Математическое моделирование эволюции конкурирующих

УДК 51(06) Проблемы современной математики
О.Ю. ЕФИМОВА, Н.А. КУДРЯШОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ
КОНКУРИРУЮЩИХ ПОПУЛЯЦИЙ
Рассматривается эволюция конкурирующих популяций, описываемая
системой двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных. Для предельных случаев аналитически получены частные решения
задачи. Проведено численное моделирование развития конкурирующих
популяций.
Для описания эволюции двух конкурирующих популяций
используется система двух дифференциальных уравнений вида
u (u  L1 )( K1  u )
ut  D1u  1
  12uv
(1)
( N1  u )
v(v  L2 )( K 2  v)
vt  D2 v   2
  21uv
( N 2  v)
где
u и v – плотности конкурирующих популяций, t – время, а 12 и
 21 – коэффициенты межвидовой конкуренции.
Предполагается, что в отсутствие конкурирующих особей популяция
эволюционирует в соответствии с моделью, предложенной Базыкиным
[1]. В рассматриваемой здесь математической модели учитывается
пространственная
неоднородность
распределения
популяций
в
пространстве ( D1 и D2 – коэффициенты диффузии, определяющие
подвижность особей в популяциях), ограниченность внешних ресурсов и,
следовательно, внутривидовая конкуренция ( K1 и K 2 – предельные
емкости экологических ниш), а также характерные особенности
размножения популяций ( Li – нижняя критическая плотность популяции,
N i – плотность, при которой к размножению способна половина самок,
i  1,2). Отметим, что модель Базыкина при N i  Li  0 в
пространственно однородном случае переходит в уравнение ФерхюльстаПирла, а при Ni  Ki – в уравнение Бюргерса-Хаксли.
В пространственно-однородном случае система (1) в зависимости от
параметров может иметь от пяти до девяти стационарных точек, причем
пять из них соответствуют вымиранию хотя бы одного вида. Таким
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
105
УДК 51(06) Проблемы современной математики
образом, в сообществе двух популяций, связанных конкурентными
отношениями, возможно два типа притягивающих режимов: 1)
стационарное
сосуществование
популяций;
2)
изолированное
существование популяций, устойчивое относительно инвазии конкурента,
причем при изменении условий существования возможен жесткий срыв
каждого из двух типов равновесий.
Для трех предельных случаев системы (1):
1) N1  L1  0 , N2  L2  0
2) N1  L1  0 , N2  K2
3) N1  K1 , N2  K2
получены частные решения (при некоторых ограничениях на параметры).
Для этого использовался методом простейших уравнений для систем
дифференциальных уравнений [2].
При численном моделировании рассматривалась прямоугольная
область. Считалось, что эта область изолирована от окружающего мира,
то есть что на границе производные по пространству от плотностей
популяций равны нулю. Для решения задачи (1) вводились сеточные
функции u nj и v nj , где нижний индекс соответствует индексу по
координате, а верхний  номеру слоя по времени. В одномерном случае
для системы (1) использовался ее разностый аналог, где  и h – шаги по
времени и координате:
u nj 1  u nj

v
n 1
j
v

n
j
 D1
 D2
u nj11  2u nj 1  u nj11
2
h
v nj11  2v nj 1  v nj11
h2
 1
2
u nj (u nj  L1 )( K 1  u nj )
( N 1  u nj )
n
n
v j (v j  L2 )( K 2  v nj )
( N 2  v nj )
  12u nj 1v nj
(2)
  12u nj v nj 1
Для двумерного случая применялась схема переменных направлений,
где нелинейные слагаемые аппроксимировались аналогично схеме (2).
Для проверки использованной схемы дополнительно проводилось
моделирование при заданных на границе значениях плотностей
популяций. Полученные при этом результаты согласуются с найденными
в предельных случаях аналитическими решениями.
Список литературы
1. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. МоскваИжевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 368 с.
2. Ефимова О. Ю., Кудряшов Н. А. Метод простейших уравнений для поиска точных
решений систем нелинейных дифференциальных уравнений. // Науч. сессия МИФИ-2006:
Сб. науч. тр. В 16 т. М.: МИФИ, 2006. Т. 7. С. 114 – 115.
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
106
УДК 51(06) Проблемы современной математики
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
107