Д.М.Ермилов О построении МДЦ-полиномов над кольцом Галуа

ОБОЗРЕНИЕ
Т о м 21
ПРИКЛАДНОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
Выпуск 4
2014
Д. М. Е р м и л о в (Москва, ТВП). Алгоритм построения МДЦ-полиномов над кольцом Галуа.
Рассмотрим кольцо Галуа R = GR(q n , pn ) мощности q n и характеристики pn .
Обозначим через Gf,R — граф полиномального преобразования, заданного на кольце
R полиномом f (x). В работе [1] показано, что для любого полинома f (x) ∈ R[x]
длина произвольного цикла графа Gf,R не превосходит величины q(q − 1)pn−2 .
Рассмотрим биективные полиномы над R , у которых граф Gf,R содержит цикл
максимальной длины q(q − 1)pn−2 . Будем называть такие полиномы — полиномами
с максимальной длиной циклов (МДЦ-полиномами).
Из результатов работы [2] следует, что описание общего вида МДЦ-полиномов
над кольцами Галуа сводится к описанию МДЦ-полиномов над кольцами Галуа вида
GR(q 3 , p3 ).
Обозначим через J множество pR делителей нуля кольца Галуа R, J k = pk R
и Rk = R/J k — факторкольцо кольца R по идеалу J k . Рассмотрим эпиморфизмы
колец
φi : R → Ri
для i ∈ {1, 2, . . . , n}, которые естественным образом продолжаются до эпиморфизмов
колец многочленов
bi : R[x] → Ri [x].
φ
bi (f (x)), i ∈
Зафиксируем МДЦ-полином f (x) ∈ R[x] и положим fi (x) = φ
{1, 2, . . . , n}.
Обозначим через f [0] (x) тождественное преобразование, а через f [m] (x) , m ∈ N ,
— преобразование
f ◦ f ◦ ∙ ∙ ∙ ◦ f (m раз),
где ◦ — операция композиции. Производную многочлена f (x) кольца R[x] будем
0
обозначать через f (x) (см. например, [3]). Порядок элемента a ∈ R будем обозначать
через ord (a).
Пусть далее R = GR(q 3 , p3 ), p > 2. Следующая теорема уточняет результаты
работы [2]:
Теорема. Пусть f (x) ∈ R[x], F (x) = f [q] (x). Полином f (x) является МДЦполиномом над кольцом R тогда и только тогда, когда выполняются условия:
1) f1 (x) — полноцикловый полином над полем R1 ;
0
2) δ = q − 1, где δ = ord (F (a)), a ∈ R1 ;
0
3) F (a) ∈ R2 \ Γ(R2 ), где элемент a ∈ R2 лежит на цикле длины q(q − 1)
графа Gf2 ,R2 .
Будем обозначать образ элемента a ∈ R под действием естественного эпиморфизма φ1 : R → R1 через a. Сформулируем алгоритм построения МДЦ-полиномов
над кольцом R3 .
А л г о р и т м (построение МДЦ-полиномов над R3 ).
c Редакция журнала «ОПиПМ», 2014 г.
2
XV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике
Ш а г 1. Пусть (w0 , w1 , . . . , wq−1 ) — полноцикловая подстановка поля R1 . Построить унитарный полином r(x) ∈ R[x] такой, что
deg r(x) 6 q − 1
и
∀ i ∈ {0, 1, . . . , q − 1} :
r(wi ) = wi+1(mod q) .
Ш а г 2. Найти такой набор (c0 , c1 , . . . , cq−1 ) ∈ R1q , что c0 ∙ c1 ∙ . . . ∙ cq−1 = c есть
примитивный элемент поля R1 . Построить такой унитарный полином t(x) ∈ R[x] ,
что
deg t(x) 6 q − 1 и ∀ i ∈ {0, 1, . . . , q − 1} : t(wi ) = r0 (wi ) − ci .
Ш а г 3. Положить f (x) = r(x) + (xq − x)t(x) и проверить условие
0
ϕ2 (F (a)) ∈ R2 \ Γ(R2 ),
(1)
где элемент a ∈ R таков, что a = w0 . Если условие (1) выполнено, то f3 (x) —
МДЦ-полином над R3 , СТОП. Иначе перейти к шагу 4.
Ш а г 4. По формуле производной сложной функции имеем:
0
0
0
0
0
F (x) = (f [q] (x)) = f (f [q−1] (x)) ∙ ∙ ∙ f (f (x)) ∙ f (x).
(2)
0
Пусть αi + pβi — разложение Тейхмюллера (см. [4]) элемента ϕ2 (f (f [i] (a))) , i =
0, 1, . . . , q − 1 . Нетрудно проверить, что верно следующее сравнение по модулю J 2 :
(α0 + pβ0 ) ∙ (α1 + pβ1 ) ∙ ∙ ∙ (αq−1 + pβq−1 ) ≡ α0 ∙ ∙ ∙ αq−1 + p ∙ α0 ∙ ∙ ∙ αq−1
q−1
X
βi αi−1 .
i=0
0
Тогда из условия ϕ2 (F (a)) ∈ Γ(R2 ) следует, что
q−1
X
i=0
βi αi−1 ≡ 0 (mod J).
Построить унитарный многочлен h(x) ∈ R[x] такой, что
deg h(x) 6 q − 1,
∀ i ∈ {0, 1, . . . , q − 2} :
h(wi ) = 0,
h(wq−1 ) = −αq−1 .
Положить
f (x) = r(x) + (xq − x)t(x) + p(xq − x)h(x).
Тогда f3 (x) — МДЦ-полином над R3 . СТОП.
Конец работы алгоритма.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ермилов Д. М., Козлитин О. А. Цикловая структура полиномиального генератора
над кольцом Галуа. — Матем. вопросы криптографии, 2013, т. 4, в. 1, с. 27–57.
2. Ермилов Д. М. Полиномиальные подстановки над кольцом Галуа, содержащие цикл
максимальной длины. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2014, т. 1, в. 1, с. 56.
3. Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра. М.: Гелиос-АРВ, 2003, 749 c.
4. Нечаев А. А. Конечные кольца главных идеалов. — Матем. сб., 1973, т. 91(133),
в. 3(7), с. 350–366.