Домашнее задание по микроэкономике №1 для групп 116-119, С-110,...

ГУ-ВШЭ 2008-2009 уч.г.
3 модуль
Домашнее задание по микроэкономике №1 для групп 116-119, С-110, С-111
Схема проверки.
Задача 1. (2 балла)
Рассмотрите агента с фиксированным доходом, равным 8, который тратит весь доход на три товара. Вам
известна информация о выбранных потребителем наборах при трех различных векторах цен:
p A  2, 1, 2 , p B  2, 2, 1 и p C  1, 2, 2 . Соответствующие наборы, выбранные потребителем:
x A  1, 2, 2 , x B  2, 1, 2 и x C  2, 2, 1 .
(а) проверьте, не нарушает ли данный выбор слабую аксиому выявленных предпочтений?
p A x B  9  8  p A x B , следовательно, набор x B  2, 1, 2 не был потребителю доступен при
ценах
p A . Посылка «если» не выполняется, следовательно, противоречия с аксиомой при ценах p A и
p B быть не может. (0.25 б)
p A x C  8  p C x C , следовательно, набор x A прямо выявлено предпочитается набору x C .
p C x A  9  8  p C x C , следовательно, набор x A был недоступен, когда выбирался набор x C .
Выбор при ценах
p A и p C не противоречит слабой аксиоме выявленных предпочтений. (0.25 б)
p C x B  8  p C x C , следовательно, набор x C прямо выявлено предпочитается набору x B .
p B x C  9  8  p B x B , т.е. набор x C был недоступен потребителю, когда выбирался набор x B .
C
B
Выбор при ценах p и p не противоречит слабой аксиоме выявленных предпочтений.
Таким образом, выбор потребителя не противоречит слабой аксиоме выявленных предпочтений. (0.25 б)
(б) может ли данный выбор быть порожден какой-либо функцией полезности?
Такой выбор не может быть порожден какой-либо функцией полезности, поскольку нарушается
транзитивность прямо выявленных предпочтений. (0.25 б)
Действительно, если бы такой выбор был порожден функцией полезности, то:
   
p B x A  8  p B x B ), то u x B  u x A . (0.25 б)
A
C
A
C
Поскольку x прямо выявлено предпочитается набору x , то u x  u x . (0.25 б)
C
B
C
B
Поскольку набор x прямо выявлено предпочитается набору x , то u x  u x . (0.25 б)
Поскольку x
B
прямо выявлено предпочитается x
A
(
   
   
Получаем: u x   u x   u x   u x  , откуда u x   u x , что невозможно. (0.25 б)
A
C
B
A
A
A
Задача 2. (1 балл) Студент решал следующую задачу.
Потребитель с ежемесячным доходом, равным m , платит 1500 рублей в месяц за Интернет, что дает ему
право на 100 часов работы в сети, но за каждый дополнительный час он должен заплатить 10 рублей.
Известно, что при таких условиях потребитель пользовался Интернетом 200 часов в месяц. Новый
менеджмент компании-провайдера предложил изменить ценовую политику, отменив ежемесячную
абонентскую плату и подняв тариф до 12 рублей за час. Как введение нового тарифа отразилось на
благосостоянии потребителя и объеме потребления Интернет-услуг, если предпочтения агента строго
монотонны?
Вам предстоит найти все ошибки в приведенном ниже решении студента. (Заметим, оцениваться будут
только найденные ошибки, а не само решение задачи, которую решал студент).
«Сравним расходы на оплату интернет-услуг. Расходы на прежний тариф составили
1500+10*100=2500. Если в новой ситуации агент будет пользоваться Интернетом 200 часов, то его
расходы составят 12*200=2400. В результате у него останется 100 рублей, которые он в силу строгой
монотонности предпочтений потратит на увеличение потребления как Интернет-услуг, так и всех
остальных товаров. В результате потребление всех товаров и благосостояние агента возрастет.»
Две ошибки:
1) которые он в силу строгой монотонности предпочтений потратит на увеличение потребления как
Интернет-услуг, так и всех остальных товаров.
Строгая монотонность предпочтений не влечет обязательное увеличение потребления всех товаров,
если у потребителя остаются «лишние» деньги. Строгая монотонность лишь говорит о том, что если
хотя бы одного товара в наборе будет больше, а всех остальных не меньше, чем в некотором данном
наборе, то потребителю будет лучше, чем в данном наборе. (0.5 б)
2) В качестве стартовой точки для сравнения использовался объем трафика при исходной ценовой
политики. Однако даже, если бы новый тариф при исходном объеме трафика требовал полного
использования бюджета, то сам трафик вовсе не обязан был остаться неизменным. Данная точка
отсчета позволяет проводить сравнения выбора агента в терминах выявленных предпочтений, но
выбираемый набор при новой ценовой политике не обязан оставаться прежним.
Результат: вывод о росте благосостояния имеет неверную мотивировку (хотя сам результат верен), а
вывод об росте трафика в принципе неверен. Контрпример (графический). (0.5 б)
Задача 3. (2 балла)
Правительство рассматривает возможные варианты государственной поддержки рынка жилья.
Предлагается субсидировать процентные выплаты по ипотеке для ряда категорий заемщиков. Субсидия
составит треть от рыночной процентной ставки (к примеру, если рыночная ставка составляет 15%
годовых, то домохозяйство будет платить лишь 10% годовых, а остальное заплатит государство).
(а) Покажите, что домохозяйства предпочли бы эквивалентную по стоимости денежную помощь
предлагаемому варианту субсидирования ипотечных кредитов.
Пусть x -процентные начисления по кредиту, y - агрегированное благо с ценой, равной 1, а m - доход
потребителя.
Выбор домохозяйства при субсидировании ипотечных кредитов x*, y * будет в точности доступен
ему и при денежной помощи, эквивалентной по стоимости предлагаемому варианту субсидирования
ипотечных кредитов.


При субсидировании кредитов: y 

2 
x  m.
3
Бюджетная линия при эквивалентной по стоимости денежной помощи y  x  m 
Несложно
y 
проверить,
что
x*, y *
удовлетворяет
этому
1
x *.
3
условию,
так
как
2  1 
2
x  x  y   x   m  x  . (0.5 б)
3
3
3
Поскольку прежний потребительский выбор при замене политики правительства остается
домохозяйству доступным, то его благосостояние точно не ухудшится. Кроме того, ему станут
доступны новые наборы, которые могут оказаться лучше x*, y * . Таким образом, программа
денежной субсидии для любого агента заведомо не хуже, чем программа субсидирования ипотечных
кредитов. Если товары замещаемы (кривые безразличия гладкие), то денежные субсидии строго
предпочтительнее. График. (0.5 б)


y
1
m  x*
3
Выбор при ден.помощи
m

x*, y *
Бюджетная линия при ден. помощи
Бюджетная линия при
субсидировании ипотеки
m
1
x*
3
3
m
2
x
(б) Какой из двух вариантов (денежная помощь или субсидирование ипотечных кредитов) будет
способствовать скорейшему восстановлению рынка жилья?
Скорейшему восстановлению рынка жилья будет способствовать увеличение спроса на недвижимость.
Поскольку часть жилья приобретается по ипотечным кредитам, то увеличения спроса на ипотеку
будет стимулировать рынок недвижимости. (0.25 б)
При данной ставке банковского процента увеличение x означает рост суммы ипотечного кредита. (0.25
б)
Таким образом, при данных ставках по ипотечным кредитам спрос на кредиты будет выше при
субсидировании выплат по кредитам ( при денежной субсидии выбор лежит там же или левее, то есть
x не может быть выше), а потому политика субсидирования ипотеки скорее приведет к оживлению
рынка жилья. (0.5 б)
Задача 4. (1 балл) Студент решал следующую задачу.
Пусть u x1 , x2  x1 x2 - ординальная функция полезности потребителя А. В настоящий момент агент А


владеет корзиной товаров
2, 5 , на которую он потратил весь свой доход. Однако цены на рынке резко
изменились и составляют p1  3 и p2  2 . Покажите, что потребитель выиграет от обмена товаров по
рыночным ценам. Предложите вариант такого обмена.
Вам предстоит найти все ошибки в приведенном ниже решении студента. (Заметим, оцениваться будут
только найденные ошибки, а не само решение задачи, которую решал студент).
«Сравним субъективную оценку первого товара потребителя А с объективной рыночной оценкой.
Субъективная оценка потребителя определяется величиной предельной нормы замещения, а рыночная
оценка - отношением цен. В данном случае оценка потребителя превышает рыночную:
MRS 12A 2 , 5 
u / x1
u / x 2

 2 ,5 
x2
x1
 2.5 
 2 ,5 
p1
 1.5 .
p2
Это означает, что потребитель выиграет, обменяв второй товар на первый по рыночным ценам.
Пример подобного обмена: три единицы второго товара потребитель обменивает на две единицы
первого: стоимость трех единиц второго товара составит 6 ден. единиц и ровно столько же стоят две
единицы первого. Поскольку обмен произведен в пропорции 3 к 2, а потребитель готов был за две
единицы первого товара отдать вплоть до 5 единиц второго, то этот обмен улучшил его
благосостояние.»
Ошибка: Использование конечных величин вместо дифференциально малых при обмене (три единицы
второго товара потребитель обменивает на две единицы первого). (0.5 б)
Субъективная оценка потребителя, которая определяется величиной предельной нормы замещения –
есть величина предельная, и показывает, от какого максимального количества второго товара
потребитель готов отказаться ради увеличения потребления первого товара на бесконечно малую
величину. В данном случае студент оперирует конечными величинами при обмене товаров, а потому,
обменивая три единицы второго товара на две единицы первого, потребитель может оказаться на
более низкой кривой безразличия, что и происходит в данном случае. (0.5 б)
Задача 5. (4 балла)
Рассмотрите потребителя с доходом 12, который он тратит (не обязательно полностью) на приобретение
двух товаров по ценам p1  2 и p2  1, соответственно. Для каждого из нижеприведенных случаев (а)(г) ответьте на следующие вопросы:
(i) будет ли потребитель полностью расходовать свой доход,
(ii) можно ли не проводя расчетов утверждать, что агент выберет набор с положительным количеством
первого блага? С положительным количеством второго блага?
(iii) найдите наилучший для потребителя в данных условиях набор.
ux1 , x2   x1  4 ,
(в) ux1 , x2   4 x1  x2 ,
(а)


ux1 , x2   min x1  4, x2  4 ,
(г) ux1 , x2   x1 x2  4 .
(б)
(i) Во всех случаях бюджет будет потрачен полностью, так как полезность возрастает хотя бы по
одному товару (a), (в) и (г) – потратив оставшуюся сумму денег на первое благо мы увеличим
полезность, (0.25 б) полезность возрастает по совокупности аргументов в случае (б)- потратив
оставшуюся сумму на оба блага, мы увеличим полезность. (0.25 б).
(ii) (a) Потребитель не будет потреблять второй товар, к которому безразличен. Поскольку если бы он
потреблял его в положительном количестве, то, отказавшись от его потребления, высвободившиеся
деньги можно было бы потратить с толком, купив на них первый товар, что улучшило бы положение
потребителя. (0.25 б)
Первый товар данный агент гарантированно будет потреблять в положительном количестве,
поскольку полезность по нему растет, а второй товар агент не потребляет. (0.25 б)
(iii)
m
x1 
 6.
(a) При данных ценах потребитель потратит весь свой доход на первое благо. ~
p1
Ответ: набор ~
x  6,0 . (0.25 б)
(ii) (б) Да, оба товара будут потребляться в положительном количестве. В противном случае
полезность агента от приобретения набора, содержащего нулевое количество хотя бы одного блага,
меньше, чем полезность, которую агент получит, потребив ода блага в положительном количестве, что
возможно, поскольку доход потребителя положительный. (0.25 б)
(iii) (б) Покажем, что в точке выбора потребителя ~
x1 , ~
x2 агент таким образом распределит свой доход,


что ~
x1  ~
x2 . Предположим, что это не так. Например, ~
x1  ~
x2 и p1~
x1  p2 ~
x2  m , следовательно,
~
~
~
~
ux1 , x2   min x1 , x2   x2 . Тогда рассмотрим набор x1 , x2   x2   , ~
x2  , где   ~
x1  ~
x2 .
~
~
~
~
Заметим, что ux1 , x2   ux1 , x2   x1    x2 . Построим теперь набор xˆ1 , xˆ 2   x1   , x2    ,
~x  ~x2  p1  0 . Набор ˆ ˆ является доступным потребителю, так как
p1
где  
 1
x1 , x2 
p1  p2
p1  p2
p1 xˆ1  p 2 xˆ 2  p1 ~
x1       p 2 ~
x2    

 ~ ~
~x  ~x2  p1 
x1  ~
x2  p1 

  p1 ~
 p1  ~
x1  ~
x1  ~
x2   1

p
x

x1  p 2 ~
x2  m
2 2

p

p
p

p
1
2
1
2




При этом uxˆ1 , xˆ 2   min ~
x1     ; ~
x2     ~
x1      ~
x2    u~
x1 , ~
x2  . Таким образом,
перераспределив доход, потребитель может улучшить свое благосостояние. А значит набор, в котором
содержится количество благ, такое, что ~
x1  ~
x2 не является наилучшим для потребителя, среди
доступных для него наборов. Аналогично можно показать, что потребитель не будет выбирать набор, в
котором ~
x1  ~
x2 . Следовательно, в точке оптимума ~
x1  ~
x2 . (0.5 б)
Тогда имеем:
~
x1  ~
x2 , p1 ~
x1 , ~
x2   4,4 (0.25 б)
x1  p2 ~
x2   p1  p2 ~
x1  m , откуда находим ~
(ii) (в) Гарантировать потребление в положительном количестве каждого товара нельзя, поскольку
товары являются совершенными заменителями. При некоторых ценах на товары агент может
отказаться от потребления одного блага в пользу другого, относительно более дешевого. (0.25 б)
(iii) (в) В любой внутренней точке субъективная оценка первого товара для данного агента, которая
определяется предельной нормой замещения, равна 4, а рыночная оценка первого товара равна 2.
Поэтому потребитель будет отказываться от потребления второго товара в пользу первого,
m
x1 
 6,
потратив на него весь свой доход. ~
p1
~
x2  0 . (0.5 б)
(ii) (г) Можно гарантировать, что агент будет потреблять положительное количество первого
товара. Иначе полезность набора, в котором первый товар не потребляется равна 0. А поскольку доход
потребителя положительный, то он всегда может купить положительное количество обоих благ,
увеличив тем самым свое положение. (0.25 б)
Нельзя гарантировать, что агент будет потреблять положительное количество второго товара.
Количество его потребления будет зависеть от относительных цен товаров и дохода потребителя.
(0.25 б)
(iii) (г) Найдем внутреннее решение.
Во внутренней точке должно выполняться равенство предельной нормы замещения и соотношения цен.
x2  4
 2 . Откуда, зная, что доход агент потратит полностью, 2x1  x2  12 ,
x1
находим, что x1 , x2   4,4 . U 4;4   32 (0.25 б)
Проверим угловое решение, в котором ~
x2  0 . В этом случае весь доход тратится полностью на первое
благо, и оно покупается в количестве ~
x1  6 . В этом случае U 6;0  30  32  U 4;4 .
MRS12 x1 , x2  
Итак, агентом будет выбран набор
x1 , x2   4,4 .
(0.25 б)