тождество 4ab ≡ (a + b)2 - (a - b)2
при
a = PN и
b = QN имеет вид :
PNQN ≡ [( PN + QN)/2] 2 - [ (PN - QN)/2 ] 2, -
[6]
разности квадратов одночленов, и нечётность N вынуждает согласовать
уравнение
ZN - YN = PNQN с тождеством [6]
достаточной поправкой :
(ZN + W) - (YN + W) = PNQN,
где W - функция P, Q и N, такая что :
и
ZN = [( PN + QN)/2]2 - W
YN = [(PN – QN)/2]2 - W.
Теперь необходимое условие существования ТФ* принимает вид :
(Z – Y) /QN = {[PN + QN)/2]2/Q - W/Q}1/N - {[PN- QN)/2]2/Q - W/Q}1/N = F(V,N,P,Q) = 1.
F в [7] как функция действительной переменной W монотонно растёт :
(NQN) F’W = {[PN - QN)/2]2 – W }1/N -1 - {[PN + QN)/2]2 – W }1/N -1 > 0, имея пределы на границах области определения W € ( - ∞, [PN - QN)/2]2 ) :
lim W -> - ∞ = 0
и
уравнение [2] как
lim Y -> 0 = {[PN + QN)/2]2 - [(PN – QN)/2]2}1/N = PQ, т.е.
Z– Y = X
с
N = 1.
В силу монотонности F(V; N,P,Q) единственно
выполнение
по [7]
необходимого условия [3] при W = 0, - т.е. для ТП* по [5] и лишь с N = 2.
Поэтому ПТФ справедлива.
*
*
*
Пьеру Ферма не хватило места на полях «Арифметики» Диофанта
не только для демонстрации своего изобретения начал матанализа :
не изложил он и причину невозможности представить разность Z4 - Y4
даже квадратом, хотя обе задачи сводятся к паре обычных ТП*:
Z4 - Y4 = X4 ≡ Q4P4
даёт тройки
Z2 – Y2 = Q4
и
Z2 + Y2 = P4 ;
Z4 - Y4 = X2 ≡ Q2P2
даёт тройки
Z2 – Y2 = Q2
и
Z2 + Y2 = P2 , -
[7]
общим в этих парах несовместимых троек Пифагора является наличие
двух одинаковых элементов Z, Y, но и для любых двух различных ТП*
Z12 – Y12 = X12
и
Z22 – Y22 = X22 :
X2 = Z1 и
X1 = Z2
абсурдно, т.к. Z1 , Z2 максимальны в своих тройках, а
X2 = Z1 и
Y2 = Y1
ведёт к
Z14 – Y14 = (Z2X1) 2
Z22 – Y12 = Z12 , т.е.
предположение
Z12 + Y12 = Z22 ,
и
к
после перемножения с первым уравнением. В случае
аналогично получается
разность биквадратов
X1 = Z2 и Y1 = Y2
Z24 – Y24 = (Z1X2) 2.
Т.о., ПТФ для N =4 запрещает ТП* с ровно двумя общими числами
( что было независимо доказано в 1988 г. методом бесконечного спуска).
*
*
*
Аннотация. Уравнение «последней теоремы» Ферма (ПТФ) в форме
ZN - YN = XN,
где N достаточно быть простым числом или N = 4,
Z, Y, X попарно просты, X и N взаимно просты, и X ≡ QP задан
взаимно простыми P > Q,_ тождественно определяет необходимое
условие
Z – Y = QN существования «троек Ферма», а
4ab ≡ (a + b)2 - (a - b)2 при подстановке
тождество
a = PN и b = QN выявляет
невозможность выполнить это необходимое условие при N > 2, с помощью начал матанализа, созданных Пьером Ферма.