Поверхностные интегралы

112
Глава 4. Поверхностные интегралы
Задача, приводящие к понятию поверхностного интеграла
Задача о массе поверхности. Требуется найти массу материальной поверхности S ,
на которой распределена масса с плотностью    ( x, y, z ) .
Разобьем поверхность сетью дуг на n элементарных частей, площади каждой из
которых равны Si , а диаметр d i . Выберем в каждой из них точку Di ( xi , y i , z i ) , будем
считать, что плотность каждой части постоянна и равна  i   ( xi , y i , z i ) . Тогда массу
каждой элементарной части можно считать равной  i S i . Сумма всех таких произведений
приближенно
выражает
массу
всей
заданной
материальной
поверхности
n
M n    ( xi , y i , z i )S i . Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из
i 1
диаметров областей  стремился к нулю.
Тогда массу материальной поверхности
можно
найти
по
формуле
n
M  lim   ( xi , yi , zi )Si .
 0
n   i 1
Понятие поверхностного интеграла
Пусть дана некоторая поверхность S , в точках которой определена непрерывная
функция f ( x, y, z ) . Разобьем поверхность на n частей площадью S i и с диаметром d i . В
каждой из частей выберем произвольную точку Di ( xi , y i , z i ) . Составим сумму
n
 f ( x , y , z )S
i
i 1
i
i
i
. Будем увеличивать число точек разбиения таким образом, чтобы
наибольший из диаметров частичных областей  стремился к нулю.
Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода от функции f ( x, y, z ) по
n
поверхности S называется предел интегральной суммы
 f ( x , y , z )S
i 1
i
i
i
i
при n  
(   0 ), независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек
Di ( xi , y i , z i ) . Обозначается  f ( x, y, z )ds .
S
Теорема 1. Если поверхность S гладкая (в каждой ее точке существует
касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по
поверхности), а функция f ( x, y, z ) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный
интеграл существует.
Основные свойства интеграла первого рода
Основные свойства поверхностного интеграла первого рода.
1.  ñ  f ( x, y, z )ds  ñ   f ( x, y, z )ds .
S
2.
S
 ( f ( x, y, z)  f
1
S
2
( x, y, z )) ds   f 1 ( x, y, z )ds   f 2 ( x, y, z )ds .
S
S
Следствие 1. Имеется в виду алгебраическая сумма функций.
Следствие 2. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.
113
3. Если поверхность S разбить на части S1 и S 2 такие, что S  S1  S 2 ,а пересечение
S1 и S 2 состоит лишь из границы, их разделяющей, то
 f ( x, y, z )ds   f ( x, y, z )ds   f ( x, y, z )ds .
S
S1
4. Если на поверхности S
 f ( x, y, z)ds   f
1
S
5.
2
S2
f1 ( x, y, z)  f 2 ( x, y, z) , то
выполняется неравенство
( x, y, z )ds .
S
 ds  S .
S
6.
 f ( x, y, z )ds  
S
f ( x, y, z ) ds .
S
7. (Теорема о среднем). Если f ( x, y, z ) непрерывна на S , то на ней существует точка
D(a, b, c) такая, что
 f ( x, y, z)ds  f (a, b, c)  S .
S
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть поверхность S задана уравнением вида z  z ( x, y ) , тогда поверхностный
интеграл можно вычислить по формуле:
 f ( x, y, z)ds   f ( x, y, z( x, y)) 
S
1  z x2  z y2 dxdy ,
D1
где D1 – проекция S на плоскость OXY .
Если поверхность S задана x  x( y, z ) или y  y ( x, z ) , то формулы принимают вид:
 f ( x, y, z)ds   f ( x( y, z), y, z) 
S
D2
 f ( x, y, z)ds   f ( x, y( x, z), z) 
S
1  x y2  x z 2 dydz ,
1  y x2  y z 2 dxdz ,
D3
где D1 и D2 – проекции S на плоскости OYZ и OXZ соответственно.
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Площадь поверхности. Пусть поверхность S задана уравнением z  z ( x, y ) , ее
проекция на плоскость OXY есть область D . Тогда площадь поверхности вычисляется по
формуле  ds  S .
S
Масса поверхности. Плотность распределения массы поверхности S задана
функцией    ( x, y, z ) . Масса поверхности вычисляется по формуле M    ( x, y, z )ds .
S
Статистические моменты. Статистические
плотностью    ( x, y, z ) находятся по формулам
моменты
поверхности
S
с
S xy   z   ( x, y, z )ds , S xz   y   ( x, y, z )ds , S yz   x   ( x, y, z )ds .
S
S
S
Координаты центра тяжести. Координаты центра тяжести поверхности S с
плотностью    ( x, y, z ) находятся по формулам
S xy
S
S
xc  yz , yc  xz , zc 
.
M
M
M
114
Моменты инерции. Моменты инерции материальной поверхности S с плотностью
   ( x, y, z ) находятся по формулам
M x   ( y 2  z 2 )   ( x, y, z )ds , M y   ( x 2  z 2 )   ( x, y, z )ds , M z   ( x 2  y 2 )   ( x, y, z )ds ,
S
S
S
M O   ( x  y  z )   ( x, y, z )ds .
2
2
2
S
Задача, приводящая к поверхностному интегралу второго рода
Задача о вычислении потока жидкости через поверхность. Дана пространственная
область,
заполненная
жидкостью,
движущейся
со
скоростью
v  P( x, y, z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y, z )k . Требуется вычислить количество жидкости,
протекающей в единицу времени через данную поверхность S .
Разобьем поверхность на n элементарных частей, площади которых равны Si , а
диаметры d i . Выберем в каждой некоторую точку M i ( xii , yi , zi ) и будем считать, что
скорость для всех точек элементарной части одинакова и равна vi  v( xi , yi , zi ) .
Количество жидкости, протекающей через Si за единицу времени, равно
произведению vni S i , где vni – проекция скорости vi на ось, определяемую единичным
вектором нормали ni к поверхности к точке M i . Тогда количество жидкости можно
найти по формуле vni Si  ( P( M i ) cos  i  Q( M i ) cos  i  R( M i ) cos  i )Si , где  i , i ,  i –
углы, образованные нормалью ni с координатными осями.
В результате количество жидкости, протекающей через всю поверхность за
единицу времени, приближенно выражается формулой
n
 n   ( P( M i ) cos  i  Q( M i ) cos  i  R( M i ) cos  i )Si .
i 1
Проекции элементарной поверхности Si на координатные плоскости
OXY , OYZ , OXZ выражаются следующим образом S yz i  cosi Si , S xz i  cos i Si ,
S   cos  S .
xy i
i
i
Тогда количество жидкости выражается следующим образом
n
 n   ( P( M i )( S yz )i  Q( M i )( S xz )i  R( M i )( S xy )i ) .
i 1
Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из диаметров областей
 стремился к нулю.
Количество жидкости, проходящей через поверхность в единицу времени можно
найти по формуле
n
  lim  ( P(M i )(S yz )i  Q(M i )(S xz )i  R(M i )(S xy )i ) .
 0
n  i 1
Двухсторонняя поверхность
Пусть
поверхность
выражается
параметрическим
уравнениями
x   (u, v), y   (u, v), z   (u, v) .
Определение 2. Точка ( x0 , y0 , z0 ) поверхности F ( x, y, z )  0 называется особой,
если Fx( x0 , y0 , z0 )  Fy ( x0 , y0 , z0 )  Fz( x0 , y0 , z0 )  0 .
115
Определение 3. Точка ( x0 , y0 , z0 ) поверхности называется кратной, если она
соответствует двум значениям параметров (u1, v1 ), (u2 , v2 ) .
Определение 4. Поверхность называется гладкой, если
1. функции  ,  ,  непрерывны вместе со своими частными производными в
некоторой ограниченной замкнутой области на области OUV , причем граница
этой области состоит из гладких кривых;
2. поверхность не имеет ни кратных, ни других особых точек.
Рассмотрим гладкую поверхность S . Выберем на ней точку M 0 , проведем в ней
нормаль к поверхности и зафиксируем ее направление. Проведем по поверхности
замкнутый контур, проходящий через точку M 0 . Пусть точка M непрерывно движется по
контуру и в каждом положении проводится нормаль к поверхности.
Определение 5. Поверхность называется двухсторонней, если какова бы ни была
точка M 0 и каков бы ни был замкнутый контур, проходящий через M 0 и непересекающий
границы поверхности, после обхода этого контура направление нормали не меняется.
Определение 6. Совокупность всех точек поверхности таких, что выбор
направления нормали в одной определяет выбор направления в остальных, называется
стороной поверхности.
Основные понятия поверхностного интеграла второго рода
Рассмотрим двухстороннюю поверхность S . Определим в ее точках функцию
f ( x, y, z ) . Выбранную сторону поверхности разобьем на части и спроецируем их на
координатные плоскости. Выберем в каждой из них точку M i ( xi , yi , zi ) .
Составим интегральную сумму
n
 f ( x , y , z )S  , где
i 1
i
i
i
i
Si – площадь проекции на
координатную плоскость OXY . При этом площадь проекции берем со знаком «плюс»,
если нормаль к выбранной стороне поверхности составляет с осью OZ острый угол, или
со знаком «минус», если нормаль составляет с осью OZ тупой угол. Будем увеличивать
число точек разбиения таким образом, чтобы наибольший из диаметров частичных
областей  стремился к нулю.
Определение 7. Поверхностным интегралом второго рода по переменным x и y
по выбранной стороне поверхности называется предел интегральной суммы
n
 f ( x , y , z )S  при n   (   0 ) , независящий ни от способа разбиения поверхности
i 1
i
i
i
i
на части, ни от выбора точек M i ( xi , yi , zi ) . Обозначается
 f ( x, y, z)dxdy .
S
Аналогичным образом определяется поверхностный интеграл второго рода по
переменным y и z и x и z .
Определение 8. Поверхностным интегралом второго рода общего вида называется
интеграл  P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz  R( x, y, z )dxdy   Pdydz   Qdxdz   Rdxdy .
S
S
S
S
Замечание. Если S – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по
внешней стороне обозначается  Pdydz  Qdxdz  Rdxdy , по внутренней стороне –
S
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy .
S
Свойства поверхностного интеграла второго рода
116
1.
2.
3.
4.
5.
Основные свойства поверхностного интеграла второго рода.
Поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны
поверхности.
Константу можно выносить за знак поверхностного интеграла.
Поверхностный интеграл суммы функций равен сумме интегралов
соответствующих функций.
Если поверхность S разделена на части такие, что S  S1  S2 , причем S1, S2
пересекаются лишь по границе их разделяющей, то поверхностный интеграл по
всей поверхности равен сумме интегралов по каждой из частей.
Если S1 , S2 , S3 – цилиндрические поверхности с образующими, параллельными
соответственно осям OZ , OX , OY , то
 R( x, y, z )dxdy   P( x, y, z )dydz   Q( x, y, z )dxdz  0 .
S1
S2
S3
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Пусть поверхность S определена уравнением z  z ( x, y ) , заданным в области Dxy
– проекции поверхности S на плоскость OXY . Тогда поверхностный интеграл второго
рода по переменным x и y можно свести к двойному интегралу.
 R( x, y, z)dxdy    R( x, y, z( x, y, ))dxdy .
S
D xy
Знак зависит от выбора стороны поверхности S .
Аналогично получаем:
 Q( x, y, z )dxdz    Q( x, y( x, z ), z )dxdz ,
S
D xz
 P( x, y, z)dydz    P( x( y, z), y, z)dydz .
S
D yz
В общем случае получаем
 P( x, y, z )dydz  Q( x, y, z )dxdz  R( x, y, z )dxdy 
S
  P( x( y, z ), y, z )dydz    Q( x, y ( x, z ), z )dxdz 
D yz
D xz
 R( x, y, z ( x, y))dxdy
D xy
Можно показать связь между поверхностными интегралами первого и второго
рода.
 Pdydz  Qdxdz  Rdxdy   ( P cos  Q cos   R cos  )ds .
S
S
Формула Остроградского-Гаусса
Теорема 2. Если функции P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) непрерывны вместе со
своими частными производными первого порядка в пространственной области V , то
справедлива формула
 P Q R 

dxdydz   Pdydz  Qdxdz  Rdxdy ,




x

y

z

V 
S
где S – граница V и интегрирование по S производится по ее внешней стороне.
Формула Стокса
117
Теорема 3. Если функции P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) непрерывны вместе со
своими частными производными первого порядка в точках поверхности S , то
справедлива формула
 Q P 
 R Q 
 P R 
S  x  y dxdy   y  z dydz   z  x dxdz  L pdx  Qdy  Rdz ,
где L – граница поверхности S и интегрирование вдоль кривой L производится в
положительном направлении.