XI Поволжская научная конференция учащихся им. Н.И.Лобачевского Секция: геометрия Исследовательская работа

XI Поволжская научная конференция учащихся им. Н.И.Лобачевского
Секция: геометрия
Исследовательская работа
Математическое искусство
Макарова Юлия, 10 класс
Направляющая организация:
СОШ №25
Научные руководители:
учитель Добрынина Е.А.
Казань 2010
Содержание
Введение
стр. 2
Невозможный мир?!
стр. 3
От проекции к макету
стр. 8
Доступное искусство
стр. 11
Заключение
стр. 15
Список литературы
стр. 16
Введение
Почему мы иногда "видим" то, чего не существует в действительности?
Объяснение данного феномена можно найти в любом учебнике по
психологии. Оптические иллюзии - это обман нашего мозга. Когда мы
рассматриваем двумерную картину, наш мозг пытается преобразовать
изображение в трехмерное, в соответствии со своим опытом. Но
преобразование порой оказывается неточным, поскольку плоская картинка не
дает нам возможности рассмотреть изображенный объект с разных точек, не
дает эффекта глубины. Иногда эти неточности приводят к тому, что мы
"видим" объекты, существование которых невозможно с математической
точки зрения. Создание таких невозможных объектов стало целым
направлением искусства.
Целью данной работы является исследование становления и развития
имп-арта, исследование основных приемов создания невозможных фигур,
возможность конструирования трехмерных объектов, проекцией которых
являлась бы невозможная фигура.
Невозможный мир?!
В 50-х годах XX в. в европейской и американской живописи и графике
зародился особый вид абстрактного искусства, получивший название оп-арт,
которое является сокращением от английского optical art – оптическое
искусство.
Художники
оп-арта
использовали
различные
зрительные
иллюзии, создаваемые комбинациями однородных геометрических фигур,
линий и цвета, для достижения эффектов движения объектов на плоскости и
в пространстве. Оп-арт получил всемирную известность в 1965г. после НьюЙоркской выставки «Чувствительный глаз» в музее современного искусства.
Выставка вызвала широкий резонанс у публики и с этого момента оп-арт
развивается как отдельное направление искусства. Признанным лидером
этого направления был Виктор Вазарелли, который, в частности, изложил
основные принципы направления в «Желтом манифесте».
В рамках оп-арта выделилось самостоятельное направление имп-арт,
использующее особенности отображения трехмерных объектов на плоскости
для достижения ощущения «невозможности» фигуры. Дословно имп-арт
означает невозможное искусство (impossible art).
Основателем имп-арта считается шведский художник
Оскар Реутерсвард. Хотя различные элементы невозможности
встречаются в работах Уильяма Хогарта («Frontispiece: Satire
on False Perspective», 1754), Питера Брейгеля («Сорока на
виселице», 1568) и Марселя Дюшампа («Apolinere Enameted»,
Frontispiece: Satire on
False Perspective
1916-1917), подавляющую часть работы и исследований в этой
области совершил именно Реутерсвард. В автобиографии художник
рассказывает о «рождении» первой невозможной фигуры: «С точки зрения
искусства я – дитя пуризма 1920-х годов, то есть наиболее
строгого и аскетического ответвления кубизма. Уже моя первая
невозможная фигура определила этот чистый и простой тон. Она
появилась случайно, когда я в 1934г. в последнем классе гимназии на уроке
«чиркал» в учебнике латинской грамматики, рисуя в нем геометрические
фигуры. Это был псевдотреугольник, который у математиков называется
треугольником Реутерсварда».
Но
наиболее
известны
и
любимы
математиками работы голландского художника
графика Мориса Корнелиуса Эшера. Плохое
здоровье
не
образование
позволило
Эшеру
получить
архитектора,
и,
благодаря
природному таланту, он стал художником. В
1936 г. Эшер создает свою первую картину
невозможной реальности «Still life with street». В
Still life with street
период с 1950 по 1960г. он создал свои наиболее известные картины, в том
числе с невозможными конструкциями. Эшер был известен не только как
художник, но и как лектор. В 1954 г. на одной из его лекций присутствовал
известный английский математик и физик-теоретик Роджер Пенроуз.
Впоследствии он создает невозможный треугольник, независимо от
Реутерсварда, который называет tribar (трехбалочник). При создании
трехбалочника
Пенроуз
применяет
линейную
перспективу,
вместо
параллельной, которую использовал Реутерсвард, что усиливает ощущение
невозможности.
В 1958 г. Роджер Пенроуз совместно со своим отцом – профессором в
области
медицины
–
Лайонелом
Пенроузом
публикует
статью
о
невозможных объектах в Британском журнале психологии.
В
статье
подробно
описываются
две
классические
невозможные фигуры (или фигуры-призраки): треугольник
Пенроуза
и невозможная лестница, которая впоследствии
стала прообразом картины М. Эшера «Восхождение и спуск»
(1960г.). Статья давала профессиональную информацию о
Бельведер
принадлежности
невозможных
конструкций
к
миру
математики. Невозможные фигуры впервые в истории рассматривалась с
научной точки зрения. Одна из фигур, как уже
говорилось, была представлена под названием
трехбалочник и состояла из трех балок, образующих
псевдотреугольник. Публикуя эту конструкцию,
Пенроуз хотел продемонстрировать психологам
"новый вид оптической иллюзии", то есть фигуру, состоящую из трех
приемлемых частей, которая с помощью неприемлемых соединений этих
частей создает иллюзию с математической точки зрения невозможной
структуры.
Из воспоминаний Оскара Реутерсварда: «Когда мой взгляд впервые упал
на этот трехбалочник, я был потрясен. Мне казалось, что я вижу свой
собственный псевдотреугольник. При более внимательном рассмотрении я
заметил, что это не так. В фигуре Пенроуза три балки нарисованы по
правилам перспективы, а затем насильно соединены в псевдореалистическую
фигуру с ложно показанными дистанционными отношениями. Мой
невозможный
треугольник
и
все
мои
другие
фигуры,
напротив,
принадлежали к свободным формам изометрической системы и избежали
всех деспотических требований перспективы».
Иллюзия
Пенроуза,
называемая
иногда
иллюзией
невозможного
треугольника, объясняется «ложной перспективой». Двумерное изображение
не позволяет нам видеть сцену с различных точек зрения, приблизиться к
объекту или рассмотреть его со всех сторон. Оно не дает нам и эффекта
глубины, которую реальный объект имел бы. Эффект глубины возникает изза того, что наши глаза смотрят на объект с двух разных точек, и наш мозг их
совмещает в одно изображение. Плоский рисунок представляет сцену только
с одной определенной точки зрения. Примером такого рисунка может быть
фотография, сделанная при помощи обычного фотоаппарата.
При использовании таких иллюзий, рисунок кажется на первый взгляд
обычным представлением твердого тела в перспективе. Но при более
близком рассмотрении становятся видны внутренние противоречия такого
объекта. И становится ясно, что такой объект не может существовать в
действительности.
Если закрыть любой из углов трехбалочника, то существование такой
фигуры не вызывает сомнений и иллюзия становится вполне понятной.
«Ложная
перспектива»
заключается
в
том,
что
глубина
рисунка
двусмысленна. Все параллельные линии изображаются параллельными, даже
если они наклонены по отношению к наблюдателю. Объект, имеющий угол
наклона, направленный от наблюдателя, выглядит точно так же,
как если бы он был наклонен к наблюдателю на тот же угол.
Такой
прием
рисования
использовался
в
китайском
изобразительном искусстве, поэтому такую перспективу иногда
называют китайской.
Также иллюзию несуществующих конструкций могут вызывать и
фотографии
реально
существующих
объектов,
сконструированных
специальным образом и сфотографированных под определенным углом.
Классическим примером является невозможный ящик, сделанный из дерева.
От проекции к макету
Некоторые полагают, что невозможные фигуры нельзя спроектировать в
трехмерном пространстве. Но это не так. Из школьного курса геометрии нам
известно, что чертеж, изображенный на листе бумаги, является проекцией
трехмерной
фигуры
на
плоскость.
Следовательно,
любая
фигура,
нарисованная на листе бумаги должна существовать в трехмерном
пространстве. Причем трехмерных объектов, при проецировании на
плоскость которых, получается заданная плоская фигура бесконечное
множество. Это же относится и к невозможным фигурам.
Созданием трехмерных объектов, проекцией
которых
была бы
невозможная фигура, занимался сотрудник токийского университета Кокичи
Сугихара (Kokichi Sugihara), работающий в отделении информатики. Им
были разработаны конструкции, которые можно склеить из бумаги. По его
разверткам мы собрали две фигуры.
Copyright © Kokichi Sugihara, 1997.
Невозможная лестница
Примеры показывают, что создание невозможных фигур оказывается вполне
посильной задачей.
Вдохновленные фигурами Сугихары, мы попытались создать одну из
многочисленных фигур Реутерсварда
Процесс мы разделили на несколько этапов:
1) выделили «возможный» элемент;
2) сделали для него развертку;
3) добавили элементы «невозможности».
Доступное искусство
При
современном
профессиональным
развитии
художником,
технологий
чтобы
создавать
не
свои
надо
быть
уникальные
произведения имп-арта. Существуют различные программы в свободном
доступе, позволяющие легко и просто реализовать свои идеи.
Создан российский онлайн сервис Voxelart project для создания
изображений из кубиков. Попробовать свои силы может каждый. Мы, для
примера, воссоздали несколько из известных картин.
Исходный рисунок
Полученный рисунок
Далее представлены невозможные фигуры, разработанные нами.
Заключение
Движение имп-арт активно развивается и по сей день. К когорте
художников и математиков в наш высокотехнологичный век не могли не
присоединиться программисты. Чуть ли не каждый день создаются новые
невозможные картины, или конструируются трехмерные макеты из
различных материалов. Трудно представить, но только Реутерсвард создал
около 2500 различных невозможных фигур.
В 1999 году в aвстралийском городе Перт появилась необычайная
достопримечательность. Продукт совместной работы двух людей художника
Брайна МакКея (Brian McKay) и архитектора Ахмада Абаса (Ahmad Abas) –
огромная фигура "невозможного треугольника" была воздвигнута в парке
Клайзебрук, что в восточном районе Перта. Скульптура как дань
воображению человека, его способности «видеть» невероятное, пытаться
постичь невозможное.
Список литературы
1) Бахмин В.И. Фотографирование невозможных объектов - журнал
«Квант», 1971, №5. – С.27-29.
2) Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты - журнал «Квант»,
1971, №5. – С.26.
3) Скоренко Т. Невозможного нет: реальная лестница Эшера - журнал
«Популярная механика». - М.: ООО «Фэшн-Пресс», 2010. - №1.
4) Dmitry Rakov->Scince&Art / Web-мастер Dmitry Rakov – Режим
доступа: http://www.rakov.de, свободный. – Загл. с экрана. – Яз. рус.,
англ.
5) Impossible.info; раздел Impossible World / Web-мастер Влад Алексеев
– Режим доступа: http://im-possible.info/russian, свободный. – Загл. С
экран. – Яз. русс., англ.
6) http://www.simplex.t.u-tokyo.ac.jp/~sugihara/