О числе решения уравнения pnm=e на множестве перестановок

МЕЖДУНАРОДНАЯ ИНТЕРНЕТ-КОНФЕРЕНЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ
«ЮНИСТАРТ»
Направление исследования: Математика.
Название работы:
О числе решений уравнения pnm=e на множестве перестановок.
Автор работы:
Кожевников Алексей
Место выполнения работы:
Лицей №18, 9 класс, г. Сарапул
Научный руководитель:
Ицков Александр Григорьевич, доцент к п м ИжГТУ, к. ф. – м. н.
2002 г.
Введение.
Данная работа является продолжением доклада "О решении
уравнений p2=e",представленного на конференции 2001-2002 учебного года, в
которой были выделены основные свойства перестановок вида V2 , образующих
решения исходного уравнения, и получено рекуррентное соотношение для
количества элементов V2 перестановок при любом заданном n , где n – число
элементов перестановки. Если обозначить число элементов множества V2 через
an=an(V2), то рекуррентное соотношение имеет вид:
an= an - 1 + (n - 1)an – 2.
В этой работе продолжено исследование уравнения pn2 = e и получена
явная формула для числа решений уравнения pn2=e , на ее основе получены
формула для количества беспорядков на множестве V2 перестановок. На основе
разложения показателя степени m на простые сомножители в уравнении pnm= e
получены формулы вычисления числа корней для любого уравнения этого вида.
Данные результаты можно интерпретировать как способы разложения
произвольного графа на циклические компоненты. В работе, следовательно,
получены формулы для числа таких представлений.
Предварительные сведения. [1]
1. Перестановка – упорядоченное множество из n неповторяющихся элементов
(обозначение pn ).
2. Подстановка – взаимно однозначное соответствие между двумя строками:
 abcde 
S  
 , первую строку называют «операндом», вторую – «результатом».
 badec 
Перестановку можно охарактеризовать перестановкой , задаваемой нижней строкой.
3. Естественная или единичная перестановка – перестановка, где все элементы
расположены в естественном порядке, например (1234), ее обозначение – е.
4. Умножение перестановок – операция, рассматриваемая как умножение подстановок.
Пример: (2341)  (3241)
1234  1234   1234 

  
  

 2341  3241  2413 
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
Над перестановками, подлежащими операции умножения, пишутся естественные
перестановки; каждый элемент естественной перестановки переходит в элемент
находящийся под ним, далее этот элемент, который находящийся во второй естественной
перестановке, переходит в элемент находящийся под ним. В итоге элемент первой
перестановки переходит в элемент второй перестановки – множителя, который
записывается под третьей естественной перестановкой. В нашем случае 1→2→2; 2→3→4;
3→4→1; 4→1→3. То есть (2341)  (3241)  (2413)
5. Для перестановок выполняется свойство ассоциативности, но не выполняется свойство
коммутативности :
p1  ( p2  p3 )  ( p1  p2 )  p3
p1  p2  p2  p1
Основная часть.
Рассмотрим перестановку (b1....bn), возведем ее в квадрат, то есть
умножим ее саму на себя и приравняем к естественной перестановке.
 123 n   123 n  123 n 

  
  

 b1b2b3  n   b1b2b3  n  123 n 
Рассмотрим элемент b1:
 123n   123......... b1...n  123n 

  
  

b
b
b

n
b
b
b

..
1
....
n
123

n

 1 2 3
  1 2 3
 
Назовем перестановку, при возведении в степень m дающую
естественную перестановку, перестановкой вида Vm.
Так как 1 переходит в b1, то b1 в свою очередь должно переходить в 1,
если же 1 переходит в 1 , в этом случае 1 является неподвижной точкой и циклом
длины 1, в случае, когда b1≠1, b1 и 1 образуют цикл длины 2. Следовательно, для
каждого элемента k (элемент k – элемент, занимающий k-ое место в перестановке)
естественной перестановки существует элемент bk в перестановке вида V2 ,
элементы bk и k составляют цикл длины 2 или 1, и любая перестановка,
представленная произведением циклов длины 2 и/или 1 элементов является V2
перестановкой. Например:
(932654781)  V2
Выделим циклы
(932654781)=(91)(32)(64)(5)(7)(8)
в этой перестановке
3 цикла длины 2
3 цикла длины 1.
Пусть k2 - число циклов длины 2 , k1 – число элементов, образующих циклы длины
1, тогда k1 = (n – 2k2)
  n 
Понятно, что k2 может находиться в пределах 0;    .
  2 
Исходя из этого, можно представить формулу количества перестановок вида V2
при определенном количестве ее элементов - an(V2).
Число разбиений множества из n элементов на подмножества n1,n2,…,nk
равно
n!
. В нашем случае множество из n элементов разбивается на
n1! n2! nk !
подмножества, состоящие из двух и одного элементов. Следовательно, число
разбиений равно
n!
, где количество 2! это количество циклов длины 2 равное
2! 2!
k. То есть, число разбиений равно
n!
. Но, так как в этом случае перестановка
2k
будет представлена как произведение циклов длины 2 и 1 , и перемена мест циклов
в их произведении не имеет значения, мы можем записать перестановку (213) как
произведение циклов (21)(3) и как (3)(21). Поэтому количество повторных
произведений k циклов равно k!.
Пусть an=an(V2) и k=k2 тогда:
an 
n
2
 
 2 k! (n  2k )!
k 0
n!
k
(2)
Рассмотрим беспорядки среди V2 перестановок.
Беспорядком называется перестановка, у которой ни один элемент не стоит на
своем месте. [1]
Для нахождения числа беспорядков среди V2 перестановок для определенного n,
n должно делиться на 2, так как в беспорядке не должно быть циклов длины 1, и все
циклы должны быть длины равной 2. То есть k2=n/2. Обозначив количество
беспорядков на множестве V2 за DV , получаем
2
a n ( DV2 ) 
n!
n
2
n
2 !
2
(3)
Рассмотрим граф Gn с n вершинами, в этом случае задача о нахождении
числа решений уравнения pn2=e будет совпадать с задачей о нахождении числа
способов циклического соединения его n вершин циклами длины 2 и 1, например:
2
1
5
3
4
Перестановка (21435)
Если каждая точка графа обозначает определенный элемент перестановки, в этом
случае любую перестановку можно представить графом, состоящим из циклов
различных длин. При возведении перестановки в следующую степень, точка
переходит в следующую связанную с ней циклом точку. Например, на рисунке
изображена перестановка (21…) при возведении ее в квадрат видно, что точка 2
переходит в точку 1,при возведении ее в третью степень 2 переходит обратно в 2.
Обобщим понятие множества V, пусть Vm – множество перестановок,
удовлетворяющих уравнению pnm=e, а Ym – число различных выборов циклов
длины m и 1 из n элементов перестановки.
Теорема 1.
Любая перестановка, представленная произведением циклов, является
перестановкой вида Vm, и любая Vm перестановка может быть представлена
произведением циклов.
Доказательство.
Рассмотрим перестановку, представленную произведением циклов, один из
которых степени l. Если степень l является делителем предполагаемого m, то
каждый элемент цикла, после возведения перестановки в степень m, переходит в
свое естественное место. Для различных l, m будет равно наименьшему общему
кратному этих различных l. То есть для любого произведения циклов найдется
такой показатель m, при котором перестановка представленная произведением
циклов являлась Vm перестановкой.
Теперь рассмотрим перестановку вида Vm и докажем, что она представима
произведением циклов различных длин. Так как данная перестановка является Vm
перестановкой, то любой элемент данной перестановки после возведения ее в
степень m перейдет в свое естественное место. Каждый элемент данной
перестановки перейдет в свое естественное место. Пусть s1,s2,…,sn количество
степеней, меньших m, при которых элементы 1,2,…,n, соответственно, переходят в
свое естественное место. При
s1  s2  s3    s j
элементы α1,α2,…,αj образуют некоторое количество циклов длины j. Такие группы
содержат все элементы перестановки. Следовательно, если перестановка
является Vm перестановкой ее можно представить как произведение различных
длин, выделяя эти циклы.
Теорема 2.
Любая перестановка может быть представлена в виде ориентированного графа.
Доказательство.
Пусть у нас есть перестановка из n элементов. Докажем что ориентированный граф
с n вершинами может соответствовать данной перестановке.
Перестановка не может быть представлена в виде ориентированного графа, если
ее несколько элементов не образуют какие либо циклы.
Пусть количество таких элементов в этой перестановке j. В этом случае в одну
вершину ведут более одного вектора:
3
2
4
1
В случае представленном на рисунке, j=4.
Но при возведении в степень большую j, не только элемент 1 перейдет в j , но и
элемент 2 перейдет в j . Так как в перестановке не должно быть повторов, то такой
перестановки не существует. Следовательно, любую перестановку можно
представить как ориентированный граф.
Рассмотрим Vm, где m - простое число. Так как m простое, то цикл длины m
не может быть представлен произведением циклов длины меньшей m. То есть при
m – простом числе множество Vm=Ym следовательно an(Vm)=an(Ym)
При простом m, формула для числа элементов множества V аналогична формуле
(2):
n
m
 
n!
=an(Ym)
k
k  0 m! k!( n  mk )!
an (Vm )  
(4)
Рассмотрим Vm, где m не простое, тогда m представимо в виде
произведения простых чисел :
m=q1q2…qb
Пусть q1≠q2≠…≠qb
Задача о нахождении an(Vm) в этом случае будет иметь смысл нахождения
числа различных комбинаций циклов, длины которых являются делителями числа
m, то есть, представимы произведением чисел q1…qb. При данных условиях :
b 1

qi k i
 n

i 1

qn




an (Vm ) 
 n   n  q1k1   n  q1 k1  q 2 k 2 

 

q3
 q1   q 2  

 
k1  0
k2 0

k3 0


kb 0







b
an (Yql )
l 1
(kl ql )!
 ( n!
)
(5)
k1, k2, … , kb здесь количества циклов длины q1,q2,…,qb соответственно. Исходя из
того, что число разбиений множества из n элементов на подмножества из n1,n2,…,nk
элементов равно
n!
, и выделяя под циклы определенной длины
n1! n2! nk !
некоторое количество элементов – klql, мы видим, что количество разнообразных
n!
размещений элементов всех видов циклов равно
b
 (kl ql )!
l 1
.
Разобьем это множество на подмножества, состоящие исключительно из
элементов, которые входят в циклы с одинаковыми длинами. Число различных
перестановок вида Vm, которые можно получить из этих подмножеств, равно
a n (Yql ) . Следовательно, в общем виде для одного случая число таких
перестановок будет равно
b
an (Yql )
l 1
(kl ql )!
n!
.
Рассмотрим Vm, при любом m, где m представимо разложением :
h  q11 q2 2 ...qb b
при q1≠q2≠…≠qb
в этом случае предыдущая формула усложняется введением различных степеней
чисел q1…qb, и:
 11
k1i1 q1i1
 n

i1 1

q11




 n   n  k1 1q1 

 
2

 q1   q1
an (V )  
m
k 0
11

 n  k1 1q1  k1 2q12 


q13


k1 2  0
b 1
 b1  h
k hih q h ih 
k bib qb ib
 n
 h1 ih 1
ib 1

b
qb







k bb


k1 3  0















1

i
 n  k1i1 q1 1
 i11

q2



k11
b
b
(n!
an (Yq
f1 f 2









k21
)
)
f1 1 f 2 1 ( k f1 f 2 q f1 )!
(6)
При небольших m данная формула значительно упрощается и позволяет
вычислить количество элементов множества Vm при определенном n. При
значительных m на основании данной формулы можно составить программу,
вычисляющую количество элементов множества Vm при определенном n.
Литература.
А. Кофман. Введение в прикладную комбинаторику. – М.: Наука, 1975.
[1]
Заключение.
В данной работе приведены результаты исследования уравнений вида pnm=e.
Найдены формулы числа решений этого уравнения при определенном m. При m=2
найдены точная и рекуррентная формулы числа перестановок V2.Полученные
результаты могут иметь применение в решении задач, связанных с
ориентированными графами, представляющими перестановки вида Vm. Задачу для
дальнейших исследований в этом направлении представляют перестановки с
повторениями, и перестановки полученные выборкой некоторого количества
элементов из определенного множества.