Перестановки

Перестановки
Циклом (i1; i2; ...; in) называется перестановка, которая i1 переводит в i2, i2 – в i3, …, in – в i1, а
остальные элементы оставляет на месте.


1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1. Пусть f  
 , g  2 4 5 6 3 1 . a) Найти fg, gf.
3
4
2
6
5
1


b) При каких n выполняются равенства fn = e, gn = e, где e — тождественная перестановка?
c) Найти (45) (135) f.
2. У каждого из 9 школьников имеется по мячу (мячи разноцветные). Они перебросились мячами так, что
каждому достался один мяч. Затем каждый бросил мяч тому же человеку и так далее.
a) После некоторого числа перебрасываний каждый мяч вернется к хозяину;
b) Найдите наименьшее k такое, что при любом первом броске за k шагов каждый мяч вернется к хозяину. А
если мальчиков n?
3. С колодой из 36 карт можно применить следующую операцию: взять верхние 18 карт и «врезать» их в 18
нижних карт (так, что карты сверху и снизу будут чередоваться).
a) Докажите, что, повторив несколько раз такую операцию, можно прийти к начальному расположению карт в
колоде.
b) Сколько раз нужно повторить для этого данную операцию?
4. Имеется 20 бусинок 10-ти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно,
что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что
число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.
5. Каждая перестановка раскладывается в произведение независимых циклов, то есть множество {1, 2, …, n}
можно разбить на такие подмножества, что перестановка действует на каждом из них как цикл.
n
Число Стирлинга для циклов   — количество перестановок n объектов, каждая из которых
k 
содержит ровно k непересекающихся циклов.
n
n
n 
6. Найти   ,   , 
.
1
n
n
      1
n
n
n
n
7. Докажите равенство:          ...     n! .
0
1
2
     
n 
n
n  1 n  1
8. Докажите равенство:    n  1 
.

k
 
 k  k  1
Перестановки
Циклом (i1; i2; ...; in) называется перестановка, которая i1 переводит в i2, i2 – в i3, …, in – в i1, а
остальные элементы оставляет на месте.


1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1. Пусть f  
 , g  2 4 5 6 3 1 . a) Найти fg, gf.
3 4 2 6 5 1
b) При каких n выполняются равенства fn = e, gn = e, где e — тождественная перестановка?
c) Найти (45) (135) f.
2. У каждого из 9 школьников имеется по мячу (мячи разноцветные). Они перебросились мячами так, что
каждому достался один мяч. Затем каждый бросил мяч тому же человеку и так далее.
a) После некоторого числа перебрасываний каждый мяч вернется к хозяину;
b) Найдите наименьшее k такое, что при любом первом броске за k шагов каждый мяч вернется к хозяину. А
если мальчиков n?
3. С колодой из 36 карт можно применить следующую операцию: взять верхние 18 карт и «врезать» их в 18
нижних карт (так, что карты сверху и снизу будут чередоваться).
a) Докажите, что, повторив несколько раз такую операцию, можно прийти к начальному расположению карт в
колоде.
b) Сколько раз нужно повторить для этого данную операцию?
4. Имеется 20 бусинок 10-ти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок.
Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены.
Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.
5. Каждая перестановка раскладывается в произведение независимых циклов, то есть множество {1, 2, …, n}
можно разбить на такие подмножества, что перестановка действует на каждом из них как цикл.
n
Число Стирлинга для циклов   — количество перестановок n объектов, каждая из которых
k 
содержит ровно k непересекающихся циклов.
n  n   n  .
6. Найти   ,   , 
 1   n  n  1
n  n  n 
n 
7. Докажите равенство:          ...     n! .
0
1
2
     
n 
n 
n  1 n  1 .
8. Докажите равенство:    n  1 

k
 
 k  k  1
Четность перестановок
Транспозицией называется цикл длины 2.
Любую перестановку можно разложить в композицию транспозиций.
Пусть задана перестановка f. Беспорядком называется пара (i; j), такая что i < j и f(i) > f(j).
1. Докажите, что
a) бес(1; 2) = 1;
b) бес(1; 2; ...; n) = n – 1;
c) бес{(i; j) f} и бес(f) разной четности.
Перестановка называется четной, если она имеет четное число беспорядков.
2. Докажите, что перестановка четная, если
a) существует разложение на четное число транспозиций;
b) любое разложение в композицию транспозиций содержит четное число транспозиций.
3. Докажите для перестановок:
a) ЧЧ = Ч;
b) ЧН = Н;
c) НЧ = Н;
d) НН = Ч.
4. Любую ли перестановку можно разложить в композицию циклов длины 3?
5. На полке стоит полное собрание сочинений В.И. Ленина в 1997 томах в правильном порядке. Разрешается
взять любые два тома и поменять их местами. Можно ли за 1997 таких перестановок все тома поставить
a) снова по порядку?
b) в обратном порядке?
6. На столе в ряд стоят N различных фишек. Разрешается поменять порядок любых четырех рядом лежащих
фишек на противоположный.
a) При каких N можно расположить все фишки в обратном порядке?
b) А если менять порядок трех фишек?
7. Игра «Пятнашки». Из любого ли начального расположения фишек можно получить правильную
расстановку?
8. Любую перестановку можно разложить в композицию транспозиций из множества (1; 2), (1; 3), (1; 4), ...,
(1; n).
9. a) В шеренге стоят n школьников разного роста. Разрешается менять местами любых двух соседних.
Докажите, что их можно расставить по росту.
b) Метод пузырька. Любую перестановку можно разложить в композицию транспозиций из множества
(1; 2), (2; 3), (3; 4), ..., (n – 1; n).
10. В санаторий “Тихий Уголок” разрешены только парные обмены комнат (то есть если A переезжает в B, то и B
переезжает в A). Докажите, что любой обмен комнатами (например, A в B, B в C, C в A) можно совершить за
два дня.
11. В вершинах дерева из n элементов расставлены фишки с номерами 1, 2, ..., n. За ход разрешается менять
местами фишки в вершинах, соединенных ребром. Доказать, что таким образом из любой расстановки
фишек можно получить любую расстановку фишек.
12. Физрук выстроил ребят в ряд. Хулигану Васе все никак не нравится его место, поэтому каждые 5 секунд он
меняется местами с каким-либо школьником, но только если между ним и Васей стоит четное число других
детей. Могло ли через некоторое время случиться так, что все ребята стоят на тех же местах, что и
первоначально, а два Васиных соседа оказались переставлены местами.