Данная тема недостаточно полно изложена в действующих

РЕШЕНИЕ ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧ, УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ И НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И НА ДЕЛИМОСТЬ
Гафурова Венера Азатовна, учитель математики высшей кв категории
МБОУ “Лицей №2 г.Буинска РТ”
В данной статье изучаются математические основы решений диофантовых уравнений, выделены основные методы решения избранных задач, уравнений в целых и натуральных числах и на делимость, приводится система тренировочных упражнений для закрепления каждого из рассмотренных методов.
Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, однако эти уравнения широко используются в различных разделах математики, предлагаются на олимпиадах, в заданиях на ЕГЭ. В связи с этим является актуальным вопрос более глубокого изучения методов решения диофантовых уравнений.
Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики,
а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на вступительных
экзаменах в вузы.
В данном реферате выделены основные методы решения уравнений в натуральных и целых числах и приводится система тренировочных упражнений для
закрепления каждого из рассмотренных методов. Некоторые уравнения, которые
рассматриваются, предлагались на районных, городских, областных олимпиадах.
Методы решения уравнений в натуральных и целых числах степени выше
первой:
1. Решение уравнений методом разложения на множители.
2. Решение уравнений методом нахождения наибольшего общего делителя.
3. Решение уравнений с двумя переменными как квадратных относительно какойлибо переменной.
4.Решение уравнений методом спуска или рассеивания
Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами. Для которых надо
найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух. Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями.
Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в.
Решение уравнений методом нахождения наибольшего общего
делителя
Наибольшим общим делителем двух или нескольких натуральных чисел называется наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.
Обозначим наибольшего общего делителя чисел а и b: НОД (а, b).
В частном случае, когда наибольший общий делитель двух чисел равен 1, эти
числа называют взаимно простыми.
1) Натуральные числа а и b, где
а > b, взаимно просты. Найдите все значения
наибольшего общего делителя чисел а + b и а – b.
Решение: Положим НОД (а + b, а – b)=d. Тогда (а + b) : d, (а – b) : d.
Следовательно, сумма и разность чисел а + b и а – b делятся на d. Сумма этих
чисел равна 2а, а разность – 2b. Получаем 2а: d, 2b: d.
Но числа а и b по условию взаимно просты, поэтому 2 делится на d: 2b: d. Отсюда
d=1 или d=2. Оба ли эти случая возможны? Оба: d=1, если числа а и b- разной
четности, и d=2, если они четны.
Ответ: 1 или 2.
2) Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых равна 288, а наибольший
общий делитель -36.
Решение: обозначим искомые числа через а и b.
Так как их наибольший делитель равен 36, то а=36k, b=36n,
где k и n- взаимно простые натуральные числа. Тогда
a + b=288, 36k+36n=288, k + n=8.
Чему же равны из последнего уравнения k и n? Или 7 и 1, или 5 и 3. отсюда на
ходим a и b.
Ответ: 252, 36; 180, 108.
Решение уравнений методом разложения на множители.
Решите уравнение в целых числах x 2  y 2  91
Решение. Разложим левую часть данного уравнения на множители: x  y x  y   91
Так как 91  1 91  911  13  7  7 13   7 13 , то решение данного уравнения
сводится к решению восьми систем:
x  y  1
 x  y  91
1. 
(46;45)
 x  y  91
x  y  1
(46;-45)
 x  y  91
 x  y  1
(-46;45)
 x  y  13
x  y  7
(10;-3)
 x  y  13
 x  y  7
(-10;3)
2. 
 x  y  1
(-46;-45)
 x  y  91
4. 
x  y  7
 x  y  13
(10;3)
6. 
 x  y  7
 x  y  13
(-10;-3)
8. 
3. 
5. 
7. 
Ответ: (46;45), (46;-45), (-46;-45), (-46;45), (10;3), (10;-3), (-10;-3), (-10;3).
Решите в натуральных числах 2 x 2  5xy  12 y 2  28
Решение: Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого
перепишем уравнение в следующем виде: 2 x 2  3xy  8xy  12 y 2  28
Применяя способ группировки, получим 2x  3 y x  4 y   28
Так как x, y – натуральные числа, то x  4 y  N и x  4 y  5 , тогда возможны следующие случаи:
1.
2 x  3 y  1
(8;5)

 x  4 y  28
2.
2 x  3 y  4

x  4 y  7
3.
2 x  3 y  2
решений в натуральных числах нет

 x  4 y  14
решений в натуральных числах нет
Ответ: (8;5).
Решение уравнений с двумя переменными как квадратных
относительно одной из переменных.
Решите в целых числа x 2  xy  y 2  x 2 y 2
Решение. 1) Очевидно, x  0, y  0 - решения уравнения.
2) Найдем другие целые решения данного уравнения.
Перепишем уравнение в вид y 2  1x 2  yx  y 2  0
(*)
Исследуем уравнение (*).
1-й случай. Если y 2  1  0, то y  1; y  1. При y  1 имеем x  1  0, x  1 Z ; (1;1).
При y  1 имеем  x  1  0, x  1 Z ; (1;1).
2-й случай. Если y 2  1  0, то y  1.
Уравнение (*) является квадратным относительно переменной x, тогда
x1, 2 



y  y 2  4 y 2 y 2 1
y  4y2  3

2 y 2 1
2 y 2 1



Так как y  Z , то 4 y 2  3  a 2 , где a  Z .
Найдем целые значения переменной y, удовлетворяющие уравнению
4 y 2  a 2  3, 2 y  a 2 y  a  3
1.
2 y  a  1

2 y  a  3
2.
2 y  a  1

2 y  a  3
y  1(a  1)
или
y  1(a  1)
2 y  a  3

2 y  a  1
или
4 y  4, y  1(a  1)
2 y  a  3

2 y  a  1
y  1(a  1)
y  1 уже найдены. Значит, данное уравнение имеет три пары решений (0;0),
1;1), (1;1).
Ответ: (0;0), (-1;1), (1;1).
Решите систему уравнений
 x  y  z  3
 2
 x  y 2  z 2  1
(-
Решение. Выразив x через y из первого уравнения, получим после подстановки во
второе уравнение y 2  z  3 y  z 2  3z  1  0
(*)
Это уравнение является квадратным относительно y с коэффициентами, зависящими от z . Его дискриминант D  3z 2  2 3z  1   3z  1
2
Из этого следует, что уравнение (*) имеет решение, если


2
3z  1  0 , z 
1
.
3
Далее находим y и x .
 1 1 1 
;
;
 .
 3 3 3
Ответ: 
Решение уравнений методом спуска или рассеивания.
Задача 1. Решить в целых числах уравнение 5x + 8y = 39.
Решение:
1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его
через другое неизвестное: x = (39 – 8y)/ 5. Выделим целую часть: x = 7 – y + (4 –
3y)/5.
Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y)/5. Это возможно тогда, когда число 4 – 3y без остатка делится на 5. Вводя переменную z,
последнее уравнение запишем в виде: 4 –3 y = 5z.
Мы пришли к уравнению такого же типа как и исходное уравнение, но уже с
меньшими коэффициентами. Решать относительно переменных y и z.
2. y= (4 – 5z)/3 = 1- z + (1 – 2z)/3
1-2z=3u
3. z=(1-3u)/2=(1-u)/2-u
1-u=2v
4. u=2v-1 - дробей больше нет, спуск закончен.
5. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала
z, потом y и затем x.
z=(1-u)/2-u=(1-1+2v)/2-1+2v=3v-1,
z=3v-1.
y=(4-5z)/3=(4-5(3v-1))/3=3-5v,
y=3-5v.
x=(39-8y)/5=(39-8(3-5v))/5=3+8v,
x=3+8v.
6. Формулы x=3+8v, y=3-5v представляют общее решение исходного уравнения
в целых числах.
7. Если необходимо получить только не отрицательные целые числа, то среди
всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x?0, y?0, то есть
3+8v?0,
3-5v?0.
Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v=0. В этом случае
x=3, y=3.
Литература
1.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика. №42, 1999 года.
2.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика. №44, 1999 года.
3.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика. №46, 1999 года.
4.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика. №47, 1999 года.
5.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика. №48, 1999 года.
6.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика.№3, январь 2000 года.
7.Е. Галкин «Задачи с целыми числами», еженедельное приложение к газете
«Первое сентября» Математика.№7, февраль 2000 года.
8.Галицкий М. Л., Мошкович М.М., Швацбург С.И. «Углубленное изучение алгебры и математического анализа», Москва, Из-во «Просвещение», 1990 год.
9.Савин А.Н. Энциклопедический словарь юного математика Москва.: Из-во
Педагогика, 1989г.
10. Типовые тестовые задания ЕГЭ 2010, 2012 гг.