Дополнительная литература

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственный университет 
Высшая школа экономики
Факультет бизнес-информатики
Отделение прикладной математики
Программа дисциплины
Анализ и поддержка решений
для направления 010500 "Прикладная математика и информатика"
(специальности 010500.68 "Математическое моделирование")
подготовки магистра
Автор программы д.т.н. проф. Подиновский В.В.
Рекомендовано секцией УМС
_________________________
Одобрено на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Председатель
Зав. кафедрой
_____________ __________
_____________ Ф.Т. Алескеров
________________
" __" __________ 200_ г.
" __ " ______________ 200_ г.
Утверждено УС факультета
_____________
Ученый секретарь
_______________
______________
" __ " _________ 200_ г.
Москва  2008
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название темы
Аудиторные часы
СамостояСеминарские тельная
Лекции
работа
занятия
Раздел I. Математическое описание проблемной ситуации
1
Математическая модель проблемной
ситуации
11
2
2
7
2
Модели предпочтений
14
2
2
10
25
4
4
17
Всего
Раздел II. Многокритериальные задачи принятия решений
3
Многокритериальные модели
предпочтений
14
3
2
9
4
Оптимумы Парето
15
3
3
9
14
2
4
8
13
2
2
9
13
2
2
9
5
6
7
Методы сведéния многокритериальных
задач к однокритериальным
Методы целевого программирования и
анализа иерархий
Итеративные методы анализа
многокритериальных задач
8
Теория важности критериев
15
4
3
8
9
Интервальные оценки замещений
12
2
2
8
Всего
96
18
18
60
Раздел III. Задачи принятия решений в условиях неопределенности
10
11
12
Задачи принятия решений в условиях
вероятностной неопределенности
Задачи принятия решений в условиях
полной неопределенности
Задачи принятия решений в условиях
частичной неопределенности
Всего
Итого
17
4
4
9
12
2
2
8
12
2
2
8
41
8
8
25
162
30
30
102
Базовые учебники
1. Хрестоматия по учебной дисциплине «Теория и методы анализа решений».
М.: ГУ-ВШЭ, 2006 (далее  Хрестоматия 1).
2. Хрестоматия по учебной дисциплине «Теория и методы принятия
многокритериальных решений». М.: ГУ-ВШЭ, 2005 (далее  Хрестоматия 2).
2
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Формы контроля
Текущий контроль – аудиторная контрольная работа (модуль 1), домашнее задание
(модуль 5).
Промежуточный контроль: два письменных зачета (70 мин., модули 3 и 4).
Итоговый контроль: письменная экзаменационная работа (80 мин., модуль 5).
Оценки за контрольные работы ОКР3 и ОКР4, домашнее задание ОДЗ, работу студента
на семинарских занятиях в третьем, четверном и пятом модулях ОС3, ОС4 и ОС5, зачеты в
третьем и четвертом модулях ОЗ3и ОЗ4 , экзаменационную работу ОЭ, а также итоговая
оценка студента за дисциплину в целом ОИ ставятся в десятибалльной шкале. Все эти
оценки округляются до целого числа баллов.
Зачетные оценки ОЗ3 и ОЗ4 за третий и четвертый модули определяются по
формулам:
ОЗ3 = 0,8 ОКР3 + 0,2 ОС3,
ОЗ4 = 0,8 ОКР4 + 0,2 ОС4,
Перевод этих десятибалльных оценок в зачетные осуществляется по правилу:
0  ОЗ  3 – незачет,
4  ОЗ  10 – зачет.
Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом О И
определяется по формуле
ОИ = 0,25 ОЗ3 + 0,25 ОЗ4 + 0,1 ОС5 + 0,4 ОЭ.
Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу:
0  ОИ  3 – неудовлетворительно,
6  ОИ  7– хорошо,
4  ОИ  5 – удовлетворительно,
8  ОИ  10 – отлично.
Содержание программы
Раздел I. Моделирование проблемной ситуации
Тема 1. Математическая модель проблемной ситуации
Процесс принятия решений, его участники и этапы. Теория принятия решений,
исследование операций, системный анализ и их взаимосвязь. Нормативный и
дескриптивный подходы к анализу решений.
Математическая модель проблемной ситуации. Классификации задач принятия
решений. Компьютерные системы поддержки принятия решений. Интерактивный
(диалоговый) процесс выработки решений.
Основные понятия математической теории измерений. Измерение как построение
числовой модели признака. Шкала; основные типы шкал. Адекватные утверждения.
Количественные и качественные признаки (критерии).
Основная литература
1. Кини Р., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и
замещения / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1981. Гл. 1. (Хрестоматия 2, С. 3 – 22).
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 1.4. (Хрестоматия 2, С. 171 – 174).
Дополнительная литература
1. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений / Учебник. М.: Логос, 2002.
Лекция 1.
3
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
2. Орлов А.И. Принятие решений. Теория и методы разработки управленческих
решений / Учебное пособие. М.: МарТ, 2005. 1.1, 2.2.
3. Пфанцагль И. Теория измерений. М.: Мир, 1976. Гл. 1, 2. (Хрестоматия 1, С.217 –
246).
Тема 2. Модели предпочтений
Математическая модель предпочтений; функция ценности (полезности), бинарные
отношения предпочтения и безразличия, функция выбора. Ординальные и кардинальные
функции ценности. Формирование решений; наилучшие и недоминируемые варианты; lнаилучшие и l-недоминируемые варианты. Принципы оптимальности и решающие
правила.
Основная литература
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и
коллективные решения / Учебное пособие. М.: ГУ-ВШЭ, 2006. Гл. 3.
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 1.3. (Хрестоматия 2, С. 167 – 171).
Дополнительная литература
1. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский А.А., Соколов В.Б. Теория выбора
и принятия решений / Учебное пособие. М.: Наука, 1982. Ч. I, гл. 1, 2.
2. Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. М.: Физматлит, 1974. (Изд. второе,
доп., 2007). Гл. 1.
3. Подиновский В.В. Об оценке эффективности решающих правил в многокритериальных задачах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № 1.
С. 3 – 9.
Раздел II. Многокритериальные задачи принятия решений
Тема 3. Многокритериальные модели предпочтений
Причины (источники) многокритериальности. Содержательные примеры многокритериальных задач. Векторный критерий и векторные оценки вариантов. Критериальное пространство и достижимые векторные оценки. Описание многокритериальных
предпочтений. Кривые безразличия; коэффициенты замещения (компенсации) критериев
и их интервальные оценки. Аддитивная функция ценности (свойства, условия
существования, построение и использование). Лексикографическое отношение
предпочтения.
Основная литература
1. Кини Р., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и
замещения / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1981. Гл. 2, 3. (Хрестоматия 2, С. 22 –
65).
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 2.4, § 2.8. (Хрестоматия 2, С. 188 –
191, 202  205).
Дополнительная литература
1. Березовский Б.А., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М. Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. М.: Наука, 1981. Гл.2.
2. Березовский Б.А., Барышников Ю.М., Борзенко В. И., Кемпнер Л.М. Многокритериальная оптимизация. Математические аспекты. М.: Наука, 1989. Гл.2.
4
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
3. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым
критериям. М.: Советское радио, 1972. Гл. I. (Хрестоматия 1, С. 294 – 332)
Тема 4. Оптимумы Парето
Доминирование по Парето-Эджворту. Парето-оптимальные (эффективные)
векторные оценки и варианты, их свойства (общие, в вогнутых и линейных задачах).
Устойчивость множества Парето-Эджворта; особенности его структуры. Построение и
аппроксимация множества Парето-Эджворта. Метод "стоимость-эффективность".
Основная литература
1. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. М.: МГУ, 2006. §§ 3, 5, 6.
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 1.3. (Хрестоматия 2, С. 167 – 171).
Дополнительная литература
1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит, 1982. (Изд. второе, доп., 2007). §§ 1.1 – 1.5, §§ 2.1 –
2.3, §§ 3.1 – 3.3.
2. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде.  М.: Физматлит,
2004. Гл. 1.
Тема 5. Методы сведéния многокритериальных задач к однокритериальным
Классификации методов анализа решений при многих критериях. Сведения из
психологической теории решений; возможности человека по выражению (оцениванию)
предпочтений; требования к методам решения многокритериальных задач.
Сведéние многокритериальных задач к однокритериальным (скаляризация). Метод
главного критерия. "Свертывание" векторного критерия в один обобщенный (глобальный,
интегральный) критерий; коэффициенты важности (веса) критериев. Методы SMART,
SMARTS, SMARTER.
Основная литература
1. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. М.: Наука, 1979. Гл. VI.
(Хрестоматия 2, С. 149 – 160).
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 2.7. (Хрестоматия 2, С. 196 – 202).
Дополнительная литература
1. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. М.: МГУ, 2006. § 3.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.:
Высшая школа, 2001. § 6.
3. Подиновский В.В., Потапов М.А. Методы анализа и системы поддержки принятия
решений / Учебное пособие (МФТИ). М.: Спутник плюс, 2003. §§ 2.1, 2.2.
4. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений / Учебник. М.: Логос, 2002.
Лекция 7.
5. Подиновский В.В. Применение неточной информации о критериях и
неопределенных факторах при моделировании предпочтений. I. Количественный
случай // Научно-техническая информация, сер. 2. 2003. № 12. С. 19 – 28.
(Хрестоматия 2, С. 233 – 242).
5
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Тема 6. Методы целевого программирования и анализа иерархий
Целевое программирование (GP). Оценивание удаленности векторной оценки
варианта от целевого множества (или идеальной точки). Сведéние задачи целевого
программирования при линейных критериях и ограничениях к задаче линейного
программирования.
Метод анализа иерархий (AHP). Иерархическая структура целей, критериев и
вариантов. Оценивание коэффициентов весомости критериев и значений критериев для
вариантов по результатам парных сравнений; расчет векторов приоритетов; оценка
степени согласованности результатов парных сравнений. Расчет коэффициентов
весомости критериев и приоритетов вариантов при интервальных оценках парных
сравнений.
Компьютерные системы поддержки принятия решений, реализующие методы
целевого программирования и анализа иерархий.
Основная литература
1. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.
Ч. 1. (Хрестоматия 2, С. 95 – 148).
2. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и
приложения. М.: Радио и связь, 1992. Гл. 10. (Хрестоматия 2, С. 75 – 81).
Дополнительная литература
1. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. М.: МГУ, 2006. Гл. 2.
2. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений / Учебник. М.: Логос, 2002.
Лекция 5.
3. Подиновский В.В. Задача оценивания коэффициентов важности как
симметрически-лексикографическая задача оптимизации // Автоматика и
телемеханика. 2003. № 5. С. 150 – 162.
4. Подиновский В.В., Потапов М.А. Методы анализа и системы поддержки принятия
решений / Учебное пособие (МФТИ). М.: Спутник плюс, 2003. § 2.3.
Тема 7. Итеративные методы анализа многокритериальных задач
Сущность и общая характеристика итеративных методов. Метод последовательных
уступок Е.С. Вентцель. Методы “сканирования” при помощи варьирования уровней
притязаний и весовых коэффициентов в обобщенных критериях. Методы группы
ELECTRE. Методология последовательного адекватного моделирования предпочтений
(итеративно-фрагментарного подхода).
Основная литература
1. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 2.9 (Хрестоматия 2, с. 174 – 209).
2. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992. Гл. 10. (Хрестоматия 2, С. 81 – 95).
Дополнительная литература
1. Гафт М.Г., Подиновский В.В. О построении решающих правил в задачах
принятия решений // Автоматика и телемеханика. 1981. № 6. С. 128 – 138.
(Хрестоматия 1, С. 256 – 276).
2. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений / Учебник. М.: Логос, 2002.
Лекция 6.
3. Лотов А.В., Поспелова И.И. Конспект лекций по теории и методам многокритериальной оптимизации. М.: МГУ, 2006. Гл. 2.
6
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
4. Озерной В.М. Гафт М.Г. Методология решения дискретных многокритериальных задач // Многокритериальные задачи принятия решений / Под ред. Д.М.
Гвишиани, С.В. Емельянова. М.: Машиностроение, 1978. С. 14 – 47.
(Хрестоматия 1, С. 247 – 264).
5. Подиновский В.В., Потапов М.А. Методы анализа и системы поддержки принятия
решений / Учебное пособие (МФТИ). М.: Спутник плюс, 2003. § 2.3.
6. Подиновский В.В., Гаврилов В.М. Оптимизация по последовательно применяемым
критериям. М.: Советское радио. 1972. Гл. III. (Хрестоматия 1, С. 333 – 346).
Тема 8. Теория важности критериев
Предмет теории важности критериев. Однородные критерии. Основные определения
качественной и количественной важности. Непротиворечивость, содержательность и
полнота информации о важности. Решающие правила (комбинаторные и алгебраические).
Задачи с равноважными критериями; симметрически-лексикографические задачи
оптимизации. Методы теории важности критериев в процедурах последовательного
адекватного моделирования предпочтений.
Компьютерные системы поддержки принятия решений, реализующие методы теории
важности критериев.
Основная литература
1. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных
задачах принятия решений / Учебное пособие. М.: Физматлит, 2007.
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 2.3. (Хрестоматия 2, С. 182 – 187).
Дополнительная литература
1. Вилкас Э. Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. Гл.4, § 3.
(Хрестоматия 1, С. 205 – 216).
2. Подиновский В.В. Аксиоматическое решение проблемы оценки важности
критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Современное
состояние теории исследования операций / Под ред. Н.Н. Моисеева. М.: Наука,
1979. С. 117 – 145. (Хрестоматия 1, С. 277  293).
3. Подиновский В. В. Количественная важность критериев // Автоматика и телемеханика. 2000. № 5. С. 110 – 123. (Хрестоматия 1, С. 347 – 360).
4. Подиновский В.В. Количественные оценки важности критериев в многокритериальной оптимизации // Научно-техническая информация, сер. 2. 1999. №
5. С. 22 – 25. (Хрестоматия 2, С. 229 – 232).
5. Подиновский В.В. Информация о важности критериев и их шкалах в многокритериальной оптимизации // Научно-техническая информация. Сер. 2. 2005. №
1. С. 22 – 26.
Тема 9. Интервальные оценки замещений
Модель предпочтений с интервальными оценками замещений (компенсаций)
критериев. Условия непротиворечивости информации; решающие правила (общие, для
веерной и древесной структур оценок замещений).
Компьютерные системы поддержки принятия решений, реализующие методы
анализа с использованием интервальных оценок замещений.
Основная литература
1. Меньшикова О.Р., Подиновский В.В. Построение отношения предпочтения и ядра
в многокритериальных задачах с упорядоченными по важности неоднородными
критериями // Журнал вычислительной математики и математической физики.
1988. Т. 28. № 5. С. 647 – 659. (Хрестоматия 1, С. 361  374).
7
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Дополнительная литература
1. Берман В.П., Наумов Г.Е. Отношение предпочтения с интервальным
коэффициентом замещения // Автоматика и телемеханика. 1989. № 3. С. 139 –
153.
2. Меньшикова О.Р., Подиновский В.В. Отношение предпочтения с интервалами
неопределенности замещений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 6. С. 157 –
165.
3. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде.  М.: Физматлит,
2004. Гл. 2 – 4.
Раздел III. Задачи принятия решений в условиях неопределенности
Тема 10 Задачи принятия решений в условиях вероятностной неопределенности
Классификация задач принятия решений в условиях неопределенности,
практические
примеры.
Математическая
модель
неопределенных
факторов.
Субъективные и объективные (числовые) вероятности; оценивание субъективных
вероятностей.
Анализ решений при вероятностной неопределенности (риске). Функция полезности,
ее аксиоматическое задание; методы ее построения. Сравнение стратегий по ожидаемой
полезности. Парадоксы теории полезности. Личностные особенности поведения при риске
(склонность и несклонность, безразличие к риску), их формальное описание. Анализ
решений при неизвестной функции полезности, стохастическое доминирование.
Меры (числовые характеристики) риска как критерии принятия решений.
Классификация мер риска. Характеристики среднего отклонения (двусторонние и
односторонние дисперсии и средние квадратические отклонения, среднее отклонение);
пороговые характеристики  целевые (вероятность дохода ниже уровня притязаний и др.)
и квантильные (сумма под риском); комбинированные характеристики (условное среднее
хвоста и др.). Классификация математических моделей выбора с числовыми характеристиками риска (одно- и многокритериальные). Свойства и сравнительный анализ мер
риска и использующих эти меры моделей.
Основная литература
1. Кини Р., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и
замещения. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1981. Гл. 4. (Хрестоматия 1, С. 9 – 48).
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. §§ 3.1, 3.2. (Хрестоматия 2, С. 209 –
218).
Дополнительная литература
1. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталев Е.Ю., Барановская Т.П. Моделирование
рисковых ситуаций в экономике и бизнесе / Учебное пособие. М.: Финансы и
статистика, 2001. Гл. 3.
2. Льюс Р., Райфа Х. Игры и решения. Введение и критический обзор. М.: ИЛ, 1961.
Гл. 2. (Хрестоматия 1, С. 118 – 136 ).
3. Райфа Г. Анализ решений. М.: Физматлит, 1977. Гл. 1 – 6.
4. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М.: Наука, 1978. Ч. 2.
5. Шоломицкий А.Г. Теория риска. Выбор при неопределенности и моделирование
риска / Учебное пособие. М.: ГУ-ВШЭ, 2005. Ч. 1.
8
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Тема 11 Задачи принятия решений в условиях полной неопределенности
Принятие решений в условиях полной неопределенности. Принципы оптимальности
(критерии выбора решений): Вальда (гарантированного результата, максимина, или
пессимизма), лексикографического максимина; оптимизма (максимакса), лексикографического максимакса; Гурвича (пессимизма-оптимизма); Сэвиджа (максимина
сожаления); Бернулли-Лапласа (недостаточного основания). Понятие об аксиоматическом
задании принципов. Принцип максимина для частичных отношений предпочтения.
Основная литература
1. Льюс Р., Райфа Х. Игры и решения. Введение и критический обзор. М.: ИЛ, 1961.
Гл. 13. (Хрестоматия 1, С. 137 – 177).
2. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных
ситуациях / Учебник. М.: МО СССР, 1981. § 3.4. (Хрестоматия 2, С. 223 – 227).
Дополнительная литература
1. Вилкас Э. Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука, 1990. Гл.4, § 1.
(Хрестоматия 1, С. 159 – 204).
2. Жуковский В.И., Жуковская Л.В. Риск в многокритериальных и конфликтных
системах при неопределенности. М.: Едиториал УРСС, 2004. §§ 1.1 – 1.4
3. Подиновский В.В. Принцип гарантированного результата для частичных
отношений предпочтения // Журнал вычислительной математики и
математической физики. 1979. № 6. С. 1436 – 1450. (Хрестоматия 1, С. 411  429).
Тема 12 Задачи принятия решений в условиях частичной неопределенности
Анализ решений при множественных (в частности, интервальных) оценках
вероятностей значений неопределенных факторов. Задание отношений предпочтениябезразличия. Оптимизационные и алгебраические решающие правила.
Качественная вероятность (полная и частичная), проблема ее числового
представления. Принцип вероятностно-лексикографического максимина. Применение
методов теории важности критериев для анализа решений при полной и частичной
качественной вероятности.
Основная литература
1. Подиновский В.В. Применение неточной информации о критериях и
неопределенных факторах при моделировании предпочтений. I. Количественный
случай // Научно-техническая информация, сер. 2. 2003. № 12. С. 19 – 28.
(Хрестоматия 2, с. 233 – 242).
Дополнительная литература
1. Наумов Г.Е., Подиновский В. В., Подиновский Вик.В. Субъективная вероятность:
способы представления и методы получения // Известия АН СССР. Техническая
кибернетика. 1991. № 5. С. 94 – 109. (Хрестоматия 1, С. 395  410).
Тем атика заданий по разл ичным формам контроля
Аудиторная контрольная работа № 1: задачи по темам 1 – 4.
Домашнее задание: темы 5  9 [постановка студентом «своей» практической
(личной или деловой) задачи принятия решения и ее анализ методами SMART, SMARTS,
AHP, ELECTRE, методами теории важности критериев и с использованием интервалов
неопределенности замещений критериев].
9
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Экзаменационная работа: задачи и вопросы по темам 4, 6, 8, 10, 11.
Вариант аудиторной контрольной работы
ЗАДАЧА 1. Инвестор хочет выбрать два лучших интервальных ПИФа смешанных инвестиций для
вложения капитала и обращается к аналитику за консультацией. Аналитик для оценки ПИФов решает
воспользоваться методикой RICH Consulting. Согласно этой методике работа ПИФов характеризуется тремя
критериями, имеющим шкалу с пятью градациями: < , , , ,  > :
Sh  коэффициент Шарпа (характеризует умение управлять рисками);
  коэффициент альфа (характеризует среднюю доходность портфеля);
  коэффициент бета (характеризует активность управления).
Работа ПИФов в целом (рейтинг) оценивается суммой набранных ими баллов (одна звездочка – один балл).
Данные (на февраль 2006 г.) приведены в таблице:
1
Солид Интервальный
3

5
2
ЛУКОЙЛ Фонд професс.
5
3
3
11
3
Альфа-Капитал
4
3
3
10
4
АВК Фонд долгосрочный
2
3
5
10
5
Стратегия
3
3
3
9
6
Дивид. акции и корп. облигации
3
2
2
7
7
Профессиональные инвестиции
3
2
1
6
№ п/п
Фонд
Sh

4

12
Однако аналитик-консультант, опираясь на данные о значениях трех критериев, хочет предложить для
выбора инвестору не два первых фонда из таблицы, а большее их число. Раскрыть соображения аналитика.
ЗАДАЧА 2. Множество достижимых векторных оценок Y представлено на рисунке. Выделить
(жирными линиями и точками на рисунке) паретову границу. Указать, при каких значениях компоненты w1
вектора w = (w1, w2) с положительными компонентами, в сумме равными 1, точка y* будет выделена при
максимизации на Y функций L  w1 y1  w2 y2 и G  min{ y1 , y 2 } .
w1 w2
ЗАДАЧА 3. При каких условиях (свойствах
множества вариантов и критериев) можно гарантировать,
трехкритериальной задаче максимизация на X функции
F ( x)  K1( x)  min{ K 2 ( x), K3 ( x)}
y2
y*
что в
5
4
3
Y
выделит парето-оптимальный вариант? Ответ обосновать.
1
ЗАДАЧА 4. Пусть в двухкритериальной задаче y  Y
0
y10  max
0 y1 . Доказать, что y 2  min
0 y2 .
0
yY
0
и
0
1
4
5
6
y1
yY
Домашнее задание
Составить содержательную задачу выбора (личного или делового) наилучшего варианта и
решить ее методами SMART, SMARTS и AHP. Провести сравнительный анализ методов и
полученных при их помощи результатов.
Вариант экзаменационной работы
ЗАДАЧА 1. На конкурс представлены пять проектов новой системы, оцениваемой по четырем
критериям. Оценки проектов по этим критериям с четырехбалльной шкалой представлены таблицей.
10
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
Требуется ранжировать все проекты по предпочтению, последовательно применяя решающие правила,
использующие следующую информацию о важности критериев (их шкала полагается порядковой):
1)  (информации о важности нет);
2) качественная важность  = {2  3  1  4};
3) количественная важность: 2  2 3  1,5 1  4.
На основании результатов проведенных расчетов
Цель
для каждого из шагов 1) – 3) выделить множество
претендентов на лучший проект. Для этапов 2 и 3
K 12
построить
объясняющие
цепочки
для
K11
доминируемых вариантов.
ЗАДАЧА 2. Для заданной иерархической
структуры задачи выбора одного из двух
возможных вариантов размещения нового
производства найти методом анализа иерархий
лучший вариант.
Результаты парных сравнений критериев по
важности и вариантов по ценности заданы
таблицами.
2
K11
2
K12
2
K 21
2
K13
2
K 22
2
K 23
2
K 24
  
x1
x2
K0
K11
K 12
K11
2
K11
2
K12
2
K13
K 12
2
K 21
2
K 22
K11
1
½
2
K11
1
3
5
2
K 21
1
2
1
/5
⅓
K 12
2
1
2
K12
⅓
1
2
2
K 22
½
1
¼
¼
2
K13
1
½
1
2
K 23
5
4
1
3
2
K 24
3
4
⅓
1
2
K 24
x1
x2
/5
x1
1
⅓
1
x2
3
1
/5
2
K11
x1
x2
2
K12
x1
x2
2
K13
x1
x2
x1
1
2
x1
1
⅓
x1
1
4
x2
½
1
x2
3
1
x2
¼
1
2
K 21
x1
x2
2
K 22
x1
x2
2
K 23
x1
x2
x1
1
3
x1
1
8
x1
1
1
x2
⅓
1
x2
⅛
1
x2
5
2
K 23
2
K 24
ЗАДАЧА 3. Доказать, что если yPijzP0u, то либо yP0u, либо существует векторная оценка v такая,
что yP vPiju.
0
Вопросы для оценки качества усвоения дисциплины
1. Перечислите участников и основные этапы процесса принятия решений. Приведите
практические примеры.
2. Дайте общую характеристику предмета теории принятия решений, раскройте её
взаимосвязь с исследованием операций и системным анализом.
3. Перечислите и объясните смысл основных элементов математической модели
проблемной ситуации.
4. Укажите классификации задач принятия решений, приведите примеры практических
задач для каждого класса каждой из классификаций.
11
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
5. Как понимается измерение в математической теории измерений? Дайте определение
шкалы. Перечислите и охарактеризуйте основные типы шкал; приведите примеры
признаков, измеряемых в шкалах разных типов.
6. Какое утверждение называется адекватным? Приведите примеры адекватных и
неадекватных утверждений.
7. Что такое функция ценности? Как на ее основе формируются решения при различных
постановках задачи принятия решения?
8. Перечислите основные свойства бинарных отношений нестрогого предпочтения,
(строгого) предпочтения и безразличия. Объясните, почему требование
транзитивности для отношения предпочтения практически менее ограничительно, чем
для отношения безразличия.
9. Дайте определения наибольшего и недоминируемого (по отношению предпочтения)
вариантов. Для каких постановок задач эти понятия являются базовыми? Укажите
общее условие, при выполнении которого множества таких вариантов совпадают, и
докажите его.
10. Что такое внешняя устойчивость множества недоминируемых вариантов? Укажите
условия, гарантирующие внешнюю устойчивость. Почему это свойство в
математических моделях считается весьма существенным?
11. Сформулируйте свойство внешней устойчивости множества l-недоминируемых
вариантов и докажите его справедливость.
12. Сформулируйте теорему о продолжении частичного квазипорядка до полного.
Объясните, почему лексикографический порядок нельзя представить числовой
функцией.
13. Сформулируйте и докажите достаточные условия, при выполнении которых вариант,
который является точкой максимума функции, полупредставляющей отношение
предпочтения, будет недоминируемым.
14. Укажите причины (источники) многокритериальности, приведите содержательные
примеры многокритериальных задач.
15. Сформулируйте условие существования аддитивной функции ценности в
двухкритериальных задачах. Опишите ход доказательства справедливости этого
условия.
16. Сформулируйте условие существования аддитивной функции ценности в случае трех и
более критериев. Опишите ход доказательства справедливости этого условия.
17. Укажите один из методов построения аддитивной функции ценности.
18. Сформулируйте постановку лексикографической задачи принятия решения. Приведите
формулу для построения обобщенного критерия, играющего роль функции ценности в
конечных лексикографических задачах, и докажите ее справедливость.
19. Расскажите о практических приемах формирования лексикографических задач
оптимизации.
20. Раскройте смысл понятия доминируемости по Парето. Сформулируйте и докажите
свойства отношения Парето.
21. Что такое оптимум Парето, граница Парето, множество Эджворта-Парето?
22. Сформулируйте и докажите необходимые и достаточные условия Паретооптимальности для общего случая, поясните их смысл.
23. Сформулируйте и докажите теорему Гермейера, поясните её смысл
24. Сформулируйте и докажите условия Парето-оптимальности для вогнутых задач,
поясните их смысл.
25. Сформулируйте и докажите необходимые и достаточные условия Паретооптимальности для линейных задач, поясните их смысл.
26. Как построить множество Парето-Эджворта?
27. Расскажите о методе "Стоимость-эффективность".
12
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
28. Укажите классификации методов решения многокритериальных задач, дайте общую
характеристику методам каждого класса каждой из классификаций.
29. Охарактеризуйте возможности человека по оцениванию (выражению) предпочтений.
Как эти возможности следует учитывать при выборе (разработке) метода решения
многокритериальной задачи?
30. В чем суть подхода к решению многокритериальных задач путем сведéния их к
однокритериальным? В чем преимущества и недостатки (сложности применения)
такого подхода?
31. Как выглядит оптимизационная задача, к которой приводит метод главного критерия?
Проанализируйте метод с использованием понятия Парето-оптимального варианта.
Укажите порядок решения задачи этим методом; преимущества и недостатки
(сложности применения) метода.
32. Что такое обобщенный критерий (свертка), коэффициенты важности (относительные
веса) критериев? Приведите примеры обобщенных критериев, проанализируйте их при
помощи понятия Парето-оптимального варианта.
33. Укажите схему построения обобщенного критерия, порядок решения задачи методом
обобщенного критерия; преимущества и недостатки (сложности применения) метода.
34. В чем сущность метода целевого программирования? Приведите основные формулы,
используемые для расчета близости векторных оценок вариантов к целевому
множеству.
35. Расскажите об основных этапах решения многокритериальных задач методом SMART.
В чем состоит присущая ему «интеллектуальная ошибка»?
36. Расскажите об основных этапах решения многокритериальных задач методом
SMARTS. В чем его принципиальное отличие от метода SMART? Как оцениваются
веса критериев в методе SMARTS? Какие допущения, положенные в основу метода
SMARTS., ограничивают область его практического применения?
37. В чем сущность метода целевого программирования? Какие основные формулы для
расчета степени близости векторной оценки варианта к целевому множеству
используются на практике? Приведите и докажите достаточные условия, при
выполнении которых вариант, выделяемый в качестве наилучшего, будет Паретооптимальным.
38. В каких случаях и как задача целевого программирования сводится к задаче линейного
программирования?
39. На решение каких задач ориентирован метод анализа иерархий? В чем его
отличительные особенности? Каковы его преимущества и недостатки?
40. Как осуществляется сбор информации о важности критериев при помощи парных
сравнений в методе AHP? Приведите формулу, определяющую вектор приоритетов
критериев. Расскажите о приближенных методах его расчета
41. Как оценивается согласованность результатов парных сравнений?
42. Приведите несколько методов приближенного расчета коэффициентов весомости
(приоритетов) критериев и максимального собственного числа матрицы парных
сравнений. Докажите, что в случае полной согласованности результатов парных
сравнений приближенные методы дают точный результат.
43. Как рассчитываются приоритеты вариантов по каждому критерию?
44. Как вычисляются приоритеты вариантов относительно цели и выбирается лучший
вариант?
45. Раскройте сущность интерактивных процедур решения многокритериальных задач. В
чем сильные и слабые стороны интерактивных процедур?
46. Расскажите о порядке решения многокритериальных задач методом последовательных уступок Е.С. Вентцель; дайте общую оценку этому методу.
47. В чем суть методов “сканирования” паретовой границы при помощи варьирования
весовых коэффициентов в обобщенных критериях или уровней притязаний?
13
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
48. Расскажите о методах группы ЭЛЕКТРА (как строятся отношения предпочтения и
выбирается наилучший вариант). Дайте общую оценку этим методам.
49. Раскройте суть методология последовательного адекватного моделирования
предпочтений (итеративно-фрагментарного подхода). Как должны соотноситься
отношения предпочтения и безразличия, конструируемые на соседних этапах
интерактивной процедуры, реализующей эту методологию? Докажите, что множество
недоминируемых вариантов при выполнении таких условий от шага к шагу
процедуры, вообще говоря, сужается.
50. Какие критерии называются однородными?. Как практически преобразовать
неоднородные критерии в однородные?
51. Сформулируйте определения понятий «один критерии важнее другого» и «оба
критерия равноважны». Как в этих определениях использовано условие однородности
критериев? Покажите, что эти определения адекватны для критериев с порядковой
шкалой.
52. В чем проявляется противоречивость качественной информации о важности
критериев? Как корректируется такая противоречивая информация?
53. Сформулируйте и докажите решающее правило, использующее качественную
информацию о важности отдельных критериев. Покажите, что это правило адекватно
для критериев с порядковой шкалой.
54. Запишите решающее правило для случая, когда все критерии упорядочены по
важности. Покажите, что это правило адекватно для критериев с порядковой шкалой.
55. Запишите решающее правило для случая, когда все критерии равноважны, и докажите
его. Покажите, что это правило адекватно для критериев с порядковой шкалой.
56. Что такое количественная важность критериев? Как она представляется?
Сформулируйте и докажите лемму о взаимосвязи степеней превосходства в важности
и значений важности критериев.
57. Что такое N-модель и N-оценки?
58. Сформулируйте определение понятия «один критерии важнее другого в h раз».
Покажите, что это определение адекватно для критериев с порядковой шкалой.
59. Как проявляется противоречивость количественной информации о важности
критериев? Как корректируется такая противоречивая информация?
60. Запишите решающее правило, использующее количественную информацию о
важности критериев. Покажите, что это правило адекватно для критериев с
порядковой шкалой.
61. Зачем и как осуществляется совершенствование шкалы критериев? Что такое шкала
первой порядковой метрики?
62. Запишите решающее правило, использующее количественную информацию о
важности критериев со шкалой первой порядковой метрики. Покажите, что это
адекватно для такой шкалы.
63. Обоснуйте возможность использования методов теория важности критериев в
процедурах последовательного адекватного моделирования предпочтений.
64. Сформулируйте постановку задачи принятия решений в условиях неопределенности и
охарактеризуйте элементы соответствующей математической модели проблемной
ситуации.
65. Дайте классификацию задач оптимизации в условиях неопределенности, приведите
практические примеры для каждого класса задач.
66. Что такое субъективные вероятности? Как их оценивают?
67. Дайте классификацию мер (числовых характеристик) риска; укажите основные меры
для каждого класса.
68. Дайте классификацию математических моделей, использующих меры риска в качестве
критериев; приведите примеры основных моделей для каждого класса.
14
Программа «Анализ и поддержка решений». ГУ-ВШЭ, 2008 г.
69. В чем суть функция полезности? Что означает «оптимизация по ожидаемой
полезности»?
70. Приведите систему аксиом, обеспечивающих существование функции полезности на
множестве лотерей, и докажете ее существование. Покажите, что эта функция
единственна с точностью до положительного аффинного преобразования.
71. В чем ограниченность теории полезности? Приведите примеры парадоксов, связанных
с оптимизацией по ожидаемой полезности.
72. Опишите порядок построения функции полезности методом пяти точек.
73. Как формально описывается отношение ЛПР к риску? Покажите, что если ЛПР
несклонен (склонен, безразличен) к риску, то его функция полезности строго вогнута
(соответственно строго выпукла, линейна).
74. Сформулируйте решающие правила стохастического доминирования первого и
второго порядков и объясните их смысл.
75. Сформулируйте и охарактеризуйте принцип Вальда (гарантированного результата, или
максимина, пессимизма), а также принцип лексикографического максимина.
76. Сформулируйте и охарактеризуйте принцип оптимизма (или максимакса), а также
принцип лексикографического максимакса.
77. Сформулируйте и охарактеризуйте принцип Гурвица (пессимизма-оптимизма). Как
оценить показатель пессимизма-оптимизма?
78. Сформулируйте и охарактеризуйте принцип Сэвиджа (минимакса сожаления) и его
лексикографическое уточнение.
79. Сформулируйте и охарактеризуйте принцип Бернулли-Лапласа (недостаточного
основания).
80. Сформулируйте принцип максимина для частичных отношений предпочтения и
раскройте его смысл.
81. Сформулируйте принцип вероятностно-лексикографического максимина для
частичных отношений предпочтения и раскройте его смысл.
82. Как задается частичная информация о неопределенных факторах?
83. Раскройте суть возможных подходов к анализу решений в условиях частичной
неопределенности?
84. Дайте определение отношений предпочтения-безразличия при множественных (в
частности, интервальных) оценках вероятностей значений неопределенного фактора.
85. Сформулируйте оптимизационное решающее правило при множественных оценках
вероятностей. В каких случаях и как оптимизационную задачу сравнения вариантов по
предпочтению можно свести к задаче линейного программирования?
86. Приведите алгебраическое решающее правило Фишберна для случая упорядоченности
по величине вероятностей значений неопределенного фактора и докажите его при
помощи тождества Абеля.
87. Сформулируйте определение полной качественной вероятности на конечном
множестве. Всегда ли возможно ее представление числовой вероятностью?
88. Что такое частичная качественная вероятность? Какие проблемы возникают при ее
продолжении до полной?
89. Сформулируйте принцип вероятностно-лексикографического максимина.
90. Укажите пути применения методов теории важности критериев для анализа решений
при полной и частичной качественной вероятности.
Автор программы
профессор
В.В. Подиновский
15