Лекция № 5 Общая топология

Лекция № 5
Общая топология
Определение и примеры топологических пространств. Основные понятия теории метрических пространств (точка прикосновения,
предельная точка, замыкание множества и т.д.) мы вводили, опираясь на
понятие окрестности, или, что по существу, то же самое, на понятие открытого множества. Понятия окрестности, или открытого множества в
свою очередь определялись с помощью метрики, заданной в рассматриваемом пространстве.
Можно, однако, идти другим путем, не вводя в данном множестве R метрику, непосредственно определить в R систему открытых
множеств при помощи аксиом. Этот путь, более гибкий, приводит нас к
топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой хотя и весьма важный, но несколько специальный случай.
Определение 1. Пусть X – некоторое множество – пространство-носитель. Топологией в X называется любая система  его подмножеств G , удовлетворяющая двум требованиям.
10 ) Само множество X и пустое множество Ø принадлежат  .
2 0 ) Объединение  G любого (конечного или бесконечного) и пере
n
сечение  Gk любого конечного числа множеств из  принадлежат  .
k 1
Множество X с заданной в нем топологией  , т.е. пара
( X , ) , называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие системе  , называются открытыми.
Так же как метрическое пространство есть совокупность множества точек – «носителя» и введенной в этом множестве метрики, топологическое пространство есть совокупность множества точек и введенной в нем топологии.
Таким образом, задать топологическое пространство – это значит
задать некоторое множество X и задать в нем топологию  , т.е.
указать те подмножества, которые считаются в X открытыми.
71
В одном и том же множестве X можно ввести разные топологии, превращая его в различные топологические пространства.
Пару ( X , ) , т.е. носитель – множество X , и введенную в нем
топологию  , мы будем обозначать одной буквой, например, T . Элементы топологического пространства мы будем называть точками.
Множества T \ G , дополнительные к открытым ( G  !), называются замкнутыми множествами топологического пространства T . Из
аксиом 10 ) и 2 0 ) (см. определение 1) и соотношений двойственности
(см. лекцию № 1) вытекает следующее:
11 ) Пустое множество Ø и всё T замкнуты.
21 ) Пересечение любого (конечного или бесконечного) числа и объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутые множества.
Теперь, основываясь на понятии топологии, введем определения
окрестности, точки прикосновения, предельной точки, замыкания множества и т.д.
Определения.
2. Окрестностью точки x  T называется всякое открытое
множество G  T , содержащее точку x .
3. Точка x  T называется точкой прикосновения множества
M  T , если каждая окрестность точки x содержит хотя бы одну точку
из M .
4. Точка x  T называется предельной точкой множества
M  T , если каждая окрестность точки x содержит хотя бы одну точку
из M , отличную от x .
5. Совокупность всех точек прикосновения множества M
называется замыканием множества M и обозначается символом [ M ] .
Теорема 1. Замкнутые множества, и только они (определенные
выше как дополнения к открытым!) удовлетворяют условию
[M ]  M .
Доказательство. Если M – замкнутое множество, т.е.
M  T \ G , где G – открытое, то множество M содержит все свои
точки прикосновения. Действительно, если x  M , то x  G , т.е.
окрестность G точки x не содержит точек из M . Но тогда x не может
72
быть точкой прикосновения множества M , откуда следует, что M содержит все свои точки прикосновения. Поэтому [ M ]  M .
Обратно, если [ M ]  M , т.е. множество содержит все свои
точки прикосновения, то  x  T \ M  G существует окрестность
G x   такая, что в ней нет ни одной точки из M ( M содержит все
свои точки прикосновения!). Тогда
T \ M  G   G x  ,
xT \M
т.е. множество T \ M открыто как объединение открытых множеств.
Теорема доказана.
Теорема 2. Операция замыкания [ M ] , определенная выше с
помощью топологии, обладает следующими свойствами:
1) M  [ M ] ,
2) [[ M ]]  [ M ] ,
3) если M1  M 2 , то [ M 1 ]  [ M 2 ] ,
4) [ M1  M 2 ]  [ M1 ]  [ M 2 ] .
Доказательство. Утверждение 1) очевидно, так как если
x  M , то точка x есть точка прикосновения для M , т.е. M  [ M ] .
Теоретико-множественные рассуждения. Пусть
A
и
B-
подмножества
C.
x  A следует, что x  B , то это значит, что A  B .
некоторого множества
(a) Если из
Другое утверждение.
x  A следует, что x  B , то наоборот, B  A .
 x B , но x  A . Но
тогда согласно утверждению (b) x  B . Получили противоречие, доказывающее утвер(b) Если из
Докажем это утверждение. Предположим противное, т.е. пусть
ждение (b).
Теперь
докажем
утверждение
2).
Во-первых,
включение
[ M ]  [[ M ]] следует из утверждения 1). Докажем обратное включение
Действительно,
если
то
[[ M ]]  [ M ] .
x[ M ] ,
x  G  T \ [ M ] , где G – открытое множество. Но G является
окрестностью точки x и не содержит точек из [ M ] , т.е. x не может
быть точкой прикосновения множества [ M ] . Таким образом, мы показали, что из x  [ M ] следует, что x  [[ M ]] . Поэтому
[[ M ]]  [ M ] , т.е. [[ M ]]  [ M ] . Утверждение 2) доказано.
73
Докажем утверждение 3). Если x  [ M1 ] , то любая окрестность G точки x имеет непустое пересечение с M 1 , т.е. G  M 1  Ø .
Тогда в силу включения M1  M 2 тем более G  M 2  Ø , т.е. x –
точка прикосновения и для M 2 . Таким образом, [ M 1 ]  [ M 2 ] .
Утверждение 3) доказано.
Доказываем теперь последнее утверждение 4) теоремы. Так как
M1  M1  M 2 и M 2  M 1  M 2 ,
то из свойства 3) следует, что
[ M1 ]  [ M1  M 2 ] и [ M 2 ]  [ M1  M 2 ] ,
откуда следует включение
[ M1 ]  [ M 2 ]  [ M1  M 2 ] .
(1)
Теперь докажем обратное включение. Если x  [ M 1  M 2 ] , т.е. x является точкой прикосновения множества M1  M 2 , то любая окрестность G точки x имеет непустое пересечение с множеством M1  M 2 :
G  ( M1  M 2 )  Ø . Поскольку
G  ( M1  M 2 )  ( G  M1 )  ( G  M 2 ) ,
то точка x есть точка прикосновения по крайней мере одного из множеств M 1 или M 2 , т.е.
[ M1  M 2 ]  [ M1 ]  [ M 2 ] .
(2)
Из включений (1) и (2) делаем вывод, что [ M 1  M 2 ] 
 [ M 1 ]  [ M 2 ] . Теорема доказана.
Замечание 1. Как и в случае метрических пространств, [ M ] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее M . Действительно, в силу свойства 3) из
M  N следует [ M ]  [ N ] . Если при этом N – замкнутое множество, то согласно теоремы 1 [ N ]  N , т.е.
[M ]  N .
В силу произвольности (замкнутого!) множества N заключаем, что [ M ]
есть наименьшее замкнутое множество, содержащее M .
Примеры.
1) Любое метрическое пространство есть топологическое пространство, если системой  в нем считать открытые (по метрике!) множества.
74
2) Пусть T – произвольное множество. Будем считать открытыми все
его подмножества. Аксиомы топологии в нем, очевидно, выполнены. В такой топологии все множества одновременно открыты и замкнуты, и значит каждое из них совпадает со своим замыканием.
Такой тривиальной топологией обладает, например, метрическое
пространство X с функцией расстояния
0 , если x  y ,
1, если x  y .
3) В произвольном множестве X рассмотрим топологию, состоящую
только из двух множеств: всего X и пустого множества Ø . Здесь
замыкание любого непустого множества A  X совпадает с X .
( x, y )  
Это – пространство «слипшихся точек».
4) Пусть T состоит из двух точек: T  { a ,b } . Открытыми будем считать множества { a ,b } , Ø , { b } – это и есть система множеств  .
Аксиомы топологии выполнены. Действительно, Ø,T  . Объединения любых комбинаций множеств из  снова принадлежат  , так
же как и пересечения. В этом пространстве замкнуты следующие
множества: Ø , T  { a ,b } и { a } . Замыкание одноточечного множества { b } есть всё T . Это – связное двоеточие.
Сравнение топологий. На одном и том же множестве X могут
быть заданы две топологии  1 и  2 , и тем самым определены два топологических пространства T1  ( X ,1 ) и T2  ( X , 2 ) .
Определение 6. Будем говорить, что топология  1 сильнее топологии  2 , если система множеств  2 содержится в  1 :  2  1 . Про
топологию  2 при этом говорят, что она слабее топологии  1 .
Теорема 3. Пересечение произвольного множества топологий
    в X есть топология в X . Эта топология слабее любой из то
пологий   .
Доказательство. Ясно, что   содержит X и Ø . Далее, из

того, что каждое   замкнуто относительно взятия любых объединений
и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и
75
    . Так как        , то  слабее любого   . Теорема до

казана.
Теорема 4. Пусть B – произвольный запас подмножеств множества X . Тогда существует минимальная топология в X , содержащая
B .
Доказательство. Действительно, топологии, содержащие B ,
существуют. Например, топология, в которой открыты все подмножества множества X (см. пример 2). Пересечение всех топологий, содержащих B , и есть искомая. Теорема доказана.
Эта минимальная топология называется топологией, порожденной системой множеств B и обозначается через  ( B ) .
Определение 7. Пусть X – произвольное множество, A –
подмножество в X . Следом системы множеств B на подмножестве A
называется система B A , состоящая из подмножеств вида A  B , где
B B .
Следом на некотором множестве A  X топологии  , заданной в X , является система множеств
 A  { G A  A  G : G  } .
Нетрудно убедиться в том, что система множеств  A является топологией в A . Таким образом, всякое подмножество A любого топологического пространства само оказывается топологическим пространством.
Топологическое пространство ( A, A ) называется подпространством
исходного топологического пространства ( X , ) .
Ясно, что две различные топологии  1 и  2 в X могут порождать одну и ту же топологию в A  X . Топология  A называется относительной топологией в A .
Определяющие системы окрестностей. База топологии. Задать в пространстве T топологию – это значит задать в нем систему
открытых множеств, удовлетворяющих двум аксиомам топологии. Однако иногда бывает удобнее задавать не всю топологию, а лишь некоторую ее часть, т.е. некоторый запас открытых множеств, по которому
однозначно определяется совокупность всех открытых множеств.
Например, в метрическом пространстве мы ввели сначала понятие открытого шара (  – окрестности), а затем определили открытые
множества как такие, в которых каждая точка содержится вместе с неко76
торой своей шаровой окрестностью. Иными словами, в метрическом
пространстве открыты те и только те множества, которые можно представить как объединения открытых шаров (в конечном или в бесконечном числе). В частности, на числовой прямой открыты только те
множества, которые представимы в виде объединения интервалов.
Эти соображения приводят нас к важному понятию базы топологического пространства.
Определение 8. Совокупность B открытых подмножеств
называется базой топологического пространства T , если всякое открытое множество в T может быть представлено как объединение некоторого числа (конечного или бесконечного) множеств из B .
Например, совокупность всех открытых шаров (с произвольными центрами и радиусами) образует базу топологии в метрическом пространстве. В частности, система всех интервалов – база на
действительной прямой. Базу на прямой образуют даже интервалы с
рациональными концами, поскольку в виде объединения таких интервалов можно представить любой интервал, а значит, и любое открытое
множество.
Задача 1. Доказать, что совокупность открытых шаров с произвольными центрами и с рациональными радиусами образуют базу метрического пространства.
Таким образом, топологию  пространства T можно задать,
указав в этом пространстве некоторую ее базу B . Эта топология 
совпадает с совокупностью множеств, представимых как объединения
множеств из B .
Всякая база B в топологическом пространстве T  ( X , ) обладает следующими двумя свойствами:
( c1 ) любая точка x  X содержится хотя бы в одном
G B ,
( c2 ) если x содержится в пересечении двух множеств G1 и
G2 из B , то существует такое G3  B , что x  G3  G1  G2 .
Действительно, свойство ( c1 ) просто означает, что всё X , будучи открытым множеством, представимо в виде объединения каких-то
множеств из B , а ( c2 ) вытекает из того, что множество G1  G2 открыто и, следовательно, есть объединение каких-то элементов базы.
77
Обратно, пусть X – произвольное множество и B – система
подмножеств в X , удовлетворяющая свойствам ( c1 ) и ( c2 ) . Тогда
совокупность множеств, представимых как объединения множеств из
B , образует в X топологию (т.е. удовлетворяет аксиомам 10 ) и 2 0 )
определения топологического пространства).
Действительно, пусть  ( B ) – совокупность всех множеств из
X , представимых как объединения множеств из B . Тогда пустое множество и всё X принадлежат  ( B ) . Объединение любого числа множеств из  ( B ) очевидно также принадлежит  ( B ) .
Покажем, что пересечение любого конечного числа множеств из
 ( B ) принадлежит  ( B ) . Достаточно проверить это для двух множеств.
Пусть A   G и B   G ; тогда A  B   ( G  G ) .
 ,


Из условия ( c2 ) следует, что каждое множество G  G содержится в  ( B ) . Но тогда и A  B  ( B ) .
Замечание. Пустое множество принадлежит
множества элементов из
B
(B )
как объединение пустого
.
Полученные результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 5. Для того, чтобы система B подмножеств G множества X была базой некоторой топологии в X , необходимо и достаточно, чтобы B обладала свойствами ( c1 ) и ( c2 ) .
Пусть в пространстве T задана некоторая фиксированная топология  . Взяв в T некоторую систему B открытых множеств, обладающую свойствами ( c1 ) и ( c2 ) , и приняв ее за базу, мы очевидно
получим в T топологию  ( B ) , или совпадающую с исходной топологией  , или более слабую. Установим условия, при которых B порождает именно данную (исходную) топологию  .
Теорема 6. Для того, чтобы система множеств B   была базой данной топологии  , необходимо и достаточно, следующее условие:
( c3 ) для каждого открытого множества G и каждой точки
x  G существует такое Gx  B , что x  Gx  G .
78
Доказательство. Если условие ( c3 ) выполнено, то всякое открытое множество G представимо в виде
G   Gx ,
xG
т.е. B есть база топологии  . Обратно, если B есть база топологии  ,
то всякое G  представимо в виде объединения множеств из B , а
тогда для всякого x  G найдется такое Gx  B , что x  Gx  G . Теорема доказана.
Задача 2. Пусть B 1 и B 2 – две базы в X (т.е. две системы
подмножеств в X , удовлетворяющих свойствам ( c1 ) и ( c2 ) ), а  1 и
 2 – определяемые ими топологии в X . Доказать, что 1   2 в том и
только том случае, если для любого G1  B 1 и любой точки x  G1 существует такое G2  B 2 , что x  G2  G1 .
Задача 3. Доказать, что в любом метрическом пространстве базой топологии являются:
(а) совокупность всех открытых шаров,
(в) совокупность всех открытых шаров с рациональными радиусами.
Задача 4. Доказать, что на числовой прямой базой естественной
топологии является совокупность всех интервалов с рациональными
концами.
Пространства со счетной базой. Эти пространства образуют
важный класс топологических пространств.
Определение 9. Топологическое пространство, в котором существует хотя бы одна база, состоящая не более чем из счетного числа
множеств, называется пространством со счетной базой, или пространством со второй аксиомой счетности.
Теорема 7. Если в топологическом пространстве T имеется
счетная база, то в нем обязательно имеется счетное всюду плотное множество.
Доказательство. Напомним определения. Множество A называется всюду плотным в топологическом пространстве T , если замыкание A совпадает с T , т.е. [ A ]  T . Замыканием [ A ] множества A
называется совокупность всех точек прикосновения множества A . Точка x  T называется точкой прикосновения множества A , если любая
окрестность точки x содержит хотя бы одну точку из A .
79
Нам необходимо доказать, что если топологическое пространство T имеет счетную базу, то в нем имеется счетное множество, замыкание которого есть всё T . Пусть { Gn } счетная база в T . В каждом из
множеств Gn выберем произвольную точку xn  Gn . Счетное множество A  { xn } всюду плотно в T . Если это не так, т.е. если [ A ]  T ,
то множество G  T \ [ A ] открыто и не пусто, т.е. оно должно быть
представимо в виде объединения каких-то элементов базы:
G   Gni  T \ [ A ] . Но такое невозможно, так как если
i
x  G   Gni  T \ [ A ] , то x  Gnk при некотором k . Но этому же
i
множеству Gnk принадлежит точка xk множества A  { xn } . Так как
если xk  A , то xk  [ A ] , и мы получили противоречие
xk  [ A ] и xk T \ [ A ] ,
которое доказывает теорему.
Определение 10. Топологические пространства со счетным
всюду плотным множеством (также, как и метрические) называется сепарабельными.
Если метрическое пространство R сепарабельно, то в нем есть
счетная база. Такую базу образуют, например, открытые шары
B( xn ,1 m ) , где { xn } – счетное всюду плотное в R множество, а n и
m – натуральные числа. Поскольку в метрических пространствах справедлива теорема 7, то мы получаем следующую теорему.
Теорема 8. Метрическое пространство R имеет счетную базу
тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
В силу этой теоремы все сепарабельные метрические пространства могут служить примерами топологических пространств со второй
аксиомой счетности.
Рассмотрим пример несепарабельного пространства.
Пример 5. Рассмотрим множество m всех ограниченных последовательностей действительных чисел
X  { x  ( x1 , x2 ,...,xn ,...) : | xn | C x } .
с метрикой
 ( x , y )  sup | yk  xk | .
k
80
В лекции № 3, пример 16, было установлено, что m – полное метрическое пространство. Покажем, что оно не сепарабельно. Действительно,
рассмотрим всевозможные последовательности, состоящие из нулей и
единиц, например
( 0,1,0,...), . . . , ( 1,0,...,1,...,0,...,1,0,...) .
Они являются элементами пространства m . Мощность этого подмножества в m – континуум, так как существует взаимно однозначное соответствие этого множества с отрезком [0,1] . (Такие последовательности
нулей и единиц и двоичная запись действительных чисел отрезка [0,1]
– взаимно однозначно соответствуют друг другу.) Расстояние между
двумя различными точками этого множества в метрике m равно 1.
Окружим каждую такую точку открытым шаром радиуса 1/2. Эти шары
не пересекаются. Если некоторое множество всюду плотно в m , то каждый из построенных шаров должен содержать хотя бы по одной точке из
этого множества, и следовательно, оно не может быть счетным.
Была доказана теорема: метрическое пространство R имеет
счетную базу если и только если оно сепарабельно. Тогда пример 5 говорит о том, что пространство m не имеет счетной базы.
В произвольных топологических (не метрических!) пространствах ситуация гораздо сложнее. Существуют сепарабельные топологические пространства без счетной базы.
Определение 11. Говорят, что точка x топологического пространства T имеет счетную определяющую систему окрестностей
U  { Gi } , если для любого открытого множества G , содержащего
точку
x , найдется окрестность Gk , целиком лежащая в G :
x  Gk  G .
Если точка x топологического пространства T имеет счетную
определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполнена первая аксиома счетности.
Если это верно для каждой точки пространства T , то T называется пространством с первой аксиомой счетности.
Любое метрическое пространство R , даже не сепарабельное,
автоматически удовлетворяет первой аксиоме счетности. Действительно, совокупность открытых шаров B( x ,1 n ) есть счетная определяющая система окрестностей точки x  R .
81
Определение 12. Система множеств { M  } называется покрытием множества X , если X   M  . Покрытие топологического про
странства T , состоящее из открытых множеств, называется открытым
покрытием пространства T . Аналогично, покрытие, состоящее из замкнутых множеств, называется замкнутым покрытием. Если некоторая
часть { M i } покрытия { M  } сама образует покрытие пространства
T , то эта часть { M i } называется подпокрытием покрытия { M  } .
Теорема 9. Если T – топологическое пространство со счетной
базой, то из всякого его открытого покрытия можно выбрать конечное
или счетное подпокрытие.
Доказательство. Пусть { O } – некоторое открытое покрытие
топологического пространства T , т.е. T   O . Тогда каждая точка

x  T содержится в некотором O . Пусть { Gn } – счетная база в пространстве T . Для каждого x  T существует такой элемент Gn ( x )
этой базы, что x  Gn ( x )  O . Совокупность выбранных таким образом множеств Gn ( x ) конечна или счетна и покрывает всё T . Выбрав
для каждого Gn ( x ) одно из содержащих его множеств O , мы получим не более чем счетное подпокрытие покрытия { O } . Теорема доказана.
Определение 13. В топологических пространствах пустое множество и всё пространство одновременно открыты и замкнуты. Топологические пространства, в которых нет никаких других множеств,
одновременно открытых и замкнутых, называются связными.
Пример 6. Прямая линия R1 представляет собой связное пространство. Если же из R1 удалить хотя бы одну точку, то оставшаяся
часть (пространство) уже не будет связным.
82