Урок алгебры в 9 классе

Урок алгебры в 9 классе
Тема урока: « Решение систем уравнений второй степени»
Тип урока: урок формирования новых умений.
Цели:
Обучающая: Закрепить умение решать системы уравнений второй степени.
Повторить алгоритм решения систем уравнений второй степени.
Развивающая: Рассмотреть некоторые нестандартные приёмы решения
систем уравнений второй степени с двумя переменными, решение текстовых
задач с помощью систем.
Воспитательная:
Способствовать формированию умений обобщать,
проводить рассуждения, анализировать. Развивать мышление и речь.
ХОД УРОКА:
I. Организация класса
Объявление темы, цели урока.
II. Проверка домашнего задания:
Решения № 435,б; на экране.
Учащиеся сравнивают результаты д/р, делают анализ ошибок.
Ответы: №432 в)(3; -1); № 435 б) (-3,5; 2,5) и (3,5; -2,5)
Вычислите координаты точек пересечения парабол
у = 3х2 – 8х -2 и у = х2 – 4.
Решение: находим решение уравнения 3х2 – 8х -2 = х2 – 4.
х2 -4х+1 =0,
х1 = 2+√3, х2 = 2 - √3
Тогда у1 = 4√3 +3;
у2 = 3 - 4√3.
Ответ: ( 2+√3; 4√3 + 3 ) и (2 - √3; 3 - 4√3)
III. Фронтальный опрос:
Вопросы
Ответы
1.Что
называется
решением Решением
уравнения с двумя
уравнения с двумя переменными?
переменными
называется
пара
значений переменных, обращающая
это уравнение в верное равенство.
2. Равносильные уравнения – это…
Это два уравнения с двумя
переменными, имеющие одно и то же
множество решений.
3.Что мы называем графиком Графиком
уравнения
с
двумя
уравнения с двумя переменными?
переменными называется множество
точек
координатной
плоскости,
координаты
которых
обращают
уравнение в верное равенство.
4. Сколько пар решений может иметь Одну. Две, несколько пар чисел.
система уравнений?
5. Назовите, что является графиком
следующих функции?
а) х2 + у2 = 9
б) х – 2у =8
в)| х| = 2
г) ху = 6
д) х2 + (у -1)2 = 1
а) окружность с центром (0;0) и
r = 3.
б) прямая у = 0,5х – 4.
В) прямые х = 2 и х = -2.
6
Г) у = - гипербола I и III четверти.
х
Д) окруж с центром (0;1) и r = 1.
IV. Самостоятельная работа
Задание: указать номер верного ответа (на карточках).
Решить систему
Возможные ответы
Вариант
1
х2 - у2 = -5,
2 х2 - у2 = -1.
2
х – у =4,
ху – у2 = -2.
1) (2;3), (-2; -3)
2) (2; 3); (-2; 3) и (2; -3);
(-2;-3)
3) (2; -2); (-2; 2) и
(3; -3); (-3;-3)
1
1) (-1; 1) и (2 ; 3)
3
2) (-1; 1) и (-2; 4)
1
3) (2 ; 3) и (-1; 1).
3
Верные ответы: 1 вариант: № 2
2 вариант: № 3
V. « Для тех, кто хочет знать больше» Фронтальная работа (15 мин)
1) Решим систему:
х2 – 9у2 –х + 3у = 0,
х2 –ху +у =7.
Решение:
Многочлен из левой части 1-го уравнения разложим на
множители:
х2 – 9у2 –х + 3у = (х – 3у) (х + 3у) – (х – 3у) = (х – 3у) (х + 3у - 1),
тогда получаем равносильную систему:
(х – 3у) (х + 3у - 1) = 0,
х – 3у = 0,
2
х –ху +у =7.
х + 3у – 1 =0;
х + 3у – 1 =0,
х –ху +у =7.
Решим отдельно 1-ую систему:
х – 3у = 0,
х + 3у – 1 =0;
х = 3у,
9у2 -3у2 +у – 7 = 0;
Из 2-го уравнения: 6у2 +у -7 = 0
1
Д = 169,
у1 =- 1 , у2 = 1.
6
1
1
1
Тогда х1 =-3 и х2 = 3. Получили пары (-3 ; -1 ) и (3; 1).
2
2
6
Из второй системы: х = -3у + 1,
(-3у + 1)2 – у(-3у + 1) + у – 7 = 0
2у2 - у – 1 = 0
1
У3 = - , у4 = 1.
Тогда х3= 2,5 и х4 = -2.
2
1
Получили пары (2,5; − ) и (-2; 1)
1
1
2
1
Ответ: (-3 ; -1 ); (3; 1) и (2,5; − ) и (-2; 1)
2
6
2
2
2) Решим систему: х + 3ху + у2 = 11,
ху + х + у = 5;
Решение: уравнения этой системы содержат сумму переменных (х + у),
Произведение ху и сумму квадратов (х2 + у2 ). Если в этой системе заменить
х на у, а у на х, то получим ту же систему. Такие системы называют
симметричными.
Их удобно решать, вводя новые переменные. Пусть х + у = u, ху = v ,
Тогда х2 + у2 = (х +у)2 - 2ху = u2 - 2v.
Получаем
u2 - 2v + 3v = 11,
u2 + v = 11
v + u = 5;
v + u = 5;
Решив эту систему способом подстановки, найдём,
что u1 = -2; v1 = 7; u2 = 3; v2 = 2.
Тогда, подставив в замену, получим:
х + у = -2,
х + у = 3,
ху = 7;
и
ху = 2;
Первая система даёт:
Вторая система:
х = -2 – у,
(-2 - у) у = 7
-у2 – 2у – 7 = 0
Д = - 24 < 0 решений нет.
х = 3 – у,
у(3 - у) = 2;
-у2 + 3у – 2 = 0
Д = 1,
у1 = 1, у2 = 2;
тогда х1 = 2, х2 = 1.
Ответ: (1; 2); (2; 1)
Для той группы учащихся, которым такая работа непосильна, можно
предложить задачи из учебника
№ 538
Решение: составим систему:
х +у = 5 (х - у),
х2 - у2 = 180.
ОДЗ: х, у > 0.
Ответ: 18 и 12.
№ 541.
Решение: пусть число десятков – х, а число единиц – у,
тогда данное число имеет вид 10х + у.
Из условия имеем:
4(х +у) = 10х + у,
2ху = 10х + у;
Получим х = 3, у = 6, 10* 3 +6 = 36.
Ответ: 36
Если позволит время можно «устроить» обмен информацией между этими
группами.
VI. Из материалов ГИА
2х + 3у= 4,
Задание: При каком р верно решение системы
х – у = -3,
x+ 2у = р ?
Решение: Надо решить систему
2х + 3у= 4,
х – у = -3,
получим пару (-1; 2) и эту пару подставим в третье уравнение:
-1 + 2*2 =р
р =3
Ответ: система имеет решение при р =3.
дома решите аналогичное задание: при каком р система имеет решение
VII. Итог урока
VIII. Домашнее задание: №441, № 444(б)