УДК 511.2 В.И.Рахман `Mirabilem sane` доказательство

УДК 511.2
В.И.Рахман
‘Mirabilem sane’ доказательство-1637
( реконструкция )
Представленное Пьером Ферма доказательство случая биквадратов
в ‘последней’ теореме (ПТФ)
не является основанием для сомнений
в наличии у него неизвестного полного,
имеет и
т.к. частный случай с N = 4
незамысловатое доказательство.
Действительно, достаточно считать в
XN + YN = ZN
[1]
X, Y и Z попарно простыми, N – простым числом или N = 4, - и принять
за X слагаемое, взаимно простое с таким N, чтобы в форме :
ZN - YN = XN, -
[2]
левая часть оказалась произведением двух взаимно простых скобок
(Z - Y )( ZN-1 + ZN-2YN +…), приравниваемых соответственно двум взаимно
простым сомножителям числа X в роли независимых параметров :
X ≡ QP,
P > Q ≥ 1, -
что даёт необходимое условие существования попарно простой тройки
Ферма (ТФ*, как и ТФ - продуктов умножения элементов ТФ* на общее число) :
Z - Y = QN, -
[3-1]
и алгебраическое уравнение порядка N–1
для
Y или
Z:
(Y + QN)N - YN = QNPN = ZN – (Z - QN)N .
При
[3-2]
N = 2 это решение представляет собою старинный рецепт
получения всех оригинальных (попарно простых) троек Пифагора (ТП*) :
т.е.
(нечётн.)
X = QP,
(нечётн.)
X2 = Q2P2,
Y = (P2 – Q2)/2 ,
Z = (P2 + Q2)/2 , -
Z2 = (P2 + Q2)2/4,
Y2 = (P2 – Q2)2/4.
Рассмотрение в качестве ТП* уравнения для биквадратов :
Z4 - Y4 = X4 = Q4P4
как
даёт по [4-1] натуральные числа
с
разностью
(Z2)2 - (Y2)2 = (X2)2 = (Q2P2)2, Y2 = (P4 – Q4)/2
и
Z2 = (P4 + Q4)/2
Z4 - Y4 = X4
необходимому
Z2 - Y2 = Q4 > Z –Y.
Это несоответствие
X,Y,Z-тройки в
условию [3-1] доказывает правоту ПТФ для N = 4.
[4-1]
[4-2]
Но и уравнение
эквивалентно уравнению ТП* :
Z2m - Y2m = X2m
(Zm)2 - (Ym)2 = (Xm)2 = (QmPm)2 , что
по [4-1]
даёт аналогично разность
необходимому условию
Zm - Ym = Q2m,
Z - Y = Q2m по [3-1] только при
удовлетворяя
m = 1, так что
ПТФ верна для всех чётных N.
Тождеству
4ab ≡ (a + b)2 - (a - b)2
отвечают при a = P2 и b = Q 2
все ТП* по [4-2] с парами взаимно простых нечётных p > q :
(PQ) 2 ≡ [( P2 + Q2)/2] 2 - [ (P2 – Q2)/2 ] 2.
При
a = PN
и
b = QN,
это тождество принимает вид :
(PQ) N ≡ [( PN + Q N)/2] 2 - [ (PN - QN)/2 ] 2, и это означает, что разность
[5]
ZN - YN тождественно
выражений обязательно в чётной степени , так что
равна
разности
уравнение :
ZN - YN = XN = (PQ) N ≡ [ ( PN + Q N)/2] 2 - [ (PN - QN)/2 ] 2, при
нечётном N не нарушит тождество [5] лишь с помощью W ≠ 0 :
ZN = [( PN + Q N)/2] 2 + W
и
YN = [( PN - Q N)/2] 2 + W , -
[6]
где W - некая функция от P, Q, N, причём W - не целое число, если
P и Q имеют разную чётность , задавая чётный X при нечётном N.
Однако, из [6] очевидно, что при любом значении W, включая ноль,
Z - Y = {[ ( PN + Q N)/2] 2 + W }1/ N
не может быть равно
как в [4-1]
и
в
QN
при
-
{[ ( PN - Q N)/2] 2 + W }1/ N
N>2,-
тождестве для взаимно простых скобок и P, Q :
ZN - YN ≡ (Z - Y)( ZN-1 + ZN-2 Y + … + YN) = QNPN, т.е. необходимое условие невыполнимо, и ПТФ верна для всех N.
*
*
*
Правдоподобно предположение, что Пьеру Ферма не хватило места
на полях «Арифметики» Диофанта именно для строгого
доказательства
невозможности равенства Q N и выражения [7], - как и на разъяснение
причины непредставимости
разности биквадратов даже квадратом, хотя
обе задачи для неё сводятся к решению пары обычных уравнений ТП*:
Z4 - Y4 = X4 ≡ Q4P4
даёт тройки
Z2 – Y2 = Q4
и
Z2 + Y2 = P4 ;
Z4 - Y4 = X2 ≡ Q2P2
даёт тройки
Z2 – Y2 = Q2
и
Z2 + Y2 = P2 , -
[7]
общим в этих парах несовместимых троек Пифагора является наличие
двух одинаковых элементов Z, Y, но и для любых двух различных ТП*:
Z12 – Y12 = X12
и
Z22 – Y22 = X22
предположение
абсурдно, т.к. Z1 , Z2 максимальны в своих тройках, а
ведёт к
Z22 – Y12 = Z12 , т.е. Z12 + Y12 = Z22 , и к
Т.о., не
разность биквадратов
Z2 = X1
X2 = Z1 и
Y2 = Y1
Z14 – Y14 = (Z2X1) 2 , -
после перемножения с первым уравнением. В случае
аналогично получим
и
Z1 = X2
X1 = Z2 и Y1 = Y2
Z24 – Y24 = (Z1X2) 2.
существуют две ТП* с ровно двумя
общими
числами
( что и показал в 1988 г. методом бесконечного спуска T.Verhoeff ).
Прямое доказательство этого для разности биквадратов элементарно,
когда
Z
и Q ≥1 - простые числа в любой степени.
Тогда существуют
единственные решения уравнений ТП* по [4-1] , и невозможность общих
значений
Y очевидна для
Z2 – Y2 = Q2 и P2 -Y2 = Z2 ( …= Q4 и P4 - … ) :
Y = (Q2 – 1)/2 ≠ (Z2 – 1)/2 с
*
*
*
Q ≠ Z
( и то же для Q4 ).
Аннотация. Уравнение «последней» теоремы Ферма (ПТФ) в форме
ZN - YN = XN,
где N достаточно быть простым числом или N = 4,
Z, Y, X попарно просты, X и N взаимно просты, и X ≡ QP задан
взаимно простыми P > Q, _ тождественно определяет необходимое
условие
Z – Y = QN существования «троек Ферма», а
4ab ≡ (a + b)2 - (a - b)2 при подстановке
тождество
a = PN и b = QN выявляет
очевидную невозможность выполнить это необходимое условие
при N > 2, что подтверждает справедливость ПТФ.
Два разных экземпляра [5] - и с попарно простыми одночленами :
4a1b1 ≡ (a1 + b1)2 - (a1 - b1)2 ;
[6-1]
4a2b2 ≡ (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2, -
[6-2]
Тогда ещё одно мыслимое для не совпадающих
равенство, например,
(a1 - b1)2 = (a2 + b2)2
[6-1] и [6-2]
даст
4a1b1 = a12 + b12 - a22 - b22 ;
4a2b2 ≡ (a1 - b1)2 - (a2 - b2)2, -
[6-1]
[6-2]