Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет» Кафедра высшей математики Вычисление и приложения поверхностных интегралов Методические указания для практических занятий Новокузнецк 2014 УДК 517.3(07) В 949 Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики О.А. Кондратова В 949 Вычисление и приложения поверхностных интегралов: метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. Е. В. Таскаева. – Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2014. – 16 с. Изложены краткие теоретические сведения по вычислению и приложениям поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода, рассмотрены примеры и приведены задачи для самостоятельного решения. Предназначены для студентов всех специальностей и направлений подготовки. Печатается по решению Совета Института фундаментального образования 2 СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ……………………………………….4 Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода …………………..4 Приложения поверхностного интеграла 1-го рода……………………5 Вычисление и приложения поверхностного интеграла 2-го рода …..6 ПРИМЕРЫ……………………………………………………………….9 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………………..11 ОТВЕТЫ…………………………………………………………………15 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………15 3 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода Теорема существования. Если поверхность S – гладкая (т. е. направление нормали к поверхности меняется непрерывно при перемещении точки по поверхности), а функция f(x,y,z) непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл f ( x, y, z)dS от функS ции f(x,y,z) по поверхности S существует. Если поверхность задана уравнением z=z(x,y), и существуют непрерывные частные производные zx , zy , а, значит, проекция Dxy поверхности S на плоскость Oxy однозначна, то f ( x, y, z)dS S f ( x, y, z( x, y )) 1 ( z x ) 2 ( z y ) 2 dxdy Dxy Таким образом, вычисление поверхностного интеграла 1-го рода сводится к вычислению двойного интеграла по области Dxy – проекции поверхности S на координатную плоскость Oxy. Аналогично, если поверхность S задана уравнением y=y(x,z) и yx , yz непрерывны в Dxz , то f ( x, y, z)dS f ( x, y( x, z ), z ) S 1 y x 2 y z 2 dxdz . Dxz Если поверхность S задана уравнением x=x(y,z) и xy , xz непрерывны в D yz , то f ( x, y, z)dS S f ( x( y, z ), y, z ) 1 xy 2 x z 2 dydz . Dyz Если поверхность S задана параметрически в виде x=x(u,v), y=y(u,v),z=z(u,v), где x,y,z – непрерывно дифференцируемые функции в некоторой области G на плоскости Ouv, то f ( x, y, z)dS f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) S EH F 2 dudv , где G E xu yu zu 2 , H xv 2 yv 2 zv 2 , F xu xv yu yv zu zv 2 2 4 Свойства поверхностного интеграла 1-го рода аналогичны свойствам двойного интеграла. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода Пусть S – гладкая материальная поверхность с плотностью γ= γ(x,y,z). В таблице 1 представлены механические характеристики, которые можно найти с помощью поверхностного интеграла 1-го рода. Таблица 1 – Приложения поверхностного интеграла 1-го рода Площадь поверхности S S ds S Масса поверхности S m ( x, y, z )ds S Статические моменты по- M xy z ( x, y, z )ds , верхности S относительно коS ординатных плоскостей M y ( x, y, z )ds , xz S M yz x ( x, y, z )ds S M yz M xy Координаты центра тяжести M xz z y x , , поверхности S m m m Моменты инерции поверхно- J xy z 2 ( x, y, z )ds , сти S относительно коордиS натных плоскостей J y 2 ( x, y, z )ds , xz S J yz x 2 ( x, y, z )ds S Моменты инерции поверхно- J x ( y 2 z 2 ) ( x, y, z )ds , сти S относительно коордиS натных осей и начала коорди- J ( x 2 z 2 ) ( x, y, z )ds , y нат S J z ( x 2 y 2 ) ( x, y, z )ds , S J 0 ( x 2 y 2 z 2 ) ( x, y, z )ds S 5 Вычисление и приложения поверхностного интеграла 2-го рода Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором нормали (после обхода контура на этой поверхности без пересечения её границы направление вектора нормали к ней не меняется). Иначе поверхность называют односторонней. Любая поверхность, заданная уравнением z=z(x,y), где ( x, y ) D и функции z, zx , zy непрерывны в D, является двусторонней. Примером односторонней поверхности служит лист Мёбиуса, получается при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка А совмещается с С, а В с D. Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением нормали. Пусть в точках двусторонней поверхности S определены непрерывные функции P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) . Вектор нормали n к выбранной стороне поверхности составляет с осями Ox, Oy, Oz углы α,β,γ соответственно. Пусть поверхность S задана уравнением z=z(x,y), где z(x,y) – непрерывная функция в области Dxy – проекции поверхности S на плоскость Oxy. Тогда поверхностный интеграл от функции R( x, y, z ) по переменным x и y можно найти по формуле: R( x, y, z )dxdy R( x, y, z( x, y ))dxdy S Dxy Знак перед интегралом выбирается в зависимости от ориентации поверхности. Выбираем знак «плюс», если cos 0 (т.е. γ – острый угол), или знак «минус», если cos 0 (т.е. γ – тупой угол). Аналогично, если поверхность задана уравнением y=y(x,z), где y(x,z) непрерывна в области Dxz – проекции поверхности S на плоскость Oxz, то поверхностный интеграл от функции Q( x, y, z ) по переменным x и z можно найти по формуле: Q( x, y, z)dxdz Q( x, y( x, z ), z )dxdz S Dxz Выбираем знак «плюс», если cos 0 (т.е. β – острый угол), или знак «минус», если cos 0 (т.е. β – острый угол). Аналогично, если поверхность задана уравнением x=x(y,z), где x(y,z) непрерывна в области D yz – проекции поверхности S на плос6 кость Oyz, то поверхностный интеграл от функции P( x, y, z ) по переменным y и z можно найти по формуле: P( x, y, z )dydz P( x( y, z ), y, z )dydz S D yz Выбираем знак «плюс», если cos 0 (т.е. α – острый угол), или знак «минус», если cos 0 (т.е. α – тупой угол). Данные формулы используют при вычислении общего поверхностного интеграла 2-го рода: P( x, y, z)dydz Q( x, y, z )dxdz R( x, y, z )dxdy P( x( y, z ), y, z )dydz S D yz Q( x, y ( x, z ), z )dxdz Dxz R( x, y, z( x, y ))dxdy Dxy Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода связаны соотношением Pdydz Qdxdz Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS S S Если поверхность задана уравнением в неявном виде Ф( x, y, z ) 0 , то направляющие косинусы нормали к этой поверхности определяются по формулам: cos Фx (Фx ) (Фy ) Фz Фz 2 cos 2 (Фx ) (Фy ) Фz 2 2 2 2 , cos Фy (Фx ) (Фy ) Фz 2 2 2 , , где знак перед радикалами выбирается в зависимости от стороны поверхности. Отметим два свойства поверхностного интеграла 2-го рода: 1. При перемене стороны поверхности поверхностный интеграл 2го рода меняет знак (на противоположный); 2. Если S1,S2,S3 – цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Ox, Oy, Oz, то P( x, y, z )dydz 0 , Q( x, y, z )dxdz 0 , R( x, y, z )dxdy 0 . S1 S2 S3 7 Если S – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по её внешней стороне обозначается P( x, y, z )dydz , а по внутренней S P( x, y, z )dydz . S Потоком векторного поля F ( P, Q, R) через поверхность S в сторону, определяемую единичным вектором нормали n (cos ,cos ,cos ) к поверхности, называется поверхностный интеграл ( P cos Q cos R cos )dS S Циркуляцией векторного поля F ( P, Q, R) вдоль замкнутого контура С, называется криволинейный интеграл Pdx Qdy Rdz . C Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом 2-го рода по внешней стороне замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью Pdydz Qdxdz Rdxdy ( S V P Q R )dV x y z Если положить P=x, Q=y, R=z, то xdydz ydxdz zdxdy (1 1 1)dV 3V , откуда S V V 1 xdydz ydxdz zdxdy 3 S Если S – гладкая поверхность, ограниченная гладкой кривой C, и P P( x, y, z ) , Q Q( x, y, z ) и R R( x, y, z ) – непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула Стокса R Q P R Q P Pdx Qdy Rdz [( dy z )dydz ( dz x )dxdz ( dx y )dxdy , C S где сторона поверхности выбирается так, чтобы со стороны нормали к ней обход контура С был виден происходящим против часовой стрелки. Формула Стокса устанавливает связь между криволинейными интегралами 2-го рода и поверхностными интегралами 2-го рода. 8 ПРИМЕРЫ Пример 1. Найти координаты центра тяжести части поверхности x 4 z 2 , отсеченной плоскостями y=0 и y=6, если плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния до плоскости Oxy. Решение. Расстояние от точки до плоскости Oxy равно аппликате z точки. Поэтому ( x, y, z ) k z 2 . Построим поверхность: На плоскости Oxz уравнение x 4 z 2 задает полуокружность с радиусом 2, в точках которой x>0 , а в пространстве – цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oy (см. рисунок 1) Рисунок 1 – Поверхность интегрирования Так как плотность на поверхности распределена симметрично относительно плоскостей z 0 и y 3 , то y 3 , z 0 . Найдем x по формуле x M yz m . Проекция Dyz поверхности на плоскость Oyz однозначна (см. рисунок 2). ds 1 xy 2 xz 2 dydz , xy 0, xz Рисунок 2 – Проекция 1 2 4z 2 ( 2 z ) z 4z z2 2 ds 1 dydz dydz 2 2 4z 4 z 9 2 , поверхности на плоскость Oyz m ( x, y, z )ds S kz D yz 2 24 ( 4 z 2 0 24( ) 24 m 4 z 2 ( z 2 4) 4 0 4 z dydz 4 dy 4 z kz 2 D yz 2 0 2 dz 1 z z 2 )dz 24( z 4 z 2 2arcsin 4arcsin ) | 2 2 2 0 4 z2 S M yz 6 2 4 M yz x ( x, y, z )ds x 2 2 2 4 z2 6 2 0 2 dydz dy 2kz 2dz 64 64 8 . 24 3 Пример 2. Вычислить поток векторного поля F ( z; 2 x 2 y z;0) через часть плоскости 2 x 2 y z 4 0 , отсеченной координатными плоскостями, в направлении нормали, которая образует с осью Oz острый угол. Решение. Поток вычисляем как интеграл I zdydz ( 2 x 2 y z )dxdz 0dxdy . S По рисунку 3 видно, что нормаль n к заданной стороне части плоскости образует острые углы с осями Ox и Oz и тупой угол с осью Oy. Поэтому, после приведения интеграла к двойным интегралам, получим: I zdydz (2 x 2 y z )dxdz D yz Dxz Рисунок 3 – Поверхность интегрирования и нормаль к ней Вычислим два интеграла из правой части равенства: 10 4 2 y 0 zdydz dy D yz 2 0 zdz 2 0 z 2 4 2 y dy | 2 0 0 2 (4 2 y )2 dy 2 0 2(2 y ) 2 dy 2 2( y 2)3 0 16 | 3 3 2 (2 x 2 y z)dxdz (2 x 2 y (4 2 x 2 y))dxdz (4)dxdz Dxz Dxz Dxz 1 4 S 4 2 4 16 2 16 2 Тогда I 16 10 . 3 3 Пример 3. Вычислить (2 y 4 z )dxdy (2 x yz )dydz (3 y x 2)dxdz , где S – S внешняя сторона поверхности пирамиды, образованной плоскостями x y z 1, x=0, y=0, z=0. a b c Решение. Используем формулу Остроградского-Гаусса: P Q R Pdydz Qdxdz Rdxdy ( x y z )dV S V P=2x+yz, Q=3y+x2, R 2 y 4 z , Q P R 3, 2, 4 y x z Перейдем к тройному интегралу по объему пирамиды 1 1 3abc . (2 3 4) dV 9 dV 9 V 9 S h 3 abc осн 3 2 2 V V ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Вычислить 1) ydS ; 2) S R 2 x 2 y 2 dS ; 3) S 2 x 2 2 y dS , S где S – полусфера z R x 2 y 2 . 2. Вычислить 4 ( z 2 x 3 y )dS , S 6 x 4 y 3z 12 . 11 где S – часть плоскости 3. Вычислить площадь части поверхности x 2 y 2 z 2 , расположенной в первом октанте и отсеченной плоскостью x y a . 4. Вычислить площадь части плоскости x y z 2a , ограниченной цилиндром x 2 y 2 a 2 . 5. Вычислить площадь части сферы x 2 y 2 z 2 9 , расположенной внутри цилиндра x 2 y 2 4 . 6. Вычислить площадь части поверхности параболоида z 25 x 2 y 2 , расположенной выше плоскости Oxy. 7. Найти площадь части параболоида 4z x 2 y 2 ,отсекаемой цилиндром y 2 z и плоскостью z 3 . 8. Найти координаты центра тяжести части поверхности x2 y2 при z 0 . z 2 2 x2 y2 9. Найти момент инерции части поверхности z , при z 0 2 относительно оси Oz. 10. Вычислить xyzdS , где S – часть поверхности z x 2 y 2 S при 0 z 1. 11. Найти координаты центра тяжести части сферы x 2 y 2 z 2 R 2 ( const ),расположенной в 1-ом октанте. 12. Найти момент инерции части боковой поверхности конуса z x 2 y 2 ( z h ) относительно оси Oz . 13. Найти массу части цилиндра x 2 y 2 R 2 ( 0 z H ), если плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до начала координат. 14. Найти zdxdy , где S – внешняя сторона сферы S x y z R 2 2 2 2 . 12 Вычислить 15. xzdydz , где S - внешняя сторона части боко- S вой поверхности цилиндра x 2 y 2 R 2 , расположенной в первом октанте между плоскостями z 0 и z h . Вычислить 16. x 2 y 2 xdxdy , где S - внешняя сторона ча- S сти параболоида y 9 x 2 z 2 , отсеченная плоскостью Oxz . Вычислить 17. ( x cos y cos z cos )dS по верхней поверх- S ности части плоскости x y z a , расположенной в 1-ом октанте. 18. Вычислить z 2dxdy , где S – внешняя сторона эллипсоида S x 2 a 2 19. y 2 2 z 2 2 1. b c Вычислить xzdxdy xydydz yzdxdz , где S – внешняя стоS рона пирамиды, образованной плоскостями x 0 , y 0 , z 0 , x y z 1. ( x Вычислить 20. 3 cos y 3 cos z 3 cos )dS , взятый по S внешней поверхности шара x2+y2+z2=a2. 21. Вычислить 2 2 2 2 2 2 (( z y )cos ( x z )cos ( y x )cos )dS , взятый по S внешней стороне полусферы x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0 ). 22. Вычислить xdydz ydxdz zdxdy , где S – внешняя сторона S поверхности цилиндра x 2 y 2 a 2 ( h z h ). 23. Найти поток векторного поля F x 2i y 2 j z 2k через часть сферы x 2 y 2 z 2 4 , расположенную в 1-ом октанте в направлении внешней нормали. 13 24. Найти поток векторного поля F ( y x)i ( x y ) j yk через часть плоскости x y z 1, вырезанной координатными плоскостями (нормаль к поверхности образует острый угол с осью Oz). 25. Найти поток векторного поля F x 2i y 2 j z 2k через часть сферы x 2 y 2 z 2 R 2 , расположенную в 1-ом октанте, в направлении внешней нормали. 26. С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл z 2 dxdy x 2 dydz y 2 dxdz , где S - внешняя сторона поверх- S ности куба 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 . Используя формулу Остроградского-Гаусса найти поток 27. векторного поля F x3i y 3 j z 3k через внешнюю поверхность тела, ограниченного поверхностями z x 2 y 2 и z 1 . Показать 28. с помощью формулы Стокса, что yzdx xzdy xydz по любому замкнутому контуру равен нулю. С Проверить это вычислением интеграла по контуру треугольника OAB с вершинами O(0;0;0) , A(a; a;0) , B(a; a; a ) . 29. Написать и проверить формулу Стокса для интеграла x( y z)dx y( z x)dy z( x y )dz по контуру треугольника С ABC с вершинами A(a;0;0) , B(0; a;0) , C (0;0; a) . 30. Найти циркуляцию векторного поля F ( x y )i ( x z ) j ( y z )k по контуру треугольника OAB с вершинами O(0;0;0) , A(0;1;0) , B(0;0;1) . 31. Найти циркуляцию векторного поля F y 2i x 2 j z 2k по контуру, получаемому при пересечении поверхности y 1 x 2 z 2 с координатными плоскостями, в положительном направлении относительно вектора a i j k . 14 ОТВЕТЫ 2 2a 2 6 R ; 2. 4 61 ; 3. 1. 1) 0; 2) R ; 3) ; 4. 3 a 2 ; 5. 15 2 307 15 5 112 ; 8. (0; 0; ); 9. 12 (3 5) ; 6. ( 1013 1) ; 7. 310 9 6 4 (1 6 3) 125 5 1 R R R 2h 4 ; 10. ; 11. ( , ; ) ; 12. ; 13. 15 420 2 2 2 2 H 4 R 3 R 2h 2 2 k arctg ; 14. ; 15. ; 16. 0; 17. 0,5a 3 ; 18. 0; 19. R 3 8 R4 2 5 0,125; 20. 2,4 a ; 21. 0; 22. 4 a h ; 23. 6 ; 24. 0,5; 25. ; 26. 3; 8 31 27. 0,9 ; 30. 1; 31. . 30 3 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.] Ч. 2 / Д. Т. Письменный. – 6-ое изд. – Москва. : Айрис-Пресс, 2008. – 256 с.: ил. 2. Лунгу К. Н. Сборник задач по высшей математике. / К. Н. Лунгу, В. П. Норин, Д. Т. Письменный, Ю. А. Шевченко; под. ред. С. Н. Федина. – 3-е изд., испр. – М. : Айрис-Пресс, 2005. – 592 с.: ил. 3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Изд. 8-е / Г. Н. Берман. – Москва : Наука, 2005. – 416 с. 4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – Москва : Высшая школа, 2003. – 304 с. 5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для вузов. В 2-х т. Т.2. / Н. С. Пискунов. – Москва : Интеграл-Пресс, 2001. – 544 с. 15 Учебное издание Составитель Таскаева Елена Валерьевна Вычисление и приложения поверхностных интегралов Методические указания для практических занятий Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом Подписано в печать 31.03.2014г. Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл.-печ. 0,93 л. Уч.-изд. 1,04 л. Тираж 40 экз. Заказ . Сибирский государственный индустриальный университет 654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42. Типография СибГИУ 16