Определение невозможных фигур
реклама
МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №92 с углубленным изучением отдельных предметов» X XII научно-практическая конференция школьников «Мы- будущее России» Секция «Математика» Тема: «Невозможные фигуры вокруг нас» Автор работы: Титов Илья, ученик 6В класса Научный руководитель: Коваленко Ольга Алексеевна, учитель математики Кемерово 2015 Оглавление Введение ..................................................................................................... Error! Bookmark not defined. История возникновения невозможных фигур .......................................................................................... 3 Определение невозможных фигур ............................................................................................................. 5 Виды невозможных фигур .......................................................................................................................... 6 Создание невозможных фигур ................................................................................................................... 9 Применение невозможных фигур ............................................................................................................ 10 Заключение. ................................................................................................ Error! Bookmark not defined. Список литературы .................................................................................... Error! Bookmark not defined. 2 Введение С древних времен люди пытались изображать животных, предметы быта, пейзажи на скале, глиняной дощечке, бересте, а позднее на бумаге и холсте. Понадобилось ни одно столетие, пока они научились объемные тела изображать на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Чтобы изображать на листе бумаги объемный предмет мы не задумываемся над тем, как же можно его, имеющего три измерения / длину, ширину и высоту / втиснуть в бумагу, которая имеет всего два измерения. Значит, нужны условности, которые позволяют поверить в трехмерность изображения. Меня заинтересовали фигуры, которые на первый взгляд кажутся обычными, а присмотревшись к которым создается впечатление, что существовать в реальном мире они не могут. Такие фигуры получили название невозможных фигур. Я захотел узнать о них. Невозможные фигуры – это один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры. Создаётся иллюзия невозможности существования такой фигуры в трёхмерном пространстве. Невозможные фигуры – это объекты, имеющие отношение к математике, изобразительному искусству и психологии. Невозможные фигуры уже несколько веков привлекают внимание людей. Гипотеза: в нашей жизни нет ничего невозможного, главное знать под каким «углом» смотреть! Целью работы является изучение невозможных фигур. Задачи работы: 1. Рассмотреть виды невозможных фигур. 2. Найти области применения невозможных фигур. 3. Научится строить невозможные фигуры. История возникновения невозможных фигур Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом. 3 В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой «приходится» додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями.[1] Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована Мадонна с младенцем. [2] На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности. Несмотря на это, систематическое их изучение началось лишь в середине XX века. Основоположниками глубокого изучения невозможных фигур можно считать голландского художника Морица Корнилиса Эшера, шведского художника Оскара Реутерсварда и английского математика Роджера Пенроуза. В 1934 году Оскар Реутерсвард случайно создал свою первую невозможную фигуру – треугольник, составленный из девяти кубиков. Оскар Реутерсвард родился в 1915 году в городе Стокгольме Швеция. Он обучался рисованию под руководством русского иммигранта профессора Академии Искусств в Санкт-Петербурге Михаила Каца и создал более 2500 различных невозможных фигур. В 1954 году математик Роджер Пенроуз после лекции М.К. Эшера независимо от Реутерсварда заново открывает невозможный треугольник, но использует линейную, а не параллельную перспективу и соединяет вершины треугольника сплошными линиями, что усиливает эффект. Роджер Перноуз родился в Англии 8 августа 1931 года. [1] Он является выдающимся учёным современности, который активно работает в различных областях математики, общей теории относительности и квантовой теории и является членом Лондонского королевского общества. У него очень много наград, таких как премия Вольфа, медаль Дирака, премия Альберта Эйнштейна и медаль Королевского общества. В 1958 году Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом публикует статью в Британском журнале по психологии, после которой невозможными фигурами заинтересовываются не только математики. 4 Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей[3]. В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами». Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства. Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Эшер создал много работ, в которых изображал «невозможные фигуры», т.е. картины с нарушенной логикой пространства. Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Наиболее интересная работа – литография «Водопад» – основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада. Определение невозможных фигур До сих пор не существует чёткого определения невозможных фигур. Мною было найдено несколько различных подходов к определению этого понятия. Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры[2]. Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формальноматематической геометрией. Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно. 5 Как правило, чтобы трехмерная модель невозможной фигуры выглядела невозможной, она должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности. Необходимо прояснить различие между терминами «невозможная фигура», «невозможный объект» и «трехмерная модель». Трехмерная модель – это физически представимый объект, при рассмотрении которого в пространстве становятся видимыми все щели и изгибы, которые уничтожают иллюзию невозможности и данная модель теряет свое «волшебство». При проецировании данной модели на двухмерную плоскость получается невозможная фигура. Эта невозможная фигура (в отличие от трехмерной модели), создает впечатление невозможного объекта, который может существовать только в воображении человека, но не в пространстве. Виды невозможных фигур Удивительный треугольник – трибар. Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как «трехмерную прямоугольную структуру». Она также получила название «трибар». С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы. Геометрические фигуры – лучшие источник вдохновения для изобретения невозможных объектов. Например, возьмем простой куб. Каждый день мы видим их в огромном количестве в той или иной форме, как вы легко можете видеть из иллюстрации на соседней странице. Для построения этой фигуры мы взяли один из трибаров с предыдущей страницы и разбили его на кубы. При этом ничего не изменилось: новая фигура так же совершенно невозможна, как и предшествующая ей! Эта фигура, состоящая из 12 кубов, была сконструирована на чертежной доске с помощью прямоугольного треугольника с углами в 30 и 60°. Чертежный треугольник использовали для того, чтобы вписать каждый куб в общую перспективу чертежа. Эффект невозможности, для создания которого использована эта перспектива, достигается неправильным расположением на переднем и заднем плане рядов кубов. Поэтому же принципу строится и трибар. Другими словами, рисунок основан на неправильном соединении правильных рядов кубов. 6 Следующую фигуру чаще всего называют «Бесконечной лестницей», «Вечной лестницей» или «Лестницей Пенроуза» – по имени ее создателей. Ее также называют «непрерывно восходящей и нисходящей тропой». «Бесконечная лестница» – одна из самых известных классических невозможностей. [1] Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году Лайонелом и Роджером Пенроузами вместе с трибаром и другими примерами зрительных иллюзий в British Journal of Psychology. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути. Если бы вам, в самом деле, пришлось пройти по этой лестнице, вы бы бесцельно поднимались и спускались по ней бесконечное число раз. Можно назвать это нескончаемым сизифовым трудом! С тех пор как Пенроузы опубликовали эту фигуру, она появлялась в печати чаще, чем какой-либо другой невозможный объект. «Бесконечную лестницу» можно встретить в книгах об играх, головоломках, иллюзиях, в учебниках по психологии и другим предметам. «Бесконечной лестницей» с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей чарующей литографии «Восхождение и нисхождение», созданной в 1960 году. В этом рисунке, отражающем все возможности фигуры Пенроуза, вполне узнаваемая «Бесконечная лестница» аккуратно вписана в крышу монастыря. Монахи в капюшонах непрерывно движутся по лестнице в направлении по часовой стрелке и против нее. Они идут навстречу друг другу по невозможному пути. Им так и не удается ни подняться наверх, ни спуститься вниз. Соответственно, «Бесконечная лестница» стала чаще ассоциироваться с Эшером, перерисовавшим ее, чем с Пенроузами, которые ее придумали. Несколько лет назад был снят фильм «Бесконечная лестница». В этом фильме мячик скачет на этой лестнице по кругу. Для усиления эффекта с каждым подпрыгиванием мячика звучит музыкальная нота, с каждым шагом вверх она поднимается на более высокий тон, но ноты не выходят за пределы октавы. После нескольких ступенек вверх наступает пауза, и следующий тон звучит октавой ниже, но наш мозг этого не воспринимает. Мячик и музыка в фильме «Бесконечная лестница» создают аудиовизуальную иллюзию» невозможную вдвойне. Рассмотрим следующий пример – пространственную вилку. 7 Поскольку трудно одновременно рассматривать правую и левую стороны фигуры, то сразу сложно понять, что данный предмет – невозможен. Каждая из сторон, если рассматривать их отдельно, возможна в двухмерном изображении, но невозможна, если рассматривать объект в целом с одной точки. Проблема возникает из-за двусмысленности в восприятии глубины. Мы не получаем достаточно информации о том, как расположены части фигуры, и, соответственно, непонятно, на что мы, собственно, смотрим. Проблема состоит в том, чтобы угадать положение среднего зубца. Если посмотреть на фигуру слева, то все три зубца располагаются на одном уровне, другими словами, у них одинаковые параметры пространства и глубины. А когда вы смотрите на фигуру справа, средний зубец как бы «проваливается» в сравнении с двумя внешними. Так где же именно расположен средний зубец? Очевидно, что он не может существовать в двух местах одновременно. Путаница происходит из-за того, что вы пытаетесь смотреть на эту фигуру как на трехмерный объект. «Космическая вилка» основана на принципе неправильных соединений, которые возможны в двухмерной плоскости или на двухмерной поверхности, но никак не в трехмерном пространстве. В «Космической вилке» использовано то обстоятельство, что зубец с круглым сечением может быть нарисован с помощью пары параллельных линий. Перекладина же с квадратным сечением – с помощью трех линий. Иллюзия основана на том, что две параллельные линии образуют круглое сечение с одной стороны, прибавляя же к ним третью параллельную линию, мы получаем квадратное сечение – с другой. Для усиления противоречия все линии строго параллельны в пространстве. Если бы вы смогли сделать поперечное сечение в середине «Космической вилки» – вырезать из нее ломтик, как из батона, – как, по-вашему, он бы выглядел? В иллюстрации представлены две разновидности «Космической вилки». Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго, штат Иллинойс, в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. [4] 8 «Волшебная» фотография этой фигуры была опубликована в июньском номере Scientific American magazine от 1966 года. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с «Сумасшедшим ящиком», в результате чего эта фигура вошла в классическую «Большую Четверку» вместе с «Невозможным треугольником», «Бесконечной лестницей» и «Космической вилкой». Первоначально автор назвал ее «Свободным ящиком» и заявил, что она была «сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве». Многие также замечали, что ящик вполне подходит для помещения в него разных штуковин и других неопознанных объектов. «Сумасшедший ящик» – это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко, но какого-либо последовательного решения нет. Как и многие другие невозможные объекты, «Сумасшедший ящик» основан на неправильных соединениях, допущенных при рисовании. Непосредственным предшественником «Сумасшедшего ящика» была «невозможная коробка», которую держит сидящий мальчик в знаменитой гравюре Эшера «Бельведер» (1958). Предшественником; невозможной коробки Эшера был, в свою очередь, куб Неккера. Он не является невозможным объектом, однако представляет собой фигуру, в, которой параметр глубины может восприниматься неоднозначно. Куб Неккера был впервые описан в 1832 году швейцарским кристаллографом Льюисом А. Неккером, который заметил, что кристаллы иногда зрительно меняют форму, когда на них смотришь[3]. На куб Неккера можно посмотреть как на плоскость, располагающуюся в двухмерном пространстве. Однако, из-за особенностей зрения, нам легче воспринимать трехмерные объекты, чем двухмерные. Когда мы вглядываемся в куб Неккера, то замечаем, что грань куба с точкой находится то на переднем, то на заднем плане, она перепрыгивает из одного положения в другое. Наше восприятие ищет этому подходящее объяснение. Но остается загадкой, насколько наш опыт и накопленные знания влияют на восприятие. Эти факторы очень важны при создании удивительных фигур, но как и в кубе Неккера, они «замедляют» восприятие. Создание невозможных фигур Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п. Исходя из этого, мы можем взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже. 9 Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен русским художником и конструктором Вячеславом Колейчуком и опубликован в журнале «Техническая эстетика» №9 (1974). Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно. Он создал такую модель треугольника из дерева. Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт. Применение невозможных фигур Невозможные фигуры в иконописи Христианство очень редко использовало модели несуществующих фигур, но их изображения часто встречаются на иконах и фресках. До нашего времени сохранилось не так уж и много моделей невозможных фигур в храмах. Самым известным из них является изображение невозможного треугольника расположенного на экране перед алтарем. Он находится в церкви Святой Троицы, простроенной бенединскими монахами с 1150 по 1550 годы. Впоследствии она была разрушена, в 1869 году – восстановлена и перестроена. Изображения невозможных фигур встречается на иконах и фресках. Обычно это невозможная колоннада. Основание средней колонны удалено от зрителя. До сих пор исследователи не пришли к выводу о том, является такая конструкция замыслом художника или ошибкой. С моей точки зрения это было вызвано необходимостью вынести центральный образ на первый план и расширения пространства иконы. В качестве примера можно привести изображение «Мадонна с младенцем» с миниатюры из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене[1]. 10 На иллюстрации изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект сюрреалистичности. К этой же группе можно отнести фреску из церкви Марии города Бреда (Голландия). Фреска была вскрыта под более поздними слоями в 1902 году и датируется концом XV века. На иконе «Страшный суд» (ранний период) в верхнем регистре слева располагается изображение Небесного Иерусалима в виде города, обнесенного стенами с множеством башен и ворот. Внутри него, за восемью престолами, представлены святые по чинам: апостолы, мученики, преподобные, отшельники (юродивые), пророки, святители, мученицы и преподобные жены. Постепенно это изображение всё больше стилизировалось и упрощалось. К середине XV века в верхнем регистре иконы уже находилась арка с невозможными перекрытиями. [2] Эти фрески были созданы Евгением Матько в Покровском храме в Воронежской области. На каждой из них можно видеть невозможные конструкции. Оформление часовни Рождества Богородицы возле деревни Ижевцы в Черновецкой области (Украина). На фресках изображено большое количество невозможных фигур, что является характерным приемом художника. В большинстве других примеров использования невозможных конструкций в иконописи появление невозможных конструкций связано, скорее, с ошибками художников, нежели осознанными намерениями Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур. В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник. Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру. Но стоит подойти с другой стороны, и тогда невозможная фигура станет совсем реальным сооружением. В качестве примера невозможных фигур в архитектуре можно привести так 11 называемые Кубические дома. Они были построены в 1984 году в Роттердаме (Нидерланды) архитектором Пиетом Бломом. Дома развернуты на угол в 45 градусов и расположены по шестиугольной сетке. Конструкция состоит из 32 кубов, соединенных друг с другом. Каждый кубический дом состоит из четырех этажей. На первом этаже – вход, на втором – кухня и гостиная, на третьем – спальня и ванная комната, на четвертом этаже часто устраивают оранжерею. Крыши домов, окрашенные в белый и серый цвета, при взгляде сбоку напоминают горные пики, покрытые снегом. Этот комплекс зданий обладает еще одним интересным свойством. С высоты птичьего полета здания образуют конструкцию, выглядящую как невозможная фигура. Скульптура невозможного треугольника во дворе бельгийско отеля в деревне Ophoven. Скульптура выполнена из дерева и полиэстерола. Треугольник только кажется «невозможно» при просмотре с определенным углом. Фотография справа показывает, как это выглядит, если смотреть с других ракурсов. Эта скульптура была создана Матье Hamakers[3]. Невозможные фигуры в живописи В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм («невозможность») – изображение невозможных фигур, парадоксов. Интерес к импоссибилизму разгорелся к 1980 году. Этот термин был введен в обращение Тедди Бруниусом, профессором искусствоведения копенгагенского университета. Термин этот точно определяет то, что входит в это новое понятие: изображение предметов, которые кажутся реальными, но не могут существовать в физической реальности. Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант optical art – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости. Наиболее известными представителями оп-арте являются Морис Эшер, венгерский художник Иштван Орос, фламандский художник Жос Де Мей, швейцарский художник Сандро дель Пре. Британский художник Джулиан Бивер – один из самых известных художников этого направления, который изображает свои шедевры не на бумаге, а на улицах города, стенах городских домов, где ими могут любоваться все. 12 Невозможные фигуры в филателистке В 1982 году по заказу правительства Швеции Оскаром Реутерсвардом были выполнены марки с изображениями невозможных фигур. Марки выпускались ограниченным тиражом, сегодня они являются большой редкостью и пользуются большим спросом среди филателистов. В ближайшее время планируется очередной их тираж. Первая же из таких марок была посвящена математичскому конгрессу в Инсбруке (Австрия), проходившему в 1981 году. За основу взят невозможный ящик Эшера. Шведские марки с изображениями знаменитых фигур Оскара Реутерсварда, выпущенные в 1982 году. Невозможные фигуры в оформительском искусстве. Не редко невозможные фигуры используются для оформления обложек журналов. На обложке первого номера 2008 года журнала «Математика в школе» изображен коллаж из фрагментов картин бельгийского художника Жоса де Мея. Здесь можно увидеть двух частых персонажей картин художника – сову и человека с кубом. Сова для бельгийцев является символом теоретических знаний, и в то же время прозвищем глупого человека. Человек с невозможным кубом является в свою очередь одним из героев литографии М.К. Эшера «Бельведер», которого позаимствовал де Мей для своих картин. Именно де Мей окрасил одежду этого персонажа в характерные голландские цвета. Также можно увидеть другие фрагменты из картин бельгийского художника – большую невозможную конструкцию, расписанную математическими формулами, а также табличку с магическим квадратом Дюрера. В оформлении обложек учебников по алгебре для 7 класса традиционно используются невозможные фигуры. Невозможные фигуры в мультипликации Интерес к невозможным фигурам отразился и в мультипликации и кинематографе. В 1986 году на экраны выходит музыкальная сказка «Лабиринт», в которой юная девушка Сара попадает в крепость, которая представляет собой сооружение с искаженными измерениями и гравитацией, почти в 13 точности повторяющим обстановку известной картины М.К. Эшера «Относительность». Кто в детстве не смотрел мультфильм «В синем море, в белой пене...», снятом на студии «Арменфильм» в 1984 году. В фильме рассказывается сказка о том, как маленький мальчик освобождает из кувшина Короля Моря, после чего тот похищает мальчика и утаскивает его на дно моря. В начале мультфильма есть сцена, в которой присутствуют нарушения перспективы. В них Король Моря оперирует с объектами, находящимися от него на большом расстоянии так, как будто просто маленького размера и находятся рядом с ним. Ниже представлены несколько скриншотов из этой сцены. В современном популярном американском анимационном сериале Финес и Ферб, рассказывается о том, как проводят летние каникулы два сводных брата. Каждый день они затевают новый грандиозный проект В 35 эпизоде второго сезона «Фуфельная сторона Луны» братья строят самое высокое здание в мире, которое достигает луны. Одна из комнат здания повторяет Относительность Эшера. Невозможные фигуры в логотипах и символике Известно использование невозможных фигур в массовой культуре. Посмотрите на логотип французской автомобильной компании Renault. В 1972 году её символом стал невозможный четырёхугольник. Позже в 1992 году невозможная фигура изменилась, она стала немного проще. Этот же символ был взят за основу мексиканским математическим сайтом. А 16 июня 2003 году поисковая система Google в честь дня рождения М.К. Эшера изменила свой логотип на один день, взяв за осно14 ву работу М. К. Эшера «Рисующие руки» 1948 года. Многие современные фирмы также берут за основу для своих логотипов невозможные фигуры. Особой популярностью пользуются невозможный треугольник и четырёхугольник. Вот примеры логотипов реально существующих фирм, в начертании которых присутствуют невозможные фигуры. Логотип мебельного магазина Мебельные галлюцинации. Невозможное кольцо является логотипом компании Swirlyspace, занимающей разработкой приложений для iPhone. Как правило, чтобы трехмерная модель невозможной фигуры выглядела невозможной, она должна рассматриваться с какого-то определенного угла обзора, чтобы возникла иллюзия невозможности. Это условие не позволяет нам видеть сцену с различных точек зрения, приблизиться к трехмерному объекту или рассмотреть его со всех сторон. Именно на это основан один из экспонатов познавательно-развлекательный центр «Галилео» в г. Новосибирск. Заключение Невозможные фигуры заставляют наш разум сначала увидеть то, чего быть не должно, затем искать ответ — что же сделано не так. А ответ найти порой не так — то просто — он скрыт в оптическом, психологическом, логическом восприятии рисунков. Изучив литературу по теме, я понял, что невозможное возможно и нереальные фигуры можно сделать своими руками. Рассмотрев способы построения невозможных фигур, я смог нарисовать свои невозможные фигуры. Мне удалось показать, что все невозможные фигуры могут существовать в реальном мире. Невозможные фигур широко используются в современной рекламе, промышленной графике, плакате, оформительском искусстве и логотипах различных фирм, найдется ещё много областей, в которых будут использоваться невозможные фигуры. Таким образом, можно сказать, что мир невозможных фигур чрезвычайно интересен и многообразен. Работа может быть использована на занятиях по математике для развития пространственного мышления учащихся. Все это позволяет говорить об актуальности изучаемой темы. 15 Список литературы 1. Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с. 2. Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26 3. Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с. 4. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с. 16
